Diferenciační obvod je obvod, jehož výstupní napětí je úměrné první časové derivaci vstupního napětí:
Rýže. 3.7.1. Schéma derivačního obvodu
Rozlišovací obvod (obr. 3.7.1) se skládá z rezistoru R a kondenzátor S, jehož parametry jsou voleny tak, že činný odpor je mnohonásobně menší než kapacitní odpor.
Napětí na vstupu a výstupu obvodu souvisí se vztahem:
u v = u ven + u C;
u ven = i· R
u C =u v - u ven = u v - iR;
Pokud je hodnota já R výrazně méně než u vh, tedy u v ≈ u C.
Hodnota τ = RC volal časová konstanta derivačního obvodu.
Čím menší je časová konstanta ve srovnání se šířkou vstupního impulsu, tím vyšší je přesnost diferenciace.
Pokud je na vstup derivačního obvodu přivedeno sinusové napětí, bude výstupní napětí také sinusové, bude však fázově posunuto vzhledem ke vstupnímu napětí a jeho amplituda bude menší než amplituda vstupu. Diferenciační obvod, který je lineárním systémem, tedy nemění spektrální složení napětí, které je do něj přiváděno.
Přivedením obdélníkového impulsu na vstup derivačního obvodu, který se, jak známo, skládá z nekonečného množství sinusových složek, se změní amplituda a fáze těchto složek, což vede ke změně tvaru výstupního napětí oproti tvar vstupu.
Když je na vstup derivačního obvodu přiveden obdélníkový impuls, začne se nabíjení kondenzátoru S přes odpor R.
V počátečním okamžiku je napětí na kondenzátoru nulové, takže výstupní napětí se rovná vstupnímu. Jak se kondenzátor nabíjí, napětí na něm začíná exponenciálně růst:
u c= u v 1 - E– t/τ);
kde τ = RC je časová konstanta obvodu.
Napětí na výstupu rozlišovacího obvodu:
u ven = u v - u c= u v - u v 1 - E– t / τ) = u v · E– t / τ);
Jak se tedy kondenzátor nabíjí, napětí na výstupu obvodu exponenciálně klesá. Když je kondenzátor plně nabitý, napětí na výstupu rozlišovacího obvodu bude nulové.
Na konci obdélníkového impulsu napětí na vstupu obvodu náhle klesne na nulu. Protože kondenzátor v tomto okamžiku zůstává plně nabitý, od tohoto okamžiku se začne vybíjet přes odpor R. Na začátku vybíjení kondenzátoru je napětí na výstupu obvodu přibližně stejné velikosti jako napětí na kondenzátoru, ale s opačným znaménkem, protože směr vybíjecího proudu je opačný než nabíjecí proud. Jak se kondenzátor vybíjí, napětí na výstupu obvodu exponenciálně klesá.
Uvažujme RC obvod znázorněný na obr. 3,20, a. Na vstupu tohoto obvodu nechť působí napětí u1(t).
Rýže. 3.20. Rozlišení řetězců RC-(a) a RL-(b).
Pak pro tento řetězec platí následující vztah:
a s přihlédnutím k transformacím, které budeme mít
Pokud pro daný signál zvolíme časovou konstantu obvodu τ=RC tak velkou, že příspěvek druhého členu na pravé straně (3.114) lze zanedbat, pak je proměnná složka napětí uR≈u1. To znamená, že při velkých časových konstantách napětí na odporu R opakuje vstupní napětí. Takový obvod se používá, když je potřeba přenést změny signálu bez přenosu konstantní složky.
Pro velmi malé hodnoty τ v (3.114) lze první člen zanedbat. Pak
tj. pro malé časové konstanty τ RC obvod (obr. 3.20, a) diferencuje vstupní signál, proto se takový obvod nazývá derivační RC obvod.
Podobné vlastnosti má i RL řetězec (obr. 3.20, b).
Rýže. 3.21. Kmitočtové (a) a přechodové (b) charakteristiky derivačních obvodů.
Signály procházející obvody RC a RL se nazývají rychlé if
nebo pomalu, pokud
Z toho vyplývá, že uvažovaný RC obvod rozlišuje pomalé signály a propouští rychlé signály bez zkreslení.
