関数の場合
ある点で微分可能 
,
その場合、その増分は 2 つの項の合計として表すことができます。
。 これらの項は、次の無限小関数です。 
.最初の項は次に関して線形です。 
、2 番目は以下よりも無限小高次です。 
。本当に、
.
したがって、第 2 学期は、 
より速くゼロになる傾向があり、関数の増分を見つけるとき 
第一期が主役 
または（なぜなら 
)
.
意味
.
関数インクリメントの主要部
時点で 
、に関して線形
,差動と呼ばれる
機能
この時点で、次のように示されますダイまたはDF(バツ)
. (2)
したがって、次のように結論付けることができます。 独立変数の微分はその増分と一致します。つまり、 
.
関係 (2) は次の形式になります。
(3)
コメント 。 式 (3) は、簡潔にするために次の形式で記述されることがよくあります。
(4)
微分の幾何学的意味
微分可能関数のグラフを考えてみましょう 
。 ポイント 
関数のグラフに属します。 時点で M接線 に軸の正の方向との角度が関数のグラフに 
で表す 
。 まっすぐに描こう ミネソタ州
軸に平行 牛
そして 
軸に平行 オイ。 関数の増分はセグメントの長さに等しい 
。 直角三角形から 
、 その中で 
、 我々が得る
上記の推論により、次の結論が得られます。
関数微分
時点で 
は、この関数のグラフの対応する点における接線の縦軸の増分によって表されます。 
.
微分と微分の関係
式(4)を考えてみましょう
.
この等式の両辺を次のように割ります。 DX、 それから
.
したがって、 関数の微分値は、その微分値と独立変数の微分値の比に等しい.
たいていこういう態度 
単に関数の導関数を表す記号として扱われます。 で引数による バツ.
導関数の便利な表記法も次のとおりです。
,
等々。
エントリも使用されます
,
,
複雑な式の導関数を取得する場合に特に便利です。
2. 和、積、商の微分。
微分は、微分に独立変数の微分を乗算することによって微分から得られるため、基本的な初等関数の微分と微分を求めるための規則を知っていれば、微分を求めるための同様の規則にたどり着くことができます。
1 0 . 定数の微分はゼロです
.
2 0 . 有限数の微分可能な関数の代数和の微分は、これらの関数の微分の代数和に等しい
3 0 . 2 つの微分可能な関数の積の微分は、最初の関数の積、2 番目と 2 番目の関数の微分、および最初の関数の微分の和に等しい。
.
結果. 定数係数は微分値の符号から取り出すことができます。
.
例。 関数の微分を求めます。
解決策: この関数を次の形式で記述します。
,
それから私たちは得ます
.
4. パラメトリックに与えられた関数とその微分。
意味
.
関数 
両方の変数が指定された場合にパラメータ的に呼び出されます バツ そして
で
同じ補助変数 (パラメーター) の単一値関数としてそれぞれ個別に定義されます。t:
どこt範囲内で変化します 
.
コメント
。 関数のパラメトリック割り当ては、理論力学で広く使用されています。 t
は時間を表し、方程式は 
移動点の投影における変化の法則です 
車軸上 
そして 
.
コメント 。 円と楕円のパラメトリック方程式を提示します。
a) 原点と半径を中心とする円 r にはパラメトリック方程式があります。
どこ 
.
b) 楕円のパラメトリック方程式を書いてみましょう。
どこ 
.
パラメータを除外することで t 検討中の直線のパラメトリック方程式から、それらの正準方程式に到達できます。
定理
。 関数の場合 引数からの y
x は次の方程式によってパラメトリックに与えられます。 
、 どこ 
そして 
微分可能t機能と 
、 それ
.
例。 関数の導関数を求める でから バツパラメトリック方程式で与えられます。
解決。 
.
