Obwód różnicujący to obwód, którego napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do pierwszej pochodnej napięcia wejściowego:
Ryż. 3.7.1. Schemat obwodu różniczkowego
Obwód różnicujący (ryc. 3.7.1) składa się z rezystora R i kondensator Z, którego parametry dobiera się tak, aby rezystancja czynna była wielokrotnie mniejsza niż reaktancja pojemnościowa.
Napięcia na wejściu i wyjściu obwodu są powiązane zależnością:
ty w = ty wyjście + ty C ;
ty na zewnątrz = I· R
ty C = ty W - ty na zewnątrz = ty W - iR ;
Jeśli wartość ja R znacznie mniej niż ty w takim razie ty w ≈ ty C.
Wartość τ = RC zwany stała czasowa łańcucha różniczkującego.
Im krótsza stała czasowa w porównaniu z czasem trwania impulsu wejściowego, tym większa dokładność różniczkowania.
Jeżeli na wejście układu różniczkującego zostanie przyłożone napięcie sinusoidalne, to napięcie wyjściowe również będzie sinusoidalne, jednak będzie przesunięte fazowo względem napięcia wejściowego, a jego amplituda będzie mniejsza niż amplituda na wejściu. Zatem obwód różnicujący, będący układem liniowym, nie zmienia składu widmowego dostarczanego do niego napięcia.
Przyłożenie impulsu prostokątnego, który jak wiadomo składa się z nieskończonej liczby składowych sinusoidalnych, na wejście układu różniczkującego powoduje zmianę amplitudy i fazy tych składowych, co prowadzi do zmiany kształtu napięcia wyjściowego w porównaniu do kształt wejścia.
Po przyłożeniu prostokątnego impulsu na wejście obwodu różnicującego kondensator rozpoczyna ładowanie Z poprzez opór R.
W początkowej chwili napięcie na kondensatorze wynosi zero, więc napięcie wyjściowe jest równe napięciu wejściowemu. W miarę ładowania kondensatora napięcie na nim zaczyna rosnąć zgodnie z prawem wykładniczym:
ty c = ty wejście · (1 – mi– t/τ);
gdzie τ = RC– stała czasowa obwodu.
Napięcie na wyjściu obwodu różnicującego:
ty na zewnątrz = ty W - ty c = ty W - ty wejście · (1 – mi– t/τ) = ty W · mi– t/τ);
Zatem w miarę ładowania kondensatora napięcie na wyjściu obwodu maleje wykładniczo. Gdy kondensator jest w pełni naładowany, napięcie na wyjściu obwodu różnicującego osiągnie zero.
Pod koniec impulsu prostokątnego napięcie na wejściu obwodu gwałtownie spadnie do zera. Ponieważ w tym momencie kondensator pozostaje w pełni naładowany, od tego momentu rozpocznie się jego rozładowywanie przez rezystancję R. Na początku rozładowywania kondensatora napięcie na wyjściu obwodu jest w przybliżeniu równe napięciu na kondensatorze, ale z przeciwnym znakiem, ponieważ kierunek prądu rozładowania jest przeciwny do prądu ładowania. W miarę rozładowywania kondensatora napięcie na wyjściu obwodu maleje wykładniczo.
Rozważmy obwód RC pokazany na ryc. 3.20, o. Niech na wejściu tego obwodu będzie działać napięcie u1(t).
Ryż. 3.20. Różnicowanie łańcuchów RC-(a) i RL-(b).
Wtedy dla tego łańcucha relacja jest prawdziwa
i biorąc pod uwagę przemiany, jakie będziemy mieli
Jeśli dla danego sygnału wybierzemy stałą czasową obwodu τ=RC na tyle dużą, że udział drugiego członu po prawej stronie (3.114) można pominąć, to składowa przemienna napięcia uR≈u1. Oznacza to, że przy dużych stałych czasowych napięcie na rezystancji R podąża za napięciem wejściowym. Taki obwód stosuje się, gdy konieczne jest przesyłanie zmian sygnału bez przesyłania składowej stałej.
Dla bardzo małych wartości τ w (3.114) można pominąć pierwszy człon. Następnie
tj. przy małych stałych czasowych τ obwód RC (rys. 3.20a) różnicuje sygnał wejściowy, dlatego taki obwód nazywa się różnicującym obwodem RC.
