Předpokládejme, že pro libovolný řez (obr. 1.13) jsou známy momenty setrvačnosti kolem souřadnicových os z a y a také je znám odstředivý moment setrvačnosti Izy. Je potřeba stanovit závislosti pro momenty setrvačnosti kolem os 11 zy, pootočených o úhel vzhledem k původním osám z a y (obr. 1.13). Úhel budeme považovat za kladný, dojde-li k rotaci souřadného systému proti směru hodinových ručiček. Nechť pro daný úsek IzI. yAbychom problém vyřešili, najdeme vztah mezi souřadnicemi místa dA v původní a natočené ose. Z obr.1.13 vyplývá: Z trojúhelníku z trojúhelníku S ohledem na to získáme Podobně pro souřadnici y1 získáme Uvážíme-li, že nakonec máme ), určíme moment setrvačnosti vzhledem k novým (otočeným) osám z1 a y1: Podobně odstředivý moment setrvačnosti I vzhledem k natočeným osám je určen závislostí . Odečtením (1.27) od (1.26) získáme Vzorec (1.30) může sloužit k výpočtu odstředivého momentu setrvačnosti kolem os z a y, podle známých momentů setrvačnosti kolem os z, y a z1, y1 a vzorce (1.29) lze použít pro kontrolu výpočtů momentů setrvačnosti složitých řezů. 1.8. Hlavní osy a hlavní momenty setrvačnosti řezu Se změnou úhlu (viz obr. 1.13) se mění i momenty setrvačnosti. Pro některé hodnoty úhlu 0 mají momenty setrvačnosti extrémní hodnoty. Axiální momenty setrvačnosti s maximálními a minimálními hodnotami se nazývají hlavní axiální momenty setrvačnosti průřezu. Osy, vůči kterým mají axiální momenty setrvačnosti maximální a minimální hodnoty, jsou hlavní osy setrvačnosti. Na druhé straně, jak bylo uvedeno výše, hlavní osy jsou osy, vůči nimž je odstředivý moment setrvačnosti sekce nulový. Abychom určili polohu hlavních os pro řezy libovolného tvaru, vezmeme první derivaci vzhledem k I a přirovnáme ji k nule: Je třeba poznamenat, že vzorec (1.31) lze získat z (1.28) tím, že jej rovnáme nule. Pokud dosadíme hodnoty úhlu určeného z výrazu (1.31) do (1. 26) a (1.27), pak po transformaci získáme vzorce, které určují hlavní osové momenty setrvačnosti průřezu.Tento vzorec je svou strukturou podobný vzorci (4.12), který určuje hlavní napětí (viz oddíl 4.3). Pokud IzI, pak na základě studií druhé derivace vyplývá, že maximální moment setrvačnosti Imax nastává vzhledem k hlavní ose natočené pod úhlem vzhledem k ose z a minimální moment setrvačnosti - vzhledem k druhé hlavní ose umístěné pod úhlem 0 Pokud II, vše se naopak mění. Hodnoty hlavních momentů setrvačnosti Imax a I lze také vypočítat ze závislostí (1.26) a (1.27), pokud do nich místo hodnoty dosadíme. V tomto případě je otázka vyřešena sama: vzhledem ke které hlavní ose je získán maximální moment setrvačnosti a vzhledem ke které ose je minimální? Je třeba poznamenat, že pokud jsou pro úsek hlavní centrální momenty setrvačnosti kolem os z a y stejné, pak pro tento úsek je hlavní jakákoli centrální osa a všechny hlavní centrální momenty setrvačnosti jsou stejné (kruh, čtverec , šestiúhelník, rovnostranný trojúhelník atd.). To lze snadno zjistit ze závislostí (1,26), (1,27) a (1,28). Předpokládejme totiž, že pro nějaký úsek jsou osy z a y hlavní centrální osy a navíc I. y Pak ze vzorců (1.26) a (1.27) získáme, že Izy , 1a ze vzorce (1.28) zajistíme, že 11 e. libovolné osy jsou hlavní centrální osy setrvačnosti takového obrazce. 1.9. Pojem poloměr otáčení Moment setrvačnosti průřezu vzhledem k libovolné ose lze vyjádřit jako součin plochy průřezu druhou mocninou určité veličiny, nazývané poloměr otáčení plochy průřezu, kde iz ─ poloměr setrvačnosti vzhledem k ose z. Z (1.33) pak plyne: Hlavní centrální osy setrvačnosti odpovídají hlavním poloměrům setrvačnosti: 1.10. Odporové momenty Rozlišujte axiální a polární momenty odporu. 1. Axiální moment odporu je poměr momentu setrvačnosti kolem dané osy ke vzdálenosti k nejvzdálenějšímu bodu průřezu od této osy. Axiální moment odporu vzhledem k ose z: a vzhledem k ose y: max kde ymax a zmax─, v tomto pořadí, vzdálenosti od hlavních centrálních os z a y k bodům, které jsou od nich nejvzdálenější. Ve výpočtech jsou použity hlavní centrální osy setrvačnosti a hlavní centrální momenty, proto pod Iz a Iy ve vzorcích (1.36) a (1.37) budeme chápat hlavní centrální momenty setrvačnosti průřezu. Zvažte výpočet momentů odporu některých jednoduchých úseků. 1. Obdélník (viz obr. 1.2): 2. Kruh (viz obr. 1.8): 3. Prstencový trubkový řez (obr. 1.14): . U válcovaných profilů jsou momenty odporu uvedeny v sortimentních tabulkách a není třeba je určovat (viz příloha 24 - 27). 2. Polární moment odporu je poměr polárního momentu setrvačnosti ke vzdálenosti od pólu k nejvzdálenějšímu bodu úseku max 30. Za pól se obvykle bere těžiště úseku. Například pro kruhový plný průřez (obr. 1.14): Pro trubkový kruhový průřez. Axiální momenty odporu Wz a Wy charakterizují čistě geometricky odolnost tyče (nosníku) proti ohybové deformaci a polární moment odporu W charakterizuje odolnost proti krutu.