24.1。 関数微分の概念
関数 y=f(x) が点 x でゼロ以外の導関数を持つとします。
次に、関数、その極限、および無限に小さい関数の接続に関する定理に従って、D y / D x \u003d ƒ "(x) + α、ここで、α → 0 for ∆x → 0、または∆y \u003d ƒ" (x) ∆х+α ∆х。
したがって、関数 ∆у の増分は 2 つの項 ƒ "(х) ∆х と a ∆х の合計であり、これらは ∆x→0 で無限小になります。この場合、最初の項は次の無限に小さい関数です。 ∆х と同じ順序です。 
第 2 項は、Δx より高次の無限に小さい関数です。
したがって、最初の項 ƒ "(x) ∆x は次のように呼ばれます。 増分の主要部分関数∆у。
関数微分点 x での y \u003d ƒ (x) は、その増分の主要部分と呼ばれ、関数の導関数と引数の増分との積に等しく、dу (または dƒ (x)) で表されます。
dy \u003d ƒ "(x) ∆x。(24.1)
微分 dy とも呼ばれます。 一次微分。独立変数 x の微分、つまり関数 y=x の微分を求めてみましょう。
y"=x"=1 であるため、式 (24.1) によれば、dy=dx=Δx になります。つまり、独立変数の微分はこの変数の増分、dx=Δx に等しくなります。
したがって、式 (24.1) は次のように書くことができます。
dy \u003d ƒ "(x) dx、(24.2)
言い換えれば、関数の微分は、この関数の微分と独立変数の微分の積に等しいということです。
式(24.2)から、等価dy / dx \u003d ƒ "(x)が続きます。ここで、指定は次のようになります。
微分値 dy/dx は、微分値 dy と dx の比として見ることができます。
<< Пример 24.1
関数 ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) の微分を求めます。
解決策：式dy \u003d ƒ "(x) dxに従って、私たちは見つけます
dy \u003d（3x 2 -sin（l + 2x））「dx \u003d（6x-2cos（l + 2x））dx。
<< Пример 24.2
関数の微分を求める
x=0、dx=0.1でdyを計算します。
解決：
x=0 と dx=0.1 を代入すると、次のようになります。
24.2。 関数の微分の幾何学的意味
微分の幾何学的意味を調べてみましょう。
これを行うには、関数 y \u003d ƒ (x) のグラフに点 M (x; y) で接線 MT を描き、点 x + ∆x に対するこの接線の縦座標を考慮します (図 138 を参照) ）。 図 1/2 AM1/2 =Δx、|AM 1 |=Δy です。 直角三角形 MAB から、次のようになります。
ただし、導関数の幾何学的意味によれば、tga \u003d ƒ "(x)。したがって、AB \u003d ƒ" (x) Δx。
式 (24.1) で得られた結果を比較すると、dy=AB が得られます。つまり、点 x における関数 y=f(x) の微分は、関数のグラフの接線の縦軸の増分に等しいです。この時点で、x は増分 Δx を受け取ります。
これが微分の幾何学的意味です。
24.3 基本微分定理
微分に関する主な定理は、関数の微分と微分の間の関係 (dy=f"(x)dx)、および微分に関する対応する定理を使用して簡単に取得できます。
たとえば、関数 y \u003d c の導関数はゼロに等しいため、定数値の微分はゼロに等しくなります: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0。
定理24.1。 2 つの微分可能な関数の和、積、商の微分は、次の式で定義されます。
たとえば、2 番目の式を証明してみましょう。 差分の定義により、次のようになります。
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
定理24.2。複素関数の微分は、中間引数に関するこの関数の微分と、この中間引数の微分の積に等しくなります。
y=f(u) と u=φ(x) を、複素関数 y=f(φ(x)) を形成する 2 つの微分可能な関数とする。 複合関数の導関数に関する定理により、次のように書くことができます。
y" x = y" u u" x 。
この等式の両方の部分に dx を掛けると、y "x dx \u003d y" u u "x dx がわかります。ただし、y" x dx \u003d dy と u "x dx \u003d du。したがって、最後の等式は次のように書き換えることができます。以下に続きます:
dy=y「う、う、う。
式 dy=y "x dx と dy=y" u du を比較すると、関数 y=f(x) の 1 階微分は、その引数が独立変数であるかどうかに関係なく、同じ式によって決定されることがわかります。別の引数の関数。
この微分の性質を一次微分の形の不変性（不変性）といいます。
