فرض کنید برای یک مقطع دلخواه (شکل 1.13) ممان اینرسی در مورد محورهای مختصات z و y شناخته شده است، و گشتاور گریز از مرکز اینرسی Izy نیز شناخته شده است. لازم است وابستگی‌هایی برای ممان‌های اینرسی در مورد محورهای 11 zy ایجاد شود که با زاویه‌ای نسبت به محورهای اصلی z و y چرخیده است (شکل 1.13). اگر چرخش سیستم مختصات در خلاف جهت عقربه های ساعت اتفاق بیفتد، زاویه را مثبت در نظر می گیریم. اجازه دهید برای یک بخش داده شده IzI. yبرای حل مسئله، بیایید رابطه بین مختصات مساحت dA را در محورهای اصلی و چرخانده پیدا کنیم. از شکل 1.13 چنین است: از یک مثلث از یک مثلث با در نظر گرفتن این موضوع، به طور مشابه برای مختصات y1 بدست می آوریم، با توجه به اینکه در نهایت داریم، گشتاور اینرسی را نسبت به محورهای جدید (چرخش) z1 تعیین می کنیم و y1: به طور مشابه، گشتاور گریز از مرکز اینرسی I نسبت به محورهای چرخانده شده توسط وابستگی تعیین می شود. با تفریق (1.27) از (1.26) فرمول (1.30) را می‌توان برای محاسبه گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای z و y، با توجه به گشتاورهای اینرسی شناخته شده در مورد محورهای z، y و z1، y1 و فرمول به‌کار برد. از (1.29) می توان برای بررسی محاسبات اینرسی ممان مقاطع پیچیده استفاده کرد. 1.8. محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی مقطع با تغییر زاویه (نگاه کنید به شکل 1.13)، ممان اینرسی نیز تغییر می کند. برای برخی از مقادیر زاویه 0، ممان اینرسی دارای مقادیر شدید هستند. ممان های اینرسی محوری که دارای مقادیر حداکثر و حداقل هستند، ممان اینرسی محوری اصلی مقطع نامیده می شوند. محورهایی که ممان اینرسی محوری نسبت به آنها دارای مقادیر حداکثر و حداقل هستند، محورهای اصلی اینرسی هستند. از طرف دیگر، همانطور که در بالا ذکر شد، محورهای اصلی، محورهایی هستند که گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع نسبت به آنها صفر است. برای تعیین موقعیت محورهای اصلی برای مقاطع با شکل دلخواه، اولین مشتق را نسبت به I گرفته و آن را با صفر برابر می کنیم: لازم به ذکر است که فرمول (1.31) را می توان از (1.28) با برابر کردن آن با صفر بدست آورد. اگر مقادیر زاویه تعیین شده از عبارت (1.31) را به (1) جایگزین کنیم. 26) و (1.27)، سپس پس از تبدیل فرمول هایی به دست می آوریم که گشتاورهای محوری اصلی مقطع را تعیین می کند.این فرمول در ساختار خود شبیه فرمول (4.12) است که تنش های اصلی را تعیین می کند (به بخش 4.3 مراجعه کنید). اگر IzI، بر اساس مطالعات مشتق دوم، نتیجه می شود که حداکثر گشتاور اینرسی Imax نسبت به محور اصلی که در یک زاویه نسبت به محور z می چرخد ​​و حداقل گشتاور اینرسی رخ می دهد. - نسبت به محور اصلی دیگر واقع در زاویه 0 اگر II، همه چیز برعکس در حال تغییر است. مقادیر لحظه های اصلی اینرسی Imax و I را نیز می توان از وابستگی های (1.26) و (1.27) محاسبه کرد، اگر به جای مقدار آنها را جایگزین کنیم. در این صورت این سوال به خودی خود حل می شود: حداکثر گشتاور اینرسی نسبت به کدام محور اصلی و کمترین نسبت به کدام محور؟ لازم به ذکر است که اگر برای یک مقطع، گشتاورهای اصلی اینرسی مرکزی در مورد محورهای z و y برابر باشد، برای این مقطع هر محور مرکزی اصلی است و تمام ممان‌های اینرسی مرکزی اصلی یکسان است (دایره، مربع). ، شش ضلعی، مثلث متساوی الاضلاع و غیره). این به راحتی از وابستگی های (1.26)، (1.27)، و (1.28) قابل اثبات است. در واقع، فرض کنید برای برخی از بخش‌ها، محورهای z و y محورهای مرکزی اصلی هستند و علاوه بر آن، I. y سپس از فرمول‌های (1.26) و (1.27) به دست می‌آید که Izy , 1a از فرمول (1.28) مطمئن می‌شویم که 11 ه) هر محور، محور اصلی اینرسی مرکزی چنین شکلی است. 1.9. مفهوم شعاع چرخش ممان اینرسی یک مقطع نسبت به هر محوری را می توان به صورت حاصل ضرب سطح مقطع با مجذور یک کمیت معین نشان داد که شعاع چرخش سطح مقطع نامیده می شود که در آن iz ─ شعاع است. اینرسی نسبت به محور z. سپس از (1.33) به شرح زیر است: محورهای مرکزی اصلی اینرسی با شعاع اصلی اینرسی مطابقت دارد: 1.10. گشتاورهای مقاومتی بین گشتاورهای مقاومت محوری و قطبی تمایز قائل شوید. 1. ممان محوری مقاومت، نسبت ممان اینرسی حول یک محور معین به فاصله تا دورترین نقطه مقطع از این محور است. گشتاور محوری مقاومت نسبت به محور z: و نسبت به محور y: حداکثر که به ترتیب ymax و zmax─، فواصل از محورهای مرکزی اصلی z و y تا نقاط دورتر از آنها هستند. در محاسبات از محورهای مرکزی اصلی اینرسی و گشتاورهای مرکزی اصلی استفاده شده است، بنابراین در زیر Iz و Iy در فرمول های (1.36) و (1.37) ممان مرکزی اصلی اینرسی مقطع را درک خواهیم کرد. محاسبه ممان مقاومت چند مقطع ساده را در نظر بگیرید. 1. مستطیل (نگاه کنید به شکل 1.2): 2. دایره (نگاه کنید به شکل 1.8): 3. بخش لوله ای حلقوی (شکل 1.14): . برای پروفیل های نورد، لحظه های مقاومت در جداول مجموعه آورده شده است و نیازی به تعیین آنها نیست (به پیوست 24 - 27 مراجعه کنید). 2. ممان قطبی مقاومت، نسبت ممان اینرسی قطبی به فاصله قطب تا دورترین نقطه مقطع max 30 است. مرکز ثقل مقطع معمولاً به عنوان قطب در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، برای یک مقطع جامد گرد (شکل 1.14): برای یک مقطع گرد لوله ای. گشتاورهای محوری مقاومت Wz و Wy به صورت هندسی خالص مقاومت میله (تیر) در برابر تغییر شکل خمشی را مشخص می‌کند و ممان قطبی مقاومت W مقاومت در برابر پیچش را مشخص می‌کند.

