Rozdíl prvního řádu v přibližných výpočtech. Aplikace diferenciálu v přibližných výpočtech

Rýže. 4.2. Plán

Rýže. 4.3. Plán

Vertikální asymptoty funkce je třeba hledat buď v bodech nespojitosti druhého druhu (alespoň jedna z jednostranných limit funkce v bodě je nekonečná nebo neexistuje), nebo na koncích jejího definičního oboru.
, Pokud
jsou konečná čísla.

Pokud je funkce
je definována na celé číselné ose a existuje konečná mez
nebo
, pak přímka daná rovnicí
, je pravá vodorovná asymptota a přímka
je levá horizontální asymptota.

Pokud existují limity

A
,

pak rovně
je šikmá asymptota grafu funkce. Šikmá asymptota může být také pravák (
) nebo levák (
).

Funkce
se nazývá zvýšení na sadě
, pokud k nějakému
, takové, že >, platí následující nerovnost:
>
(klesající, pokud současně:
<
). hromada
v tomto případě se nazývá interval monotonie funkce.

Platí následující postačující podmínka pro monotónnost funkce: pokud derivace diferencovatelné funkce uvnitř množiny
je kladná (záporná), pak funkce na této množině roste (klesá).

Příklad 4.5. Daná funkce
. Najděte jeho intervaly nárůstu a poklesu.

Řešení. Pojďme najít jeho derivát
. To je zřejmé >0 at >3 a <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) a zvýší se o (3;
).

Tečka nazvaný bod místní maximum (minimum) funkcí
, pokud v nějakém sousedství bodu nerovnost
(
) . Hodnota funkce v bodě volal maximum (minimum). Maximum a minimum funkce jsou spojeny společným názvem extrém funkcí.

Aby funkce
měl v té chvíli extrém je nutné, aby jeho derivace v tomto bodě byla rovna nule (
) nebo neexistoval.

Volají se body, kde je derivace funkce nulová stacionární funkční body. Ve stacionárním bodě by neměl nutně existovat extrém funkce. K nalezení extrému je nutné dodatečně prozkoumat stacionární body funkce, například použitím dostatečných extrémních podmínek.

První z nich je, že pokud při průjezdu stacionárním bodem zleva doprava derivace diferencovatelné funkce změní znaménko z plus na mínus, pak je v bodě dosaženo lokálního maxima. Pokud se znaménko změní z mínus na plus, pak se jedná o minimální bod funkce.

Pokud se znaménko derivace při průchodu zkoumaným bodem nemění, pak v tomto bodě neexistuje extrém.

Druhá dostatečná podmínka pro extrém funkce ve stacionárním bodě používá druhou derivaci funkce: if
<0, тоje maximální bod, a pokud
>0, tedy - minimální bod. Na
=0 otázka o typu extrému zůstává otevřená.

Funkce
volal konvexní (konkávní)) na place
, pokud pro jakékoli dvě hodnoty
platí následující nerovnost:

.

Obr.4.4. Graf konvexní funkce

Je-li druhá derivace dvakrát diferencovatelné funkce
pozitivní (negativní) uvnitř sady
, pak je funkce na množině konkávní (konvexní).
.

Inflexní bod grafu spojité funkce
se nazývá bod oddělující intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní.

Druhá derivace
dvojitě diferencovatelná funkce v inflexním bodě rovná se nule, tzn
= 0.

Je-li druhá derivace při průchodu nějakým bodem pak změní své znaménko je inflexní bod jeho grafu.

Při studiu funkce a vykreslování jejího grafu se doporučuje použít následující schéma:

Pojem diferenciálu

Nechte funkci y = F(X) je diferencovatelný pro nějakou hodnotu proměnné X. Proto v bodě X existuje konečná derivace

Potom, podle definice limity funkce, rozdíl

je nekonečně malé množství v . Vyjádřením z rovnosti (1) přírůstek funkce získáme

(2)

(hodnota nezávisí na , tj. zůstává konstantní na ).

