円柱の側面の展開図の底辺と高さ。幾何学的図形としての円柱

01.04.2019

タイヤとホイール

円柱の各底面の面積はπです r 2、両底の面積は2πになります r 2（図）。

円柱の側面の面積は、底辺が2πの長方形の面積に等しい r、高さは円柱の高さに等しい h、つまり 2π うーん.

円柱の全表面は次のようになります: 2π r 2+2π うーん= 2π r(r+ h).

円柱の側面の面積が取られます スイープエリアその側面。

したがって、直円柱の側面の面積は、対応する長方形の面積に等しく（図）、次の式で計算されます。

紀元前 = 2πRH、(1)

円柱の2つの底面の面積と円柱の側面の面積を加算すると、円柱の総表面積が得られます。

Sフル \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R)。

ストレートシリンダー容積

定理。 直円柱の体積は、底面の面積と高さの積に等しい 、つまり

ここで、Q は底面積、H は円柱の高さです。

円柱の底面積は Q なので、面積 Q の外接多角形と内接多角形の列が存在します。 nそしてQ' nそのような

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

上で検討した記述および内接多角形を基底とし、その側辺が指定された円柱の母線に平行で長さ H を持つプリズムのシーケンスを構築しましょう。これらのプリズムは、指定された円柱に対して記述および内接されます。それらの体積は次の式で求められます。

V n= Q n HとV' n=Q' n h.

したがって、

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH。

結果。
直円柱の体積は次の式で計算されます。

V = π R 2 H

ここで、R は底面の半径、H は円柱の高さです。

円柱の底面は半径 R の円であるため、Q \u003d π R 2、したがって

円柱は、2 つの平行な平面と円柱面で囲まれた幾何学的な物体です。この記事では、円柱の面積を見つける方法について説明し、公式を使用して、たとえばいくつかの問題を解決します。

円柱には、上面、底面、側面の 3 つの面があります。

円柱の上下が円になっているので識別しやすいです。

円の面積は πr 2 に等しいことが知られています。したがって、2 つの円 (円柱の上部と下部) の面積の公式は、πr 2 + πr 2 = 2πr 2 のようになります。

3 番目のシリンダーの側面は、シリンダーの湾曲した壁です。このサーフェスをより適切に表現するために、認識可能な形状になるようにサーフェスを変換してみましょう。シリンダーが通常のものであると想像してください。錫がありません。トップカバーそして一番下。瓶の上から底に向けて側壁を垂直に切り込みを入れ（図の手順 1）、得られた図をできるだけ開く（まっすぐにする）ようにしてみましょう（手順 2）。

結果として得られる瓶を完全に公開すると、見慣れた図形 (ステップ 3) が表示されます。これは長方形です。長方形の面積は簡単に計算できます。その前に、元のシリンダーに少し戻ってみましょう。元の円柱の頂点は円であり、円の円周は L = 2πr という式で計算されることがわかります。図では赤色でマークされています。

円柱の側壁が完全に拡張されると、円周が結果として得られる長方形の長さになることがわかります。この長方形の辺は円周 (L = 2πr) と円柱の高さ (h) になります。長方形の面積は、その辺の積に等しい - S = 長さ x 幅 = L x h = 2πr x h = 2πrh。その結果、円柱の側表面積を計算する式が得られました。

円柱の側面の面積の公式
S側 = 2prh

円柱の全表面積

最後に、3 つの表面すべての面積を合計すると、円柱の総表面積の公式が得られます。円柱の表面積は、円柱の頂部の面積 + 円柱の底部の面積 + 円柱の側面の面積、または S = πr 2 + に等しいπr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh。場合によっては、この式は同じ式 2πr (r + h) で記述されます。

円柱の総表面積の計算式
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
rは円柱の半径、hは円柱の高さです

円柱の表面積の計算例

上記の式を理解するために、例を使用して円柱の表面積を計算してみましょう。

1. 円柱の底面の半径は 2、高さは 3 です。円柱の側面の面積を決定します。

総表面積は、S 側の式で計算されます。 = 2prh

S側 = 2 * 3.14 * 2 * 3

S側 = 6.28 * 6

S側 = 37.68

円柱の側表面積は37.68です。

2.高さが4、半径が6の場合、円柱の表面積を求めるにはどうすればよいですか?

