Różniczka pierwszego rzędu w obliczeniach przybliżonych. Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych

Ryż. 4.2. Harmonogram

Ryż. 4.3. Harmonogram

Asymptot pionowych funkcji należy szukać albo w punktach nieciągłości drugiego rodzaju (przynajmniej jedna z jednostronnych granic funkcji w tym punkcie jest nieskończona lub nie istnieje), albo na końcach jej dziedziny definicji
, Jeśli
to liczby ostateczne.

Jeśli funkcja
jest zdefiniowana na całej osi liczbowej i istnieje skończona granica
, Lub
, a następnie linia prosta określona równaniem
, jest prawą asymptotą poziomą i linią prostą
jest lewą asymptotą poziomą.

Jeśli istnieją granice

I
,

potem prosto
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji. Asymptota ukośna może być również prawostronna (
) lub leworęczny (
).

Funkcjonować
nazywa się zwiększaniem na zbiorze
, jeśli w ogóle
, takie że >, zachodzi nierówność:
>
(malejące jeśli jednocześnie:
<
). Pęczek
w tym przypadku nazywany jest przedziałem monotoniczności funkcji.

Prawdziwy jest warunek wystarczający monotoniczności funkcji: jeżeli pochodna funkcji różniczkowalnej wewnątrz zbioru
jest dodatnia (ujemna), to funkcja rośnie (maleje) na tym zbiorze.

Przykład 4.5. Biorąc pod uwagę funkcję
. Znajdź jego przedziały wzrostu i spadku.

Rozwiązanie. Znajdźmy jego pochodną
. To oczywiste >0 o godz >3 i <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) i zwiększa się o (3;
).

Kropka zwany punktem lokalne maksimum (minimum) Funkcje
, jeśli znajduje się w jakimś sąsiedztwie punktu nierówność
(
) . Wartość funkcji w punkcie zwany maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcji są połączone wspólną nazwą ekstremum Funkcje.

Aby spełnić funkcję
miał w tym momencie ekstremum konieczne jest, aby jego pochodna w tym punkcie była równa zeru (
) lub nie istniał.

Nazywa się punkty, w których pochodna funkcji wynosi zero stacjonarny punkty funkcyjne. W punkcie stacjonarnym niekoniecznie musi istnieć ekstremum funkcji. Aby znaleźć ekstrema należy dodatkowo zbadać punkty stacjonarne funkcji, np. stosując wystarczające warunki ekstremalne.

Pierwsza z nich polega na tym, że jeśli podczas przechodzenia przez punkt stacjonarny od lewej do prawej, pochodna funkcji różniczkowalnej zmienia znak z plusa na minus, wówczas w punkcie osiągane jest maksimum lokalne. Jeżeli znak zmienia się z minus na plus, to jest to minimalny punkt funkcji.

Jeżeli znak pochodnej nie zmienia się przy przejściu przez badany punkt, to w tym punkcie nie ma ekstremum.

Drugi warunek wystarczający na ekstremum funkcji w punkcie stacjonarnym wykorzystuje drugą pochodną funkcji: jeśli
<0, тоjest punktem maksymalnym i if
>0, zatem - minimalny punkt. Na
=0 pytanie o rodzaj ekstremum pozostaje otwarte.

Funkcjonować
zwany wypukły wklęsły)) na planie
, jeśli dla dowolnych dwóch wartości
zachodzi następująca nierówność:

.

Ryc.4.4. Wykres funkcji wypukłej

Jeśli druga pochodna funkcji dwukrotnie różniczkowalnej
dodatni (ujemny) w zestawie
, to funkcja jest na zbiorze wklęsła (wypukła).
.

Punkt przegięcia wykresu funkcji ciągłej
nazywa się punktem oddzielającym przedziały, w których funkcja jest wypukła i wklęsła.

Druga pochodna
funkcja podwójnie różniczkowalna w punkcie przegięcia równa się zeru, tj
= 0.

Jeśli druga pochodna przy przejściu przez jakiś punkt zmienia wówczas swój znak jest punktem przegięcia jego wykresu.