Jestliže , pak na pravé straně rovnosti (2) je první člen lineární vzhledem k . Proto, když

je nekonečně malý stejného řádu malosti jako . Druhý člen je infinitesimálem vyššího řádu drobnosti než první, protože jejich poměr má tendenci k nule.

Proto říkají, že první člen vzorce (2) je hlavní, relativně lineární částí přírůstku funkce; čím menší, tím větší podíl na přírůstku má tato část. Proto pro malé hodnoty (a pro ) lze přírůstek funkce přibližně nahradit její hlavní částí, tzn.

Tato hlavní část přírůstku funkce se nazývá diferenciál dané funkce v bodě X a označují

Proto,

(5)

Takže funkční diferenciál y=f(X) se rovná součinu její derivace a přírůstku nezávislé proměnné.

Komentář. Je třeba mít na paměti, že pokud X je počáteční hodnota argumentu,

Akumulovaná hodnota, pak se derivace ve vyjádření diferenciálu bere jako výchozí bod X; ve vzorci (5) je to vidět ze záznamu, ve vzorci (4) nikoli.

Diferenciál funkce může být zapsán v jiném tvaru:

Geometrický význam diferenciálu. Funkční diferenciál y=f(X) se rovná přírůstku pořadnice tečny nakreslené ke grafu této funkce v bodě ( X; y), když se změní X podle velikosti.

diferenciální vlastnosti. Diferenciální tvarová invariance

V této a dalších částech bude každá z funkcí považována za diferencovatelnou pro všechny uvažované hodnoty jejích argumentů.

Diferenciál má vlastnosti podobné vlastnostem derivátu:

(C je konstantní hodnota) (8)

(9)

(12)

Vzorce (8) - (12) se získají z odpovídajících vzorců pro derivaci vynásobením obou částí každé rovnosti číslem .

Uvažujme diferenciál komplexní funkce. Nechť je komplexní funkce:

Rozdíl

této funkce, pomocí vzorce pro derivaci komplexní funkce, lze zapsat jako

Ale existuje funkční diferenciál, takže

(13)

Zde je diferenciál zapsán ve stejném tvaru jako ve vzorci (7), ačkoli argument není nezávislá proměnná, ale funkce. Vyjádření diferenciálu funkce jako součinu derivace této funkce a diferenciálu jejího argumentu je tedy platné bez ohledu na to, zda je argumentem nezávislá proměnná nebo funkce jiné proměnné. Tato vlastnost se nazývá neměnnost(stálost) tvaru diferenciálu.

Zdůrazňujeme, že ve vzorci (13) nelze nahradit , protože

pro jakoukoli funkci kromě lineární.

Příklad 2 Zápis funkce diferenciálu

dvěma způsoby, vyjadřující to: prostřednictvím diferenciálu střední proměnné a prostřednictvím diferenciálu proměnné X. Zkontrolujte, zda se přijaté výrazy shodují.

Řešení. Položme

a diferenciál lze zapsat jako

Dosazení do této rovnosti

Dostaneme

Aplikace diferenciálu v přibližných výpočtech

Přibližná rovnost stanovená v první části

umožňuje použít diferenciál pro přibližné výpočty funkčních hodnot.

Zapišme si přibližnou rovnost podrobněji. Protože

Příklad 3 Pomocí konceptu diferenciálu vypočítejte přibližně ln 1,01.

Řešení. Číslo ln 1,01 je jednou z hodnot funkce y=ln X. Vzorec (15) má v tomto případě tvar

Proto,

což je velmi dobrá aproximace: tabulková hodnota ln 1,01 = 0,0100.

Příklad 4 Pomocí pojmu diferenciál vypočítejte přibližně

Řešení. Číslo
je jedna z funkčních hodnot

Od derivace této funkce

pak vzorec (15) nabývá tvaru

dostaneme

(hodnota tabulky

).