総表面積は次の式で計算されます: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

シリンダー (円柱) - 平行移動によって結合された 2 つの円と、これらの円の対応する点を接続するすべてのセグメントで構成される本体。円は円柱の底面と呼ばれ、円の対応する点を接続する線分は円柱の母線と呼ばれます。

円柱の底面は等しく、平行な平面上にあり、円柱の母線は平行で等しい。円柱の表面は底面と側面から構成されます。側面はジェネレータによって形成されます。

円柱の母線がベースの平面に対して垂直である場合、その円柱は真っ直ぐであると呼ばれます。円柱は、長方形をその一辺を軸として回転させた物体と考えることができます。他のタイプの円柱もあります - 楕円形、双曲線、放物線。角柱も円柱の一種と考えられます。

図 2 は傾斜した円柱を示しています。中心 O と O 1 を持つ円がそのベースです。

円柱の半径はその底面の半径です。円柱の高さは、底面間の距離です。円柱の軸は、底面の中心を通る直線です。発電機と平行です。円筒の軸を通る平面による円筒の断面を軸断面といいます。直線円筒の母線を通り、この母線を通って描かれた軸断面に垂直な平面を円筒の接平面と呼びます。

円筒の軸に垂直な平面は、底部の円周に等しい円に沿って側面と交差します。

円柱に内接する角柱とは、円柱の底面に内接する等しい多角形を底辺とする角柱のことです。その横方向のエッジは円柱の母線です。角柱は、その底面が円柱の底面付近で外接する等しい多角形である場合、円柱の近くで外接していると言われます。その面の平面は円柱の側面に接触します。

円柱の側面の面積は、母線の長さに、母線に垂直な平面による円柱の断面の周囲長を乗じることによって計算できます。

直円柱の側表面積は展開図から求めることができます。円柱の展開図は、高さ h、長さ P の長方形になります。長さは底辺の周囲と同じです。したがって、円柱の側面の面積はその展開面積に等しく、次の式で計算されます。

特に、直円柱の場合:

P = 2πR、Sb = 2πRh。

円柱の総表面積は、その側面と底面の面積の合計に等しくなります。

真っ直ぐな円柱の場合:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

傾斜した円柱の体積を求める公式は 2 つあります。

母線の長さに、母線に垂直な平面での円柱の断面積を掛けることで、体積を求めることができます。

傾斜した円柱の体積は、底面の面積と高さ（底面が存在する平面間の距離）の積に等しくなります。

V = Sh = S l sin α、

ここで、l は母線の長さ、α は母線と底面との間の角度です。直円柱の場合、h = l。

円柱の体積を求める公式は次のとおりです。

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h、

ここで、d は底部の直径です。

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科学の名前「幾何学」は「地球の測定」と訳されます。それは、古代の最初の土地測量士たちの努力によって生まれました。そして、それは次のように起こりました。神聖なナイル川の洪水の間、水の流れが時々農民の区画の境界を洗い流し、新しい境界は古い境界と一致しない可能性があります。税金は、割り当てられた土地の規模に応じて農民によってファラオの国庫に支払われました。流出後、特別な人々が新しい境界内の耕作可能な土地の面積を測る作業に従事した。彼らの活動の結果として、古代ギリシャで開発された新しい科学が生まれました。そこで彼女は名前を受け取り、実際に習得しましたモダンな外観。将来、この用語は平面および立体の科学を表す国際名になりました。

面積測定は、平面図形の研究を扱う幾何学の分野です。科学のもう 1 つの分野は、空間 (体積) 図形の特性を考慮する立体測定です。この記事で説明するシリンダーもそのような図に属します。

日常生活の中に円筒形の物体が存在する例はたくさんあります。シャフト、ブッシュ、ネック、車軸などの回転のほぼすべての部品は、円筒形 (まれに円錐形) の形状をしています。シリンダーは、塔、支柱、装飾柱などの建設に広く使用されています。さらに、皿、いくつかの種類の包装、さまざまな直径のパイプ。そして最後に、長い間男性の優雅さの象徴となっている有名な帽子です。リストは無限にあります。

幾何学的図形としての円柱の定義

円柱（円柱）は通常、2 つの円からなる図形と呼ばれ、必要に応じて平行移動を使用して結合されます。これらの円が円柱の基礎となります。ただし、対応する点を結ぶ線（直線）を「ジェネレーター」と呼びます。

円柱の底面が常に等しく (この条件が満たされない場合、目の前に円錐台があり、円柱ではなく他のものになります)、平行な面にあることが重要です。円上の対応する点を結ぶ線分は平行で等しいです。

ジェネレーターの無限セットの全体は、特定の幾何学的図形の要素の 1 つである円柱の側面にすぎません。もう 1 つの重要なコンポーネントは、上で説明した円です。それらは塩基と呼ばれます。

