近似計算における一階微分。 近似計算における微分の適用

米。 4.2. スケジュール

米。 4.3. スケジュール

関数の垂直漸近線は、第 2 種不連続点 (ある点における関数の片側極限の少なくとも 1 つが無限であるか、存在しない)、またはその定義領域の端で検索する必要があります。
、 もし
– 有限の数。

関数の場合
は数直線全体で定義され、有限の制限があります
、 または
、次の方程式で与えられる直線
、は右手の水平漸近線であり、直線は
- 左側の水平漸近線。

有限の制限がある場合

そして
,

それならまっすぐです
は関数のグラフの傾斜漸近線です。 斜めの漸近線は右側になることもあります (
) または左利き (
).

関数
セットでは増加と呼ばれます
何かあれば
、 そのような >、不等式が成り立ちます:
>
(次の場合は減少します:
<
）。 たくさんの
この場合、関数の単調性区間と呼ばれます。

関数の単調性について次の十分条件が有効です: 集合内の微分可能な関数の導関数の場合
が正 (負) の場合、関数はこのセットで増加 (減少) します。

例4.5。与えられた関数
。 増加と減少の間隔を求めます。

解決。その導関数を見つけてみましょう
。 それは明らかです >0時 >3 および <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) (3;3 ずつ増加します)
).

ドット ポイントと呼ばれる 極大値（極小値）機能
、ポイントの近くにある場合 不平等が成立する
(
) 。 ある点の関数値 呼ばれた 最大値（最小値）。最大関数と最小関数は共通名で統一されています 極値機能。

機能のために
その時点で極値がありました この点での導関数がゼロに等しいことが必要です (
）または存在しませんでした。

関数の導関数がゼロに等しい点は、と呼ばれます。 定常機能ポイント。 静止点に関数の極値がある必要はありません。 極値を見つけるには、極値の十分条件を使用するなどして、関数の静止点をさらに調べる必要があります。

それらの 1 つ目は、静止点を通過する場合です。 左から右に、微分可能関数の導関数の符号がプラスからマイナスに変化し、その点で極大値に達します。 符号がマイナスからプラスに変わる場合、これは関数の最小点です。

調査対象の点を通過するときに導関数の符号が変化しない場合、この点には極値はありません。

静止点における関数の極値の 2 番目の十分条件では、関数の 2 次導関数が使用されます。
<0, тоが最大点であり、
>0 なら - 最低点。 で
=0 極値のタイプに関する質問は未解決のままです。

関数
呼ばれた 凸(凹)） セットで
、任意の 2 つの値の場合
不等式が成立します:

.

図4.4。 凸関数のグラフ

2 回微分可能関数の 2 階導関数の場合
集合内の正（負）
の場合、関数は集合上で凹(凸)になります。
.

連続関数のグラフの変曲点
関数の凸と凹の区間を分ける点をいいます。

二次導関数
変曲点における 2 回微分可能関数 ゼロに等しい、つまり
= 0.

ある点を通過するときの二次導関数の場合 符号が変わると、 はグラフの変曲点です。

関数を調べてそのグラフをプロットするときは、次のスキームを使用することをお勧めします。

ディファレンシャルの概念

機能させましょう y = f(バツ) は変数の値によって微分可能です バツ。 したがって、その時点で、 バツ有限導関数があります

次に、関数の極限の定義により、その差は

は における微小な値です。 等式 (1) からの関数の増分を表すと、次のようになります。

(2)

(値は に依存しません。つまり、 で一定の​​ままです)。

の場合、等式 (2) の右辺では、最初の項は に関して線形です。 したがって、いつ

それは と同じオーダーの小ささの無限小です。 第 2 項は、それらの比率がゼロになる傾向があるため、第 1 項よりも高次の小ささの無限小になります。

したがって、式 (2) の最初の項が関数の増分の主な比較的線形な部分であると彼らは言います。 が小さいほど、この部分が占める増分の割合は大きくなります。 したがって、小さな値の場合（および の場合）、関数の増分はその主要部分、つまり

関数の増分のこの主要部分は、次の点でのこの関数の微分と呼ばれます。 バツと示します

したがって、

(5)