Podobne właściwości ma również obwód RL (ryc. 3.20b).
Ryż. 3.21. Charakterystyka częstotliwości (a) i przejścia (b) obwodów różnicujących.
Sygnały przechodzące przez obwody RC i RL nazywane są szybkimi if
lub powoli, jeśli
Wynika z tego, że rozważany obwód RC różnicuje wolne sygnały i przepuszcza szybkie sygnały bez zniekształceń.
Dla harmonicznych e. ds. podobny wynik można łatwo uzyskać, obliczając współczynnik transmisji obwodu (ryc. 3.20, a) jako współczynnik transmisji dzielnika napięcia o rezystancjach stacjonarnych R i XC = 1/ωC:
Przy małym τ, a mianowicie gdy τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в
W tym przypadku faza napięcia wyjściowego (argument K) jest równa π/2. Przesunięcie fazowe sygnału harmonicznego o π/2 jest równoznaczne z jego różniczkowaniem. Przy τ>>1/ω współczynnik transmisji K≈1.
W ogólnym przypadku moduł współczynnika transmisji (3,116) lub charakterystyka częstotliwościowa obwodu (ryc. 3.20a):
oraz argument K, czyli charakterystyka fazowa tego obwodu:
Zależności te pokazane są na rys. 3.21, za.
Obwód RL na ryc. ma te same cechy. 3,20,b ze stałą czasową τ=L/R.
Jeśli jako sygnał wyjściowy przyjmiemy pojedynczy skok napięcia, to całkując równanie (3.114) możemy otrzymać odpowiedź przejściową obwodu różnicującego, czyli zależność czasową sygnału wyjściowego dla pojedynczego skoku napięcia na wejściu:
Wykres odpowiedzi przejściowej pokazano na ryc. 3.21, ur.
Ryż. 3.22. Całkowanie obwodów RC-(a) i LC-(b).
Rozważmy obwód RC pokazany na ryc. 3.22, za. Opisuje to równanie
Przy małych τ=RC (dla sygnałów „wolnych”) uC≈u1. Dla sygnałów „szybkich” całkowane jest napięcie u1:
Dlatego obwód RC, którego napięcie wyjściowe jest usuwane z pojemności C, nazywany jest obwodem całkującym.
Współczynnik transmisji układu scalającego jest określony przez wyrażenie
W ω<<1/τ K≈1.
Charakterystyki częstotliwościowe i fazowe opisano odpowiednio za pomocą wyrażeń
Ryż. 3.23. Charakterystyki częstotliwościowe (a) i przejścia (b) układów scalających.
i są pokazane na rys. 3.23, a. Charakterystykę przejścia (ryc. 3.23, b) uzyskuje się całkując (3.121) w:
Przy równych stałych czasowych obwód RL pokazany na ryc. ma te same właściwości. 3.22, ur.
Obwód elektryczny, w którym napięcie wyjściowe U out (t) (lub prąd) jest proporcjonalne do całki czasowej napięcia wejściowego U in (t) (lub prąd):
Ryż. 1 .
Integrator wzmacniacza operacyjnego.<В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью Z pod wpływem przyłożonego prądu lub akumulacji magnetycznej. strumień w cewce z indukcyjnością L pod wpływem przyłożonego napięcia stosuje się głównie I.c. z kondensatorem.<С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R, równy prądowi ładowania
kondensator Z, a napięcie w miejscu ich połączenia wynosi zero. W rezultacie nazywa się iloczyn RC=t, który charakteryzuje szybkość ładowania kondensatora. stała czasowa I.c.<Широко используется простейшая RC-I. C. (ryc. 2, a). W tym obwodzie prąd ładowania kondensatora jest określony przez różnicę między napięciem wejściowym i wyjściowym, dlatego całkowanie napięcia wejściowego odbywa się w przybliżeniu i im dokładniej, im niższe jest napięcie wyjściowe w porównaniu do napięcia wejściowego. Ostatni warunek jest spełniony, jeśli stała czasowa t jest znacznie większa od przedziału czasu, w którym następuje całkowanie. Do prawidłowego całkowania impulsowego sygnału wejściowego konieczne jest, aby t było znacznie większe niż czas trwania impulsu T (rys. 3). RL-I ma podobne właściwości. c., pokazane na ryc. 2, b, dla którego stała czasowa jest równa L/R.