Pro harmonické e. d.s. podobný výsledek lze snadno získat výpočtem koeficientu přenosu obvodu (obr. 3.20, a) jako koeficientu přenosu děliče napětí se stacionárními odpory R a XC \u003d 1 / ωC:
Pro malé τ, totiž když τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в
V tomto případě je fáze výstupního napětí (argument K) rovna π/2. Fázový posun harmonického signálu o π/2 je ekvivalentní jeho derivaci. Když τ>>1/ω, koeficient přenosu je K≈1.
V obecném případě modul koeficientu přenosu (3.116) nebo frekvenční odezva obvodu (obr. 3.20, a):
a argument K nebo fázová charakteristika tohoto obvodu:
Tyto závislosti jsou znázorněny na Obr. 3,21 a.
Obvod RL na obr. 1 má stejné charakteristiky. 3.20,b s časovou konstantou τ=L/R.
Vezmeme-li jako výstupní signál jediný napěťový skok, pak integrací rovnice (3.114) můžeme získat přechodovou odezvu derivačního obvodu, neboli časovou závislost výstupního signálu s jediným napěťovým skokem na vstupu:
Graf přechodové odezvy je znázorněn na Obr. 3.21b.
Rýže. 3.22. Integrace řetězců RC-(a) a LC-(b).
Uvažujme RC obvod znázorněný na obr. 3,22, a. Je popsána rovnicí
Pro malé τ=RC (pro "pomalé" signály) uC≈u1. Pro "rychlé" signály je integrováno napětí u1:
Proto se RC obvod, jehož výstupní napětí je odebíráno z kapacity C, nazývá integrační obvod.
Přenosový koeficient integračního obvodu je určen výrazem
Při ω<<1/τ K≈1.
Frekvenční a fázové charakteristiky jsou popsány příslušnými výrazy
Rýže. 3.23. Frekvenční (a) a přechodové (b) charakteristiky integračních obvodů.
a jsou znázorněny na Obr. 3,23, a. Přechodná odezva (obr. 3.23, b) se získá integrací (3.121) s:
Pro stejné časové konstanty má obvod RL znázorněný na obr. 1 stejné vlastnosti. 3.22b.
Elektrický obvod, ve kterém je výstupní napětí U out (t) (nebo proud) úměrné časovému integrálu vstupního napětí U in (t) (nebo proudu):
Rýže. 1 .
Integrátor operačního zesilovače.<В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью S pod vlivem aplikovaného proudu nebo akumulace magnet. tok v induktoru L působením přiloženého napětí I. c. s kondenzátorem.<С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R, rovný nabíjecímu proudu
kondenzátor S, a napětí v místě jejich spojení je nulové. Výsledkem je, že součin RC=t, který charakterizuje rychlost nabíjení kondenzátoru, tzv. časová konstanta I.c.<Широко используется простейшая RC-I. C. (obr. 2, a). V tomto obvodu je nabíjecí proud kondenzátoru určen rozdílem mezi vstupním a výstupním napětím, integrace vstupního napětí se proto provádí přibližně a čím přesněji, tím nižší je výstupní napětí ve srovnání se vstupním. Poslední podmínka je splněna, je-li časová konstanta t mnohem větší než časový interval, za který integrace probíhá. Pro správnou integraci pulzního vstupního signálu je nutné, aby t bylo mnohem větší než doba trvání pulzu T (obr. 3). RL-I má podobné vlastnosti. c., znázorněné na Obr. 2b, pro který je časová konstanta rovna L/R.
Rýže. 3.1 -
vstupní obdélníkový impuls; 2 -
výstupní napětí integračního obvodu při tdT.
I. c. se používají k převodu pulzů modulovaných délkou na pulzy modulované amplitudou, k prodloužení pulzů, získání pilovitého napětí, zvýraznění nízkofrekvenčních složek signálu atd. I. c. pro operace. zesilovače se používají v automatizačních zařízeních a analogových počítačích k implementaci integrační operace.
53. Přechodné procesy. Komutační zákony a jejich aplikace.
Přechodové procesy- procesy, které se vyskytují v elektrických obvodech pod různými vlivy, které je vedou ze stacionárního stavu do nového stacionárního stavu, tj. působením různých druhů spínacích zařízení, například klíčů, spínačů pro zapnutí nebo vypnutí zdroje nebo přijímače energie, při poruchách obvodu, při zkratech jednotlivých částí obvodu atd.
Fyzikálním důvodem pro výskyt přechodových procesů v obvodech je přítomnost induktorů a kondenzátorů v nich, to znamená indukčních a kapacitních prvků v odpovídajících ekvivalentních obvodech. To se vysvětluje skutečností, že energie magnetických a elektrických polí těchto prvků se nemůže náhle změnit přepínání(proces zapínání nebo vypínání spínačů) v obvodu.
