任意の断面（図 1.13）について、座標軸 z および y に対する慣性モーメントが既知であり、遠心慣性モーメント Izy も既知であるとします。 元の z 軸と y 軸に対してある角度で回転した 11 個の zy 軸の周りの慣性モーメントの依存関係を確立する必要があります (図 1.13)。 座標系の回転が反時計回りに発生する場合、角度は正であると見なされます。 与えられたセクション IzI について考えてみましょう。 この問題を解決するには、元の軸と回転軸のサイト dA の座標間の関係を見つけます。 図 1.13 から次のようになります。 三角形から三角形から これを考慮して、座標 y1 についても同様に次のようになります。 得られた依存関係 (1.23)、(1.24) と慣性モーメントの式を使用して、最終的に 1 が得られると考えます。セクション (1.8)、(1.9)、および (1.11) で、新しい (回転した) 軸 z1 および y1 に対する慣性モーメントを決定します。同様に、回転した軸に対する遠心慣性モーメント I は次の式で決定されます。依存関係 括弧を開けると、次の結果が得られます。 追加すると、相互に垂直な軸に対する慣性モーメントの合計は、回転しても変化せず、断面の極慣性モーメントに等しいことが得られます。 (1.26) から (1.27) を減算すると、式 (1.30) が得られます。これは、z、y 軸および z1、y1 軸周りの既知の慣性モーメントに基づいて、z 軸および y 軸周りの遠心慣性モーメントを計算するために使用できます。式 (1.29) は、複雑なセクションの慣性モーメントの計算を確認するために使用できます。 1.8. 断面の主軸と主慣性モーメント 角度が変化すると（図1.13参照）、慣性モーメントも変化します。 角度 0 のいくつかの値では、慣性モーメントが極端な値になります。 最大値と最小値を持つ軸方向慣性モーメントは、その断面の主軸方向慣性モーメントと呼ばれます。 アキシアル慣性モーメントが最大値と最小値を持つ軸が主慣性軸です。 一方、上で述べたように、主軸は、セクションの遠心慣性モーメントがゼロに等しい軸です。 任意の形状のセクションの主軸の位置を決定するには、I に関する一次導関数を取得し、それをゼロに等しくします。 ここで、この式は 2 つの軸の位置を決定します。そのうちの 1 つに対する軸方向慣性モーメントは次のとおりです。最大値、および他の値との相対値 - 最小値。 式 (1.31) は、(1.28) をゼロとみなすことによって得られることに注意してください。 式(1.31)で求めた角度の値を(1.31)に代入すると、 26) と (1.27) を計算し、変換後、断面の主軸方向慣性モーメントを決定する式が得られます。その構造において、この式は主応力を決定する式 (4.12) と似ています (セクション 4.3 を参照)。 。 IzI の場合、二次導関数の研究に基づいて、最大慣性モーメント Imax は z 軸に対してある角度で回転した主軸に対して発生し、最小慣性モーメントは主軸に対して発生するということになります。もう一方の主軸は角度 0 にあります。 II の場合、すべてが逆に変化します。 主な慣性モーメント Imax と I の値は、依存関係 (1.26) と (1.27) の値を代入することで計算することもできます。 この場合、問題は自動的に解決されます。どの主軸に対して最大の慣性モーメントが得られるのか、またどの軸に対して最小の慣性モーメントが得られるのかということです。 あるセクションの z 軸と y 軸に対する主中心慣性モーメントが等しい場合、このセクションではいず​​れかの中心軸が主軸となり、すべての主中心慣性モーメントが同じであることに注意する必要があります (円、正方形、六角形、正三角形など）。 これは、依存関係 (1.26)、(1.27)、および (1.28) から簡単に確立されます。 実際、あるセクションでは、z 軸と y 軸が主中心軸であり、さらに I. y であると仮定します。次に式 (1.26) と (1.27) から Izy, 1 が得られ、式 (1.28) から次のようになります。 11 e. 任意の軸がそのような図形の慣性の主中心軸であると確信しました。 1.9. 慣性半径の概念 任意の軸に対する断面の慣性モーメントは、断面積と特定の値の 2 乗の積として表すことができ、これを断面積の慣性半径と呼びます。 iz ─ z 軸を基準とした慣性半径。 次に、(1.33) から次のことがわかります: 慣性の主中心軸は慣性の主半径に対応します: 1.10。 抵抗モーメント 抵抗モーメントには、軸方向と極方向のモーメントがあります。 1. 軸方向抵抗モーメントは、特定の軸の周りの慣性モーメントと、この軸から断面の最も遠い点までの距離との比です。 z 軸に対する軸方向抵抗モーメント: および y 軸に対する軸方向抵抗モーメント: max ここで、ymax および zmax─ はそれぞれ、主中心軸 z および y からそれらから最も遠い点までの距離です。 計算では、主中心慣性軸と主中心モーメントが使用されるため、式 (1.36) および (1.37) の Iz および Iy は、断面の主中心慣性モーメントを意味します。 いくつかの単純なセクションの抵抗モーメントの計算を考えてみましょう。 1. 長方形 (図 1.2 を参照): 2. 円形 (図 1.8 を参照): 3. 管状環状セクション (図 1.14): 。 圧延セクションの場合、抵抗モーメントは品揃え表に記載されているため、決定する必要はありません (付録 24 ～ 27 を参照)。 2. 抵抗極モーメントは、極慣性モーメントと極からセクションの最遠点までの距離の比です (最大 30)。通常、セクションの重心が極と見なされます。 たとえば、円形の中実セクションの場合 (図 1.14): 管状の円形セクションの場合。 軸方向抵抗モーメント Wz および Wy は、純粋に幾何学的側面から、曲げ変形に対するロッド (ビーム) の抵抗を特徴付け、極方向抵抗モーメント W はねじれに対する抵抗です。

