復習と体系化を行い、一次および二次の微分方程式を用いて数理物理の問題を解く方法と、微分方程式の分類を考察します。 このアプローチにより、必要な最適条件を取得することが可能になりました。 自然科学の現象とプロセスの数学モデルは、多くの場合、1 次および 2 次の偏導関数を含む微分方程式を含む問題です。 物理学、技術力学に欠かせない微分方程式を数理物理の微分方程式といいます。 一次の準線形偏微分方程式を考慮します。 2 つの独立変数を持つ線形 2 次偏微分方程式を考慮します。 方程式の一般的な解を得るために、常微分方程式の特性系が考慮されます。 工学的および技術的問題を含むさまざまな応用問題の解決への微分方程式の適用の例が示されています。
解決方法
数理物理学
微分方程式
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目的の関数 u が 2 つの独立変数に依存する場合の数理物理の基本方程式は、次の 2 階の偏微分方程式です。
I. 波動方程式
この方程式は、双曲線型の 2 次の最も単純な偏微分方程式です。 弦の横振動とロッドの縦振動、音響振動、電磁振動、ガス振動などの問題は、このような方程式を解くことに帰着します。
II. 波動方程式
この方程式は最も単純な放物線型方程式です。 均質媒体中の熱伝播の問題、液体と気体のろ過、確率論の一部の問題などは、このような方程式を解くことに帰着します。
Ⅲ． ラプラス方程式
楕円型の最も単純な方程式を表します。 定常電場と定常磁場の特性、均質物体内の定常熱分布、流体力学、拡散などの問題は、この方程式を解くことに帰着します。
備考 1. 一般に、研究課題を設定するときは、物理現象は 1 次元、2 次元、3 次元である可能性があり、また定常的 (時間的に変化しない) であることを考慮する必要があります。
2 次元の波動方程式は次の形式になります。
これは、非圧縮性流体の膜と表面の振動を表します。
数理物理の方程式に帰着する特定の問題では、一般的な方程式ではなく、特定の問題の物理的考察と特徴から生じるいくつかの追加の特定の条件を満たす、方程式の特定の解が常に求められます。
これらの追加条件は次のとおりです。
a) 初期条件。通常、この現象の研究が始まる最初の瞬間 () に関連します。
b) 境界条件、つまり、検討中の媒体 (領域) の境界に指定された条件。その中に、それらによってコンパイルされた特定の微分方程式の解が配置されます。
初期条件と境界条件のセットは境界条件と呼ばれます。
初期条件の下で方程式の特定の解を見つけるタスクは、コーシー問題と呼ばれます。
初期条件と境界条件の両方が考慮される数理物理の問題は、混合問題 (一般コーシー問題) と呼ばれます。
数理物理の方程式を解くには、通常、次のものが使用されます。
a) ダランベール法（特性法）、
b) フーリエ法 (変数の分離方法)。
一次の準線形偏微分方程式を考えてみましょう。
. (1)
方程式 (1) の一般的な解を得るには、常微分方程式の特性系を考慮します。
c=0 の場合、システムは 1 つの方程式にまとめられます。
方程式の一般積分であれば、
共通の決定。
微分方程式自体には、説明されているプロセスに関する最も一般的な情報のみが含まれています。 具体化するには初期条件と境界条件を設定する必要があります。
二次の数理物理の微分方程式。 物理学における多くのプロセスや現象は 2 次偏微分方程式を使用して記述されます。これは、物理学の基本法則である保存則が 2 次導関数で記述されるという事実によるものです。
2 つの独立変数を持つ 2 次の線形偏微分方程式を考えてみましょう。
(3)
ここで、a、b、c は、2 次までの連続導関数を持つ x、y の関数です。
方程式 (3) を正準形式にするためには、いわゆる特性方程式 (4) を書く必要があります。
ここから 2 つの方程式が得られます。
;
そしてそれらの共通積分を見つけます。
一般に、n 個の独立変数を持つ放物線型の 2 次線形偏微分方程式は次のように記述できます。
,
放物線型の方程式は、時間に依存する非定常拡散、熱プロセスを記述します。
数理物理の方程式を解く方法
これらの方程式を解くすべての方法は、次の 2 つのグループに分類できます。
1. 還元に基づいて方程式を解く解析手法
2. 常方程式または常方程式系の偏微分方程式。
3. 数値解法 (コンピューターを使用)。
例: 初期条件を使用して、方程式 の解として関数 w=w(x,t) を求めます。ここで、a>0、a=const
.