式dy \u003d y "x dxの外観は式dy \u003d y" u duと一致しますが、それらの間には根本的な違いがあります。最初の式では、xは独立変数であるため、dx \u003d ∆x、 2 番目の式には x の関数があるため、一般的に言えば、du≠∆u です。
微分の定義と微分に関する基本定理を利用すると、微分の表を微分の表に簡単に変換できます。
例: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4。 微分テーブル
24.5。 微分を近似計算に適用する
すでに知られているように、点 x における関数 y=ƒ(х) の増分 ∆у は、 ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х (α→0 は ∆х→0 となります) と表すことができます。または dy+α ∆x ∆x より高次の微小 α ∆x を破棄すると、近似等式が得られます。
∆у≈dy、(24.3)
さらに、この等式は、Δx が小さいほど正確になります。
この等式により、微分可能な関数のおおよその増分を高い精度で計算することができます。
通常、微分は関数の増分よりもはるかに簡単に求められるため、式 (24.3) は計算の実践で広く使用されています。
<< Пример 24.3
x \u003d 2 および ∆x \u003d 0.001 の関数 y \u003d x 3 -2x + 1 の増分の近似値を見つけます。
解決策: 式 (24.3) を適用します: ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х。
つまり、∆у» 0.01。
関数の増分ではなく微分を計算することでどのような誤差が生じるかを見てみましょう。 これを行うには、 ∆у を求めます。
Δy \u003d ((x + Δx) 3 -2 (x + Δx) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + ( Δx ) 3 -2x-2 Δx + 1-x 3 + 2x-1 \u003d Δx (3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2 -2);
絶対近似誤差は次のようになります。
|∆у-dy|=|0.010006-0.011=0.000006。
等式 (24.3) に値 ∆у と dy を代入すると、次のようになります。
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х。 (24.4)
式(24.4)は関数の近似値を計算するために使用されます。
<< Пример 24.4
約 arctg(1.05) を計算します。
解決策: 関数 ƒ(х)=arctgx を考えてみましょう。 式 (24.4) によれば、次のようになります。
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
つまり 
x+Δx=1.05 なので、x=1 および Δx=0.05 の場合、次のようになります。
式 (24.4) の絶対誤差は値 M (Δx) 2 を超えないことがわかります。ここで、M はセグメント [x;x+Δx] 上の |f"(x)| の最大値です。
<< Пример 24.5
月面での自由落下では、落下開始から 10.04 秒以内に物体はどのくらいの距離を移動しますか。 物体の自由落下方程式
H \u003d g l t 2 /2、g l \u003d 1.6 m / s 2。
解決策: H(10,04) を見つける必要があります。 近似式（ΔH≈dH）を使用します。
H(t+Δt)≈H(t)+H"(t) Δt。t=10 秒およびΔt=dt=0.04 秒で、H"(t)=g l t が得られます。
タスク (独立したソリューションの場合)。質量 m=20 kg の物体は、速度 ν=10.02 m/s で運動します。 体の運動エネルギーを近似的に計算します。
24.6。 高次微分
y=ƒ(x) を微分可能な関数とし、その引数 x を次のようにします。 独立変数。したがって、その最初の微分 dy=f"(x)dx も x の関数であり、この関数の微分を求めることができます。
関数 y=ƒ(x) の微分をと呼びます。 彼女の二番目の差分（または 2 次微分）、d 2 y または d 2 ƒ(x) で表されます。
したがって、定義により、d 2 y=d(dy) となります。 関数 y=ƒ(x) の 2 階微分の式を求めてみましょう。
dx=Δx は x に依存しないため、微分するときに dx が定数であると仮定します。
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 つまり 。
d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)
ここで、dx 2 は (dx) 2 を表します。
3 次微分も同様に定義および求められます。
d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.
