دیفرانسیل مرتبه اول در محاسبات تقریبی. کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

برنج. 4.2. برنامه

برنج. 4.3. برنامه

مجانب عمودی یک تابع را باید یا در نقاط ناپیوستگی نوع دوم جستجو کرد (حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع در نقطه نامحدود است یا وجود ندارد)، یا در انتهای دامنه تعریف آن.
، اگر
اعداد نهایی هستند

اگر تابع
روی خط اعداد کامل تعریف شده است و حد محدودی وجود دارد
، یا
، سپس خط مستقیم که توسط معادله داده می شود
، مجانب افقی سمت راست و خط مستقیم است
مجانبی افقی سمت چپ است.

اگر محدودیت هایی وجود دارد

و
,

سپس مستقیم
مجانب مایل نمودار تابع است. مجانب مایل نیز می تواند راست دست باشد (
) یا چپ دست (
).

تابع
افزایش در مجموعه نامیده می شود
، در صورت وجود
، به طوری که >، نابرابری زیر برقرار است:
>
(کاهش اگر در همان زمان:
<
). یک دسته از
در این حالت فاصله یکنواختی تابع نامیده می شود.

شرط کافی زیر برای یکنواختی یک تابع صادق است: اگر مشتق یک تابع متمایز در داخل مجموعه باشد.
مثبت (منفی) است، سپس تابع در این مجموعه در حال افزایش (کاهش) است.

مثال 4.5.یک تابع داده شده است
. فواصل افزایش و کاهش آن را بیابید.

راه حل.بیایید مشتق آن را پیدا کنیم
. بدیهی است که > 0 در > 3 و <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) و افزایش می یابد (3;
).

نقطه یک نقطه نامیده می شود حداکثر محلی (حداقل)کارکرد
، اگر در محله ای از نقطه نابرابری
(
) . مقدار تابع در نقطه تماس گرفت حداکثر (حداقل).حداکثر و حداقل یک تابع با یک نام مشترک ترکیب می شوند نقاط بحرانیکارکرد.

به منظور عملکرد
در آن نقطه افراطی داشت لازم است مشتق آن در این نقطه برابر با صفر باشد (
) یا وجود نداشت.

نقاطی که مشتق یک تابع در آنها صفر است نامیده می شوند ثابتنقاط عملکرد در یک نقطه ثابت، لزوما نباید یک اکسترومی از تابع وجود داشته باشد. برای یافتن اکسترم، لازم است نقاط ثابت تابع را نیز بررسی کنید، مثلاً با استفاده از شرایط اکستریم کافی.

اولین آنها این است که اگر هنگام عبور از یک نقطه ثابت از چپ به راست، مشتق تابع متمایز علامت مثبت به منفی را تغییر می‌دهد، سپس یک حداکثر محلی در نقطه به دست می‌آید. اگر علامت از منفی به مثبت تغییر کند، این حداقل نقطه تابع است.

اگر علامت مشتق هنگام عبور از نقطه مورد مطالعه تغییر نکند، در این نقطه افراطی وجود ندارد.

دومین شرط کافی برای حداکثر یک تابع در یک نقطه ثابت از مشتق دوم تابع استفاده می کند: اگر
<0, тоحداکثر امتیاز است، و اگر
> 0، سپس - حداقل امتیاز در
=0 سوال در مورد نوع اکستروم باز می ماند.

تابع
تماس گرفت محدب (مقعر)) در مجموعه
، اگر برای هر دو مقدار باشد
نابرابری زیر برقرار است:

.

شکل 4.4. نمودار یک تابع محدب

اگر مشتق دوم یک تابع دوبار متمایز باشد
مثبت (منفی) در داخل مجموعه
، سپس تابع در مجموعه مقعر (محدب) است
.

نقطه عطف نمودار یک تابع پیوسته
نقطه جداکننده فواصل که تابع محدب و مقعر است نامیده می شود.

مشتق دوم
تابع مضاعف پذیر در نقطه عطف برابر صفر است، یعنی
= 0.

اگر مشتق دوم هنگام عبور از نقطه ای بعد علامتش عوض میشه نقطه عطف نمودار آن است.