Přechodový děj v obvodu je popsán matematicky diferenciální rovnicí
- heterogenní (homogenní), pokud ekvivalentní obvod obvodu obsahuje (neobsahuje) zdroje EMF a proudu,
- lineární (nelineární) pro lineární (nelineární) obvod.
Trvání přechodného procesu trvá od zlomků nanosekund až po roky. Záleží na konkrétním okruhu. Například časová konstanta samovybíjení kondenzátoru s polymerním dielektrikem může dosáhnout tisíciletí. Je určena doba trvání procesu přechodu časová konstantařetězy.
Spínací zákony platí pro energeticky náročné (reaktivní) prvky, tedy pro kapacitu a indukčnost. Říká se: napětí na kapacitě a proud v indukčnosti s konečnými dopady jsou spojité funkce času, to znamená, že se nemohou náhle měnit.
Matematicky lze tuto formulaci zapsat následovně
Pro kapacitu;
pro indukčnost.
Spínací zákony jsou důsledkem definic prvků kapacity a indukčnosti.
Fyzikálně je spínací zákon pro indukčnost vysvětlen odporem samoindukčního EMF vůči změně proudu a spínací zákon pro kapacitu je vysvětlen odporem intenzity elektrického pole kondenzátoru vůči změně vnějšího napětí. .
54. Vířivé proudy, jejich projevy a využití.
Vířivé proudy nebo Foucaultovy proudy(na počest J. B. L. Foucaulta) - vířivé indukční proudy, které vznikají ve vodičích při změně magnetického pole, které jimi proniká.
Vířivé proudy poprvé objevil francouzský vědec D. F. Arago (1786-1853) v roce 1824 v měděném disku umístěném na ose pod rotující magnetickou jehlou. Díky vířivým proudům se disk dostal do rotace. Tento jev, nazývaný Aragoův jev, vysvětlil o několik let později M. Faraday z hlediska zákona elektromagnetické indukce, který objevil: rotující magnetické pole indukuje vířivé proudy v měděném disku, které interagují s magnetickou jehlou. Vířivé proudy podrobně studoval francouzský fyzik Foucault (1819-1868) a pojmenoval je po něm. Objevil fenomén zahřívání kovových těles rotujících v magnetickém poli vířivými proudy.
Foucaultovy proudy vznikají vlivem střídavého elektromagnetického pole a svou fyzikální podstatou se nijak neliší od indukčních proudů vznikajících v lineárních drátech. Jsou vortexové, to znamená, že jsou uzavřeny v prstenci.
Elektrický odpor masivního vodiče je malý, takže Foucaultovy proudy dosahují velmi velké síly.
Tepelného účinku Foucaultových proudů se využívá v indukčních pecích - do cívky napájené vysokofrekvenčním generátorem vysokého výkonu je umístěno vodivé těleso, vznikají v něm vířivé proudy, které jej zahřívají až k roztavení.
Pomocí Foucaultových proudů se kovové části vakuových instalací ohřívají za účelem jejich odplynění.
V mnoha případech mohou být Foucaultovy proudy nežádoucí. K boji proti nim jsou přijímána speciální opatření: aby se zabránilo energetickým ztrátám při ohřevu jader transformátorů, jsou tato jádra rekrutována z tenkých desek oddělených izolačními vrstvami. Nástup feritů umožnil vyrábět tato jádra jako pevná jádra.
Testování vířivými proudy je jednou z metod nedestruktivního testování výrobků z vodivých materiálů.
55. Transformátor, základní vlastnosti a typy konstrukcí.
DIFERENCIACE OBVOD- zařízení určené k časové diferenciaci el. signály. Výstupní reakce D. c. u ven ( t) souvisí se vstupní akcí u v ( t) poměr , kde - post. veličina, která má rozměr času. Existují pasivní a aktivní D. c. Pasivní D. c. používá se v pulzních a digitálních zařízeních ke zkrácení pulzů. Aktivní D. c. používané jako diferenciátory v analogových výpočtech. zařízení. Nejjednodušší pasivní D. c. znázorněno na Obr. 1, A. Proud přes kapacitu je úměrný derivaci napětí, které je na ni aplikováno. Pokud parametry D. c. jsou vybíráni takto,
Co u c =u vh, tedy 
, Stav u c =u vstup se provede, pokud na nejvyšší frekvenci spektra vstupního signálu Volba pasivní D. c. znázorněno na Obr. 1, b. Pod podmínkou, že máme a
Rýže. 1. Schémata pasivních derivačních obvodů: A- kapacitní RC; b- indukční RL.