そして、一般に、n 次の微分は (n-1) 次の微分の微分です: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n 。
したがって、特に n=1,2,3 の場合、
それぞれ次のようになります:
つまり、関数の導関数は、対応する次数の微分と独立変数の微分の対応するべき乗の比として見ることができます。
上記の式はすべて、x が独立変数の場合にのみ有効であることに注意してください。 関数 y \u003d ƒ (x) の場合、x - 他の独立変数の関数の場合、2 次以降の微分は形式不変性を持たず、他の式を使用して計算されます。 これを 2 階微分の例で示してみましょう。
積微分公式 (d(uv)=vdu+udv) を使用すると、次のようになります。
d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ã" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x 、つまり
d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x。 (24.6)
式 (24.5) と (24.6) を比較すると、複素関数の場合、2 次微分の公式が変化することがわかります。2 番目の項は ƒ "(x) d 2 x になります。
x が独立変数の場合、次のことが明らかです。
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
式 (24.6) は式 (24.5) に代入されます。
<< Пример 24.6
y=e 3x で x が独立変数の場合、d 2 y を求めます。
解決策: y"=3e 3x、y"=9e 3x であるため、式 (24.5) により d 2 y=9e 3x dx 2 が得られます。
<< Пример 24.7
y=x 2 および x=t 3 +1 で、t が独立変数の場合、d 2 y を求めます。
解決策: 式 (24.6) を使用します。
y"=2x、y"=2、dx=3t 2 dt、d 2 x=6tdt 2、
それ d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
別の解: y=x 2 、x=t 3 +1。 したがって、y \u003d (t 3 +1) 2. 次に、式 (24.5) によります。
d 2 y=y ¢¢ dt2、
ｄ ２ ｙ＝（３０ｔ ４ ＋１２ｔ）ｄｔ ２ 。
ディファレンシャル点 x における関数 y \u003d ƒ (x) は、その増分の主要部分と呼ばれ、関数の導関数と引数の増分との積に等しく、dу (または dƒ (x)) で表されます。 dy \u003d ƒ "(x) ∆x。
主な差動装置:
関数の微分には、微分と同様の特性があります。
- 定差動ゼロに等しい:
dc = 0、c = 定数。 - 微分可能関数の和の微分は項の微分の合計に等しい：
結果。 2 つの微分可能な関数が定数項によって異なる場合、それらの微分は次のようになります。
d(u+c) = du (c= const)。
- 製品差額 2 つの微分可能な関数の和は、最初の関数と 2 番目の関数の積と、2 番目の関数と最初の関数の積との積に等しくなります。
d(uv) = udv + vdu。
結果。 定数係数は微分値の符号から取り出すことができます。
d(cu) = cdu (c = const)。
- 商の差 2 つの微分可能な関数 u = u(x) および v = v(x) の u/v は次の式で定義されます。
- 独立変数の選択から微分の形式が独立しているという性質 (微分の形式の不変性): 関数の微分は、次のいずれかに関係なく、導関数と引数の微分の積に等しくなります。この引数は独立変数または別の独立変数の関数です。
高次の微分と微分。
ある関数の導関数をみましょう f微分可能。 次に、この関数の導関数の導関数は次のように呼ばれます。 二次導関数機能 fそして示される ふ」。 したがって、
ふ」(バツ) = (ふ」(バツ))" .
微分可能であれば ( n- 関数の 1) 階導関数 f、それから彼女 n-次導関数の導関数と呼ばれます ( n- 関数の 1) 階導関数 fそして示される f(n)。 それで、
f(n)(バツ) = (f(n-1)(バツ))" , n ϵ N, f(0)(バツ) = f(バツ).
番号 n呼ばれた デリバティブ注文.
ディファレンシャル n-番目の注文機能 fは微分 ( n- 同じ関数の 1) 次。 したがって、
dnf(バツ) = d(d n -1 f(バツ)), d 0 f(バツ) = f(バツ), n ϵ N.
もし バツが独立変数である場合、
DX= 定数と d 2 バツ = d 3 バツ = ... = dnx = 0.
この場合、式は有効です
dnf(バツ) = f (n) (バツ)(DX)n.