Ryż. 3.1 -
wejściowy impuls kwadratowy; 2 -
napięcie wyjściowe układu scalającego przy tдT.
I. c. służą do przetwarzania impulsów modulowanych czasem trwania na impulsy modulowane amplitudą, wydłużania impulsów, uzyskiwania napięcia piłokształtnego, izolowania składowych sygnału o niskiej częstotliwości itp. I. c. na operację wzmacniacze stosowane są w urządzeniach automatyki i komputerach analogowych do realizacji operacji całkowania.
53.Procesy przejściowe. Prawa komutacyjne i ich zastosowanie.
Procesy przejściowe- procesy zachodzące w obwodach elektrycznych pod różnymi wpływami, prowadzące je ze stanu stacjonarnego do nowego stanu stacjonarnego, to znaczy - pod działaniem różnego rodzaju urządzeń przełączających, na przykład kluczy, przełączników do włączania i wyłączania źródła lub odbiornika energii, podczas przerw w obwodzie, w przypadku zwarć poszczególnych odcinków obwodu itp.
Fizyczną przyczyną występowania procesów przejściowych w obwodach jest obecność w nich cewek i kondensatorów, czyli elementów indukcyjnych i pojemnościowych w odpowiednich obwodach zastępczych. Wyjaśnia to fakt, że energia pól magnetycznych i elektrycznych tych pierwiastków nie może się nagle zmienić przełączanie(proces zamykania lub otwierania przełączników) w obwodzie.
Proces przejściowy w obwodzie opisuje się matematycznie za pomocą równania różniczkowego
- niejednorodny (jednorodny), jeżeli obwód zastępczy obwodu zawiera (nie zawiera) źródła pola elektromagnetycznego i prądu,
- liniowy (nieliniowy) dla obwodu liniowego (nieliniowego).
Czas trwania procesu przejścia wynosi od ułamków nanosekund do lat. Zależy od konkretnego obwodu. Na przykład stała czasowa samorozładowania kondensatora z dielektrykiem polimerowym może sięgać tysiąca lat. Określany jest czas trwania procesu przejścia stała czasowa więzy.
Prawa przełączania dotyczą elementów energochłonnych (reaktywnych), tj. pojemności i indukcyjności. Mówią: napięcie na pojemności i prąd w indukcyjności pod skończonymi wpływami są ciągłymi funkcjami czasu, to znaczy nie mogą się gwałtownie zmieniać.
Matematycznie sformułowanie to można zapisać w następujący sposób
Do pojemnika;
Dla indukcyjności.
Prawa komutacji są konsekwencją definicji elementów pojemności i indukcyjności.
Fizycznie prawo komutacji indukcyjności wyjaśnia się przez przeciwdziałanie sile pola elektrycznego kondensatora na zmianę napięcia zewnętrznego .
54. Prądy wirowe, ich przejawy i zastosowanie.
prądy wirowe Lub Prądy Foucaulta(na cześć J. B. L. Foucaulta) - wirowe prądy indukcyjne powstające w przewodnikach, gdy zmienia się przenikające je pole magnetyczne.
Prądy wirowe zostały po raz pierwszy odkryte przez francuskiego naukowca D. F. Arago (1786-1853) w 1824 r. w miedzianym dysku umieszczonym na osi pod obracającą się igłą magnetyczną. Z powodu prądów wirowych dysk zaczął się obracać. Zjawisko to, zwane zjawiskiem Arago, kilka lat później wyjaśnił M. Faradaya z punktu widzenia odkrytego przez niego prawa indukcji elektromagnetycznej: wirujące pole magnetyczne indukuje w miedzianym dysku prądy wirowe, które oddziałują z igłą magnetyczną. Prądy wirowe zostały szczegółowo zbadane przez francuskiego fizyka Foucaulta (1819-1868) i nazwane jego imieniem. Odkrył zjawisko nagrzewania się ciał metalowych obracanych w polu magnetycznym przez prądy wirowe.
Prądy Foucaulta powstają pod wpływem zmiennego pola elektromagnetycznego i ze względu na swoją naturę fizyczną nie różnią się od prądów indukcyjnych powstających w drutach liniowych. Są wirowe, to znaczy zamknięte w pierścieniu.