اجازه دهید گشتاورهای اینرسی یک شکل دلخواه را در مورد محورهای چرخانده حول محورهای داده شده محاسبه کنیم و
در گوشه (شکل 4.14)

اجازه دهید لحظه های اینرسی در مورد محورها
و
شناخته شده. یک سایت دلخواه انتخاب کنید
و مختصات آن را در سیستم محورها بیان کند
و
از طریق مختصات در محورهای قدیمی
و
:

بیایید گشتاور محوری و گریز از مرکز اینرسی شکل را نسبت به محورهای چرخیده پیدا کنیم.
و
:

با در نظر گرفتن اینکه

;
و
,

به همین ترتیب نصب کنید:

ممان گریز از مرکز اینرسی به شکل زیر است:

. (4.30)

گشتاورهای محوری را بر حسب سینوس و کسینوس زاویه دوتایی بیان می کنیم. برای این کار، توابع زیر را معرفی می کنیم:

. (4.31)

با جایگزینی (4.31) به فرمول های (4.27) و (4.28)، به دست می آوریم:

اگر عبارات گشتاورهای اینرسی محوری (4.32) و (4.33) را اضافه کنیم، به دست می آید:

شرط (4.34) بیانگر شرایط تغییرناپذیری مجموع گشتاورهای محوری اینرسی نسبت به دو محور متقابل عمود بر هم است، یعنی. مجموع گشتاورهای محوری اینرسی حول دو محور متقابل عمود بر هم به زاویه چرخش محورها بستگی ندارد و یک مقدار ثابت است.قبلاً این شرط بر این اساس به دست می آمد که مجموع گشتاورهای اینرسی محوری حول دو محور عمود بر هم برابر با مقدار گشتاور قطبی اینرسی در مورد نقطه تلاقی این محورها بود.