解は偏導関数の方程式 (伝達方程式) です。
(1.1) の特性方程式は次の形式になります。
ここで、C は任意の定数です。 方程式 (1.1) の一般的な解は進行波の形になります。
(1.3) から、a が転送速度であることがわかります。 a > 0 なので、波は左から右に進みます。 初期条件を代入すると、次のようになります。
. (1.4)
我々が得る：
答え: 関数 
、与えられた初期条件の輸送方程式の解です。
書誌リンク
カランチュク I.V.、ポポフ N.I. 数理物理学の微分方程式 // 留学生科学速報。 - 2018. - No. 3-1 .;URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18212 (アクセス日: 09/10/2019)。 出版社「Academy of Natural History」が発行する雑誌を紹介します。
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同じ主題カテゴリの一連のジャーナルは、SJR に従ってランク付けされ、四分位と呼ばれる 4 つのグループに分けられます。 Q1 (緑) は最高スコアのジャーナルを結合し、Q2 (黄) - それらに続き、Q3 (オレンジ オレンジ) - SJR の 3 番目のグループ、Q4 (赤) - 最もスコアの低いジャーナルを結合します。
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SCImago ジャーナル ランク (SJR) 2018
SCImago Journal Rank (SJR) は、ジャーナルが受けた引用数と引用ジャーナルの評価を考慮したジャーナルの科学的影響の尺度です。
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範囲
微分方程式は、微分方程式と関連する積分方程式を専門とするジャーナルです。 このジャーナルはあらゆる国の著者によるオリジナルの論文を掲載しており、英語とロシア語での原稿も受け付けています。 このジャーナルのトピックには、常微分方程式、偏微分方程式、微分演算子のスペクトル理論、積分および積分微分方程式、差分方程式、および制御理論、数学的モデリング、シェル理論、情報学、振動理論におけるそれらの応用が含まれます。 このジャーナルは、ロシア科学アカデミーの数学部門およびナノテクノロジーおよび情報技術部門、ベラルーシ国立科学アカデミーの数学研究所と協力して発行されています。
インデックス作成と参照
Science Citation Index Expanded (SciSearch)、Journal Citation Reports/Science Edition、SCOPUS、INSPEC、Zentralblatt Math、Google Scholar、CNKI、現在の抄録、EBSCO Academic Search、EBSCO Advanced Placement Source、EBSCO Discovery Service、EBSCO STM Source、EBSCO TOC Premier、Gale、Gale Academic OneFile、Highbeam、Mathematical Reviews、Mechanical and Transportation Engineering Abstracts、 OCLC World Cat Discovery Service、ProQuest ABI/INFORM、ProQuest Advanced Technologies & Aerospace Database、ProQuest Business Premium Collection、ProQuest Central、ProQuest Civil Engineering Abstracts、ProQuest Computer and Information Systems Abstracts、ProQuest Computing Database、ProQuest India Database、ProQuest Materials Science & Engineering Database、ProQuest Research Library、ProQuest SciTech Premium Collection、ProQuest Technology Collection、ProQuest -ExLibris Primo、ProQuest-ExLibris 召喚。
微分方程式 (ジャーナル)
「微分方程式」- に特化した月刊数学雑誌 微分方程式関連する積分微分方程式、積分方程式、および有限差分の方程式。 発行元 1965年。 に含まれるもの 科学雑誌リスト VAK。 ジャーナルの英語版の名前: Differential Equations。
編集委員: A. V. アルチュノフ、F. P. ヴァシリエフ、I. V. ガイシュン、A. V. グリン、 S.V.エメリャノフ、N.A.イゾボフ、 S.K.コロビン(副編集長)、I. K. リファノフ、 E.F.ミシュチェンコ , E.I.モイセエフ , ユ・S・オシポフ、S. I. ポホジャエフ（副編集長）、N. Kh. ロゾフ、V. G. ロマノフ、 V.A.サドヴニチー、V.A.ソロニコフ、 F.L.チェルノスコ、T. K. シェミャキナ（副編集長、秘書）
リンク
ウィキメディア財団。 2010年。
他の辞書で「微分方程式 (ジャーナル)」が何であるかを確認してください。
I 微分方程式 必要な関数、さまざまな次数の導関数、および独立変数を含む方程式。 D.atの理論 17世紀末に誕生しました。 力学やその他の自然科学のニーズに影響を受け、…… ソビエト大百科事典
連続力学 ... ウィキペディア
基礎数学と応用数学 専門分野: 数学 言語: ロシア語 編集長: R. V. Gamkrelidze A. V. Mikhalev V. A. Sadovnichy 出版社: モスクワ州 ... ウィキペディア
数理科学科は、モスクワのヴォロビョヴィ・ゴリにあるロシア科学アカデミーの建物内にあります。
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