Opór elektryczny masywnego przewodnika jest niski, dlatego prądy Foucaulta osiągają bardzo dużą siłę.
W piecach indukcyjnych wykorzystuje się efekt cieplny prądów Foucaulta - w cewce zasilanej przez generator wysokiej częstotliwości umieszcza się korpus przewodzący, w którym powstają prądy wirowe, które podgrzewają go do stopienia.
Za pomocą prądów Foucaulta metalowe części instalacji próżniowych są podgrzewane w celu ich odgazowania.
W wielu przypadkach prądy Foucaulta mogą być niepożądane. Aby z nimi walczyć, stosuje się specjalne środki: aby zapobiec stratom energii na skutek nagrzewania rdzeni transformatorów, rdzenie te montuje się z cienkich płyt oddzielonych warstwami izolacyjnymi. Pojawienie się ferrytów umożliwiło wytwarzanie tych rdzeni w postaci litej.
Badania prądami wirowymi są jedną z metod badań nieniszczących wyrobów wykonanych z materiałów przewodzących.
55. Transformator, podstawowe właściwości i rodzaje konstrukcji.
OBWÓD RÓŻNICZKOWY- urządzenie przeznaczone do różnicowania czasu elektrycznego. sygnały. Reakcja wyjściowa D. c. ty na zewnątrz ( T) jest powiązany z wpływem wejściowym ty W( T) poprzez relację , gdzie jest post. wielkość, która ma wymiar czasu. Istnieją pasywne i aktywne D. c. Pasywny DC stosowany w urządzeniach impulsowych i cyfrowych do skracania impulsów. Aktywny DC stosowane jako wyróżniki w obliczeniach analogowych. urządzenia. Najprostszy pasywny D.c. pokazany na ryc. 1, A. Prąd płynący przez pojemność jest proporcjonalny do pochodnej przyłożonego do niej napięcia. Jeżeli parametry D.c. wybrany w ten sposób,
Co ty do = ty w takim razie 
, A. Stan ty do = ty wejście jest realizowane, jeżeli przy najwyższej częstotliwości widma sygnału wejściowego. Opcja pasywnego D. c. pokazany na ryc. 1, B. Pod warunkiem, że mamy i
Ryż. 1. Schematy pasywnych obwodów różnicujących: A- pojemnościowy RC; B- indukcyjny R.L..
W konsekwencji dla danych parametrów D. c. Różnicowanie jest tym dokładniejsze, im niższe są częstotliwości, przy których koncentruje się energia sygnału wejściowego. Jednak im dokładniejsze różnicowanie, tym niższy współczynnik. obwód transmisyjny, a tym samym poziom sygnału wyjściowego. Ta sprzeczność jest eliminowana w aktywnych ośrodkach dynamicznych, gdzie proces różnicowania łączy się z procesem wzmacniania. W aktywnym DC używać wzmacniacze operacyjne(OA) objęte ujemnym sprzężeniem zwrotnym (rys. 2). Napięcie wejściowe ty W( T) wyróżnia się łańcuchem utworzonym kolejno. podłączenie kontenera Z I R eq - równoważna rezystancja obwodu między zaciskami wynosi 2-2", a następnie wzmacniacz operacyjny jest wzmacniany. Jeśli przyłożymy napięcie do wejścia odwracającego wzmacniacza operacyjnego, to pod warunkiem, że jego wzmocnienie , otrzymamy
Ryż. 2. Schemat aktywnego obwodu różnicującego.
Ryż. 3. Przejście impulsu przez obwód różnicujący RC: A- impuls wejściowy, ty w = mi Na ; B- napięcie na kondensatorze uc (t); V- napięcie wyjściowe .
Dla porownania. oceny aktywnego i pasywnego D. c. gdy inne rzeczy są równe, możesz użyć współczynnika . Przejeżdżając przez D.c. sygnałów impulsowych, ich czas trwania maleje, stąd koncepcja D.c. co do skracania. Diagramy czasowe ilustrujące przejście prostokątnego impulsu przez pasywny prąd stały pokazano na ryc. 3. Zakłada się, że źródło napięcia wejściowego charakteryzuje się zerem wewnętrznym. opór i D. c. - brak pojemności pasożytniczych. Dostępność wewnętrzna rezystancja prowadzi do zmniejszenia amplitudy napięcia na zaciskach wejściowych, a w konsekwencji do zmniejszenia amplitud impulsów wyjściowych; obecność pojemności pasożytniczych prowadzi do opóźnienia procesów narastania i opadania impulsów wyjściowych. Aktywne D. c. mają również podobny efekt skracający.