与えられた軸に対して回転した軸に対する任意の形状の図形の慣性モーメントを計算してみましょう。
斜めに (図4.14)

軸周りの慣性モーメントを考えます
そして
知られています。 任意のサイトを選んでみましょう
そしてその座標を座標系で表現します
そして
前の軸の座標を介して
そして
:

回転軸に対する図形の軸方向および遠心慣性モーメントを求めてみましょう。
そして
:

それを考慮すると、

;
そして
,

同様に、以下をインストールします。

遠心慣性モーメントは次の形式になります。

. (4.30)

軸モーメントを倍角のサインとコサインで表してみましょう。 これを行うために、次の関数を導入します。

. (4.31)

(4.31) を式 (4.27) と (4.28) に代入すると、次のようになります。

軸方向慣性モーメントの式 (4.32) と (4.33) を合計すると、次のようになります。

条件 (4.34) は、2 つの相互に垂直な軸に対する軸方向慣性モーメントの合計が不変である条件を表します。 互いに直交する 2 つの軸の周りの慣性軸モーメントの合計は、軸の回転角度に依存せず、一定の値です。以前は、この条件は、互いに直交する 2 つの軸の周りの軸方向慣性モーメントの合計が、これらの軸の交点の周りの極慣性モーメントの値に等しいということに基づいて得られていました。

慣性モーメントの方程式を勉強しましょう 極値まで上げて角度の値を見つけます 慣性モーメントが極値に達するとき。 これを行うには、慣性モーメントの一次導関数を取得します。 角度によって (式(4.32))、結果はゼロに等しくなります。 同時に入れます
.

(4.35)

（ ）内は軸に対して傾斜した軸周りの遠心慣性モーメントを表します。
斜めに 。 これらの軸に対して、遠心慣性モーメントはゼロです。

, (4.36)

これは、新しい軸が主軸であることを意味します。

主慣性軸は、遠心慣性モーメントがゼロである軸であることが以前に決定されていました。 この定義は拡張できます。これらは、アキシアル慣性モーメントが中心となる軸です。 極端な価値観を持っている。 これらの軸の周りの慣性モーメントは次のように呼ばれます。 主な慣性モーメント.

慣性主軸の位置を求めてみましょう。 式 (4.36) から次のことが得られます。

. (4.37)

結果として得られる式は角度を求めます。 2つの意味: そして
.