Proto při daných parametrech D. of c. diferenciace je tím přesnější, čím nižší jsou frekvence, na kterých se koncentruje energie vstupního signálu. Čím je však diferenciace přesnější, tím je koeficient nižší. přenosový obvod a tím i výstupní úroveň. Tento rozpor je eliminován v aktivní D. c., kde se proces diferenciace kombinuje s procesem amplifikace. V aktivním D. c. použití operační zesilovače(OS) pokrytý negativní zpětnou vazbou (obr. 2). Vstupní napětí u v ( t) se odlišuje řetězcem tvořeným posloupností. připojení kontejneru S A R eq - ekvivalentní odpor obvodu mezi vývody 2-2 ", a poté se operační zesilovač zesílí. Pokud na invertující vstup operačního zesilovače přivedete napětí, pak za předpokladu, že jeho zesílení, dostaneme
Rýže. 2. Schéma aktivního derivačního obvodu.
Rýže. 3. Průchod impulsu derivačním obvodem RC: A- vstupní impuls, u v = E na ; b- napětí na kapacitě u c (t); PROTI- výstupní napětí .
Pro srovnání. hodnocení aktivního a pasivního D. c. ceteris paribus, můžete použít poměr . Při průjezdu D. c. pulzních signálů dochází ke zkrácení jejich trvání, proto koncept D.c. jako o zkrácení. Časové diagramy znázorňující průchod pravoúhlého impulsu pasivním DC jsou na Obr. 3. Předpokládá se, že zdroj vstupního napětí je charakterizován nulovým ext. odpor a D. c. - nepřítomnost parazitních kapacit. Přítomnost vnitřního odpor vede ke snížení amplitudy napětí na vstupních svorkách a následně ke snížení amplitud výstupních impulsů; přítomnost parazitních kapacit - ke zpoždění procesů náběhu a poklesu výstupních impulsů. Aktivní D. of c mají také podobný zkracující účinek.
Máme plné právo přejít k úvahám o řetězcích skládajících se z těchto prvků 🙂 To je to, co dnes uděláme.
A první okruh, jehož práci budeme zvažovat - rozlišovací RC obvod.
Diferenciační RC obvod.
Již z názvu obvodu je v zásadě jasné, jaké prvky jsou zahrnuty v jeho složení - jedná se o kondenzátor a rezistor 🙂 A vypadá to takto:
Toto schéma je založeno na tom, že proud protékající kondenzátorem, je přímo úměrná rychlosti změny napětí, které na něj působí:
Napětí v obvodu souvisí následovně (podle Kirchhoffova zákona):
Přitom podle Ohmova zákona můžeme psát:
Vyjádříme z prvního výrazu a dosadíme do druhého:
Za předpokladu, že (to znamená, že rychlost změny napětí je nízká), dostaneme přibližnou závislost pro výstupní napětí:
Obvod tedy plně ospravedlňuje svůj název, protože výstupní napětí je rozdíl vstupní signál.
Ale je možný i jiný případ, kdy title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="134" style="vertical-align: -6px;"> (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства мы получаем такую ситуацию:!}
Tedy: .
Je vidět, že podmínka bude lépe splněna u malých hodnot produktu, který je tzv obvodová časová konstanta:
Pojďme se podívat, jaký význam tato charakteristika řetězu nese 🙂
Nabíjení a vybíjení kondenzátoru probíhá podle exponenciálního zákona:
Zde je napětí na nabitém kondenzátoru v počátečním okamžiku. Podívejme se, jaká bude hodnota napětí po čase:
Napětí na kondenzátoru se sníží na 37 % původní hodnoty.
Ukazuje se, že to je doba, po kterou kondenzátor:
- při nabití – nabije se až na 63 %
- při vybití - vybití o 63 % (vybití až 37 %)
S časovou konstantou obvodu, na kterou jsme přišli, se vraťme rozlišovací RC obvod 🙂
Rozebrali jsme teoretické aspekty fungování obvodu, pojďme se tedy podívat, jak to funguje v praxi. A za tímto účelem zkusme použít nějaký druh signálu na vstup a uvidíme, co se stane na výstupu. Jako příklad aplikujme na vstup sekvenci pravoúhlých impulsů:
A takto vypadá průběh výstupního signálu (druhý kanál je modrý):
co tady vidíme?
