Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.
Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.
Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою
S б.ц. = 2πRH, (1)
Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхні циліндра
S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Об'єм прямого циліндра
Теорема. Об'єм прямого циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту , тобто.де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.
Так як площа основи циліндра дорівнює Q, то існують послідовності описаних та вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.
Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами
V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.
Отже,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.
Слідство.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою
V = π R 2 H
де R – радіус основи, а H – висота циліндра.
Так як основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому
Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.
У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.
Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.
Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр це звичайна консервна банка, у якої немає верхньої кришкита дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).
Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.
Коли бічна стінка циліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.
Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh
Площа повної поверхні циліндра
Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).
Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра
Приклади розрахунку площі поверхні циліндра
Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.
1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.
Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh
S бік. = 2*3,14*2*3
S бік. = 6,28*6
S бік. = 37,68
Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.
2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?
Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Циліндр (круговий циліндр) – тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються паралельним переносом, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.
Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах, а утворюють циліндри паралельні й рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бокову поверхню складають утворюючі.
Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основи. Циліндр можна як тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї зі сторін як осі. Існують інші види циліндра – еліптичний, гіперболічний, параболічний. Призму так само розглядають як різновид циліндра.
На малюнку 2 зображено похилий циліндр. Кола з центрами Про і Про є його основами.
Радіус циліндра – радіус його основи. Висота циліндра – відстань між площинами основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином. Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра.
Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.
Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, основи якої рівні багатокутники, вписані в основи циліндра. Її бічні ребра є утворюючими циліндрами. Призма називається описаною біля циліндра, якщо її основи - рівні багатокутники, описані біля основ циліндра. Площини її граней стосуються бічної поверхні циліндра.
Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити, помноживши довжину утворюючої на периметр перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.
Площу бічної поверхні прямого циліндра можна знайти по його розгортці. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою h і довжиною P, яка дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:
Зокрема, для прямого кругового циліндра:
P = 2πR, і S b = 2πRh.
Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.
Для прямого кругового циліндра:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Для знаходження об'єму похилого циліндра є дві формули.
Можна знайти об'єм, помноживши довжину утворюючої на площу перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.
Об'єм похилого циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи):
V = Sh = S l sin α,
де l – довжина утворюючої, а α – кут між утворюючою та площиною основи. Для прямого циліндра h = l.
Формула для знаходження об'єму кругового циліндра виглядає так:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
де d – Діаметр основи.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.
Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.
Прикладів присутності предметів циліндричної форми у повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.
Визначення циліндра як геометричної фігури
Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».
Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.
Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.
Види циліндрів
Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.
Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.
По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.
Що таке поверхня обертання
Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.
Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.
У даному випадку, В результаті обертання фігури - прямокутника - виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.
Площа поверхні циліндра
Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.
Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.
Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх два) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.
Визначення обсягу фігури
Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.
Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.
Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.
Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.
Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.
Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.
Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.
Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.
Як побудувати розгортку циліндра
У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.
Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.
Відмінності скошеного циліндра
Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.
На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.
Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.
Геометричні характеристики скошеного циліндра
Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.
Під час вивчення стереометрії однією з головних тем стає «Циліндр». Площа бічної поверхні вважається якщо головною, то важливою формулою під час вирішення геометричних завдань. Однак важливо пам'ятати і визначення, які допоможуть зорієнтуватися в прикладах і за доказом різних теорем.
Поняття циліндра
Спочатку слід розглянути кілька визначень. Тільки після їх вивчення можна приступати до розгляду питання про формулу площі бічної поверхні циліндра. На основі цього запису можна обчислити інші висловлювання.
- Під циліндричною поверхнею розуміють площину, що описується утворюючою, рухомою і паралельною, що залишається. заданому напрямку, що ковзає по наявній кривій.
- Є й друге визначення: циліндричну поверхню утворюють безліч паралельних прямих, що перетинають задану криву.
- Утворюючою називають умовно висоту циліндра. При її переміщенні навколо осі, що проходить через центр основи, виходить зазначене геометричне тіло.
- Під віссю мають на увазі пряму, що проходить через обидва підстави фігури.
- Циліндром називається стереометричне тіло, обмежене боковою поверхнею, що перетинається, і 2 паралельними площинами.
Існують різновиди цієї об'ємної фігури:
- Під круговим мають на увазі циліндр, напрямна якого - це коло. Його головними складовими вважаються радіус основи та твірна. Остання дорівнює висоті фігури.
- Існує прямий циліндр. Свою назву він отримав завдяки перпендикулярності фігури, що утворює до основ.
- Третій вигляд – скошений циліндр. У підручниках можна зустріти й іншу його назву «круговий циліндр зі скошеною основою». Дану фігуру визначає радіус основи, мінімальна та максимальна висота.
- Під рівностороннім циліндром розуміють тіло, що має рівні між собою висоту та діаметр круглої площини.
Умовні позначення
Традиційно основні «компоненти» циліндра прийнято називати так:
- Радіус основи - R (він замінює аналогічну величину стереометричної фігури).
- Утворювальна - L.
- Висота – H.
- Площа основи – S осн (інакше кажучи, необхідно знайти вказаний параметр кола).