デリバティブ n基本初等関数から - 番目
公正な公式
関数の研究への導関数の応用。
関数の基本的な微分定理:
ロールの定理
機能させましょう f: [ある, b] → Rセグメント上で連続している [ ある, b] であり、このセグメント内に有限または無限の導関数があります。 さらに、 f(ある) = f(b）。 次に、セグメント内 [ ある, b] ポイントがあります ξ そのような ふ」(ξ ) = 0.
ラグランジュの定理
関数の場合 f: [ある, b] → Rセグメント上で連続している [ ある, b] であり、このセグメントの内部点に有限または無限の導関数があり、次のようになります。 f(b) - f(ある) = ふ」(ξ )(b - ある).
コーシーの定理
それぞれの機能があれば fそして g継続的に[ ある, b] に有限または無限の導関数があります。 ある, b[さらに、導関数が ぐ」(バツ) ≠ 0 by ] ある, b[、その場合、式は次のようになります
追加で必要な場合は、 g(ある) ≠ g(b)、次に条件 ぐ」(バツ) ≠ 0 は、より剛性の低いものに置き換えることができます。
両者は密接に関連しており、人類の科学技術活動の過程で生じるほぼすべての問題を解決するために、数世紀にわたって積極的に使用されてきました。
微分という概念の出現
彼は、（アイザック・ニュートンと並ぶ）微分積分の創始者の一人である有名なドイツの数学者ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって、微分とは何かを初めて説明しました。 これに先立って、数学者は 17 Art. は、既知の関数の無限に小さい「分割できない」部分という、非常にあいまいで曖昧なアイデアを使用しました。これは、非常に小さな定数値を表しますが、ゼロには等しくなく、関数の値が単純にそれ未満になり得ないものです。 ここから、関数の引数の微小増分と、後者の導関数を通じて表現される関数自体の対応する増分の概念を導入するまでのステップは 1 つだけでした。 そしてこのステップは、前述の二人の偉大な科学者によってほぼ同時に行われました。
ニュートンとライプニッツは、急速に発展する産業と技術が科学に投げかけた力学の緊急の実践的問題を解決する必要性に基づいて、機能の変化率（主に物体の動く機械的速度に関連したもの）を求めるための一般的な方法を作成しました。これにより、関数の導関数や微分などの概念が導入され、また、既知の (可変) 速度から移動距離を求める方法という逆問題を解くためのアルゴリズムも発見されました。積分という概念の出現につながりました。
ライプニッツとニュートンの研究では、微分が関数の増分 Δy の主要部分であり、引数 Δx の増分に比例し、これをうまく適用して次の値を計算できるという考えが初めて現れました。後者。 言い換えれば、彼らは、関数の増分が、微分関数の観点から (その定義領域内の) 任意の点で 0 として表現でき、Δx 自体よりもはるかに高速に表現できることを発見しました。
数学的解析の創始者によると、微分は関数の増分を表す式の最初の項にすぎません。 彼らは、数列の極限について明確に定式化された概念をまだ持っていなかったので、微分の値が Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) として関数の導関数になる傾向があることを直感的に理解しました。
主に物理学者であり、数学的装置を物理的問題の研究のための補助ツールと考えていたニュートンとは異なり、ライプニッツは、数学的量の視覚的で理解しやすい表記システムを含む、このツールキット自体により多くの注意を払いました。 関数dy \u003d y "(x) dx、引数dx、およびそれらの比率yの形での関数の導関数" (x) \u003d dy / dxの微分について一般に受け入れられている表記を提案したのは彼でした。
現代の定義
現代数学における微分とは何ですか? これは変数増分の概念と密接に関連しています。 変数 y が最初に値 y = y 1 をとり、次に y = y 2 をとる場合、その差 y 2 ─ y 1 は y の増分と呼ばれます。
増分は正の値になる場合があります。 負でゼロに等しい。 「増分」という単語は Δ で表され、表記 Δy (「デルタ y」と読みます) は y の増分を示します。 したがって、 Δу = y 2 ─ y 1 となります。