Vstupní napětí je většinou konstantní, což znamená, že jeho diferenciál je 0 (derivát konstanty = 0). To je přesně to, co vidíme na grafu, což znamená, že řetězec plní svou diferenciační funkci. A s čím jsou spojeny výbuchy na výstupním oscilogramu? Je to jednoduché - když je vstupní signál „zapnut“, kondenzátor se nabíjí, to znamená, že nabíjecí proud prochází obvodem a výstupní napětí je maximální. A pak, jak proces nabíjení pokračuje, proud klesá exponenciálně k nule a s tím klesá i výstupní napětí, protože se rovná . Pojďme si přiblížit průběh a pak získáme jasnou ilustraci procesu nabíjení:
Když je signál „vypnut“ na vstupu rozlišovacího obvodu, dochází k podobnému přechodnému jevu, ale není způsoben nabíjením, ale vybíjením kondenzátoru:
V tomto případě máme malou časovou konstantu obvodu, takže obvod dobře odlišuje vstupní signál. Podle našich teoretických výpočtů čím více časovou konstantu zvětšíme, tím více bude výstupní signál podobný vstupnímu. Pojďme to otestovat 🙂
Zvýšíme odpor rezistoru, což povede ke zvýšení:
Zde ani nemusíte nic komentovat - výsledek je zřejmý 🙂 Teoretické výpočty jsme potvrdili provedením praktických experimentů, takže přejděme k další otázce - k integrace RC obvodů.
Píšeme výrazy pro výpočet proudu a napětí tohoto obvodu:
Současně můžeme určit proud z Ohmova zákona:
Srovnejte tyto výrazy a dostanete:
Integrujeme pravou a levou stranu rovnosti:
Stejně jako v případě s rozlišovací RC řetěz jsou zde možné dva případy:
Abychom se ujistili, že obvod funguje, aplikujme na jeho vstup přesně stejný signál, jaký jsme použili při analýze činnosti derivačního obvodu, tedy posloupnost pravoúhlých pulzů. Pro malé hodnoty bude výstupní signál velmi podobný vstupnímu signálu a pro velké hodnoty časové konstanty obvodu uvidíme na výstupu signál, který se přibližně rovná integrálu vstupu. Jaký bude signál? Posloupnost impulsů je úsekem stejného napětí a integrál konstanty je lineární funkce (). Na výstupu bychom tedy měli vidět pilovité napětí. Pojďme si teoretické výpočty ověřit v praxi:
Žlutá barva zde zobrazuje signál na vstupu a modrá barva výstupní signály při různých hodnotách časové konstanty obvodu. Jak vidíte, dostali jsme přesně takový výsledek, jaký jsme očekávali 🙂
Tímto dnešní článek končíme, ale studium elektroniky nekončíme, takže na shledanou v nových článcích! 🙂
Časová konstanta RC obvodu
RC elektrický obvod
Uvažujme proud v elektrickém obvodu sestávajícím z kondenzátoru s kapacitou C a rezistor R zapojený paralelně.
Hodnota nabíjecího nebo vybíjecího proudu kondenzátoru je určena výrazem I = C(dU/dt), a hodnota proudu v rezistoru podle Ohmova zákona bude U/R, Kde U je nabíjecí napětí kondenzátoru.
Z obrázku je vidět, že elektrický proud já v prvcích C A Rřetězy budou mít stejnou hodnotu a opačný směr podle Kirchhoffova zákona. Dá se tedy vyjádřit takto:
Vyřešte diferenciální rovnici C(dU/dt)= -U/R
Integrujeme: 
Z tabulky integrálů zde použijeme transformaci 
Dostaneme obecný integrál rovnice: log|U| = - t/RC + konst.
Vyjádřeme napětí U potenciace: U=e-t/RC *e Const.
Řešení bude mít podobu:
U=e-t/RC * Konst.
Tady Const- konstanta, hodnota určená počátečními podmínkami.
Proto napětí U nabití nebo vybití kondenzátoru se bude v čase měnit podle exponenciálního zákona E-t/RC.
Exponent - funkce exp(x) = e x
E– Matematická konstanta přibližně rovna 2,718281828...