هنگام مطالعه یک تابع و رسم نمودار آن، توصیه می شود از طرح زیر استفاده کنید:

مفهوم دیفرانسیل

اجازه دهید تابع y = f(ایکس) برای مقداری از متغیر قابل تفکیک است ایکس. بنابراین، در نقطه ایکسیک مشتق محدود وجود دارد

سپس با تعریف حد تابع، تفاوت

یک کمیت بی نهایت کوچک در است. با بیان برابری (1) افزایش تابع به دست می آید

(2)

(مقدار به بستگی ندارد، یعنی در ثابت می ماند).

اگر، در سمت راست برابری (2) جمله اول نسبت به خطی است. بنابراین، زمانی که

از همان مرتبه کوچکی بی نهایت کوچک است. جمله دوم بی نهایت کوچکی از مرتبه کوچکی بالاتر از جمله اول است، زیرا نسبت آنها به صفر در

بنابراین، آنها می گویند که جمله اول فرمول (2) قسمت اصلی و نسبتا خطی افزایش تابع است. هر چه کوچکتر باشد، سهم بیشتری از افزایش این قسمت است. بنابراین، برای مقادیر کوچک (و برای)، افزایش تابع را می توان تقریباً با قسمت اصلی آن جایگزین کرد، یعنی.

این قسمت اصلی افزایش تابع را دیفرانسیل تابع داده شده در نقطه می نامند ایکسو نشان دهند

از این رو،

(5)

بنابراین دیفرانسیل تابع y=f(ایکس) برابر است با حاصل ضرب مشتق آن و افزایش متغیر مستقل.

اظهار نظر. باید به خاطر داشت که اگر ایکسمقدار اولیه آرگومان است،

مقدار انباشته شده، سپس مشتق در بیان دیفرانسیل در نقطه شروع گرفته می شود ایکس; در فرمول (5) این را می توان از رکورد مشاهده کرد، در فرمول (4) اینطور نیست.

دیفرانسیل یک تابع را می توان به شکل دیگری نوشت:

معنای هندسی دیفرانسیل. دیفرانسیل عملکرد y=f(ایکس) برابر است با افزایش مختصات مماس ترسیم شده به نمودار این تابع در نقطه ( ایکس; y) هنگامی که تغییر می کند ایکسبر اساس اندازه

خواص دیفرانسیل عدم تغییر شکل دیفرانسیل

در این بخش و بخش های بعدی، هر یک از توابع برای همه مقادیر در نظر گرفته شده آرگومان های آن قابل تمایز در نظر گرفته می شوند.

دیفرانسیل دارای خواصی شبیه به مشتقات است:

(C یک مقدار ثابت است) (8)

(9)

(12)

فرمول های (8) - (12) از فرمول های مربوط به مشتق با ضرب هر دو قسمت هر تساوی در بدست می آیند.

دیفرانسیل یک تابع پیچیده را در نظر بگیرید. یک تابع پیچیده باشد:

دیفرانسیل

این تابع را با استفاده از فرمول مشتق یک تابع مختلط می توان به صورت زیر نوشت

اما یک تفاوت تابع وجود دارد، بنابراین

(13)

در اینجا دیفرانسیل به همان شکلی که در فرمول (7) نوشته شده است، اگرچه آرگومان یک متغیر مستقل نیست، بلکه یک تابع است. بنابراین بیان دیفرانسیل یک تابع به عنوان حاصلضرب مشتق این تابع و دیفرانسیل استدلال آن صرف نظر از اینکه آرگومان یک متغیر مستقل باشد یا تابعی از متغیر دیگر معتبر است. این خاصیت نامیده می شود تغییر ناپذیری(ثابت) شکل دیفرانسیل.

تاکید می کنیم که در فرمول (13) نمی توان با

برای هر تابعی به جز خطی.

مثال 2دیفرانسیل تابع را بنویسید

بیان آن به دو صورت: از طریق دیفرانسیل متغیر میانی و از طریق دیفرانسیل متغیر ایکس. بررسی کنید که آیا عبارات دریافتی مطابقت دارند یا خیر.