Podczas badania funkcji i wykreślania jej wykresu zaleca się stosowanie następującego schematu:

Pojęcie mechanizmu różnicowego

Niech funkcja y = F(X) jest różniczkowalna dla pewnej wartości zmiennej X. Dlatego w punkcie X istnieje skończona pochodna

Następnie, z definicji granicy funkcji, różnica

jest nieskończenie małą ilością w . Wyrażając z równości (1) przyrost funkcji, otrzymujemy

(2)

(wartość nie zależy od , tj. pozostaje stała w ).

Jeśli , to po prawej stronie równości (2) pierwszy wyraz jest liniowy względem . Dlatego kiedy

jest nieskończenie mały tego samego rzędu małości co . Drugi człon jest nieskończenie małym wyższego rzędu małości niż pierwszy, ponieważ ich stosunek dąży do zera

Dlatego mówią, że pierwszy wyraz wzoru (2) jest główną, względnie liniową częścią przyrostu funkcji; im mniejszy, tym większy udział przyrostu stanowi ta część. Dlatego dla małych wartości (i dla ) przyrost funkcji można w przybliżeniu zastąpić jej częścią główną, tj.

Ta główna część przyrostu funkcji nazywana jest różniczką danej funkcji w punkcie X i oznaczać

Stąd,

(5)

Zatem różniczka funkcji y=f(X) jest równy iloczynowi swojej pochodnej i przyrostu zmiennej niezależnej.

Komentarz. Trzeba pamiętać, że jeśli X jest wartością początkową argumentu,

Wartość skumulowana, następnie w punkcie wyjścia przyjmuje się pochodną w wyrażeniu różniczki X; we wzorze (5) widać to z zapisu, we wzorze (4) nie.

Różniczkę funkcji można zapisać w innej postaci:

Geometryczne znaczenie różniczki. Funkcja różnicowa y=f(X) jest równa przyrostowi rzędnej stycznej narysowanej do wykresu tej funkcji w punkcie ( X; y), kiedy to się zmienia X według rozmiaru.

właściwości różnicowe. Różniczkowa niezmienność kształtu

W tej i następnych sekcjach każda z funkcji zostanie uznana za różniczkowalną dla wszystkich rozważanych wartości jej argumentów.

Różniczka ma właściwości podobne do pochodnej:

(C jest wartością stałą) (8)

(9)

(12)

Wzory (8) - (12) uzyskuje się z odpowiednich wzorów na pochodną, ​​mnożąc obie części każdej równości przez .

Rozważ różniczkę funkcji zespolonej. Niech będzie funkcją złożoną:

Mechanizm różnicowy

tę funkcję, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej, można zapisać jako

Ale istnieje różnica funkcji, więc

(13)

Różnicę zapisuje się tutaj w takiej samej formie, jak we wzorze (7), chociaż argumentem nie jest zmienna niezależna, ale funkcja. Dlatego wyrażenie różniczki funkcji jako iloczynu pochodnej tej funkcji i różniczki jej argumentu jest ważne niezależnie od tego, czy argument jest zmienną niezależną, czy funkcją innej zmiennej. Ta właściwość nazywa się niezmienność(stałość) postaci różniczki.

Podkreślamy, że we wzorze (13) nie można zastąpić , gdyż

dla dowolnej funkcji z wyjątkiem liniowej.

Przykład 2 Napisz różnicę funkcji

na dwa sposoby, wyrażając to: poprzez różniczkę zmiennej pośredniej i poprzez różniczkę zmiennej X. Sprawdź, czy otrzymane wyrażenia pasują.

Rozwiązanie. Włóżmy

a różnicę można zapisać jako

Podstawiając do tej równości

Dostajemy

Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych

Przybliżona równość ustalona w pierwszej części

pozwala na wykorzystanie różniczki do przybliżonych obliczeń wartości funkcji.

Napiszmy przybliżoną równość bardziej szczegółowo. Ponieważ

Przykład 3 Korzystając z pojęcia różniczki, oblicz w przybliżeniu ln 1,01.

Rozwiązanie. Liczba ln 1,01 jest jedną z wartości funkcji y= ln X. Wzór (15) w tym przypadku przyjmuje postać

Stąd,

co jest bardzo dobrym przybliżeniem: wartość tabeli ln 1,01 = 0,0100.

Przykład 4 Korzystając z pojęcia różnicy, oblicz w przybliżeniu

Rozwiązanie. Numer
jest jedną z wartości funkcji

Ponieważ pochodna tej funkcji

wówczas wzór (15) przyjmuje postać

dostajemy

(wartość tabeli

).