معادله ممان اینرسی را بررسی می کنیم به منتهی الیه و مقدار زاویه را پیدا کنید ، که در آن ممان اینرسی به یک مقدار شدید می رسد. برای این کار، اولین مشتق ممان اینرسی را می گیریم توسط زاویه (بیان (4.32)) و نتیجه را با صفر برابر کنید. در عین حال قرار دادیم
.

(4.35)

عبارت در براکت ها گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای متمایل به محور است.
در یک زاویه . با توجه به این محورها، گشتاور گریز از مرکز اینرسی صفر است:

, (4.36)

یعنی محورهای جدید محورهای اصلی هستند.

قبلا مشخص شده بود که محورهای اصلی اینرسی، محورهایی هستند که گشتاور گریز از مرکز اینرسی صفر است. اکنون این تعریف را می توان گسترش داد - اینها محورهایی هستند که گشتاورهای محوری اینرسی نسبت به آنها ارزش های افراطی دارند. ممان اینرسی در مورد این محورها نامیده می شود لحظات اصلی اینرسی.

موقعیت محورهای اصلی اینرسی را بیابید. از عبارت (4.36) می توان دریافت:

. (4.37)

فرمول به دست آمده برای زاویه می دهد دو معنی: و
.

در نتیجه، دو محور متقابل عمود بر هم وجود دارد که ممان اینرسی دارای مقادیر بسیار زیاد است. همانطور که در بالا ذکر شد، به این گونه محورها، محورهای اصلی اینرسی می گویند. باقی مانده است که مشخص شود لحظه اینرسی کدام یک از محورها به حداکثر مقدار می رسد و نسبت به کدام - حداقل مقدار. این مشکل با مطالعه مشتق دوم عبارت (4.32) نسبت به زاویه قابل حل است. . جایگزینی در عبارت برای مشتق دوم مقدار زاویه یا
و با بررسی علامت مشتق دوم می توان قضاوت کرد که کدام یک از زوایا منطبق بر حداکثر گشتاور اینرسی و کدام یک به حداقل است. در زیر فرمول هایی وجود دارد که مقدار واضحی از زاویه را نشان می دهد .

مقادیر شدید لحظه های اینرسی را پیدا کنید. برای انجام این کار، عبارت (4.32) را با خارج کردن از براکت ها تبدیل می کنیم
:

ما از تابع شناخته شده از مثلثات استفاده می کنیم و عبارت (4.37) را جایگزین آن می کنیم، دریافت می کنیم:

. (4.39)

با جایگزینی عبارت (4.39) به فرمول (4.38) و انجام محاسبات لازم، دو عبارت برای ممان های اینرسی شدید به دست می آوریم که شامل زاویه تمایل محورها نمی شود. :

; (4.40)

. (4.41)

از فرمول های (4.40) و (4.41) می توان دریافت که مقادیر گشتاورهای اصلی اینرسی مستقیماً از طریق ممان اینرسی در مورد محورها تعیین می شوند.
و
. بنابراین می توان آنها را بدون اطلاع از موقعیت خود محورهای اصلی تعیین کرد.

دانستن مقادیر شدید لحظه های اینرسی
و
علاوه بر فرمول (4.37)، امکان تعیین موقعیت محورهای اصلی اینرسی نیز وجود دارد.

ما فرمول هایی را بدون مشتق می دهیم که به ما امکان می دهد زاویه ها را پیدا کنیم و بین محور
و محورهای اصلی:

;
(4.42)

گوشه موقعیت محوری را تعیین می کند که نسبت به آن ممان اینرسی به حداکثر مقدار خود می رسد (
)، گوشه موقعیت محوری را تعیین می کند که نسبت به آن ممان اینرسی به حداقل مقدار می رسد (
).

یک مشخصه هندسی دیگر را معرفی می کنیم که شعاع چرخش مقطع نامیده می شود. این ویژگی با حرف نشان داده می شود و با توجه به محورها قابل محاسبه است
و
به روش زیر:

;
(4.43)

شعاع چرخش به طور گسترده ای در مسائل مقاومت مصالح استفاده می شود و کاربرد آن در بخش های بعدی دوره مورد بحث قرار خواهد گرفت.

اجازه دهید چندین نمونه از محاسبات ساختاری را با در نظر گرفتن چرخش محورها و با استفاده از شعاع چرخش مقطع در نظر بگیریم.