Vypočítejme momenty setrvačnosti libovolného tvaru k osám otočeným kolem daných os a
na rohu (Obr.4.14)

Nechte momenty setrvačnosti kolem os
A
známý. Vyberte si libovolný web
a vyjádřit její souřadnice v soustavě os
A
přes souřadnice ve starých osách
A
:

Najděte axiální a odstředivé momenty setrvačnosti obrázku vzhledem k natočeným osám
A
:

S ohledem na to

;
A
,

Nainstalujte stejným způsobem:

Odstředivý moment setrvačnosti má tvar:

. (4.30)

Osové momenty vyjadřujeme pomocí sinusových a kosinusových hodnot dvojitého úhlu. K tomu zavádíme následující funkce:

. (4.31)

Dosazením (4.31) do vzorců (4.27) a (4.28) získáme:

Sečteme-li výrazy pro osové momenty setrvačnosti (4.32) a (4.33), dostaneme:

Podmínka (4.34) představuje podmínku neměnnosti součtu osových momentů setrvačnosti vzhledem ke dvěma vzájemně kolmým osám, tzn. součet osových momentů setrvačnosti kolem dvou vzájemně kolmých os nezávisí na úhlu natočení os a je konstantní hodnotou. Dříve byla tato podmínka získána na základě toho, že součet osových momentů setrvačnosti kolem dvou vzájemně kolmých os byl roven hodnotě polárního momentu setrvačnosti kolem průsečíku těchto os.

Zkoumáme rovnici pro moment setrvačnosti do extrému a zjistěte hodnotu úhlu , při kterém moment setrvačnosti dosahuje extrémní hodnoty. K tomu použijeme první derivaci momentu setrvačnosti podle úhlu (výraz (4.32)) a výsledek srovnejte s nulou. Zároveň klademe
.

(4.35)

Výraz v závorkách je odstředivý moment setrvačnosti kolem os nakloněných k ose
pod úhlem . S ohledem na tyto osy je odstředivý moment setrvačnosti nulový:

, (4.36)

což znamená, že nové osy jsou hlavní osy.

Dříve bylo stanoveno, že hlavní osy setrvačnosti jsou osy, vůči nimž je odstředivý moment setrvačnosti nulový. Nyní lze tuto definici rozšířit - to jsou osy, vůči nimž jsou axiální momenty setrvačnosti mají extrémní hodnoty. Momenty setrvačnosti kolem těchto os se nazývají hlavní momenty setrvačnosti.

Najděte polohu hlavních os setrvačnosti. Z výrazu (4.36) lze získat:

. (4.37)

Výsledný vzorec udává úhel dva významy: A
.

V důsledku toho existují dvě vzájemně kolmé osy, vůči kterým mají momenty setrvačnosti extrémní hodnoty. Jak bylo uvedeno výše, takové osy se nazývají hlavní osy setrvačnosti. Zbývá určit, která z os moment setrvačnosti dosáhne maximální hodnoty a ve vztahu ke které - minimální hodnotu. Tento problém lze vyřešit studiem druhé derivace výrazu (4.32) vzhledem k úhlu . Dosazením hodnoty úhlu ve výrazu pro druhou derivaci nebo
a zkoumáním znaménka druhé derivace lze posoudit, který z úhlů odpovídá maximálnímu momentu setrvačnosti a který minimu. Níže jsou uvedeny vzorce, které poskytnou jednoznačnou hodnotu úhlu .