راه حل. بگذاریم

و دیفرانسیل را می توان به صورت نوشتاری کرد

جایگزینی به این برابری

ما گرفتیم

کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

برابری تقریبی ایجاد شده در بخش اول

به شما امکان می دهد از دیفرانسیل برای محاسبات تقریبی مقادیر تابع استفاده کنید.

اجازه دهید برابری تقریبی را با جزئیات بیشتری بنویسیم. زیرا

مثال 3با استفاده از مفهوم دیفرانسیل، تقریباً ln 1.01 را محاسبه کنید.

راه حل. عدد ln 1.01 یکی از مقادیر تابع است y=ln ایکس. فرمول (15) در این حالت شکل می گیرد

از این رو،

که یک تقریب بسیار خوب است: مقدار جدول ln 1.01 = 0.0100.

مثال 4با استفاده از مفهوم دیفرانسیل، تقریباً محاسبه کنید

راه حل. عدد
یکی از مقادیر تابع است

از آنجایی که مشتق این تابع است

سپس فرمول (15) شکل می گیرد

ما گرفتیم

(مقدار جدول

).

با استفاده از مقدار تقریبی عدد، باید بتوانید میزان دقت آن را قضاوت کنید. برای این منظور خطاهای مطلق و نسبی آن محاسبه می شود.

خطای مطلق یک عدد تقریبی برابر است با قدر مطلق تفاوت بین عدد دقیق و مقدار تقریبی آن:

خطای نسبی یک عدد تقریبی، نسبت خطای مطلق این عدد به قدر مطلق عدد دقیق مربوطه است:

با ضرب در 4/3 می یابیم

گرفتن یک مقدار ریشه جدول

برای عدد دقیق، ما با فرمول (16) و (17) خطاهای مطلق و نسبی مقدار تقریبی را تخمین می زنیم:

با قیاس با خطی کردن یک تابع از یک متغیر، در محاسبه تقریبی مقادیر یک تابع از چندین متغیر، قابل تمایز در نقطه ای، افزایش آن را می توان با یک دیفرانسیل جایگزین کرد. بنابراین، می توان مقدار تقریبی یک تابع از چندین (مثلاً دو) متغیر را با استفاده از فرمول پیدا کرد:

مثال.

مقدار تقریبی را محاسبه کنید
.

تابع را در نظر بگیرید
و انتخاب کنید ایکس 0 = 1, در 0 = 2. سپس Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y= 1.97 - 2 = -0.03. بیایید پیدا کنیم
,

بنابراین با توجه به اینکه f ( 1، 2) = 3، دریافت می کنیم:

تمایز توابع پیچیده

اجازه دهید تا آرگومان های تابع z = f (ایکس, y) توو v: ایکس = ایکس (تو, v), y = y (تو, v). سپس تابع f یک تابع نیز وجود دارد توو v. دریابید که چگونه مشتقات جزئی آن را با توجه به آرگومان ها پیدا کنید تو و v, بدون انجام تعویض مستقیم

z = f (x(u، v)، y(u، v)).در این حالت، فرض می کنیم که تمام توابع در نظر گرفته شده دارای مشتقات جزئی نسبت به همه آرگومان هایشان هستند.

استدلال را تنظیم کنید توافزایش Δ تو, بدون تغییر استدلال v. سپس

اگر افزایش را فقط روی آرگومان تنظیم کنید v, ما گرفتیم: . (2.8)

هر دو طرف تساوی (2.7) را بر Δ تقسیم می کنیم تو، و برابری های (2.8) در Δ vو به ترتیب برای Δ از حد مجاز عبور کنید تو→ 0 و ∆ v→ 0. در این مورد در نظر می گیریم که به دلیل تداوم توابع ایکسو در. از این رو،

بیایید چند مورد خاص را در نظر بگیریم.