したがって、関数の微分は、 y = f(バツ) は、その導関数と独立変数の増分との積に等しくなります。

コメント。 覚えておく必要があるのは、 バツ– 引数の初期値、

インクリメントされた値、次に微分式の導関数が開始点で取得されます。 バツ; 式 (5) では、これは記録から明らかですが、式 (4) ではそうではありません。

関数の微分は別の形式で書くことができます。

差動の幾何学的意味。 関数微分 y = f(バツ) は、この関数のグラフの点 ( バツ; y)、変化するとき バツ金額によって。

微分特性。 微分形状の不変性

この段落と次の段落では、各関数がその引数のすべての考慮された値に対して微分可能であると考えます。

微分には微分と同様の特性があります。

(Cは定数) (8)

(9)

(12)

式 (8) ～ (12) は、各等式の両辺に を乗算することにより、導関数の対応する式から得られます。

複素関数の微分を考えてみましょう。 複素関数としましょう:

ディファレンシャル

この関数は、複素関数の導関数の公式を使用して、次の形式で記述できます。

しかし、微分関数があるので、

(13)

ここで微分は式 (7) と同じ形式で書かれていますが、引数は独立変数ではなく関数です。 したがって、関数の微分をこの関数の微分とその引数の微分の積として表すことは、引数が独立変数であるか別の変数の関数であるかに関係なく有効です。 このプロパティはと呼ばれます 不変性微分形状の（不変性）。

式 (13) では を に置き換えることはできないことを強調します。

線形以外の関数の場合。

例2。関数の微分を書く

中間変数の微分と変数の微分の 2 つの方法で表現します。 バツ。 結果の式の一致を確認します。

解決。 入れましょう

差分は次の形式で書き込まれます。

この等式に代入すると

我々が得る

近似計算における微分の適用

最初の段落で確立されたおおよその等価性

微分を使用して関数値の近似計算を行うことができます。

近似等式をさらに詳しく書いてみましょう。 なぜなら

例 3.微分の概念を使用して、約 ln 1.01 を計算します。

解決。 数値 ln 1.01 は関数の値の 1 つです。 y= ログ バツ。 この場合の式 (15) は次の形になります。

したがって、

これは非常に良い近似値です: テーブル値 ln 1.01 = 0.0100。

例4.微分の概念を使用して近似的に計算します。

解決。 番号
関数値の 1 つです

この関数の導関数なので、

その場合、式 (15) は次の形式になります。

我々が得る

(表の値

).

数値の近似値を使用して、その精度の程度を判断できる必要があります。 この目的のために、その絶対誤差と相対誤差が計算されます。

近似数値の絶対誤差は、正確な数値とその近似値の差の絶対値に等しくなります。

近似数値の相対誤差は、この数値の絶対誤差と、対応する正確な数値の絶対値の比です。

4/3 を掛けると、次のようになります。

ルートのテーブル値を取得する

正確な数値については、式 (16) と (17) を使用して近似値の絶対誤差と相対誤差を推定します。

1 つの変数の関数の線形化と同様に、特定の点で微分可能な複数の変数の関数の値を近似的に計算する場合、その増分を微分で置き換えることができます。 したがって、次の式を使用して、複数 (たとえば 2 つ) の変数の関数の近似値を見つけることができます。

例。

近似値を計算する
.

機能を考えてみる
そして選択してください バツ 0 = 1, で 0 = 2. 次に、Δ x = 1.02 – 1 = 0.02; Δ y = 1.97 – 2 = -0.03。 見つけます
,

したがって、それを考慮すると、 f ( 1, 2) = 3 の場合、次のようになります。

複雑な関数の微分。

関数の引数を z = f (バツ, y) あなたそして v: バツ = バツ (あなた, v), y = y (あなた, v). それから関数 f からの機能もあります あなたそして v. 引数に関する偏導関数を求める方法を見てみましょう。 あなた そして v, 直接置換せずに

z = f (x(u, v), y(u, v))。この場合、検討中のすべての関数には、すべての引数に関して偏導関数があると仮定します。

引数を設定しましょう あなたインクリメント Δ あなた, 主張を変えずに v. それから

引数にのみインクリメントを設定した場合 v, 我々が得る： 。 (2.8)

等式 (2.7) の両辺を Δ で割ってみます。 あなた、および等式 (2.8) – Δ について vと Δ でそれぞれ限界まで移動します あなた→ 0とΔ v→ 0. 関数の連続性により、 バツそして で。 したがって、