Mamy pełne prawo przejść do rozważań na temat obwodów składających się z tych elementów :) Tym właśnie zajmiemy się dzisiaj.
A pierwszym obwodem, którego działanie rozważymy, jest różnicujący obwód RC.
Różnicujący obwód RC.
Z nazwy obwodu w zasadzie już wiadomo, jakie elementy wchodzą w jego skład - kondensator i rezystor :) A wygląda to tak:
Działanie tego schematu opiera się na fakcie, że prąd płynący przez kondensator, jest wprost proporcjonalna do szybkości zmian przyłożonego do niego napięcia:
Napięcia w obwodzie są ze sobą powiązane w sposób następujący (zgodnie z prawem Kirchhoffa):
Jednocześnie zgodnie z prawem Ohma możemy napisać:
Wyraźmy to na podstawie pierwszego wyrażenia i podstawmy je do drugiego:
Zakładając, że (tj. szybkość zmian napięcia jest mała) otrzymujemy przybliżoną zależność dla napięcia wyjściowego:
Zatem obwód w pełni odpowiada swojej nazwie, ponieważ napięcie wyjściowe wynosi mechanizm różnicowy sygnał wejściowy.
Możliwy jest jednak także inny przypadek, gdy title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="134" style="vertical-align: -6px;"> (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства мы получаем такую ситуацию:!}
To jest: .
Można zauważyć, że warunek będzie lepiej spełniony dla małych wartości iloczynu, czyli tzw stała czasowa obwodu:
Zastanówmy się, co oznacza ta cecha obwodu :)
Ładowanie i rozładowywanie kondensatora następuje zgodnie z prawem wykładniczym:
Oto napięcie na naładowanym kondensatorze w początkowej chwili. Zobaczmy jaka będzie wartość napięcia po czasie:
Napięcie na kondensatorze spadnie do 37% wartości początkowej.
Okazuje się, że jest to czas, w którym kondensator:
- podczas ładowania – naładuje do 63%
- po rozładowaniu - rozładowany o 63% (rozładowany do 37%)
Teraz, gdy obliczyliśmy stałą czasową obwodu, wróćmy do różnicujący obwód RC 🙂
Omówiliśmy teoretyczne aspekty działania układu, więc zobaczmy, jak to działa w praktyce. Aby to zrobić, spróbujmy podać jakiś sygnał na wejście i zobaczmy, co stanie się na wyjściu. Jako przykład przyjmijmy na wejście sekwencję prostokątnych impulsów:
A oto jak wygląda oscylogram sygnału wyjściowego (drugi kanał jest niebieski):
Co tu widzimy?
W większości przypadków napięcie wejściowe jest stałe, co oznacza, że jego różnica wynosi 0 (pochodna stałej = 0). Dokładnie to widzimy na wykresie, co oznacza, że łańcuch spełnia swoją funkcję różnicującą. Jakie są przyczyny impulsów na oscylogramie wyjściowym? To proste - gdy sygnał wejściowy jest „włączony”, następuje proces ładowania kondensatora, to znaczy przez obwód przepływa prąd ładowania, a napięcie wyjściowe jest maksymalne. A następnie w miarę postępu ładowania prąd maleje zgodnie z prawem wykładniczym do zera, a wraz z nim maleje napięcie wyjściowe, bo jest równe . Powiększmy przebieg, a wtedy otrzymamy wyraźną ilustrację procesu ładowania:
Gdy sygnał zostanie „wyłączony” na wejściu obwodu różnicującego, zachodzi podobny proces przejściowy, ale jest on spowodowany nie ładowaniem, ale rozładowaniem kondensatora:
W tym przypadku stała czasowa obwodu jest mała, dzięki czemu obwód dobrze różnicuje sygnał wejściowy. Zgodnie z naszymi teoretycznymi obliczeniami, im bardziej zwiększymy stałą czasową, tym bardziej podobny będzie sygnał wyjściowy do sygnału wejściowego. Sprawdźmy to w praktyce :)
Zwiększymy rezystancję rezystora, co doprowadzi do wzrostu:
Tutaj nie ma co komentować - wynik jest oczywisty :) Obliczenia teoretyczne potwierdziliśmy przeprowadzając praktyczne eksperymenty, więc przejdźmy do kolejnego pytania - do integrowanie obwodów RC.