اجازه دهید ایکس = ایکس(تی), y = y(تی). سپس تابع f (ایکس, y) در واقع تابعی از یک متغیر است تیو با استفاده از فرمول (2.9) و جایگزینی مشتقات جزئی در آنها امکان پذیر است. ایکسو درتوسط تو و vبه مشتقات معمول با توجه به تی(البته به شرط تمایز پذیری توابع ایکس(تی) و y(تی) ) ، یک عبارت برای :

(2.10)

اجازه دهید اکنون فرض کنیم که به عنوان تیمتغیر مورد علاقه ایکس، به این معنا که ایکسو درمربوط به نسبت y = y (x).در این مورد، مانند مورد قبلی، تابع fتابعی از یک متغیر است ایکس.با استفاده از فرمول (2.10) برای تی = ایکس و با توجه به اینکه
، ما آن را دریافت می کنیم

. (2.11)

توجه داشته باشید که این فرمول شامل دو مشتق از تابع است fبا استدلال ایکس: در سمت چپ به اصطلاح است مشتق کل، بر خلاف خصوصی در سمت راست.

مثال ها.

سپس از فرمول (2.9) بدست می آوریم:

(در نتیجه نهایی ما عبارات را جایگزین می کنیم ایکسو درنحوه عملکرد توو v).

بیایید مشتق کل تابع را پیدا کنیم z = گناه ( ایکس + y²)، که در آن y = cos ایکس.

عدم تغییر شکل دیفرانسیل.

با استفاده از فرمول های (2.5) و (2.9)، دیفرانسیل کل تابع را بیان می کنیم z = f (ایکس, y) ، جایی که ایکس = ایکس(تو, v), y = y(تو, v), از طریق دیفرانسیل متغیرها تو و v:

(2.12)

بنابراین، شکل دیفرانسیل برای استدلال ها حفظ می شود توو vهمانند توابع این آرگومان ها ایکسو در، یعنی است ثابت(بدون تغییر).

توابع ضمنی، شرایط وجود آنها. تمایز توابع ضمنی مشتقات جزئی و دیفرانسیل های مرتبه بالاتر، خواص آنها.

تعریف 3.1.تابع دراز جانب ایکس، توسط معادله تعریف شده است

F(x,y)= 0 , (3.1)

تماس گرفت عملکرد ضمنی.

البته هر معادله ای از فرم (3.1) تعیین نمی کند دربه عنوان یک تابع تک ارزشی (و علاوه بر این، پیوسته) از ایکس. به عنوان مثال، معادله بیضی

مجموعه ها دربه عنوان یک تابع دو ارزشی از ایکس:
برای

شرایط وجود یک تابع ضمنی تک مقداری و پیوسته با قضیه زیر تعیین می شود:

قضیه 3.1 (بدون اثبات). بگذار:

الف) در محله ای از نقطه ( ایکس 0 ، y 0 ) معادله (3.1) تعریف می کند دربه عنوان یک تابع تک ارزشی از ایکس: y = f(ایکس) ;

ب) چه زمانی x = x 0 این تابع مقدار را می گیرد در 0 : f (ایکس 0 ) = y 0 ;

ج) عملکرد f (ایکس) مداوم.

اجازه دهید تحت شرایط مشخص شده، مشتق تابع را پیدا کنیم y = f (ایکس) توسط ایکس.

قضیه 3.2. اجازه دهید تابع دراز جانب ایکسبه طور ضمنی با معادله (3.1)، که در آن تابع اف (ایکس, y) شرایط قضیه 3.1 را برآورده می کند. اجازه دهید، علاوه بر این،
- توابع پیوسته در برخی حوزه ها Dحاوی نقطه (x, y)که مختصات آن معادله (3.1) را برآورده می کند، و در این نقطه
. سپس تابع دراز جانب ایکسمشتق دارد

(3.2)

مثال.بیایید پیدا کنیم ، اگر
. بیایید پیدا کنیم
,
.

سپس از فرمول (3.2) بدست می آوریم:
.

مشتقات و دیفرانسیل های مرتبه بالاتر.

توابع مشتق جزئی z = f (ایکس, y) به نوبه خود توابع متغیرها هستند ایکسو در. بنابراین، می توان مشتقات جزئی آنها را با توجه به این متغیرها یافت. بیایید آنها را اینگونه تعیین کنیم:

بنابراین، چهار مشتق جزئی از مرتبه 2 به دست می آید. هر یک از آنها را می توان دوباره بر اساس ایکسو توسط درو هشت مشتق جزئی از مرتبه 3 و غیره را بدست آورید. مشتقات مرتبه بالاتر را به صورت زیر تعریف می کنیم:

تعریف 3.2.مشتق خصوصیn - مرتبهتوابع چند متغیر را اولین مشتق مشتق می نامند ( n- مرتبه 1.