いくつかの特殊なケースを考えてみましょう。

させて バツ = バツ(t), y = y(t). それから関数 f (バツ, y) 実際には 1 つの変数の関数です t式 (2.9) を使用し、その中の偏導関数を置き換えることが可能です。 バツそして でによる あなた そして vに関して通常のデリバティブに t(もちろん、関数が微分可能であるという条件で) バツ(t) そして y(t) ) の式を取得します。 :

(2.10)

今、次のように仮定しましょう t変数として機能します バツ、 あれは バツそして で関係によって関連付けられている y = y (x)。この場合、前のケースと同様に、関数 fは 1 つの変数の関数です バツ。式 (2.10) を使用すると、 t = バツ そしてそれを考慮すると
、わかりました

. (2.11)

この式には関数の 2 つの導関数が含まれているという事実に注目してみましょう。 f引数による バツ: 左側はいわゆる 合計導関数、右側のプライベートのものとは対照的です。

例。

次に、式 (2.9) から次が得られます。

(最終結果では、式を次のように置き換えます。 バツそして で関数として あなたそして v).

関数の完全導関数を見つけてみましょう z = 罪（ バツ + y²)、ここで y = コス バツ.

微分の形式の不変性。

式 (2.5) と (2.9) を使用して、関数の微分の合計を表します。 z = f (バツ, y) 、 どこ バツ = バツ(あなた, v), y = y(あなた, v), 変数の微分を通じて あなた そして v:

(2.12)

したがって、微分形式は引数に対して保存されます。 あなたそして vこれらの引数の関数と同じ バツそして で、つまり 不変(変更不可)。

暗黙の関数、その存在条件。 陰関数の微分。 偏導関数と高次の微分、その性質。

定義 3.1.関数 でから バツ、次の方程式で定義されます

F(x,y)= 0 , (3.1)

呼ばれた 暗黙的な関数.

もちろん、(3.1) の形式のすべての方程式が決定するわけではありません。 でのユニークな (そしてさらには継続的な) 機能として バツ。 たとえば、楕円の方程式は、

セット での二値関数として バツ:
のために

一意で連続的な陰関数が存在する条件は、次の定理によって決まります。

定理 3.1 （証拠はありません）。 次のようにしましょう:

a) 点の近傍 ( バツ 0 、y 0 ) 式 (3.1) は次のように定義します。 での単一値関数として バツ: y = f(バツ) ;

b) いつ x = x 0 この関数は値を受け取ります で 0 : f (バツ 0 ) = y 0 ;

c) 機能 f (バツ) 継続的な。

指定された条件が満たされる場合、関数の導関数を求めてみましょう。 y = f (バツ) による バツ.

定理3.2。 機能させましょう でから バツは式 (3.1) によって暗黙的に与えられます。ここで、関数 F (バツ, y) 定理 3.1 の条件を満たします。 さらに、
- 一部のエリアでの継続的な機能 D点を含む (x,y)、その座標は式 (3.1) を満たしており、この時点で
。 それから関数 でから バツ派生語があります

(3.2)

例。見つけます 、 もし
。 見つけます
,
.

次に、式 (3.2) から次が得られます。
.

高次の導関数と微分。

偏導関数 z = f (バツ, y) は変数の関数です バツそして で。 したがって、これらの変数に関する偏導関数を見つけることができます。 次のように指定しましょう。

したがって、4 つの 2 次偏導関数が得られます。 それぞれは次のように再び区別できます。 バツそしてによって でそして 3 次の 8 つの偏導関数を取得します。 高次の導関数を次のように定義しましょう。

定義 3.2.偏導関数n -番目の注文いくつかの変数の関数は、導関数の 1 次導関数と呼ばれます ( n– 1) 次の順序。

偏導関数には重要な特性があります。つまり、微分の結果は微分の次数に依存しません (たとえば、
）。 この文を証明してみましょう。

定理3.3。 関数の場合 z = f (バツ, y) とその偏導関数
点で定義され、連続している M(x,y)そしてその付近の一部では、そしてこの時点で

(3.3)

結果。 このプロパティは、任意の次数の導関数および任意の数の変数の関数に当てはまります。

関数増分の概算値

十分に小さい値の場合、関数の増分はその微分にほぼ等しくなります。 ダイ » ダイ、したがって

例2。引数 x が値 x 0 =3 から x 1 =3.01 に変化するときの関数 y= の増分の近似値を求めます。

解決. 式(2.3)を使ってみましょう。 これを行うには、計算してみましょう

X 1 - x 0 = 3.01 - 3 = 0.01、すると

ドゥ」 .