Pomocí přibližné hodnoty čísla musíte být schopni posoudit míru jeho přesnosti. Za tímto účelem se počítají jeho absolutní a relativní chyby.

Absolutní chyba přibližného čísla se rovná absolutní hodnotě rozdílu mezi přesným číslem a jeho přibližnou hodnotou:

Relativní chyba přibližného čísla je poměr absolutní chyby tohoto čísla k absolutní hodnotě odpovídajícího přesného čísla:

Vynásobením 4/3 zjistíme

Vezmeme kořenovou hodnotu tabulky

pro přesné číslo odhadneme podle vzorců (16) a (17) absolutní a relativní chyby přibližné hodnoty:

Analogicky s linearizací funkce jedné proměnné lze při přibližném výpočtu hodnot funkce několika proměnných, v určitém bodě diferencovatelných, její přírůstek nahradit diferenciálem. Je tedy možné najít přibližnou hodnotu funkce několika (například dvou) proměnných pomocí vzorce:

Příklad.

Vypočítejte přibližnou hodnotu
.

Zvažte funkci
a vybrat si X 0 = 1, na 0 = 2. Potom Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Pojďme najít
,

Proto vzhledem k tomu F ( 1, 2) = 3, dostaneme:

Diferenciace komplexních funkcí.

Nechte funkci argumenty z = F (X, y) u A proti: X = X (u, proti), y = y (u, proti). Pak funkce F existuje také funkce u A proti. Zjistěte, jak najít jeho parciální derivace s ohledem na argumenty u A proti, bez přímé substituce

z = f (x(u, v), y(u, v)). V tomto případě budeme předpokládat, že všechny uvažované funkce mají parciální derivace vzhledem ke všem jejich argumentům.

Nastavte argument u přírůstek Δ u, aniž bych změnil argument proti. Pak

Pokud nastavíte přírůstek pouze na argument proti, dostaneme: . (2.8)

Obě strany rovnosti (2.7) vydělíme Δ u, a rovnosti (2.8) na Δ proti a přejdou na limitu pro Δ u→ 0 a ∆ proti→ 0. V tomto případě bereme v úvahu, že vzhledem k návaznosti funkcí X A na. Proto,

Podívejme se na některé konkrétní případy.

Nechat X = X(t), y = y(t). Pak funkce F (X, y) je vlastně funkcí jedné proměnné t, a je to možné pomocí vzorců (2.9) a nahrazením parciálních derivací v nich X A na Podle u A proti k obvyklým derivátům s ohledem na t(samozřejmě za podmínky diferencovatelnosti funkcí X(t) A y(t) ), získejte výraz pro :

(2.10)

Předpokládejme nyní, že jako t oblíbená proměnná X, to je X A na související poměrem y = y(x). V tomto případě, stejně jako v předchozím případě, funkce F je funkcí jedné proměnné X. Použití vzorce (2.10) pro t = X a vzhledem k tomu
, chápeme to

. (2.11)

Všimněte si, že tento vzorec obsahuje dvě derivace funkce F argumentem X: vlevo je tzv totální derivace, na rozdíl od soukromého vpravo.

Příklady.

Pak ze vzorce (2.9) dostaneme:

(V konečném výsledku dosadíme výrazy za X A na jak fungovat u A proti).

Pojďme najít celkovou derivaci funkce z = hřích( X + y²), kde y = cos X.

Invariance diferenciálního tvaru.

Pomocí vzorců (2.5) a (2.9) vyjádříme celkový diferenciál funkce z = F (X, y) , Kde X = X(u, proti), y = y(u, proti), prostřednictvím diferenciálů proměnných u A proti:

(2.12)

Proto je pro argumenty zachován tvar diferenciálu u A proti stejné jako u funkcí těchto argumentů X A na, tedy je invariantní(beze změny).

Implicitní funkce, podmínky jejich existence. Diferenciace implicitních funkcí. Parciální derivace a diferenciály vyšších řádů, jejich vlastnosti.