Korzystając z przybliżonej wartości liczby, musisz być w stanie ocenić stopień jej dokładności. W tym celu oblicza się jego błędy bezwzględne i względne.

Błąd bezwzględny liczby przybliżonej jest równy wartości bezwzględnej różnicy między dokładną liczbą a jej wartością przybliżoną:

Błąd względny liczby przybliżonej to stosunek błędu bezwzględnego tej liczby do wartości bezwzględnej odpowiadającej jej dokładnej liczby:

Mnożąc przez 4/3, znajdujemy

Pobieranie wartości pierwiastka tabeli

dla dokładnej liczby szacujemy za pomocą wzorów (16) i (17) błędy bezwzględne i względne wartości przybliżonej:

Przez analogię do linearyzacji funkcji jednej zmiennej, przy przybliżonym obliczaniu wartości funkcji kilku zmiennych, w pewnym momencie różniczkowalnych, jej przyrost można zastąpić różniczką. Można zatem znaleźć przybliżoną wartość funkcji kilku (na przykład dwóch) zmiennych za pomocą wzoru:

Przykład.

Oblicz przybliżoną wartość
.

Rozważ funkcję
i wybierz X 0 = 1, Na 0 = 2. Następnie Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Znajdźmy
,

Dlatego biorąc pod uwagę to F ( 1, 2) = 3, otrzymujemy:

Różniczkowanie funkcji złożonych.

Niech argumenty funkcji z = F (X, y) ty I w: X = X (ty, w), y = y (ty, w). Następnie funkcja F istnieje również funkcja ty I w. Dowiedz się, jak znaleźć pochodne cząstkowe względem argumentów ty I w, bez dokonywania bezpośredniego podstawienia

z = fa (x(u, v), y(u, v)). W tym przypadku założymy, że wszystkie rozważane funkcje mają pochodne cząstkowe względem wszystkich swoich argumentów.

Ustaw argument ty przyrost Δ ty, bez zmiany argumentu w. Następnie

Jeśli ustawisz przyrost tylko dla argumentu w, otrzymujemy: . (2.8)

Obie strony równości (2.7) dzielimy przez Δ ty i równości (2.8) na Δ w i przejść do granicy odpowiednio dla Δ ty→ 0 i ∆ w→ 0. W tym przypadku bierzemy to pod uwagę ze względu na ciągłość funkcji X I Na. Stąd,

Rozważmy kilka szczególnych przypadków.

Pozwalać X = X(T), y = y(T). Następnie funkcja F (X, y) jest w rzeczywistości funkcją jednej zmiennej T, i jest to możliwe, korzystając ze wzorów (2.9) i zastępując w nich pochodne cząstkowe X I Na Przez ty I w do zwykłych pochodnych w odniesieniu do T(oczywiście pod warunkiem różniczkowalności funkcji X(T) I y(T) ), znajdź wyrażenie dla :

(2.10)

Załóżmy teraz, że jako T ulubiona zmienna X, to jest X I Na powiązane stosunkiem y = y(x). W tym przypadku, podobnie jak w poprzednim przypadku, funkcja F jest funkcją jednej zmiennej X. Korzystając ze wzoru (2.10) dla T = X i biorąc to pod uwagę
, rozumiemy to

. (2.11)

Zauważ, że ten wzór zawiera dwie pochodne funkcji F przez argument X: po lewej stronie znajduje się tzw całkowita pochodna, w przeciwieństwie do prywatnego po prawej stronie.

Przykłady.

Następnie ze wzoru (2.9) otrzymujemy:

(W ostatecznym wyniku zastępujemy wyrażenia X I Na jak funkcjonować ty I w).

Znajdźmy całkowitą pochodną funkcji z = grzech( X + y²), gdzie y = sałata X.

Niezmienniczość postaci różniczkowej.

Używając wzorów (2.5) i (2.9) wyrażamy całkowitą różnicę funkcji z = F (X, y) , Gdzie X = X(ty, w), y = y(ty, w), poprzez różnice zmiennych ty I w:

(2.12)

Dlatego dla argumentów zachowana jest postać różniczki ty I w takie same jak dla funkcji tych argumentów X I Na, czyli niezmienny(bez zmian).