ある点における関数の近似値

点 x 0 における関数 y = f(x) の増分の定義に従って、引数 Dx (Dx®0) が増分されると、Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) となります。と式 (3.3) が書けます。

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

式 (3.4) の特殊なケースは次の式です。

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

ここでは、以前と同様に、Dx®0 であると仮定します。

例 3.点 x 1 =2.02 における関数 f(x) = (3x -5) 5 の近似値を求めます。

解決. 計算には式 (3.4) を使用します。 x 1 を x 1 = x 0 + Dx と表しましょう。 したがって、x 0 = 2、Dx = 0.02 となります。

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1.3

例4.(1.01) 5 , , ln(1.02), ln を計算します。

解決

1. 式 (3.4a) を使用しましょう。 これを行うには、(1+0.01) 5 の形式で (1.01) 5 を想像してみましょう。

次に、Dx = 0.01、n = 5 と仮定すると、次のようになります。

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05。

2. (3.4a) に従って、1/6 を (1 - 0.006) の形式で表すと、次のようになります。

(1 - 0.006) 1/6 » 1 + .

3. ln(1.02) = ln(1 + 0.02) を考慮し、Dx=0.02 と仮定すると、式 (3.4b) を使用して次のようになります。

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02。

4.同様に

ln = ln(1 - 0.05) 1/5 = .

関数の増分値の近似値を求める

155. 引数 x が x 0 = 2 から x 1 = 2.001 に変化すると、y = 2x 3 + 5

156. y = 3x 2 + 5x + 1 (x 0 = 3、Dx = 0.001)

157. y = x 3 + x - 1 (x 0 = 2、Dx = 0.01)

158. x 0 = 10 および Dx = 0.01 における y = ln x

159. x 0 = 3 および Dx = 0.01 での y = x 2 - 2x

関数の近似値を求める

160. 点 x 1 における y = 2x 2 - x + 1 = 2.01

161. x 1 = 3.02 で y = x 2 + 3x + 1

162.y= 点 x 1 = 1.1

163. y = 点 x 1 = 3.032

164. y = 点 x 1 = 3.97

165. y = sin 2x 点 x 1 = 0.015

おおよその計算

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

機能の調査とグラフ化

関数の単調性の兆候

定理1 （機能が増加（減少）するための必要条件） 。 微分可能関数 y = f(x), xО(a; b) が区間 (a; b) で増加 (減少) する場合、任意の x 0 О(a; b) について。

定理2 （関数が増加（減少）するための十分条件） 。 関数 y = f(x), xО(a; b) が区間 (a; b) の各点で正 (負) の導関数を持つ場合、この関数はこの区間で増加 (減少) します。

関数の極値

定義1.点 x 0 の d 近傍からのすべての x について不等式 f(x) が満たされる場合、点 x 0 は関数 y = f(x) の最大 (最小) 点と呼ばれます。< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) x ¹ x 0 の場合。

定理 3 (フェルマー) (極値が存在するための必要条件) 。 点 x 0 が関数 y = f(x) の極値点であり、この点に導関数がある場合、

定理4 (極値が存在するための最初の十分条件) 。 関数 y = f(x) が点 x 0 の d 近傍で微分可能であるとします。 それから：

1) 導関数が点 x 0 を通過するときに符号が (+) から (-) に変わる場合、x 0 が最大点になります。

2) 導関数が点 x 0 を通過するときに符号が (-) から (+) に変わる場合、x 0 が最小点になります。

3) 導関数が点 x 0 を通過するときに符号を変えない場合、点 x 0 では関数には極値がありません。

定義2.関数の導関数が消滅するか存在しない点を といいます。 第一種の重要なポイント。

一次導関数を使用する

1. 関数 y = f(x) の定義域 D(f) を求めます。

2. 一次導関数を計算する

3. 第一種の重要なポイントを見つけます。

4. 関数 y = f(x) の定義領域 D(f) に臨界点を配置し、臨界点が関数の定義領域を分割する区間内の導関数の符号を決定します。

5. 関数の最大点と最小点を選択し、これらの点での関数値を計算します。

例1.関数 y = x 3 - 3x 2 の極値を調べます。

解決. 一次導関数を使用して関数の極値を見つけるアルゴリズムに従って、次のようになります。

1. D(f): xО(-¥; ¥)。

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0、x = 2 - 第一種臨界点。

点x = 0を通過するときの微分

符号が (+) から (-) に変わるため、点になります。

最大。 点 x = 2 を通過すると、符号が (-) から (+) に変わるため、これが最小点になります。

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0。

最大座標 (0; 0)。

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4。

最小座標 (2; -4)。

定理5 (極値が存在するための 2 番目の十分条件) 。 関数 y = f(x) が定義され、点 x 0 および の近傍で 2 回微分可能である場合、点 x 0 で関数 f(x) は最大値 if と最小値 if を持ちます。