مشتقات جزئی یک ویژگی مهم دارند: نتیجه تمایز به ترتیب تمایز بستگی ندارد (به عنوان مثال،
). بیایید این گفته را ثابت کنیم.

قضیه 3.3. اگر تابع z = f (ایکس, y) و مشتقات جزئی آن
در یک نقطه تعریف شده و پیوسته است M (x، y)و در برخی از محله های آن، سپس در این نقطه

(3.3)

نتیجه. این ویژگی برای مشتقات هر مرتبه و برای توابع هر تعداد متغیر معتبر است.

مقدار تقریبی افزایش تابع

برای افزایش به اندازه کافی کوچک تابع تقریباً برابر با دیفرانسیل آن است، یعنی. Dy »dy و بنابراین،

مثال 2وقتی آرگومان x از مقدار x 0 =3 به x 1 =3.01 تغییر می کند، مقدار تقریبی افزایش تابع y= را پیدا کنید.

راه حل. ما از فرمول (2.3) استفاده می کنیم. برای این کار محاسبه می کنیم

X 1 - x 0 \u003d 3.01 - 3 \u003d 0.01، سپس

انجام دادن " .

مقدار تقریبی یک تابع در یک نقطه

مطابق با تعریف افزایش تابع y = f(x) در نقطه x 0، هنگامی که آرگومان Dx (Dx®0) افزایش می یابد، Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) و فرمول (3.3) را می توان نوشت

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

موارد خاص فرمول (3.4) عبارت‌های زیر هستند:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4 گرم)

در اینجا، مانند قبل، فرض می شود که Dx®0.

مثال 3مقدار تقریبی تابع f (x) \u003d (3x -5) 5 را در نقطه x 1 \u003d 2.02 بیابید.

راه حل. برای محاسبات از فرمول (3.4) استفاده می کنیم. بیایید x 1 را به صورت x 1 = x 0 + Dx نشان دهیم. سپس x 0 = 2، Dx = 0.02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1.3

مثال 4محاسبه (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

راه حل

1. اجازه دهید از فرمول (3.4a) استفاده کنیم. برای انجام این کار، (1.01) 5 را به صورت (1+0.01) 5 نشان می دهیم.

سپس، با فرض Dx = 0.01، n = 5، دریافت می کنیم

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. با نشان دادن به شکل (1 - 0.006) 1/6، مطابق (3.4a)، به دست می آوریم.

(1 - 0.006) 1/6 "1 + .

3. با توجه به اینکه ln(1.02) = ln(1 + 0.02) و با فرض Dx=0.02، با فرمول (3.4b) به دست می آوریم

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. به همین ترتیب

ln = ln (1 - 0.05) 1/5 = .

افزایش تقریبی توابع را پیدا کنید

155. y = 2x 3 + 5 وقتی آرگومان x از x 0 = 2 به x 1 = 2.001 تغییر می کند

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 برای x 0 \u003d 3 و Dx \u003d 0.001

157. y \u003d x 3 + x - 1 با x 0 \u003d 2 و Dx \u003d 0.01

158. y \u003d ln x در x 0 \u003d 10 و Dx \u003d 0.01

159. y \u003d x 2 - 2x با x 0 \u003d 3 و Dx \u003d 0.01

مقادیر تقریبی توابع را بیابید

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 در x 1 \u003d 2.01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 در x 1 \u003d 3.02

162.y= در نقطه x 1 = 1.1

163. y \u003d در نقطه x 1 \u003d 3.032

164. y \u003d در نقطه x 1 \u003d 3.97

165. y \u003d گناه 2x در x 1 \u003d 0.015

تقریبا محاسبه کنید

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln (1.003×e) 179 ln (1.05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 × 0.97)

کاوش توابع و رسم

نشانه های یکنواختی یک تابع

قضیه 1 (شرط لازم برای افزایش (کاهش) توابع) . اگر یک تابع قابل تمایز y = f(x)، xн(a; b) در بازه (a; b) افزایش می یابد (کاهش می یابد)، سپس برای هر x 0 н(a; b).