Zapiszmy wyrażenia służące do obliczania prądu i napięcia tego obwodu:
Jednocześnie możemy wyznaczyć prąd z prawa Ohma:
Przyrównujemy te wyrażenia i otrzymujemy:
Całkujmy prawą i lewą stronę równości:
Podobnie jak w przypadku różnicujący łańcuch RC Możliwe są tutaj dwa przypadki:
Aby mieć pewność, że obwód działa, podajmy na jego wejście dokładnie taki sam sygnał, jaki zastosowaliśmy analizując działanie układu różnicującego, czyli ciąg prostokątnych impulsów. Przy małych wartościach sygnał wyjściowy będzie bardzo podobny do sygnału wejściowego, a przy dużych wartościach stałej czasowej obwodu na wyjściu zobaczymy sygnał w przybliżeniu równy całce wejściowej. Jaki to będzie sygnał? Sekwencja impulsów reprezentuje odcinki o jednakowym napięciu, a całka stałej jest funkcją liniową (). Zatem powinniśmy zobaczyć napięcie piłokształtne na wyjściu. Sprawdźmy obliczenia teoretyczne w praktyce:
Kolor żółty pokazuje tutaj sygnał wejściowy, a kolor niebieski odpowiednio pokazuje sygnały wyjściowe przy różnych wartościach stałej czasowej obwodu. Jak widać uzyskaliśmy dokładnie taki efekt jakiego się spodziewaliśmy :)
Na tym kończymy dzisiejszy artykuł, ale nie kończymy studiowania elektroniki, więc do zobaczenia w nowych artykułach! 🙂
Stała czasowa obwodu RC
Obwód elektryczny RC
Rozważmy prąd w obwodzie elektrycznym składającym się z kondensatora o określonej pojemności C i rezystor o rezystancji R połączony równolegle.
Wartość prądu ładowania lub rozładowania kondensatora określa się na podstawie wyrażenia I = C(dU/dt), a wartość prądu w rezystorze, zgodnie z prawem Ohma, będzie wynosić U/R, Gdzie U- napięcie ładowania kondensatora.
Z rysunku widać, że prąd elektryczny I w elementach C I R zgodnie z prawem Kirchhoffa łańcuchy będą miały tę samą wartość i przeciwny kierunek. Dlatego można to wyrazić w następujący sposób:
Rozwiązywanie równania różniczkowego C(dU/dt)= -U/R
Zintegrujmy: 
Z tabeli całek używamy tutaj transformacji 
Otrzymujemy całkę ogólną równania: ln|U| = - t/RC + stała.
Wyraźmy napięcie, jakie z tego wynika U wzmocnienie: U = np-t/RC * e Konst.
Rozwiązanie będzie wyglądać następująco:
U = np-t/RC * Konst.
Tutaj Konst- stała, wartość określona przez warunki początkowe.
Dlatego napięcie Uładowanie lub rozładowywanie kondensatora będzie zmieniać się w czasie zgodnie z prawem wykładniczym mi-t/RC .
Wykładnik - funkcja exp(x) = mi x
mi– Stała matematyczna równa w przybliżeniu 2,718281828...
Stała czasowa τ
Jeśli kondensator o pojemności C szeregowo z rezystorem R podłączyć do źródła stałego napięcia U, w obwodzie będzie płynął prąd, który przez dowolny czas T naładuje kondensator do wartości U C i jest określony przez wyrażenie:
Potem napięcie U C na zaciskach kondensatora wzrośnie od zera do wartości U wykładniczo:
U do = U( 1 - mi-t/RC )
Na t = RC, napięcie na kondensatorze będzie wynosić U do = U( 1 - mi -1 ) = U( 1 - 1/mi).
Czas liczbowo równy iloczynowi RC, nazywana jest stałą czasową obwodu RC i jest oznaczony grecką literą τ
.
Stała czasowa τ = RC
Podczas τ
kondensator naładuje się do (1 - 1 /mi)*100% ≈ 63,2% wartości U.