Najděte extrémní hodnoty pro momenty setrvačnosti. Za tímto účelem transformujeme výraz (4.32) , vyjmeme závorky
:

Použijeme funkci známou z trigonometrie a dosadíme do ní výraz (4.37), dostaneme:

. (4.39)

Dosazením výrazu (4.39) do vzorce (4.38) a provedením potřebných výpočtů získáme dva výrazy pro extrémní momenty setrvačnosti, které nezahrnují úhel sklonu os. :

; (4.40)

. (4.41)

Ze vzorců (4.40) a (4.41) je vidět, že hodnoty hlavních momentů setrvačnosti jsou určeny přímo prostřednictvím momentů setrvačnosti kolem os
A
. Lze je tedy určit bez znalosti polohy samotných hlavních os.

Znalost extrémních hodnot momentů setrvačnosti
A
kromě vzorce (4.37) je možné určit polohu hlavních os setrvačnosti.

Dáváme vzorce bez derivace, které nám umožňují najít úhly A mezi nápravou
a hlavní osy:

;
(4.42)

Roh určuje polohu osy, vůči které moment setrvačnosti dosáhne své maximální hodnoty (
), roh určuje polohu osy, vůči které moment setrvačnosti dosáhne minimální hodnoty (
).

Zavádíme další geometrickou charakteristiku, která se nazývá poloměr otáčení řezu. Tato vlastnost je označena písmenem a lze jej vypočítat s ohledem na osy
A
následujícím způsobem:

;
(4.43)

Poloměr otáčení je široce používán v problémech pevnosti materiálů a jeho použití bude diskutováno v následujících částech kurzu.

Uvažujme několik příkladů konstrukčních výpočtů, které berou v úvahu rotaci os a využívající poloměr otáčení řezu.

Příklad 4.7. Momenty setrvačnosti pravoúhlého řezu kolem hlavních os jsou, resp.
cm 4,
cm 4. Při otočení o 45 0 se momenty setrvačnosti vzhledem k novým osám ukázaly být stejné. Jaká je jejich hodnota?

K vyřešení problému použijeme výraz (4.28), přičemž vezmeme v úvahu skutečnost, že odstředivý moment setrvačnosti kolem hlavních os je roven nule:

Dosaďte do vzorce (a) číselné hodnoty momentů setrvačnosti a úhlu natočení os:

Příklad 4.8. Který z obrazců (obr. 4.15), majících stejnou plochu, má poloměr setrvačnosti vzhledem k ose , bude největší? Určete největší poloměr otáčení řezu vzhledem k ose .

1. Najděte plochu každého z obrázků a rozměry sekcí. Plocha čísel se rovná cm 2 pro třetí obrázek.

Průměr prvního úseku zjistíme z výrazu:

cm.

Velikost čtvercové strany:

Trojúhelníková základna:

cm.

2. Najdeme momenty a poloměry setrvačnosti každého z řezů vzhledem ke středové ose .

Pro kruhový řez:

cm 4;
cm.

Pro čtvercovou část:

cm 4;
cm.

Pro obdélníkový řez:

;

Pro trojúhelníkový řez:

cm 4;
cm.

Ukázalo se, že největší poloměr otáčení je v pravoúhlém řezu a je roven
cm.

Hlavní osy a hlavní momenty setrvačnosti

Při otáčení souřadnicových os mění dostředivý moment setrvačnosti znaménko, a proto existuje taková poloha os, při které je odstředivý moment roven nule.

Nazývají se osy, kolem kterých mizí odstředivý moment setrvačnosti průřezu hlavní osy a hlavní osy procházející těžištěm úseku -hlavní centrální osy setrvačnosti úseku.

Nazývají se momenty setrvačnosti kolem hlavních os setrvačnosti úsekuhlavní momenty setrvačnosti úsekua jsou označeny I1 a I2 s I1>I2 . Obvykle, mluvíme-li o hlavních momentech, znamenají axiální momenty setrvačnosti kolem hlavních centrálních os setrvačnosti.

Předpokládejme osy u a v jsou hlavní. Pak

Odtud

.

(6.32)

Rovnice (6.32) určuje polohu hlavních os setrvačnosti řezu v daném bodě vzhledem k původním souřadnicovým osám. Při otáčení souřadnicových os se mění i osové momenty setrvačnosti. Najděte polohu os, vůči kterým dosahují osové momenty setrvačnosti extrémních hodnot. K tomu použijeme první derivaci Iu podle α a přirovnat to k nule:

odtud

.

Kondice dIv / da. Porovnáním posledního výrazu se vzorcem (6.32) dojdeme k závěru, že hlavní osy setrvačnosti jsou osy, vůči kterým dosahují osové momenty setrvačnosti průřezu extrémních hodnot.