قضیه 2 (شرایط کافی برای افزایش (کاهش) عملکرد) . اگر تابع y = f(x)، xн(a; b) در هر نقطه از بازه (a; b) مشتق مثبت (منفی) داشته باشد، این تابع در این بازه افزایش (کاهش) می یابد.

افراط در عملکرد

تعریف 1.نقطه x 0 حداکثر (حداقل) نقطه تابع y \u003d f (x) نامیده می شود اگر برای همه x از برخی d-همسایگی نقطه x 0 نابرابری f (x) باشد.< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) برای x ¹ x 0.

قضیه 3 (مزرعه) (شرط لازم برای وجود افراط) . اگر نقطه x 0 نقطه منتهی تابع y = f(x) باشد و در این نقطه مشتقی وجود داشته باشد،

قضیه 4 (اولین شرط کافی برای وجود افراط) . اجازه دهید تابع y = f(x) در برخی از همسایگی های d نقطه x 0 قابل تفکیک باشد. سپس:

1) اگر مشتق هنگام عبور از نقطه x 0 علامت (+) را به (-) تغییر دهد، آنگاه x 0 حداکثر نقطه است.

2) اگر مشتق هنگام عبور از نقطه x 0 علامت (-) را به (+) تغییر دهد، آنگاه x 0 حداقل نقطه است.

3) اگر مشتق هنگام عبور از نقطه x 0 علامت تغییر ندهد، در نقطه x 0 تابع اکستروموم ندارد.

تعریف 2.نقاطی که مشتق یک تابع در آنها ناپدید می شود یا وجود ندارد نامیده می شوند نقاط بحرانی از نوع اول

با استفاده از مشتق اول

1. دامنه تعریف D(f) تابع y = f(x) را بیابید.

2. مشتق اول را محاسبه کنید

3. نقاط بحرانی از نوع اول را بیابید.

4. نقاط بحرانی را در دامنه D(f) تابع y = f(x) قرار دهید و علامت مشتق را در فواصل زمانی که نقاط بحرانی دامنه تابع را به آنها تقسیم می کنند مشخص کنید.

5. حداکثر و حداقل نقاط تابع را انتخاب کرده و مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید.

مثال 1تابع y \u003d x 3 - 3x 2 را برای یک اکسترموم بررسی کنید.

راه حل. مطابق با الگوریتم برای یافتن حداکثر یک تابع با استفاده از مشتق اول، داریم:

1. D(f): xн(-¥؛ ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0، x = 2 نقاط بحرانی نوع اول هستند.

مشتق هنگام عبور از نقطه x = 0

علامت را از (+) به (-) تغییر می دهد، بنابراین یک نقطه است

بیشترین. هنگام عبور از نقطه x \u003d 2، علامت از (-) به (+) تغییر می کند، بنابراین این حداقل نقطه است.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

حداکثر مختصات (0; 0).

y دقیقه \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

حداقل مختصات (2; -4).

قضیه 5 (دومین شرط کافی برای وجود افراط) . اگر تابع y = f(x) تعریف شده باشد و دو بار در محله ای از نقطه x 0 قابل تفکیک باشد، و در نقطه x 0 تابع f(x) دارای حداکثر اگر و حداقل اگر است.

الگوریتمی برای یافتن منتهی الیه یک تابع

با استفاده از مشتق دوم

1. دامنه تعریف D(f) تابع y = f(x) را بیابید.

2. مشتق اول را محاسبه کنید

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

اماΔ y = Δ f(ایکس 0) افزایش تابع و f (ایکس 0) Δ x = d f(ایکس 0) دیفرانسیل تابع است.

بنابراین، ما در نهایت دریافت می کنیم

قضیه 1. تابع y = f را فرض کنید(ایکس) در نقطه x 0 مشتق متناهی f  دارد(ایکس 0)≠0. سپس برای مقادیر به اندازه کافی کوچک Δ x، برابری تقریبی (1) اتفاق می افتد که به طور دلخواه برای آن دقیق می شود Δ ایکس→ 0.

