Наведено огляд і систематизація, а також розглянуто методи вирішення задач у математичній фізиці за допомогою диференціальних рівнянь першого та другого порядків, класифікація диференціальних рівнянь. Такий підхід дав змогу отримати необхідні умови оптимальності. Математичні моделі природничо явищ і процесів найчастіше являють собою завдання, що містять диференціальні рівняння з приватними похідними першого і другого порядків. Диференціальні рівняння суттєві для фізики, механіки техніки називають диференціальними рівняннями математичної фізики. Розглянуто квазілінійне диференціальне рівняння у приватних похідних першого порядку. Розглянуто лінійне рівняння з приватними похідними другого порядку із двома незалежними змінними. Для отримання загального рішення рівняння розглянуто характеристичну систему звичайних диференціальних рівнянь. Наведено приклад застосування диференціальних рівнянь до розв'язання різних прикладних, зокрема інженерно-технічних завдань.
методи вирішення
математична фізика
диференційне рівняння
1. Бондаренко В.А., Мамаєв І.І. Професійна спрямованість у навчанні математики студентів біологічних факультетів // Вісник АПК Ставропілля. - 2014. - № 1 (13). – С. 6–9.
2. Бондаренко В.А., Циплакова О.М. Завдання з економічним змістом на заняттях з диференціального обчислення // Актуальні питання теорії та практики бухгалтерського обліку, аналізу та аудиту: щорічна 75-та науково-практична конференція/Редколегія: В.З. Мазлоєв, А.В. Ткач, І.С. Санду, І.Ю. Скляров, Є.І. Костюкова; відп. за вип. О.М. Бобришев. – 2011. – С. 124–127.
3. Бондаренко В.А., Циплакова О.М. Деякі аспекти інтегрованого підходу до вивчення математичного аналізу // Обліково-аналітичні та фінансово-економічні проблеми розвитку регіону: щорічна 76-та науково-практична конференція Ставропольського державного аграрного університету «Аграрна наука – Північно-Кавказькому регіону». – 2012. – С. 280–283.
4. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова О.Ф. Застосування операційного обчислення у моделюванні економічних систем // Аграрна наука, творчість, зростання. 2013 року.
5. Перспективний вигляд стійких до відмови цифрових систем управління маневрених ла / В.В. Косьянчук, С.В. Костянтинов, Т.А. Колодяжна, П.Г. Редько, І.П. Кузнєцов // Політ: Загальноросійський науково-технічний журнал. - 2010. - № 2. - С. 20-27.
6. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Елементи алгоритмізації в процесі навчання математики у вищій школі / / Сучасні проблеми розвитку економіки та соціальної сфери: зб. матеріалів Міжнар. наук.-практ. конф., присвяченій 75-річчю Ставропольського державного аграрного університету. - 2005. - С. 526-531.
Основними рівняннями математичної фізики для випадку, коли функція u залежить від двох незалежних змінних, є наступні диференціальні рівняння з приватними похідними другого порядку.
I. Хвильове рівняння
Це рівняння є найпростішим рівнянням з окремими похідними другого порядку гіперболічного типу. До вирішення такого рівняння зводяться завдання про поперечні коливання струни і поздовжні коливання стрижнів, про звукові та електромагнітні коливання, про коливання газу і т.д.
ІІ. Хвильове рівняння
Це рівняння є найпростішим рівнянням параболічного типу. До вирішення такого рівняння зводяться завдання про поширення тепла в однорідному середовищі, про фільтрацію рідин та газів, деякі питання теорії ймовірностей тощо.
ІІІ. Рівняння Лапласа
що представляє найпростіше рівняння еліптичного типу. До вирішення цього рівняння зводяться завдання про властивості стаціонарних електричних та магнітних полів, про стаціонарний розподіл тепла в однорідному тілі, задачі гідродинаміки, дифузії тощо.
Зауваження 1. Загалом під час постановки завдання дослідження слід враховувати, що фізичне явище може мати одновимірний, двовимірний і тривимірний характер, а також бути стаціонарним (що не змінюється в часі).
Двовимірне хвильове рівняння має вигляд:
яке описує коливання мембрани та поверхні стисливої рідини.
У конкретних завданнях, що зводяться до рівнянь математичної фізики, завжди шукається не загальне, а приватне рішення рівняння, що задовольняє деяким додатковим умовам, що випливають із фізичних міркувань та особливостей цього завдання.
Такими додатковими умовами є:
а) початкові умови, що належать зазвичай до початкового моменту часу (), з якого починається вивчення даного явища;
б) граничні умови, тобто умови, задані на межі розглянутого середовища (області), всередині якого знаходиться рішення складеного ними даного диференціального рівняння.
Сукупність початкових та граничних умов називається крайовими умовами.