任意の関数 y = f (x) の値 Δу が Δу = A Δх + α として表すことができる場合、ここで A は Δх に依存しません。つまり、与えられた x に対して A = const であり、項 α は次のような傾向があります。 Δx自体よりもさらに速い場合、Δxに比例する最初の（「主」）項はy \u003d f (x)の微分であり、dyまたはdf (x)で示されます（「de y」、「de ef from x」と読みます） ")。 したがって、微分は、Δx に関する関数の増分の「主な」線形成分です。
機械的な解釈
s = f(t) を開始位置からの距離とします (t は移動時間)。 増分 Δs は時間間隔 Δt における点の経路であり、微分 ds = f "(t) Δt は、点が速度 f" (t) を維持した場合に同じ時間 Δt で移動したであろう経路です。 ) 時刻 t までに到達しました。 無限に小さい Δt の場合、仮想パス ds は真の Δs と無限小の値だけ異なり、Δt に関してより高い次数を持ちます。 時間 t での速度がゼロに等しくない場合、ds は点の小さな変位の近似値を与えます。
幾何学的解釈
直線 L をグラフ y = f(x) とします。 次に、Δ x \u003d MQ、Δy \u003d QM "（下図を参照）。接線 MN は、セグメント Δy を QN と NM の 2 つの部分に分割します。 1 つ目は Δх に比例し、QN = MQ∙tg (角度 QMN) = Δх f "(x) に等しくなります。つまり、QN は微分 dy です。
2 番目の部分 NM" は差 Δу ─ dy を与え、Δх→0 では NM" の長さは引数の増分よりもさらに速く減少します。つまり、その小ささのオーダーは Δх よりも高くなります。 検討中のケースでは、f "(x) ≠ 0 (接線が OX に平行ではない) の場合、線分 QM" と QN は等価です。 言い換えれば、NM" は合計増分 Δу = QM" よりも速く減少します (小さい順序は高くなります)。 これは図で見ることができます (M "が M に近づくにつれて、セグメント NM" がセグメント QM " に占める割合はますます小さくなります)。
したがって、グラフ的には、任意の関数の微分は、その接線の縦軸の増分の大きさに等しくなります。
微分と微分
関数の増分を表す式の最初の項の係数 A は、その導関数 f "(x) の値に等しい。したがって、次の関係が成立する - dy \u003d f" (x) Δx、または df (x) \u003d f "(x) Δx。
独立引数の増分はその微分 Δх = dx に等しいことが知られています。 したがって、次のように書くことができます： f "(x) dx \u003d dy。
微分の検出 (「解決」と呼ばれることもあります) は、導関数の場合と同じルールに従って実行されます。 それらのリストを以下に示します。
より普遍的なのは、引数の増分またはその微分です。
ここで、いくつかの説明が必要です。 x を引数として考慮すると、微分の値 f "(x) Δx による表現が可能です。ただし、関数は複素数になる可能性があり、x が引数 t の関数になる可能性があります。その場合、微分は次の式で表現されます。 f "(x) Δx は、原則として不可能です。 ただし、線形依存 x = at + b の場合は除きます。
式 f "(x) dx \u003d dy に関しては、独立した引数 x (その後 dx \u003d Δx) の場合、および t に対する x のパラメトリック依存の場合、それは微分を表します。
たとえば、式 2 x Δx は、y = x 2 について、x が引数であるときの微分を表します。 ここで、x= t 2 を設定し、t を引数として取りましょう。 すると、y = x 2 = t 4 となります。
この式は Δt に比例しないため、2xΔх は微分ではありません。 これは、方程式 y = x 2 = t 4 から求めることができます。 これは、dy=4t 3 Δt に等しいことがわかります。
式 2xdx を使用すると、任意の引数 t に対する微分 y = x 2 を表します。 実際、x= t 2 では、dx = 2tΔt が得られます。
これは、2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt、つまり、2 つの異なる変数で書かれた微分の式が一致したことを意味します。
インクリメントをディファレンシャルに置き換える
f "(x) ≠ 0 の場合、Δу と dy は等価です (Δх→0 の場合)。f "(x) = 0 (つまり dy = 0) の場合、それらは等価ではありません。
たとえば、y \u003d x 2の場合、Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2、およびdy \u003d 2xΔxとなります。 x=3 の場合、Δу = 6Δх + Δх 2 と dy = 6Δх になります。これは、Δх 2 →0 により等価ですが、x=0 では、値 Δу = Δх 2 と dy=0 は等価ではありません。