مثال 4.7.ممان اینرسی یک مقطع مستطیلی در مورد محورهای اصلی به ترتیب عبارتند از:
سانتی متر 4،
سانتی متر 4. با چرخش 45 0، ممان اینرسی نسبت به محورهای جدید یکسان بود. ارزش آنها چیست؟

برای حل مشکل، از عبارت (4.28) استفاده می کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که ممان گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای اصلی صفر است:

در فرمول (الف) مقادیر عددی ممان اینرسی و زاویه چرخش محورها را جایگزین کنید:

مثال 4.8.کدام یک از شکل ها (شکل 4.15) با مساحت یکسان، شعاع اینرسی نسبت به محور دارد. ، بزرگترین خواهد بود؟ بزرگترین شعاع چرخش مقطع را نسبت به محور تعیین کنید .

1. مساحت هر یک از شکل ها و ابعاد بخش ها را بیابید. مساحت ارقام برای شکل سوم برابر با سانتی متر 2 است.

قطر بخش اول را از عبارت زیر بدست می آوریم:

سانتی متر.

اندازه ضلع مربع:

پایه مثلثی:

سانتی متر.

2. گشتاورها و شعاع اینرسی هر یک از مقاطع را نسبت به محور مرکزی پیدا می کنیم. .

برای بخش دایره ای:

سانتی متر 4;
سانتی متر.

برای یک بخش مربع:

سانتی متر 4;
سانتی متر.

برای بخش مستطیلی:

;

برای بخش مثلثی:

سانتی متر 4;
سانتی متر.

بزرگترین شعاع چرخش در یک مقطع مستطیلی و برابر است
سانتی متر.

محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی

هنگامی که محورهای مختصات می چرخند، ممان گریز از مرکز اینرسی تغییر علامت می دهد و بنابراین، موقعیتی از محورها وجود دارد که در آن ممان گریز از مرکز برابر با صفر است.

محورهایی که گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع حول آنها ناپدید می شود نامیده می شوندمحورهای اصلی و محورهای اصلی که از مرکز ثقل بخش عبور می کنند -محورهای مرکزی اصلی اینرسی مقطع.

ممان اینرسی در مورد محورهای اصلی اینرسی مقطع نامیده می شودلحظه های اصلی اینرسی مقطعو با نشان داده می شوند I1 و I2 با I1>I2 . معمولاً در مورد لنگرهای اصلی، منظور آنها گشتاورهای محوری اینرسی در مورد محورهای مرکزی اصلی اینرسی است.

بیایید محورها را فرض کنیم u و v اصلی هستند. سپس

از اینجا

.

(6.32)

معادله (6.32) موقعیت محورهای اصلی اینرسی مقطع را در یک نقطه معین نسبت به محورهای مختصات اصلی تعیین می کند. هنگامی که محورهای مختصات می چرخند، گشتاورهای محوری اینرسی نیز تغییر می کنند. بیایید موقعیت محورهایی را پیدا کنیم که گشتاورهای محوری اینرسی نسبت به آنها به مقادیر شدید می رسند. برای این کار، اولین مشتق از را می گیریم Iu توسط α و آن را با صفر برابر کنید:

از اینجا

.

شرایط dIv / dα. با مقایسه آخرین عبارت با فرمول (6.32)، به این نتیجه می رسیم که محورهای اصلی اینرسی، محورهایی هستند که گشتاورهای اینرسی محوری مقطع نسبت به آنها به مقادیر شدید می رسد.

برای ساده کردن محاسبه گشتاورهای اصلی اینرسی، فرمول های (6.29) - (6.31) تبدیل می شوند و با استفاده از رابطه (6.32) توابع مثلثاتی را از آنها حذف می کنیم:

.

(6.33)

علامت مثبت جلوی رادیکال مربوط به بزرگتر است I1 ، و علامت منفی به کوچکتر I2 از لحظه های اینرسی مقطع.

اجازه دهید به یک ویژگی مهم مقاطعی اشاره کنیم که در آن گشتاورهای اینرسی محوری در مورد محورهای اصلی یکسان است. بیایید محورها را فرض کنیم y و z اصلی هستند (Iyz = 0) و Iy = Iz . سپس با توجه به مساوات (6.29) - (6.31) برای هر زاویه چرخش محورهاα ممان اینرسی گریز از مرکز Iuv = 0 و Iu محوری = Iv.