Časová konstanta τ
Pokud má kondenzátor kapacitu C v sérii s rezistorem R připojit ke zdroji konstantního napětí U, poteče obvodem proud, který kdykoliv t nabijte kondenzátor až na VIDÍŠ a je definován výrazem:
Pak napětí VIDÍŠ na svorkách kondenzátoru se zvýší z nuly na hodnotu U podle exponentu:
U C = U( 1 - E-t/RC )
Na t=RC, napětí na kondenzátoru bude U C = U( 1 - E -1 ) = U( 1 - 1/E).
Čas číselně rovný produktu RC, se nazývá časová konstanta obvodu RC a označuje se řeckým písmenem τ
.
Časová konstanta τ=RC
Během τ
kondenzátor se nabije až (1-1 /E)*100 % ≈ 63,2 % hodnoty U.
Na čas 3 τ
napětí bude (1-1 /E 3)*100 % ≈ 95 % hodnota U.
Postupem času 5 τ
napětí stoupne na (1-1 /E 5)*100% ≈ 99% hodnota U.
Pokud do kondenzátoru s kapacitou C, nabitý na napětí U, připojte rezistor paralelně k odporu R, pak poteče obvodem vybíjecí proud kondenzátoru.
Napětí na kondenzátoru během vybíjení bude U C = Ue-t/τ = U/e t/τ.
Během τ
napětí na kondenzátoru klesne na hodnotu U/e, což bude 1 /E*100 % ≈ 36,8 % hodnoty U.
Na čas 3 τ
kondenzátor se vybije na (1 /E 3)*100 % ≈ 5 % hodnoty U.
Postupem času 5 τ
předtím (1 /E 5)*100% ≈ 1% hodnota U.
Parametr τ široce používané ve výpočtech RC- filtry pro různé elektronické obvody a sestavy.
Spojení okamžitých hodnot napětí a proudů na prvcích
elektrický obvod
Pro sériový obvod obsahující lineární rezistor R, tlumivku L a kondenzátor C, když je připojen ke zdroji o napětí u (viz obr. 1), můžeme napsat
kde x je požadovaná funkce času (napětí, proud, vazba toku atd.); - známý rušivý účinek (napětí a (nebo) proud zdroje elektrické energie); - k-tý konstantní koeficient určený parametry obvodu.
Řád této rovnice se rovná počtu nezávislých zásobníků energie v obvodu, což jsou tlumivky a kondenzátory ve zjednodušeném obvodu získaném z původního obvodu kombinací indukčností a podle toho i kapacit prvků, spojení mezi které jsou sériové nebo paralelní.
V obecném případě je řád diferenciální rovnice určen vztahem
| , | (3) |
kde a - počet induktorů a kondenzátorů po specifikovaném zjednodušení původního obvodu; - počet uzlů, ve kterých se sbíhají pouze větve obsahující induktory (v souladu s prvním Kirchhoffovým zákonem je v tomto případě proud procházející kterýmkoli induktorem určen proudy procházejícími zbývajícími cívkami); - počet obvodů, jejichž větve obsahují pouze kondenzátory (v souladu s druhým Kirchhoffovým zákonem je napětí na kterémkoli z kondenzátorů v tomto případě určeno napětími na ostatních).
Přítomnost indukčních spojení neovlivňuje pořadí diferenciální rovnice.
Jak je známo z matematiky, obecné řešení rovnice (2) je součtem partikulárního řešení původní nehomogenní rovnice a obecného řešení homogenní rovnice získané z původní rovnice přirovnáním její levé strany k nule. Protože z matematické stránky neexistují žádná omezení pro volbu konkrétního řešení (2), ve vztahu k elektrotechnice, je vhodné brát jako druhé řešení odpovídající požadované proměnné x v ustáleném režimu po přepnutí ( teoreticky pro ).
Konkrétní řešení rovnice (2) je určeno tvarem funkce na její pravé straně, a proto je voláno vynucená složka. Pro obvody s danými konstantními nebo periodickými napětími (proudy) zdrojů se vynucená složka určí výpočtem stacionárního pracovního režimu obvodu po přepnutí některou z dříve uvažovaných metod výpočtu lineárních elektrických obvodů.
Druhá složka obecného řešení x rovnice (2) - řešení (2) s nulovou pravou stranou - odpovídá režimu, kdy vnější (silové) síly (zdroje energie) přímo neovlivňují obvod. Vliv zdrojů se zde projevuje prostřednictvím energie uložené v polích induktorů a kondenzátorů. Tento režim činnosti obvodu se nazývá volný a proměnná se nazývá volná složka.