Завдання, яке полягає у знаходженні приватного розв'язання рівнянь за початкових умов, називається завданням Коші.
Завдання математичної фізики, у якій враховуються як початкові, і граничні умови, називається змішаним завданням (завданням Коші загального виду).
Для вирішення рівнянь математичної фізики зазвичай застосовуються:
а) метод Даламбера (метод характеристик),
б) метод Фур'є (метод поділу змінних).
Розглянемо квазілінійне диференціальне рівняння у приватних похідних першого порядку:
. (1)
Для отримання загального рішення рівняння (1) розглядають характеристичну систему звичайних диференціальних рівнянь:
Якщо с=0, то система зводиться до одного рівняння
Якщо загальний інтеграл рівняння, тоді
Загальне рішення.
Саме диференціальне рівняння містить у собі лише загальну інформацію про описуваному процесі. Необхідне завдання початкових та граничних умов для конкретизації.
Диференціальні рівняння математичної фізики другого порядку. Велика кількість процесів та явищ у фізиці описується за допомогою диференціальних рівнянь другого порядку у приватних похідних, це пов'язано з тим, що фундаментальні закони фізики – закони збереження – записуються у термінах других похідних.
Розглянемо лінійне рівняння з приватними похідними другого порядку з двома незалежними змінними:
(3)
де a, b, c - деякі функції від x, y, які мають безперервні похідні до другого порядку включно.
Для того, щоб привести рівняння (3) до канонічного вигляду, необхідно записати так зване характеристичне рівняння (4):
з якого виходять два рівняння:
;
та знайти їх спільні інтеграли.
У загальному випадку лінійне рівняння з окремими похідними другого порядку параболічного типу з n незалежних змінних можна записати у вигляді:
,
Рівняння параболічного типу описують дифузійні, теплові процеси, що не встановилися, залежать від часу .
Методи вирішення рівнянь математичної фізики
Усі методи розв'язання цих рівнянь можна поділити на дві групи:
1. Аналітичні методи вирішення рівнянь, що ґрунтуються на відомості
2. Рівняння у приватних похідних до звичайного або системи звичайних рівнянь;
3. Чисельні методи рішення (за допомогою ЕОМ).
Приклад: Знайдіть функцію w=w(x,t), як рішення рівняння , де a>0, а=const, за початкової умови
.
Рішення - це рівняння (рівняння перенесення) у приватних похідних:
Характеристичне рівняння для (1.1) має вигляд
де C - довільна стала. Загальне рішення рівняння (1.1), має вигляд хвилі, що біжить:
З (1.3) видно, що а - швидкість перенесення. Так як a> 0, то хвиля біжить зліва направо. Підставимо початкову умову, отримаємо:
. (1.4)
Отримуємо:
Відповідь: Функція 
є рішенням рівняння перенесення при заданій початковій умові.
Бібліографічне посилання
Каланчук І.В., Попов Н.І. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ // Міжнародний студентський науковий вісник. - 2018. - № 3-1.;URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18212 (дата звернення: 10.09.2019). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»
Наукометричні показники
Використання
- 10274
Скачування повних текстів 2018
Springer вимірює кількість завантажень повних текстів з платформи SpringerLink відповідно до стандартів COUNTER (Counting Online Usage of NeTworked Electronic Resources).
- 21
Чинник використання 2017/2018
Чинник використання - це величина, що розраховується відповідно до правил, рекомендованих COUNTER. Це середнє значення (медіана) числа завантажень у 2017/18 рр. для всіх статей, опублікованих онлайн у тому ж журналі протягом того ж періоду. Розрахунок фактора використання базується на даних, які відповідають стандартам COUNTER на платформі SpringerLink.
Вплив
- 0.659
Імпакт-фактор 2018
Імпакт-фактор, що публікується Clarivate Analytics у Journal Citation Reports. Імпакт-фактори належать до попереднього року.
- 1.02
Source Normalized Impact per Paper (SNIP) 2018
Source Normalized Impact per Paper (SNIP) вимірює контекстну вплив журналу з цитування шляхом зважування цитувань у кожній предметній групі. Вклад кожного окремого цитування тим вищий у кожній конкретній предметній категорії, що менше ймовірність (з міркувань предметного змісту), що таке цитування виникне.
- Q2 Квартиль: Mathematics (miscellaneous) 2018
Набір журналів з однієї предметної категорії ранжуються відповідно до їх SJR і поділяються на 4 групи, які називаються квартилями. Q1 (зелений) поєднує журнали з найбільш високими показниками, Q2 (жовтий) – наступні за ними, Q3 (помаранчевий orange) – третя група за величиною SJR, Q4 (червоний) – журнали з найнижчими показниками.