関数の極値を見つけるアルゴリズム

二次導関数を使用する

1. 関数 y = f(x) の定義域 D(f) を求めます。

2. 一次導関数を計算する

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (ln x - 2) 211. f(x) = x ln 2 x + x + 4

でもΔ y = Δ f(バツ 0) は関数の増分であり、 f (バツ 0) Δ x = DF(バツ 0) – 微分関数。

したがって、最終的に得られるのは、

定理1. 関数 y = f とします。(バツ) 点xで 0 有限導関数 f  がある(バツ 0)≠0. 次に、十分に小さい値の場合 Δ x には近似等式 (1) があり、これは次のように任意に正確になります。 Δ バツ→ 0.

したがって、次の点における関数の微分は、 バツ 0 は、この時点での関数の増分にほぼ等しくなります。

なぜなら 次に、等式 (1) から次の結果が得られます。

で Δ バツ→ 0 (2)

で バツ→ バツ 0 (2  )

関数のグラフの接線の方程式なので、 y= f(バツ) 時点で バツ 0のようです

それ 近似等式 (1) ～ (2) は幾何学的に点 x=x 付近を意味します。 0 関数y=fのグラフ(バツ) は、曲線 y = f の接線に近似的に置き換えられます。(バツ).

十分に小さい値の場合、関数の合計増分と微分はわずかに異なります。 。 この状況は近似計算に使用されます。

例1.おおよその計算 .

解決。 機能を考えて入れてみましょう バツ 0 = 4, バツ= 3.98。 では、Δ バツ =バツ –バツ 0 = – 0,02, f(バツ 0)= 2. 以来、その後 f (バツ 0)=1/4=0.25。 したがって、式 (2) を使用すると、最終的に次のようになります。 .

例2。関数の微分を使用して、関数の値がどの程度変化するかを決定します y=f(バツ)=(3バツ 3 +5)∙tg4 バツ引数の値が減少したとき バツ 0 = 0×0.01。

解決。 (1)による機能の変更 y = f(バツ) 時点で バツ D の値が十分に小さい場合、0 はこの時点での関数の微分にほぼ等しくなります。 バツ:

関数の微分を計算してみましょう DF(0)。 私たちにはDがあります バツ= -0.01。 なぜなら f (バツ)= 9バツ 2 ∙tg4 バツ + ((3バツ 3 +5)/ cos 2 4 バツ)∙4、それでは f (0)=5∙4=20 および DF(0)=f (0)∙Δ バツ= 20・(-0.01) = -0.2。

したがって、Δ f(0) ≈ –0.2、つまり 値を減らす場合 バツ 0 = 0 関数の引数から 0.01 関数の値自体 y=f(バツ) は約 0.2 減少します。

例 3.製品の需要関数の形式を とします。 製品の価格に応じた需要量を見つける必要がある p 0 = 3 通貨単位 製品の価格が 0.2 通貨単位下がったときに需要がどのくらい増加するかをおおよそ決定します。

解決。 価格で p 0 = 3 通貨単位 需要量 Q 0 =D(p 0)=270/9=30単位。 品。 価格変動Δ p= –0.2デン。 単位 (1)Δによる Q (p 0) ≈ dQ (p 0)。 製品の需要量の差を計算してみましょう。

それ以来 D (3) = -20 および

需要量の差 dQ(3) = D  (3)・Δ p= -20・(-0.2) = 4。したがって、Δ Q(3) ≈ 4、つまり 商品の価格が下がったとき p 0 = 0.2 通貨単位あたり 3 製品の需要量は製品の約 4 単位増加し、製品の約 30 + 4 = 34 単位に等しくなります。

セルフテストの質問

1. 関数の微分とは何ですか?

2. 関数の微分の幾何学的意味は何ですか?

3. 微分関数の主な特性を列挙します。

3. 関数の微分を使用して関数の近似値を求めることができる式を作成します。