シリンダーの種類

最も単純で最も一般的なタイプのシリンダーは円形です。それはベースとして機能する 2 つの正円によって形成されます。しかし、それらの代わりに他の人物が存在する可能性があります。

円柱の底面は、(円を除く) 楕円やその他の閉じた図形を形成できます。ただし、円筒は必ずしも閉じた形状である必要はありません。たとえば、放物線、双曲線、またはその他の開関数は、円柱の底面として機能します。このようなシリンダーは開いているか、展開されています。

基部に対する母線の傾斜角度に応じて、円柱は真っ直ぐになったり、傾いたりすることがあります。直円柱の場合、ジェネレーターはベースの平面に対して厳密に垂直です。この角度が 90°と異なる場合、シリンダーは傾いています。

回転面とは何ですか

直円柱は間違いなく、エンジニアリングで使用される最も一般的な回転面です。技術的な指示に従って、円錐形、球面、およびその他のタイプの表面が使用される場合がありますが、すべての回転シャフト、車軸などの 99% に使用されます。円柱の形で作られています。回転面とは何かをよりよく理解するために、円柱自体がどのように形成されるかを考えることができます。

線があるとしましょうある縦に置きます。 ABCD は長方形で、その辺の 1 つ (線分 AB) が直線上にあります。ある。図に示すように、直線の周りで長方形を回転させると、回転中に占める体積が回転体、つまり高さ H = AB = DC、半径 R = AD = BC の直円柱になります。

でこの場合、図形 - 長方形 - 円柱の回転の結果として、円柱が得られます。三角形を回転すると円錐が得られ、半円を回転するとボールなどが得られます。

シリンダー表面積

通常の直円柱の表面積を計算するには、底面と側面の面積を計算する必要があります。

まず、側面積の計算方法を見てみましょう。これは円周と円柱の高さの積です。円周は、普遍数の積の 2 倍に等しくなります。 P円の半径まで。

円の面積は積に等しいことが知られています P半径の二乗まで。したがって、側面の面積を求める式に、底面の面積の式の 2 倍 (2 つあります) を追加し、簡単な代数変換を行うと、最終的な式が得られます。シリンダーの表面積。

図形の体積を決定する

円柱の体積は、標準的なスキームによって決定されます。つまり、ベースの表面積に高さを掛けます。

したがって、最終的な式は次のようになります。望ましい値は、体の高さと普遍数の積として定義されます。 Pそして底半径の二乗。

結果として得られる式は、最も予期せぬ問題の解決に適用できると言わなければなりません。例えば円柱の体積と同じように、電気配線の体積も決まります。これはワイヤの質量を計算するために必要になる場合があります。

式の唯一の違いは、1 つの円柱の半径の代わりに、配線コアの直径が 2 つに分割され、ワイヤ内のコアの数が式に現れることです。 N。また、高さの代わりにワイヤの長さが使用されます。したがって、「シリンダー」の体積は、1本ではなく、編組内のワイヤーの数によって計算されます。

実際にはこのような計算が必要になることがよくあります。結局のところ、水タンクの重要な部分はパイプの形で作られています。そして、家庭でもシリンダーの体積を計算する必要があることがよくあります。

ただし、すでに述べたように、シリンダーの形状は異なる場合があります。また、場合によっては、傾斜した円柱の体積が何に等しいかを計算する必要があります。

違いは、ベースの表面積が、直円柱の場合のように母線の長さではなく、平面間の距離、つまり平面間に構築される垂直セグメントによって乗算されることです。

図から分かるように、このようなセグメントは、母線の長さと、平面に対する母線の傾斜角の正弦との積に等しい。

シリンダースイープの作成方法

場合によっては円筒リーマの切り出しが必要となります。下の図は、特定の高さと直径の円柱を製造するためにブランクを構築するためのルールを示しています。

図は継ぎ目なしで示されていることに注意してください。

ベベルシリンダーの違い

片側が発電機に垂直な平面で囲まれた真っ直ぐな円柱を想像してみましょう。しかし、円柱の反対側の境界を成す平面は、発電機に対して垂直ではなく、最初の平面とも平行ではありません。