V souladu s výše uvedeným, . obecné řešení rovnice (2) má tvar
| (4) |
Ze vztahu (4) vyplývá, že v klasickém způsobu výpočtu je proces po přepnutí uvažován jako superpozice dvou režimů na sobě - vynuceného, jakoby bezprostředně po přepnutí, a volného, vyskytujícího se pouze během přechodného jevu. proces.
Je třeba zdůraznit, že protože princip superpozice platí pouze pro lineární systémy, je metoda řešení založená na zadaném rozkladu požadované proměnné x platná pouze pro lineární obvody.
Počáteční podmínky. Zákony o přepínání
V souladu s definicí volné složky v jejím vyjádření probíhají integrační konstanty, jejichž počet je roven řádu diferenciální rovnice. Konstanty integrace se zjistí z počátečních podmínek, které se obvykle dělí na nezávislé a závislé. Nezávislé počáteční podmínky zahrnují vazbu toku (proud) pro induktor a náboj (napětí) na kondenzátoru v časovém okamžiku (spínací moment). Nezávislé počáteční podmínky jsou určeny na základě zákonů komutace (viz tabulka 2).
Tabulka 2 Zákony o přepínání
Více na: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf
Integrační RC obvod
Uvažujme elektrický obvod rezistoru s odporem R a kondenzátor C znázorněno na obrázku.
Elementy R A C jsou zapojeny do série, což znamená, že proud v jejich obvodu lze vyjádřit na základě derivace nabíjecího napětí kondenzátoru dQ/dt = C(dU/dt) a Ohmův zákon U/R. Označme napětí na svorkách rezistoru U R.
Pak nastane rovnost:
Poslední výraz integrujeme 
. Integrál levé strany rovnice bude roven Uout + Const. Přesuneme konstantní složku Const na pravou stranu se stejným znakem.
Na pravé straně časové konstanty RC vyjměte to ze znaménka integrálu:
V důsledku toho se ukázalo, že výstupní napětí U ven přímo úměrné integrálu napětí na svorkách rezistoru, a tedy vstupnímu proudu jsem v.
DC Const nezávisí na jmenovitých hodnotách prvků obvodu.
Pro zajištění přímo úměrné závislosti výstupního napětí U ven z integrálu vstupu U dovnitř, vstupní napětí musí být úměrné vstupnímu proudu.
Nelineární vztah Uin/Iin ve vstupním obvodu je způsobeno tím, že nabíjení a vybíjení kondenzátoru probíhá exponenciálně E-t/τ , což je nejvíce nelineární at t/τ≥ 1, to znamená, když je hodnota t stejné nebo více τ
.
Tady t- čas nabití nebo vybití kondenzátoru v daném období.
τ
= RC- časová konstanta - součin veličin R A C.
Když vezmeme denominace RCřetězy když τ
bude mnohem víc t, pak počáteční část exponentu na krátkou dobu (vzhledem k τ
) může být dostatečně lineární, aby poskytoval potřebnou úměrnost mezi vstupním napětím a proudem.
Pro jednoduchý řetěz RCčasová konstanta se obvykle bere o 1-2 řády větší než perioda střídavého vstupního signálu, pak hlavní a významná část vstupního napětí klesne na svorkách rezistoru, což poskytuje dostatečně lineární závislost U v / I v ≈ R.
V tomto případě výstupní napětí U ven bude s přijatelnou chybou úměrnou integrálu vstupu U dovnitř.
Čím větší nominální hodnoty RC, čím menší je proměnná složka na výstupu, tím přesnější bude funkční křivka.
Ve většině případů není při použití takových obvodů vyžadována proměnná složka integrálu, stačí pouze konstanta. Const, pak denominace RC můžete si vybrat co největší, ale s přihlédnutím ke vstupnímu odporu dalšího stupně.
Jako příklad bude signál z generátoru - kladný meandr 1V s periodou 2 mS, přiveden na vstup jednoduchého integračního obvodu. RC s nominálními hodnotami:
R= 10 kOhm, S= 1uF. Pak τ
= RC= 10 mS.
V tomto případě je časová konstanta pouze pětinásobkem času periody, ale vizuálně lze integraci vysledovat poměrně přesně.