この事実は、微分構造の単純さ (つまり、Δx に対する線形性) とともに、小さな Δx に対して Δy ≈ dy であると仮定して、近似計算でよく使用されます。 通常、関数の微分を求めることは、増分の正確な値を計算するよりも簡単です。
たとえば、辺 x = 10.00 cm の金属立方体があります。加熱すると、辺は Δx = 0.001 cm だけ長くなります。立方体の体積 V はどのくらい増加しますか? V \u003d x 2があるため、dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3（cm 3）になります。 体積の増加 ΔV は差分 dV に相当するため、ΔV = 3 cm 3 となります。 完全に計算すると、ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 となります。 しかし、この結果では、最初の数値を除くすべての数値は信頼できません。 とにかく、3 cm 3 に切り上げる必要があります。
このようなアプローチは、導入された誤差の大きさを推定できる場合にのみ有用であることは明らかです。
関数微分: 例
微分を求めずに、関数 y = x 3 の微分を求めてみましょう。 引数をインクリメントして Δу を定義しましょう。
Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3)。
ここで、係数 A= 3x 2 は Δх に依存しないため、最初の項は Δх に比例しますが、Δх→0 における他の項 3xΔх 2 + Δх 3 は引数の増分よりも速く減少します。 したがって、項 3x 2 Δx は微分 y = x 3 です。
dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx または d (x 3) \u003d 3x 2 dx。
この場合、d(x 3) / dx \u003d 3x 2。
関数 y = 1/x の dy を導関数で求めてみましょう。 すると、 d(1/x) / dx = ─1/x 2 となります。 したがって、dy = ─ Δх/х 2 となります。
基本的な代数関数の微分を以下に示します。
微分を使用した近似計算
多くの場合、関数 f (x) とその導関数 f "(x) (x=a の場合) を計算するのは難しくありませんが、点 x=a の近くで同じことを行うのは簡単ではありません。近似式が役に立ちます
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
これは、微分 f "(a)Δх を通じて小さな増分 Δх で関数の近似値を与えます。
したがって、この式は、長さ Δx の区間の終点での関数の近似式を、この区間の始点 (x=a) での値と同じ始点での微分の和として与えます。 関数の値を決定するこの方法のエラーを次の図に示します。
ただし、x=a+Δх の関数の値の正確な式も既知であり、有限増分の公式 (つまり、ラグランジュの公式) によって与えられます。
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a)、
ここで、点 x = a + ξ は x = a から x = a + Δx までの線分上にありますが、その正確な位置は不明です。 正確な式により、近似式の誤差を推定することができます。 ラグランジュの公式に ξ = Δх /2 を代入すると、正確ではなくなりますが、通常は微分によって元の式よりもはるかに優れた近似が得られます。
微分を適用して数式の誤差を推定する
原則として、それらは不正確であり、対応する誤差が測定データに導入されます。 それらは、限界誤差、つまり限界誤差、つまり絶対値でこの誤差を明らかに超える (または少なくともそれに等しい) 正の数値によって特徴付けられます。 限界は、測定値の絶対値で割った商と呼ばれます。
正確な式 y= f (x) を使用して関数 y を計算しますが、x の値は測定結果であるため、y に誤差が生じます。 次に、関数 y の限界絶対誤差 │Δу│を見つけるには、次の式を使用します。
│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δх│、
ここで、│Δх│は引数の限界誤差です。 値 │Δу│ は切り上げられる必要があります。 不正確とは、増分の計算を差分の計算に置き換えることそのものです。