- Висоти скошеного циліндра - h 1, h 2 (мінімальна та максимальна).
- Площа бічної поверхні - S бік (якщо її розгорнути, то вийде свого роду прямокутник).
- Об'єм стереометричної фігури - V.
- Площа повної поверхні – S.
«Компоненти» стереометричної фігури
Коли вивчається циліндр, площа бічної поверхні відіграє важливу роль. Пов'язано це з тим, що дана формулавходить у кілька інших, складніших. Тому необхідно бути добре підкованим у теорії.
Основними складовими фігури є:
- Бічна поверхня. Як відомо, вона виходить завдяки руху, що утворює по заданій кривій.
- Повна поверхня включає існуючі підстави і бічну площину.
- Перетином циліндра, як правило, виступає прямокутник, розташований паралельно осі фігури. Інакше його називають площиною. Виявляється, довжина та ширина за сумісництвом є складовими інших фігур. Так, умовно довжинами перерізу є утворюють. Ширина – паралельні хорди стереометричної фігури.
- Під осьовим перетином мають на увазі розташування площини через центр тіла.
- І нарешті завершальне визначення. Дотичним називають площину, що проходить через утворює циліндра і знаходиться під прямим кутом до осьового перерізу. При цьому має виконатися одна умова. Зазначена твірна повинна входити в площину осьового перерізу.
Основні формули для роботи з циліндром
Для того щоб відповісти на питання, як знайти площу поверхні циліндра, необхідно вивчити основні «компоненти» стереометричної фігури та формули їх знаходження.
Дані формули відрізняються тим, що спочатку даються вирази для скошеного циліндра, а потім для прямого.
Приклади з розібраним рішенням
Необхідно дізнатися площу бічної поверхні циліндра. Дано діагональ перерізу AC = 8 см (причому воно є осьовим). При зіткненні з твірною виходить< ACD = 30°
Рішення. Оскільки відомі величини діагоналі та кута, то в такому випадку:
- CD = AC * cos 30 °.
Коментар. Трикутник ACD, в конкретному прикладі, Прямокутний. Це означає, що частка від поділу CD і AC = косинусу наявного кута. Значення тригонометричних функцій можна знайти у спеціальній таблиці.
Аналогічно, можна знайти значення AD:
- AD = AC*sin 30°
Тепер необхідно обчислити за наступним формулюванням потрібний результат: площа бічної поверхні циліндра дорівнює подвоєному результату перемноження пі, радіуса фігури та її висоти. Слід скористатися й іншою формулою: площею основи циліндра. Вона дорівнює результату перемноження пі на квадрат радіусу. І, нарешті, остання формула: загальна площа поверхні. Вона дорівнює сумі попередніх двох площ.
Дано циліндри. Їх об'єм = 128*п см³. Який із циліндрів має найменшу повну поверхню?
Рішення. Для початку потрібно скористатися формулами знаходження об'єму фігури та її висоти.
Оскільки площа повної поверхні циліндра відома з теорії необхідно застосувати її формулу.
Якщо розглядати отриману формулу як функцію площі циліндра, то мінімальний «показник» буде досягнутий у точці екстремуму. Для отримання останнього значення потрібно скористатися диференціюванням.
Формули можна подивитися в спеціальній таблиці знаходження похідних. Надалі знайдений результат дорівнює нулю і є рішення рівняння.
Відповідь: S min буде досягнуто при h = 1/32 см, R = 64 см.
Дана стереометрична фігура - циліндр та переріз. Останнє проведено таким чином, що розташовується паралельно до осі стереометричного тіла. Циліндр має наступні параметри: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необхідно знайти відстань між перетином і віссю.
Оскільки під перетином циліндра розуміється ВСКМ, тобто прямокутник, його сторона ВМ = h. Необхідно розглянути ВМК. Трикутник прямокутний. Виходячи з цього твердження, можна вивести правильне припущення, що МК = НД.
ВК² = ВМ² + МК²
МК² = ВК² - ВМ²
МК² = 17 ² - 15 ²
Звідси можна дійти невтішного висновку, що МК = ВС = 8 див.
Наступний крок - проведення перерізу через основу фігури. Необхідно розглянути площину, що вийшла.
AD – діаметр стереометричної фігури. Він паралельний перерізу, згаданому за умови завдання.
BC – пряма, розташована на площині наявного прямокутника.
ABCD – трапеція. У конкретному випадку вона вважається рівнобедреною, оскільки навколо неї описано коло.
Якщо знайти висоту отриманої трапеції, можна отримати відповідь, поставлений на початку завдання. А саме: знаходження відстані між віссю та проведеним перетином.
І тому необхідно визначити величини AD і ОС.
Відповідь: переріз розташовується 3 см від осі.
Завдання на закріплення матеріалу
Даний циліндр. Площа бічної поверхні використовується у подальшому вирішенні. Відомі інші параметри. Площа основи – Q, площа осьового перерізу – М. Необхідно знайти S. Іншими словами, повну площу циліндра.
Даний циліндр. Площу бічної поверхні необхідно знайти в одному з кроків розв'язання задачі. Відомо, що висота = 4 см, радіус = 2 см. Необхідно знайти повну площу стереометричної фігури.