Z grafu je patrné, že výstupní napětí na úrovni konstantní složky 0,5V bude trojúhelníkové, protože úseky, které se v čase nemění, budou pro integrál konstantní (označujeme A) a integrál konstanty bude lineární funkcí. ∫adx = ax + Konst. Konstantní hodnota A určuje tečnu sklonu lineární funkce.
Integrujeme sinusoidu, dostaneme kosinus s opačným znaménkem ∫sinxdx = -cosx + Konst.
V tomto případě konstantní složka Const = 0.
Pokud na vstup použijete trojúhelníkový průběh, na výstupu bude sinusové napětí.
Integrál lineárního úseku funkce je parabola. V nejjednodušší verzi ∫xdx = x 2 /2 + Konst.
Znaménko násobiče určí směr paraboly.
Nevýhodou nejjednoduššího obvodu je, že proměnná složka na výstupu je velmi malá vzhledem ke vstupnímu napětí.
Uvažujme operační zesilovač (OA) jako integrátor podle obvodu znázorněného na obrázku.
Vezmeme-li v úvahu nekonečně velký odpor operačního zesilovače a Kirchhoffovo pravidlo, bude zde platit rovnost:
I in \u003d I R \u003d U in / R \u003d - I C.
Napětí na vstupech ideálního operačního zesilovače je zde nulové, poté na svorkách kondenzátoru U C = U ven = - U dovnitř .
Proto, U ven určeno na základě proudu společného obvodu.
S hodnotami prvků RC, Když τ = 1 s, výstupní střídavé napětí se bude rovnat hodnotě integrálu vstupu. Ale ve znamení opačném. Ideální integrátor-střídač s ideálními obvodovými prvky.
RC diferenciální obvod
Zvažte diferenciátor pomocí operačního zesilovače.
Ideální operační zesilovač zde zajistí rovnost proudů I R = - I C podle Kirchhoffova pravidla.
Napětí na vstupech operačního zesilovače je nulové, tedy výstupní napětí U out = U R = - U in = - U C .
Na základě derivace náboje kondenzátoru, Ohmova zákona a rovnosti proudů v kondenzátoru a rezistoru zapíšeme výraz:
U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU v /dt)
Z toho vidíme, že výstupní napětí U venúměrné derivaci náboje kondenzátoru dU v /dt jako rychlost změny vstupního napětí.
S hodnotou časové konstanty RC roven jedné, výstupní napětí se bude rovnat hodnotě derivace vstupního napětí, ale bude mít opačné znaménko. Proto uvažovaný obvod rozlišuje a invertuje vstupní signál.
Derivace konstanty je nulová, takže při derivování nebude na výstupu žádná konstanta.
Jako příklad přivedeme na vstup derivátoru trojúhelníkový signál. Výstupem je obdélníkový signál.
Derivace lineárního úseku funkce bude konstanta, jejíž znaménko a velikost budou určeny směrnicí lineární funkce.
Pro nejjednodušší dvouprvkový RC derivační obvod použijeme proporcionální závislost výstupního napětí na derivaci napětí na vývodech kondenzátoru.
U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)
Pokud vezmeme hodnoty RC prvků tak, že časová konstanta je o 1-2 řády menší než délka periody, pak poměr přírůstku vstupního napětí k časovému přírůstku v období může určit rychlost změny vstupního napětí do určité míry přesně. V ideálním případě by tento přírůstek měl mít tendenci k nule. V tomto případě hlavní část vstupního napětí klesne na svorkách kondenzátoru a výstup bude nevýznamnou částí vstupu, takže takové obvody se pro výpočet derivace prakticky nepoužívají.
Pro změnu délky pulsu v logických a digitálních zařízeních se používají nejběžnější RC rozlišovací a integrační obvody.
V takových případech se hodnoty RC počítají exponenciálně E-t/RC na základě délky pulsu v periodě a požadovaných změn.
Například níže uvedený obrázek ukazuje délku pulzu T i na výstupu integračního řetězce se časem zvýší 3 τ
. Toto je doba, po kterou se kondenzátor vybije na 5 % hodnoty amplitudy.
Na výstupu derivačního obvodu se amplituda napětí objeví okamžitě po přivedení impulsu, protože na svorkách vybitého kondenzátoru je nula.
Následuje proces nabíjení a napětí na svorkách rezistoru klesá. Na čas 3 τ
sníží se na 5 % hodnoty amplitudy.
Zde je 5 % významná hodnota. V praktických výpočtech bude tento práh určen vstupními parametry použitých logických prvků.