بنابراین، اگر ممان اینرسی مقطع حول محورهای اصلی یکسان باشد، تمام محورهایی که از همان نقطه مقطع عبور می کنند، اصلی هستند و گشتاورهای اینرسی محوری در مورد همه این محورها یکسان هستند: Iu=Iv=Iy=Iz. این خاصیت، به عنوان مثال، توسط بخش های مربع، گرد، حلقوی در اختیار دارد.

فرمول (6.33) مشابه فرمول (3.25) برای تنش های اصلی است. در نتیجه، ممان های اصلی اینرسی را می توان به صورت گرافیکی با روش Mohr نیز تعیین کرد.

تغییر ممان اینرسی هنگام چرخش محورهای مختصات

فرض کنید سیستم محورهای مختصات داده شده است و ممان اینرسی مشخص است Iz، Iy و Izy ارقام مربوط به این محورها بیایید محورهای مختصات را با زاویه ای بچرخانیمα در خلاف جهت عقربه های ساعت و ممان اینرسی همان شکل را نسبت به محورهای مختصات جدید تعیین کنید u و v.

برنج. 6.8.

از انجیر 6.8 نتیجه می شود که مختصات هر نقطه در هر دو سیستم مختصات توسط روابط به هم مرتبط هستند

ممان اینرسی

از این رو،

	(6.29)
	(6.30)

ممان اینرسی گریز از مرکز

.

(6.31)

از معادلات به دست آمده می توان دریافت که

,

یعنی مجموع گشتاورهای محوری اینرسی زمانی که محورهای مختصات می چرخند ثابت می ماند. بنابراین، اگر نسبت به هر محوری، گشتاور اینرسی به حداکثر برسد، نسبت به یک محور عمود بر آن، مقدار حداقلی دارد.

ممان اینرسی را محاسبه کنید J u، J v و J uv:

با اضافه کردن دو فرمول اول (3.14)، به دست می آوریم J u + J v= Jz+ جی، یعنی برای هر چرخش محورهای متقابل عمود بر هم، مجموع گشتاورهای محوری اینرسی ثابت می ماند (نامغیر).

محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی

بررسی عملکرد J u(الف) در حد افراط. برای انجام این کار، مشتق را برابر با صفر می کنیم J u(الف) توسط a.

همین فرمول را با صفر کردن ممان گریز از مرکز اینرسی به دست می آوریم

.

محورهای اصلی به محورهایی گفته می‌شود که نسبت به آن‌ها ممان‌های اینرسی محوری مقادیر بسیار بالایی دارند و ممان گریز از مرکز اینرسی صفر است.

تعداد نامتناهی از محورهای اصلی اینرسی را می توان با در نظر گرفتن هر نقطه از صفحه به عنوان مبدا رسم کرد. برای حل مشکلات مقاومت مواد، ما فقط علاقه مندیم محور اصلی اینرسی مرکزی محورهای اصلی اینرسی مرکزیاز مرکز ثقل بخش عبور کند.

فرمول (3.17) دو محلول به دست می دهد که 90 درجه متفاوت هستند، یعنی. به شما امکان می دهد دو مقدار از زاویه شیب محورهای اصلی اینرسی را نسبت به محورهای اصلی تعیین کنید. با توجه به اینکه کدام یک از محورها حداکثر گشتاور محوری اینرسی است جی 1 = جیحداکثر، و نسبت به کدام یک - حداقل جی 2 = جیدقیقه، باید با توجه به معنای مسئله حل شود.

راحت تر، فرمول های دیگری هستند که به طور منحصر به فرد موقعیت محورهای اصلی 1 و 2 را تعیین می کنند (بدون اشتقاق داده شده است). در این حالت زاویه مثبت از محور اندازه گیری می شود اوزپادساعتگرد.

در فرمول (3.19)، علامت "+" مربوط به حداکثر گشتاور اینرسی و علامت "-" با حداقل است.

اظهار نظر . اگر مقطع حداقل یک محور تقارن داشته باشد، نسبت به این محور و هر عمود دیگری بر آن، گشتاور گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر است.مطابق با تعریف محورهای اصلی اینرسی، می توان نتیجه گرفت که این محورها محورهای اصلی اینرسی هستند، یعنی. محور تقارن همیشه محور اصلی است.

برای پروفیل های متقارن ارائه شده در مجموعه، کانال یا پرتو I، محورهای مرکزی اصلی اینرسی محورهای عمودی و افقی هستند که در نیمی از ارتفاع پروفیل متقاطع می شوند.