Definice 3.1. Funkce na z X, definovaný rovnicí

F(x,y)= 0 , (3.1)

volal implicitní funkce.

Samozřejmě ne každá rovnice tvaru (3.1) určuje na jako jednohodnotová (a navíc spojitá) funkce X. Například rovnice elipsy

sady na jako dvouhodnotová funkce X:
Pro

Podmínky pro existenci jednohodnotové a spojité implicitní funkce určuje následující věta:

Věta 3.1 (žádný důkaz). Nech být:

a) v nějakém sousedství bodu ( X 0 , y 0 ) rovnice (3.1) definuje na jako jednohodnotová funkce X: y = F(X) ;

b) kdy x = x 0 tato funkce nabývá hodnoty na 0 : F (X 0 ) = y 0 ;

c) funkce F (X) kontinuální.

Nalezněme za zadaných podmínek derivaci funkce y = F (X) Podle X.

Věta 3.2. Nechte funkci na z X je dáno implicitně rovnicí (3.1), kde funkce F (X, y) splňuje podmínky věty 3.1. Nechť navíc
- spojité funkce v nějaké doméně D obsahující bod (x, y), jejichž souřadnice splňují rovnici (3.1), a v tomto bodě
. Pak funkce na z X má derivát

(3.2)

Příklad. Pojďme najít , Pokud
. Pojďme najít
,
.

Pak ze vzorce (3.2) dostaneme:
.

Deriváty a diferenciály vyšších řádů.

Parciální derivace funkce z = F (X, y) jsou zase funkcemi proměnných X A na. Proto lze najít jejich parciální derivace vzhledem k těmto proměnným. Označme je takto:

Tak se získají čtyři parciální derivace 2. řádu. Každý z nich lze opět odlišit podle X a podle na a získat osm parciálních derivací 3. řádu atd. Deriváty vyššího řádu definujeme takto:

Definice 3.2.soukromý derivátn -tý řád funkce více proměnných se nazývá první derivace derivace ( n– 1) pořadí.

Parciální derivace mají důležitou vlastnost: výsledek diferenciace nezávisí na pořadí derivace (např.
). Pojďme toto tvrzení dokázat.

Věta 3.3. Pokud je funkce z = F (X, y) a jeho parciální deriváty
definované a spojité v bodě M (x, y) a v některých jeho sousedství, pak v tomto bodě

(3.3)

Následek. Tato vlastnost je platná pro derivace libovolného řádu a pro funkce libovolného počtu proměnných.

Přibližná hodnota přírůstku funkce

Pro dostatečně malé přírůstky funkce je přibližně rovna jejímu diferenciálu, tzn. Dy » dy a tedy

Příklad 2 Najděte přibližnou hodnotu přírůstku funkce y=, když se argument x změní z hodnoty x 0 =3 na x 1 =3,01.

Řešení. Použijeme vzorec (2.3). K tomu počítáme

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, pak

udělat » .

Přibližná hodnota funkce v bodě

V souladu s definicí přírůstku funkce y = f(x) v bodě x 0, když je argument Dx (Dx®0) inkrementován, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) a lze napsat vzorec (3.3).

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Konkrétními případy vzorce (3.4) jsou výrazy:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4V)

tgDx » Dx (3,4 g)

Zde, stejně jako dříve, se předpokládá, že Dx®0.

Příklad 3 Najděte přibližnou hodnotu funkce f (x) \u003d (3x -5) 5 v bodě x 1 \u003d 2,02.

Řešení. Pro výpočty používáme vzorec (3.4). Představme x 1 jako x 1 = x 0 + Dx. Potom x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Příklad 4 Vypočítejte (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .

Řešení

1. Použijme vzorec (3.4a). Za tímto účelem reprezentujeme (1,01) 5 jako (1+0,01) 5 .

Pak za předpokladu, že Dx = 0,01, n = 5, dostaneme

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Reprezentací ve tvaru (1 - 0,006) 1/6 podle (3.4a) získáme

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Za předpokladu, že ln(1,02) = ln(1 + 0,02) a za předpokladu Dx=0,02, dostaneme podle vzorce (3.4b)

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Podobně

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Najděte přibližné přírůstky funkcí

155. y = 2x 3 + 5, když se argument x změní z x 0 = 2 na x 1 = 2,001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 pro x 0 \u003d 3 a Dx \u003d 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 s x 0 \u003d 2 a Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x při x 0 \u003d 10 a Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x s x 0 \u003d 3 a Dx \u003d 0,01

Najděte přibližné hodnoty funkcí

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 při x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 při x 1 \u003d 3,02

162.y= v bodě x 1 = 1,1

163. y \u003d v bodě x 1 \u003d 3,032

164. y \u003d v bodě x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d hřích 2x při x 1 \u003d 0,015

Počítejte přibližně

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln (1,003×e) 179 ln (1,05) 5 180 ln

181,ln 0,98 182,ln 183,ln(e 2 × 0,97)

Zkoumání funkcí a vykreslování

Znaky monotónnosti funkce

Věta 1 (nutná podmínka pro zvyšování (snižování) funkcí) . Jestliže diferencovatelná funkce y = f(x), xн(a; b) roste (klesá) na intervalu (a; b), pak pro libovolné x 0 н(a; b).

Věta 2 (dostatečná podmínka pro zvyšování (snižování) funkcí) . Pokud má funkce y = f(x), xн(a; b) kladnou (zápornou) derivaci v každém bodě intervalu (a; b), pak tato funkce na tomto intervalu roste (klesá).

Funkční extrémy

Definice 1. Bod x 0 se nazývá maximální (minimální) bod funkce y \u003d f (x), pokud pro všechna x z nějakého d-okolí bodu x 0 platí nerovnost f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) pro x 1 x 0 .

Věta 3 (farma) (nutná podmínka pro existenci extrému) . Pokud je bod x 0 extrémním bodem funkce y = f(x) a v tomto bodě existuje derivace, pak

Věta 4 (první dostatečná podmínka pro existenci extrému) . Nechť je funkce y = f(x) diferencovatelná v nějakém d-okolí bodu x 0 . Pak:

1) jestliže derivace při průchodu bodem x 0 změní znaménko z (+) na (-), pak x 0 je maximální bod;

2) jestliže derivace při průchodu bodem x 0 změní znaménko z (-) na (+), pak x 0 je minimální bod;

3) pokud derivace nemění znaménko při průchodu bodem x 0, pak v bodě x 0 funkce nemá extrém.

Definice 2. Volají se body, ve kterých derivace funkce zaniká nebo neexistuje kritické body prvního druhu.

pomocí první derivace

1. Najděte definiční obor D(f) funkce y = f(x).

2. Vypočítejte první derivaci

3. Najděte kritické body prvního druhu.

4. Umístěte kritické body do definičního oboru D(f) funkce y = f(x) a určete znaménko derivace v intervalech, na které kritické body rozdělují definiční obor funkce.

5. Vyberte maximální a minimální body funkce a vypočítejte hodnoty funkce v těchto bodech.

Příklad 1 Prozkoumejte funkci y \u003d x 3 - 3x 2 pro extrém.

Řešení. V souladu s algoritmem pro nalezení extrému funkce pomocí první derivace máme:

1. D(f): xn(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 jsou kritické body prvního druhu.

Derivace při průchodu bodem x = 0

změní znaménko z (+) na (-), proto je to bod

Maximum. Při průchodu bodem x \u003d 2 se změní znaménko z (-) na (+), proto je to minimální bod.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maximální souřadnice (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Minimální souřadnice (2; -4).

Věta 5 (druhá postačující podmínka pro existenci extrému) . Pokud je funkce y \u003d f (x) definována a dvakrát diferencovatelná v nějakém okolí bodu x 0, a , pak v bodě x 0 má funkce f (x) maximum pokud a minimum, pokud .