したがって、慣性モーメントが極値を持つ 2 つの相互に垂直な軸が存在します。 上で述べたように、そのような軸は主慣性軸と呼ばれます。 どの軸に関して慣性モーメントが最大値に達し、どの軸に関して慣性モーメントが最小値に達するかを確立する必要があります。 この問題は、角度に関する式 (4.32) の 2 次導関数を調べることで解決できます。 。 角度の値を二次導関数の式に代入する または
そして、二次導関数の符号を調べることによって、どの角度が慣性モーメントの最大に対応し、どの角度が最小に対応するかを判断できます。 以下は、明確な角度値を与える式です。 .

慣性モーメントの極値を求めてみましょう。 これを行うには、式 (4.32) を括弧から取り出して変換します。
:

三角法で知られる関数を使用し、それに式 (4.37) を代入すると、次のようになります。

. (4.39)

式 (4.39) を式 (4.38) に代入し、必要な計算を実行すると、軸の傾斜角を含まない極端な慣性モーメントの 2 つの式が得られます。 :

; (4.40)

. (4.41)

式 (4.40) と (4.41) から、主慣性モーメントの値が軸に対する慣性モーメントによって直接決定されることは明らかです。
そして
。 したがって、主軸自体の位置を知らなくてもそれらを決定できます。

慣性モーメントの極値を知る
そして
式 (4.37) に加えて、慣性主軸の位置を決定することができます。

角度を求めることを可能にする導出なしの公式を提示します。 そして 軸の間
そして主軸：

;
(4.42)

コーナー 慣性モーメントが最大値に達する軸の位置を決定します (
）、 コーナー 慣性モーメントが最小値に達する軸の位置を決定します (
).

断面の回転半径と呼ばれる別の幾何学的特性を紹介しましょう。 この特性は文字で指定されます。 軸に対して相対的に計算できます
そして
次の方法で:

;
(4.43)

慣性半径は材料の強度の問題で広く使用されており、その応用についてはコースの次のセクションで説明します。

軸の回転を考慮し、断面の回転半径を使用した構造計算の例をいくつか考えてみましょう。

例4.7。主軸に対する長方形断面の慣性モーメントはそれぞれ等しい
センチメートル4、
センチメートル4。 45 0 で回転すると、新しい軸に対する慣性モーメントは同じであることがわかりました。 サイズはどれくらいですか?

この問題を解決するには、主軸に対する遠心慣性モーメントがゼロに等しいという事実を考慮して、式 (4.28) を使用します。

慣性モーメントと軸の回転角度の数値を式 (a) に代入してみましょう。

例4.8。同じ面積を持つ図形 (図 4.15) の中で、軸に対する回転半径があるのはどれですか? 、最強になるでしょうか？ 軸に対するセクションの最大回転半径を決定します。 .

1. 各図形の面積とセクションの寸法を求めます。 3 番目の図の図の面積は cm 2 に等しくなります。

最初のセクションの直径は次の式から求められます。

cm。

正方形の辺のサイズ:

三角形のベース:

cm。

2. 中心軸に対する各セクションの慣性モーメントと慣性半径を求めます。 .

円形セクションの場合:

センチメートル4;
cm。

正方形のセクションの場合:

センチメートル4;
cm。

長方形のセクションの場合:

;

三角形のセクションの場合:

センチメートル4;
cm。

最大の回転半径は長方形の断面の場合であることが判明し、それは次の値に等しくなります。
cm。

主軸と主慣性モーメント

座標軸を回転させると遠心慣性モーメントの符号が変わるため、遠心モーメントがゼロとなる軸の位置が存在します。

断面の遠心慣性モーメントが消滅する軸を次のように呼びます。主軸 、断面の重心を通過する主軸は次のとおりです。セクションの主慣性中心軸.

セクションの主慣性軸の周りの慣性モーメントは次のように呼ばれます。断面の主慣性モーメントで表されます I1 と I2 (I1>I2) 。 通常、主モーメントについて話す場合、主慣性中心軸の周りの軸方向慣性モーメントを意味します。

軸があると仮定しましょう u と v がメインです。 それから

ここから

.

(6.32)

式 (6.32) は、元の座標軸に対する特定の点におけるセクションの主慣性軸の位置を決定します。 座標軸を回転させると、軸方向の慣性モーメントも変化します。 軸方向慣性モーメントが極値に達する軸の位置を見つけてみましょう。 これを行うには、次の 1 次導関数を取得します。アイユ by α そしてそれをゼロに設定します。

ここから

.