この図は、面取りされた円柱を示しています。飛行機あジェネレータに対して 90° 以外の角度で図と交差します。

この幾何学的形状は、実際にはパイプライン接続 (エルボ) の形でより一般的です。しかし、面取りされた円筒の形で建てられた建物さえあります。

ベベルシリンダーの幾何学的特徴

面取りされた円柱の平面の 1 つの傾斜により、そのような図形の表面積とその体積の両方の計算の順序がわずかに変わります。

立体測定を学ぶとき、主要なトピックの 1 つは「円柱」です。側表面積は、主要ではないにしても、幾何学的な問題を解決する上で重要な公式と考えられます。ただし、例をナビゲートするときやさまざまな定理を証明するときに役立つ定義を覚えておくことが重要です。

シリンダーの概念

まず、いくつかの定義を検討する必要があります。それらを研究した後でのみ、円柱の側面の面積の公式の問題を検討し始めることができます。このエントリに基づいて、他の式を計算できます。

円筒面は、移動して平行を保つ母線によって記述される平面です。与えられた方向既存の曲線に沿ってスライドします。
2 番目の定義もあります。円筒面は、特定の曲線と交差する一連の平行線によって形成されます。
母線は慣例的に円柱の高さと呼ばれます。ベースの中心を通る軸の周りを移動すると、指定された幾何学体が得られます。
軸とは、図の両底辺を通る直線です。
円柱は、交差する側面と 2 つの平行な平面によって境界が定められた立体的な物体です。

この 3 次元図形には次のような種類があります。

円形とは、ガイドが円である円筒を意味します。その主な構成要素は、底面の半径と母線です。後者は図の高さに等しい。
直筒があります。母線が図形の底面に対して垂直であることからその名前が付けられました。
3 番目のタイプはベベルシリンダーです。教科書では、「面取りされた基部を持つ円柱」という別の名前も見つけることができます。この数値は、ベースの半径、最小値、および最大高さ.
等辺円柱は、円形の平面の高さと直径が等しい物体として理解されます。

慣例

伝統的に、シリンダーの主要な「コンポーネント」は次のように呼ばれています。

底面の半径は R です (立体図の同様の値も置き換えられます)。
生成中 - L.
身長 - H.
ベース領域は S main です (つまり、指定された円パラメータを見つける必要があります)。
ベベルシリンダーの高さ - h 1、h 2 (最小および最大)。
側面の面積はS面になります（広げると長方形のような形になります）。
立体図形の体積は V です。
総表面積 - S.

立体図形の「構成要素」

円柱を研究する場合、側面の表面積が重要な役割を果たします。これは次の事実と関係しています。与えられた式他のいくつかにも含まれており、より複雑です。したがって、理論に精通している必要があります。

この図の主なコンポーネントは次のとおりです。

側面。ご存知のとおり、これは、特定の曲線に沿った母線の移動によって得られます。
完全な表面には、既存のベースと側面が含まれます。
円柱の断面は、原則として、図の軸に平行に配置された長方形です。それ以外の場合は、平面と呼ばれます。長さと幅は他の図形の一部のコンポーネントであることがわかります。したがって、条件付きで、セクションの長さはジェネレーターです。幅 - 立体図形の平行弦。
軸方向断面とは、本体の中心を通る平面の位置を意味する。
そして最後に、最終的な定義です。接線は、円柱の母線を通り、軸方向の断面に直角な平面です。この場合、1 つの条件を満たす必要があります。指定した母線は軸断面の平面に含まれている必要があります。

シリンダーを操作するための基本公式

円柱の表面積を見つける方法という質問に答えるためには、立体図形の主な「コンポーネント」とそれらを見つけるための公式を研究する必要があります。

これらの式は、最初に面取りされた円柱の式が与えられ、次に真っ直ぐな円柱の式が与えられるという点で異なります。

壊れたソリューションの例

円柱の側面の面積を見つける必要があります。断面の対角線 AC = 8 cm が与えられます (さらに軸方向です)。母線に触れてみると、< ACD = 30°

解決。対角線と角度の値はわかっているので、この場合は次のようになります。

CD = AC*cos 30°。

コメント。三角 ACD、インチ具体例、長方形。これは、CD と AC を割った商 = 指定された角度のコサインであることを意味します。三角関数の値は特別な表で見つけることができます。

同様に、AD 値を見つけることができます。

AD = AC*sin 30°

ここで、次の公式を使用して望ましい結果を計算する必要があります。円柱の側面の面積は、「円周率」、図形の半径、およびその高さを乗算した結果の2倍に等しくなります。別の式も使用する必要があります：円柱の底の面積。これは、「円周率」に半径の 2 乗を乗算した結果と等しくなります。そして最後の公式は、総表面積です。これは、前の 2 つの領域の合計に等しくなります。