بنابراین، دیفرانسیل یک تابع در یک نقطه ایکس 0 تقریباً برابر است با افزایش تابع در آن نقطه.

زیرا سپس از برابری (1) بدست می آوریم

در Δ ایکس→ 0 (2)

در ایکس→ ایکس 0 (2  )

از آنجایی که معادله مماس بر نمودار تابع y= f(ایکس) در نقطه ایکس 0 فرم دارد

که برابری های تقریبی (1)-(2) از نظر هندسی به این معناست که نزدیک نقطه x=x است 0 نمودار تابع y \u003d f(ایکس) تقریباً با مماس منحنی y = f جایگزین می شود(ایکس).

برای مقادیر به اندازه کافی کوچک، افزایش کل تابع و دیفرانسیل به طور ناچیز متفاوت است، یعنی. . این شرایط برای محاسبات تقریبی استفاده می شود.

مثال 1تقریبا محاسبه کنید .

راه حل. یک تابع را در نظر بگیرید و تنظیم کنید ایکس 0 = 4, ایکس= 3.98. سپس Δ ایکس =ایکس –ایکس 0 = – 0,02, f(ایکس 0)= 2. از آن پس f (ایکس 0)=1/4=0.25. بنابراین با توجه به فرمول (2) در نهایت به دست می آید: .

مثال 2با استفاده از دیفرانسیل تابع، تعیین کنید که مقدار تابع چقدر تغییر می کند y=f(ایکس)=(3ایکس 3 + 5)∙tg4 ایکسهنگام کاهش ارزش آرگومان آن ایکس 0 = 0 در 0.01.

راه حل. به موجب (1)، تغییر در تابع y = f(ایکس) در نقطه ایکس 0 تقریباً برابر است با دیفرانسیل تابع در این نقطه برای مقادیر به اندازه کافی کوچک D ایکس:

دیفرانسیل تابع را محاسبه کنید df(0). ما D را داریم ایکس= -0.01. زیرا f (ایکس)= 9ایکس 2 tg4 ایکس + ((3ایکس 3 +5)/ cos 2 4 ایکس)∙4، سپس f (0)=5∙4=20 و df(0)=f (0)∙Δ ایکس= 20 (-0.01) = -0.2.

بنابراین، Δ f(0) ≈ -0.2، یعنی. هنگام کاهش ارزش ایکس 0 = 0 آرگومان تابع توسط خود مقدار تابع 0.01 y=f(ایکس) تقریباً 0.2 کاهش می یابد.

مثال 3اجازه دهید تابع تقاضا برای یک محصول باشد. لازم است مقدار مورد تقاضا برای یک محصول را در یک قیمت پیدا کنید پ 0 \u003d 3 den. و تعیین کنید که با کاهش 0.2 واحد پولی قیمت کالاها به طور تقریبی تقاضا چگونه افزایش می یابد.

راه حل. به قیمت پ 0 \u003d 3 den. حجم تقاضا س 0 =D(پ 0)=270/9=30 واحد کالاها تغییر قیمت Δ پ= -0.2 den. واحدها به دلیل (1) Δ س (پ 0) ≈ dQ (پ 0). اجازه دهید تفاوت حجم تقاضا برای محصول را محاسبه کنیم.

از آن به بعد D (3) = -20 و

اختلاف حجم تقاضا dQ(3) = D  (3)∙Δ پ= -20 (-0.2) = 4. بنابراین، Δ س(3) ≈ 4، یعنی. زمانی که قیمت کالاها کاهش می یابد پ 0 \u003d 3 در 0.2 واحد پولی. حجم تقاضا برای محصول تقریباً 4 واحد کالا افزایش می یابد و معادل تقریباً 30 + 4 = 34 واحد کالا می شود.

سوالاتی برای خودآزمایی

1. دیفرانسیل یک تابع به چه چیزی گفته می شود؟

2. معنی هندسی دیفرانسیل یک تابع چیست؟

3. مشخصات اصلی دیفرانسیل تابع را فهرست کنید.

3. فرمول هایی بنویسید که به شما امکان می دهد مقدار تقریبی یک تابع را با استفاده از دیفرانسیل آن پیدا کنید.