Algoritmus pro nalezení extrému funkce

pomocí druhé derivace

1. Najděte definiční obor D(f) funkce y = f(x).

2. Vypočítejte první derivaci

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

AleΔ y = Δ F(X 0) je přírůstek funkce a F (X 0) Δ x = df(X 0) je diferenciál funkce.

Proto se konečně dostáváme

Věta 1. Nechť funkci y = f(X) v bodě x 0 má konečnou derivaci f (X 0)≠0. Pak pro dostatečně malé hodnoty Δ x nastane přibližná rovnost (1), která se stane libovolně přesnou pro Δ X→ 0.

Tedy diferenciál funkce v bodě X 0 se přibližně rovná přírůstku funkce v tomto bodě.

Protože pak z rovnosti (1) dostaneme

na Δ X→ 0 (2)

na X→ X 0 (2  )

Od rovnice tečny ke grafu funkce y= F(X) na místě X 0 má tvar

Že přibližné rovnosti (1)-(2) geometricky znamenají, že blízko bodu x=x 0 graf funkce y \u003d f(X) je přibližně nahrazena tečnou ke křivce y = f(X).

Pro dostatečně malé hodnoty se celkový přírůstek funkce a diferenciál nevýznamně liší, tzn. . Tato okolnost se používá pro přibližné výpočty.

Příklad 1 Počítejte přibližně .

Řešení. Zvažte funkci a množinu X 0 = 4, X= 3,98. Potom Δ X =X –X 0 = – 0,02, F(X 0)= 2. Od , tedy F (X 0) = 1/4 = 0,25. Proto podle vzorce (2) nakonec získáme: .

Příklad 2 Pomocí diferenciálu funkce určete, jak přibližně se bude měnit hodnota funkce y=F(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X při snižování hodnoty jeho argumentu X 0 = 0 x 0,01.

Řešení. Na základě (1) změna funkce y = f(X) na místě X 0 se přibližně rovná diferenciálu funkce v tomto bodě pro dostatečně malé hodnoty D X:

Vypočítejte diferenciál funkce df(0). Máme D X= -0,01. Protože F (X)= 9X 2 tg4 X + ((3X 3 +5)/ protože 24 X)∙4 tedy F (0)=5∙4=20 a df(0)=F (0)∙Δ X= 20 (–0,01) = –0,2.

Proto Δ F(0) ≈ –0,2, tj. při snižování hodnoty X 0 = 0 argument funkce samotnou hodnotou funkce 0,01 y=F(X) se sníží přibližně o 0,2.

Příklad 3 Nechť funkci poptávky po produktu je . Je nutné najít požadované množství produktu za cenu p 0 \u003d 3 den. a určit, jak přibližně vzroste poptávka při poklesu ceny zboží o 0,2 peněžní jednotky.

Řešení. Za cenu p 0 \u003d 3 den. objem poptávky Q 0 =D(p 0) = 270/9 = 30 jednotek zboží. Změna ceny Δ p= -0,2 den. Jednotky Kvůli (1) Δ Q (p 0) ≈ dQ (p 0). Vypočítejme rozdíl objemu poptávky po produktu.

Od té doby D (3) = –20 a

rozdíl objemu poptávky dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20 (–0,2) = 4. Proto Δ Q(3) ≈ 4, tj. když cena zboží klesá p 0 \u003d 3 x 0,2 peněžních jednotek. objem poptávky po produktu se zvýší přibližně o 4 jednotky zboží a bude se rovnat přibližně 30 + 4 = 34 jednotkám zboží.

Otázky k samovyšetření

1. Co se nazývá diferenciál funkce?

2. Jaký je geometrický význam diferenciálu funkce?

3. Vyjmenujte hlavní vlastnosti funkčního diferenciálu.

3. Napište vzorce, které vám umožní najít přibližnou hodnotu funkce pomocí jejího diferenciálu.