Pro zjednodušení výpočtu hlavních momentů setrvačnosti jsou vzorce (6.29) - (6.31) transformovány s vyloučením goniometrických funkcí z nich pomocí vztahu (6.32):

.

(6.33)

Znaménko plus před radikálem odpovídá většímu I1 , a znaménko mínus na menší I2 od momentů setrvačnosti úseku.

Upozorněme na jednu důležitou vlastnost řezů, ve kterých jsou osové momenty setrvačnosti kolem hlavních os stejné. Předpokládejme osy y a z jsou hlavní (Iyz = 0) a Iy = Iz . Pak podle rovnosti (6.29) - (6.31) pro libovolný úhel natočení osα odstředivý moment setrvačnosti Iuv = 0 a axiální Iu = Iv.

Pokud jsou tedy momenty setrvačnosti řezu kolem hlavních os stejné, pak všechny osy procházející stejným bodem řezu jsou hlavní a axiální momenty setrvačnosti kolem všech těchto os jsou stejné: Iu=Iv=Iy=Iz. Tuto vlastnost mají například čtvercové, kulaté, prstencové průřezy.

Vzorec (6.33) je podobný vzorci (3.25) pro hlavní napětí. V důsledku toho lze hlavní momenty setrvačnosti určit také graficky Mohrovou metodou.

Změna momentů setrvačnosti při otáčení souřadných os

Předpokládejme, že je dán systém souřadnicových os a známe momenty setrvačnosti Iz, Iy a Izy údaje o těchto osách. Otočme souřadnicové osy o nějaký úhelα proti směru hodinových ručiček a určete momenty setrvačnosti stejného obrázku vzhledem k novým souřadnicovým osám u a v.

Rýže. 6.8.

Z Obr. 6.8 vyplývá, že souřadnice libovolného bodu v obou souřadných systémech jsou propojeny vztahy

Moment setrvačnosti

Proto,

	(6.29)
	(6.30)

odstředivý moment setrvačnosti

.

(6.31)

Ze získaných rovnic je vidět, že

,

tj. součet axiálních momentů setrvačnosti zůstává konstantní při otáčení souřadnicových os. Pokud tedy vzhledem k jakékoli ose dosáhne moment setrvačnosti maxima, pak vzhledem k ose k ní kolmé má minimální hodnotu.

Vypočítejte momenty setrvačnosti J u, Jv a J uv:

Sečtením prvních dvou vzorců (3.14) získáme J u + J v= Jz+ Jy, tj. pro libovolné natočení vzájemně kolmých os zůstává součet osových momentů setrvačnosti konstantní (neměnný).

Hlavní osy a hlavní momenty setrvačnosti

Zkoumání funkce J u a) do krajnosti. Abychom to udělali, srovnáme derivaci s nulou J u a) od a.

Stejný vzorec získáme tak, že odstředivý moment setrvačnosti vyrovnáme nule

.

Hlavní osy se nazývají osy, vůči nimž nabývají osové momenty setrvačnosti extrémních hodnot a odstředivý moment setrvačnosti je nulový.

Nekonečný počet hlavních os setrvačnosti může být nakreslen tím, že vezmeme za počátek jakýkoli bod v rovině. K vyřešení problémů odolnosti materiálů nás zajímá pouze hlavní centrální osa setrvačnosti. Hlavní centrální osy setrvačnosti procházet těžištěm úseku.

Vzorec (3.17) dává dvě řešení, která se liší o 90°, tzn. umožňuje určit dvě hodnoty úhlu sklonu hlavních os setrvačnosti vzhledem k původním osám. Vzhledem ke které z os je maximální osový moment setrvačnosti J 1 = J max , a vzhledem ke kterému z nich - minimum J 2 = J min , bude nutné řešit podle smyslu problému.

Pohodlnější jsou jiné vzorce, které jednoznačně určují polohu hlavních os 1 a 2 (uváděny bez derivace). V tomto případě se kladný úhel měří od osy Oz proti směru hodinových ručiček.

Ve vzorci (3.19) odpovídá znaménko "+" maximálnímu momentu setrvačnosti a znaménko "-" minimu.

Komentář . Pokud má řez alespoň jednu osu symetrie, pak je odstředivý moment setrvačnosti vzhledem k této ose a jakékoli jiné k ní kolmé nule. V souladu s definicí hlavních os setrvačnosti můžeme dojít k závěru, že tyto osy jsou hlavními osami setrvačnosti, tzn. osou symetrie je vždy hlavní středová osa.

Pro symetrické profily prezentované v sortimentu, kanál nebo I-nosník, budou hlavní centrální osy setrvačnosti vertikální a horizontální osy protínající se v polovině výšky profilu.