- 0.47
SCImago Journal Rank (SJR) 2018
SCImago Journal Rank (SJR) - це міра наукового впливу журналу, яка враховує кількість цитувань, отриманих журналом та рейтинг цитуючих журналів.
- 25 Індекс Хірша 2018
SCOPE
Differential Equations is a journal devoted до різних еквіяцій і поєднаних загальних еквіяцій. Journal publishes originals articles by authors from all countries and accepts manuscripts in English and Russian. Політика варіаційних варіацій ординарних різних еквівалій, партійних різних еквіяцій, специфічних теорій різних операторів, integrated and integral-differential ecuations, differential ecuations, difference ecuations and their applications in control theory, matematical modeling, shell theory, informatics, and. Український літератури публікується в школі з відділом математичних наук і підрозділом нанотехнологій і інформаційної технології російської академії наук і інституту академічної математики з національних наук біології.
Індексування та реферування
Science Citation Index Expanded (SciSearch), Journal Citation Reports/Science Edition, SCOPUS, INSPEC, Zentralblatt Math, Google Scholar, CNKI, Current Abstracts, EBSCO Academic Search, EBSCO Advanced Placement Source, EBSCO Discovery Service, EBSCO , Gale, Gale Academic OneFile, Highbeam, Mathematical Reviews, Mechanical and Transportation Engineering Abstracts, OCLC WorldCat Discovery Service, ProQuest ABI/INFORM, ProQuest Advanced Technologies & Aerospace Database, ProQuest Business Premium Collection, ProQuest Central, ProQuest Civil Engineering і Information Systems Abstracts, ProQuest Computing Database, ProQuest India Database, ProQuest Materials Science & Engineering Database, ProQuest Research Library, ProQuest SciTech Premium Collection, ProQuest Technology Collection, ProQuest-ExLibris Primo, ProQuest-ExLibris Sum.
Диференціальні рівняння (журнал)
"Диференційне рівняння"- щомісячний математичний журнал, присвячений диференціальним рівняннямта пов'язаним з ними інтегро-диференціальним, інтегральним рівняннями, а також рівнянням у кінцевих різницях. Видається з 1965 року. Включено в список наукових журналів ВАК. Найменування англійської версії журналу: Differential Equations.
Редакційна колегія: А. В. Арутюнов, Ф. П. Васильєв, І. В. Гайшун, А. В. Гулін, С. В. Ємельянов, Н. А. Ізобов, С. К. Коровін(заст. головного редактора), І. К. Ліфанов, Є. Ф. Міщенко , Є. І. Мойсеєв , Ю. С. Осипов, С. І. Похожаєв (заст. головного редактора), Н. Х. Розов, В. Г. Романов, В. А. Садовницький, В. А. Солонніков, Ф. Л. Чорновуська, Т. К. Шемякіна (заст. головного редактора, відп. секретар)
Посилання
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Диференціальні рівняння (журнал)" в інших словниках:
I Диференціальні рівняння рівняння, що містять потрібні функції, їх похідні різних порядків та незалежні змінні. Теорія Д. в. виникла наприкінці 17 ст. під впливом потреб механіки та інших природничих дисциплін,… … Велика Радянська Енциклопедія
Механіка суцільних середовищ ... Вікіпедія
Фундаментальна та прикладна математика Спеціалізація: Математика Мова: російська Головний редактор: Р. В. Гамкрелідзе А. В. Міхальов В. А. Садовничий
Відділення математичних наук розташовується в будівлі РАН на Воробйових горах у Москві Відділення математичних наук Російської академії наук (ОМН РАН) структурний підрозділ Російської академії наук, до складу якого входять …
Земляков, Олександр Миколайович Файл:Zemlyakov.jpg Олександр Миколайович Земляков (17 квітня 1950(19500417), Бологе 1 січня 2005, Чорноголівка) математик,видатний радянський і російський педагог, автор навчально-педагогічної ... Вікіпедія
Олександр Миколайович Земляков (17 квітня 1950 (19500417), Бологе 1 січня 2005, Чорноголівка) математик, видатний радянський та російський педагог, автор навчально-педагогічної літератури. Біографія Закінчив у 1967 році із золотою… … Вікіпедія
Математика Наукові дослідження в галузі математики почали проводитися в Росії з 18 ст, коли членами Петербурзької АН стали Л. Ейлер, Д. Бернуллі та інші західноєвропейські вчені. За задумом Петра I академіки іноземці… Велика Радянська Енциклопедія
У цій статті не вистачає посилань на джерела інформації. Інформація має бути перевіряється, інакше вона може бути поставлена під сумнів та видалена. Ви можете … Вікіпедія
Одна з трьох кафедр, що випускають, за напрямом Математика. Прикладна математика. Зміст 1 Історія кафедри 2 … Вікіпедія