この条件は同じ結果をもたらします dIv/dα。 最後の式を式 (6.32) と比較すると、主慣性軸は、断面の軸方向慣性モーメントが極値に達する軸であるという結論に達します。

主な慣性モーメントの計算を簡略化するために、関係式 (6.32) を使用して式 (6.29) ～ (6.31) から三角関数を除外して変換します。

.

(6.33)

根号の前のプラス記号は、より大きな値に対応します。 I1 、マイナス記号の方が小さい I2 セクションの慣性モーメントから。

主軸に対する軸方向慣性モーメントが同じであるセクションの重要な特性の 1 つを指摘しましょう。 軸があると仮定しましょう y と z がメイン (Iyz =0)、Iy = Iz 。 次に、式 (6.29) ～ (6.31) に従って、軸の任意の回転角度に対して、α 遠心慣性モーメント Iuv =0、軸方向 Iu = Iv。

したがって、主軸を中心としたセクションの慣性モーメントが同じである場合、セクションの同じ点を通過するすべての軸が主軸となり、これらすべての軸を中心とした軸方向の慣性モーメントは同じになります。 Iu=Iv=Iy=Iz。 この性質は、例えば四角形、円形、環状の断面が持つ。

式 (6.33) は主応力の式 (3.25) に似ています。 したがって、主な慣性モーメントはモールの方法によってグラフで決定できます。

座標軸回転時の慣性モーメントの変化

座標軸系が与えられ、慣性モーメントが既知であると仮定します。イズ、アイ、そしてアイジー これらの軸に対する相対的な数値。 座標軸をある角度だけ回転させてみましょうα 反時計回りに回転させて、新しい座標軸に対する同じ図形の慣性モーメントを決定しますあなたとv。

米。 6.8.

図より 6.8 両方の座標系の任意の点の座標は次の関係によって相互に関連付けられるということになります。

慣性モーメント

したがって、

	(6.29)
	(6.30)

遠心慣性モーメント

.

(6.31)

結果として得られる方程式から、次のことが明らかです。

,

つまり、座標軸を回転させるときの軸方向慣性モーメントの合計は一定のままです。 したがって、任意の軸に対して慣性モーメントが最大値に達すると、それに垂直な軸に対して慣性モーメントは最小値になります。

慣性モーメントを計算してみましょう J u、J v、J uv:

最初の 2 つの式 (3.14) を追加すると、次のようになります。 ジュ + Jv= ジェイズ+ ジェイ、つまり 相互に垂直な軸が回転しても、軸方向慣性モーメントの合計は一定値 (不変) のままです。

主軸と主慣性モーメント

機能を調べてみましょう ジュ(a) 極限まで。 これを行うには、導関数をゼロとみなします。 ジュ(a) aによる。

遠心慣性モーメントをゼロとみなすと、同じ式が得られます。

.

主軸とは、軸方向慣性モーメントが極値となり、遠心慣性モーメントがゼロとなる軸のことです。

平面上の任意の点を原点として、無限の数の主慣性軸を描くことができます。 材料の強度の問題を解決するには、 主な慣性中心軸。 主な慣性中心軸セクションの重心を通過します。

式 (3.17) は 90° 異なる 2 つの解を与えます。 元の軸に対する主慣性軸の傾斜角度の 2 つの値を決定できます。 どの軸に対して最大の軸方向慣性モーメントが得られますか? J 1 = J最大値、およびそれに対する相対値 – 最小値 J 2 = J min は、問題の意味に応じて解決する必要があります。

より便利なのは、主軸 1 と 2 の位置を明確に決定する他の公式です (導出なしで与えられます)。 この場合、正の角度は軸から測定されます。 オズ反時計回りに。

式 (3.19) の「+」記号は慣性モーメントの最大値、「-」記号は最小値に対応します。

コメント . 断面に少なくとも 1 つの対称軸がある場合、この軸およびそれに垂直な他の軸に対して、遠心慣性モーメントはゼロになります。主慣性軸の定義に従って、次のように結論付けることができます。 これらの軸は慣性の主軸です。 対称軸は常に主中心軸です。

品揃え、チャネル、または I ビームで示される対称プロファイルの場合、慣性の主な中心軸は垂直軸と水平軸となり、プロファイルの高さの半分で交差します。