Funkcje ukryte, warunki ich istnienia. Różniczkowanie funkcji ukrytych. Pochodne i różniczki cząstkowe wyższych rzędów, ich własności.

Definicja 3.1. Funkcjonować Na z X, określone równaniem

F(x,y)= 0 , (3.1)

zwany funkcja ukryta.

Oczywiście nie każde równanie postaci (3.1) określa Na jako jednowartościowa (a ponadto ciągła) funkcja X. Na przykład równanie elipsy

zestawy Na jako dwuwartościowa funkcja X:
Dla

Warunki istnienia jednowartościowej i ciągłej funkcji ukrytej określa następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.1 (brak dowodów). Zostawiać:

a) w pewnym sąsiedztwie punktu ( X 0 , j 0 ) równanie (3.1) określa Na jako funkcja jednowartościowa X: y = F(X) ;

b) kiedy x = x 0 ta funkcja przyjmuje wartość Na 0 : F (X 0 ) = y 0 ;

c) funkcja F (X) ciągły.

Znajdźmy, pod określonymi warunkami, pochodną funkcji y = F (X) Przez X.

Twierdzenie 3.2. Niech funkcja Na z X jest dana pośrednio równaniem (3.1), gdzie funkcja F (X, y) spełnia warunki Twierdzenia 3.1. Niech dodatkowo
- funkcje ciągłe w jakiejś dziedzinie D zawierający punkt (x, y), którego współrzędne spełniają równanie (3.1), i w tym punkcie
. Następnie funkcja Na z X ma pochodną

(3.2)

Przykład. Znajdźmy , Jeśli
. Znajdźmy
,
.

Następnie ze wzoru (3.2) otrzymujemy:
.

Pochodne i różniczki wyższych rzędów.

Funkcje pochodnych cząstkowych z = F (X, y) są z kolei funkcjami zmiennych X I Na. Można zatem znaleźć ich pochodne cząstkowe względem tych zmiennych. Oznaczmy je w ten sposób:

W ten sposób otrzymuje się cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Każdy z nich można ponownie rozróżnić według X i przez Na i uzyskaj osiem pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu itd. Definiujemy instrumenty pochodne wyższego rzędu w następujący sposób:

Definicja 3.2.prywatny instrument pochodnyN -ta kolejność funkcje kilku zmiennych nazywa się pierwszą pochodną pochodnej ( N– 1) zamówienie.

Pochodne cząstkowe mają ważną właściwość: wynik różniczkowania nie zależy od rzędu różniczkowania (na przykład
). Udowodnijmy to stwierdzenie.

Twierdzenie 3.3. Jeśli funkcja z = F (X, y) i jego pochodne cząstkowe
zdefiniowany i ciągły w jednym punkcie M (x, y) i w niektórych jego okolicach, to w tym momencie

(3.3)

Konsekwencja. Właściwość ta obowiązuje dla pochodnych dowolnego rzędu oraz dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.

Przybliżona wartość przyrostu funkcji

Dla wystarczająco małych przyrostów funkcja jest w przybliżeniu równa jej różniczce, tj. Dy » dy i dlatego

Przykład 2 Znajdź przybliżoną wartość przyrostu funkcji y=, gdy argument x zmieni się z wartości x 0 =3 na x 1 =3,01.

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (2.3). Aby to zrobić, obliczamy

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, następnie

Do " .

Przybliżona wartość funkcji w punkcie

Zgodnie z definicją przyrostu funkcji y = f(x) w punkcie x 0, gdy zwiększany jest argument Dx (Dx®0), Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) i wzór (3.3) można zapisać

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Szczególnymi przypadkami wzoru (3.4) są wyrażenia:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4 V)

tgDx » Dx (3,4g)

Tutaj, podobnie jak poprzednio, zakłada się, że Dx®0.

Przykład 3 Znajdź przybliżoną wartość funkcji f (x) \u003d (3x -5) 5 w punkcie x 1 \u003d 2,02.

Rozwiązanie. Do obliczeń używamy wzoru (3.4). Przedstawmy x 1 jako x 1 = x 0 + Dx. Wtedy x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Przykład 4 Oblicz (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .

Rozwiązanie

1. Skorzystajmy ze wzoru (3.4a). Aby to zrobić, reprezentujemy (1.01) 5 jako (1+0.01) 5 .

Następnie zakładając Dx = 0,01, n = 5, otrzymujemy

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Przedstawiając w postaci (1 - 0,006) 1/6, zgodnie z (3.4a), otrzymujemy

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Biorąc pod uwagę, że ln(1,02) = ln(1 + 0,02) i zakładając Dx=0,02, ze wzoru (3.4b) otrzymujemy

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Podobnie

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Znajdź przybliżone przyrosty funkcji

155. y = 2x 3 + 5 gdy argument x zmienia się z x 0 = 2 na x 1 = 2,001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 dla x 0 \u003d 3 i Dx \u003d 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 przy x 0 \u003d 2 i Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x przy x 0 \u003d 10 i Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x przy x 0 \u003d 3 i Dx \u003d 0,01

Znajdź przybliżone wartości funkcji

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 przy x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 przy x 1 \u003d 3,02

162.y= w punkcie x 1 = 1,1

163. y \u003d w punkcie x 1 \u003d 3,032

164. y \u003d w punkcie x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d grzech 2x przy x 1 \u003d 0,015

Oblicz w przybliżeniu

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1,003×e) 179 ln(1,05) 5 180 ln

181,ln0,98 182,ln 183,ln(e 2 × 0,97)

Badanie funkcji i kreślenie

Oznaki monotoniczności funkcji

Twierdzenie 1 (warunek konieczny dla funkcji rosnących (malejących)) . Jeśli funkcja różniczkowalna y = f(x), xн(a; b) rośnie (maleje) na przedziale (a; b), to dla dowolnego x 0 н(a; b).

Twierdzenie 2 (warunek wystarczający dla funkcji rosnącej (malejącej)) . Jeżeli funkcja y = f(x), xн(a; b) ma w każdym punkcie przedziału (a; b) dodatnią (ujemną) pochodną, ​​to funkcja ta rośnie (maleje) na tym przedziale.

Skrajności funkcji

Definicja 1. Punkt x 0 nazywany jest punktem maksymalnym (minimalnym) funkcji y \u003d f (x) jeśli dla wszystkich x z jakiegoś d-sąsiedztwa punktu x 0 nierówność f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) dla x ¹ x 0 .

Twierdzenie 3 (Gospodarstwo) (warunek konieczny istnienia ekstremum) . Jeżeli punkt x 0 jest ekstremum funkcji y = f(x) i w tym punkcie istnieje pochodna, to

Twierdzenie 4 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum) . Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w pewnym d-sąsiedztwie punktu x 0 . Następnie:

1) jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x 0 zmienia znak z (+) na (-), to x 0 jest punktem maksymalnym;

2) jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x 0 zmienia znak z (-) na (+), to x 0 jest punktem minimalnym;

3) jeżeli pochodna nie zmienia znaku przy przejściu przez punkt x 0, to w punkcie x 0 funkcja nie ma ekstremum.

Definicja 2. Punkty, w których pochodna funkcji zanika lub nie istnieje, nazywamy punkty krytyczne pierwszego rodzaju.

korzystając z pierwszej pochodnej

1. Znajdź dziedzinę definicji D(f) funkcji y = f(x).

2. Oblicz pierwszą pochodną

3. Znajdź punkty krytyczne pierwszego rodzaju.

4. Umieścić punkty krytyczne w dziedzinie D(f) funkcji y = f(x) i wyznaczyć znak pochodnej w przedziałach, na jakie punkty krytyczne dzielą dziedzinę funkcji.

5. Wybierz punkty maksymalne i minimalne funkcji i oblicz wartości funkcji w tych punktach.

Przykład 1 Zbadaj funkcję y \u003d x 3 - 3x 2 dla ekstremum.

Rozwiązanie. Zgodnie z algorytmem znajdowania ekstremum funkcji przy użyciu pierwszej pochodnej mamy:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 to punkty krytyczne pierwszego rodzaju.

Pochodna przy przejściu przez punkt x = 0

zmienia znak z (+) na (-), czyli jest to punkt

Maksymalny. Przechodząc przez punkt x \u003d 2, zmienia znak z (-) na (+), dlatego jest to punkt minimalny.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksymalne współrzędne (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Minimalne współrzędne (2; -4).

Twierdzenie 5 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) . Jeśli funkcja y \u003d f (x) jest zdefiniowana i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu x 0, i , to w punkcie x 0 funkcja f (x) ma maksimum jeśli i minimum jeśli .

Algorytm znajdowania ekstremum funkcji

korzystając z drugiej pochodnej

1. Znajdź dziedzinę definicji D(f) funkcji y = f(x).

2. Oblicz pierwszą pochodną

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

AleΔ y = Δ F(X 0) jest przyrostem funkcji, oraz F (X 0) Δ x = re fa(X 0) jest różniczką funkcji.

Dlatego w końcu dostajemy

Twierdzenie 1. Niech funkcja y = f(X) w punkcie x 0 ma skończoną pochodną f (X 0)≠0. Następnie dla wystarczająco małych wartości Δ x, ma miejsce przybliżona równość (1), która staje się arbitralnie dokładna dla Δ X→ 0.

Zatem różniczka funkcji w punkcie X 0 jest w przybliżeniu równe przyrostowi funkcji w tym punkcie.

Ponieważ następnie z równości (1) otrzymujemy

Na Δ X→ 0 (2)

Na X→ X 0 (2  )

Od równania stycznej do wykresu funkcji y= F(X) w punkcie X 0 ma postać

To przybliżone równości (1)-(2) oznaczają geometrycznie, że w pobliżu punktu x=x 0 wykres funkcji y \u003d f(X) jest w przybliżeniu zastępowany przez styczną do krzywej y = f(X).

Dla dostatecznie małych wartości całkowity przyrost funkcji i różniczka różnią się nieznacznie, tj. . Ta okoliczność jest wykorzystywana do przybliżonych obliczeń.

Przykład 1 Oblicz w przybliżeniu .

Rozwiązanie. Rozważ funkcję i ustaw X 0 = 4, X= 3,98. Następnie Δ X =X –X 0 = – 0,02, F(X 0) = 2. Od , zatem F (X 0)=1/4=0,25. Zatem zgodnie ze wzorem (2) ostatecznie otrzymujemy: .

Przykład 2 Korzystając z różniczki funkcji, określ, jak w przybliżeniu zmieni się wartość funkcji y=F(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X podczas zmniejszania wartości swojego argumentu X 0 = 0 na 0,01.

Rozwiązanie. Na mocy (1) następuje zmiana funkcji y = f(X) w punkcie X 0 jest w przybliżeniu równe różniczce funkcji w tym punkcie dla wystarczająco małych wartości D X:

Oblicz różnicę funkcji zm(0). Mamy D X= -0,01. Ponieważ F (X)= 9X 2 tg4 X + ((3X 3 +5)/ co 2 4 X)∙4, zatem F (0)=5∙4=20 i zm(0)=F (0)∙Δ X= 20 (–0,01) = –0,2.

Dlatego Δ F(0) ≈ –0,2, tj. podczas zmniejszania wartości X 0 = 0 argument funkcji przez 0,01 wartości samej funkcji y=F(X) zmniejszy się o około 0,2.

Przykład 3 Niech funkcja popytu na produkt będzie wynosić . Wymagane jest znalezienie ilości popytu na produkt po cenie P 0 \u003d 3 den. i ustal, o ile w przybliżeniu wzrośnie popyt przy spadku ceny towaru o 0,2 jednostki pieniężnej.

Rozwiązanie. W cenie P 0 \u003d 3 den. wielkość popytu Q 0 =D(P 0)=270/9=30 jednostek dobra. Zmiana ceny Δ P= -0,2 den. jednostki Ze względu na (1) Δ Q (P 0) ≈ dQ (P 0). Obliczmy różnicę wielkości popytu na produkt.

Od tego czasu D (3) = –20 i

różnica w wielkości zapotrzebowania dQ(3) = D  (3)∙Δ P= –20 (–0,2) = 4. Zatem Δ Q(3) ≈ 4, tj. gdy cena towaru spada P 0 \u003d 3 na 0,2 jednostki pieniężnej. wielkość popytu na produkt wzrośnie o około 4 jednostki towaru i wyniesie około 30 + 4 = 34 jednostki towaru.

Pytania do samodzielnego sprawdzenia

1. Co nazywa się różniczką funkcji?

2. Jakie jest geometryczne znaczenie różniczki funkcji?

3. Wymień główne właściwości różniczki funkcji.

3. Napisz wzory, które pozwolą Ci znaleźć przybliżoną wartość funkcji na podstawie jej różniczki.