W czasie 3 τ
napięcie będzie wynosić (1 - 1 /mi 3)*100% ≈ 95% wartości U.
W czasie 5 τ
napięcie wzrośnie do (1 - 1 /mi 5)*100% ≈ 99% wartości U.
Jeśli do kondensatora o pojemności C, naładowany do napięcia U, podłącz rezystor równolegle z rezystancją R, wówczas przez obwód przepłynie prąd rozładowania kondensatora.
Napięcie na kondensatorze podczas rozładowywania będzie wynosić UC = Ue-t/τ = U/e t/τ
Podczas τ
napięcie na kondensatorze spadnie do wartości Ty, który będzie 1 /mi*100% ≈ 36,8% wartości U.
W czasie 3 τ
kondensator rozładuje się do (1 /mi 3)*100% ≈ 5% wartości U.
W czasie 5 τ
do (1 /mi 5)*100% ≈ 1% wartości U.
Parametr τ powszechnie stosowane w obliczeniach RC-filtry różnych układów i podzespołów elektronicznych.
Zależność chwilowych wartości napięć i prądów na elementach
Obwód elektryczny
Dla obwodu szeregowego zawierającego rezystor liniowy R, cewkę indukcyjną L i kondensator C, po podłączeniu do źródła o napięciu u (patrz rys. 1), możemy napisać
gdzie x jest pożądaną funkcją czasu (napięcie, prąd, połączenie strumienia itp.); - znany zakłócający wpływ (napięcie i (lub) prąd źródła energii elektrycznej); - k-ty stały współczynnik określony przez parametry obwodu.
Rząd tego równania jest równy liczbie niezależnych urządzeń magazynujących energię w obwodzie, przez które rozumie się cewki indukcyjne i kondensatory w uproszczonym obwodzie uzyskanym z pierwotnego poprzez połączenie indukcyjności i odpowiednio pojemności elementów, połączenia pomiędzy którymi są szeregowe lub równoległe.
W ogólnym przypadku rząd równania różniczkowego jest określony przez relację
| , | (3) |
gdzie i są odpowiednio liczbą cewek i kondensatorów po określonym uproszczeniu pierwotnego obwodu; - liczba węzłów, w których zbiegają się tylko gałęzie zawierające cewki indukcyjne (zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa w tym przypadku prąd płynący przez dowolną cewkę jest określony przez prądy płynące przez pozostałe cewki); - liczba obwodów obwodu, których gałęzie zawierają tylko kondensatory (zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na którymkolwiek z kondensatorów w tym przypadku zależy od napięć na pozostałych).
Obecność sprzężeń indukcyjnych nie ma wpływu na rząd równania różniczkowego.
Jak wiadomo z matematyki, rozwiązanie ogólne równania (2) jest sumą rozwiązania szczególnego pierwotnego równania niejednorodnego i ogólnego rozwiązania równania jednorodnego otrzymanego z równania pierwotnego przez przyrównanie jego lewej strony do zera. Ponieważ od strony matematycznej nie ma żadnych ograniczeń co do wyboru konkretnego rozwiązania (2), w odniesieniu do elektrotechniki wygodnie jest przyjąć jako drugie rozwiązanie odpowiadające pożądanej zmiennej x w stanie ustalonym po komutacji tryb (teoretycznie dla ).
Konkretne rozwiązanie równania (2) jest określone przez rodzaj funkcji znajdującej się po jego prawej stronie i dlatego nazywa się je element wymuszony. Dla obwodów o zadanych stałych lub okresowych napięciach (prądach) źródła, składową wymuszoną wyznacza się poprzez obliczenie stacjonarnego trybu pracy obwodu po przełączeniu dowolną z omówionych wcześniej metod obliczania liniowych obwodów elektrycznych.
Drugi składnik rozwiązania ogólnego x równania (2) - rozwiązanie (2) z zerową prawą stroną - odpowiada reżimowi, w którym siły zewnętrzne (wymuszające) (źródła energii) nie działają bezpośrednio na obwód. Wpływ źródeł objawia się tutaj energią zmagazynowaną w polach cewek i kondensatorów. Ten tryb działania obwodu nazywa się swobodnym, a zmienna jest darmowy komponent.
Zgodnie z powyższym, . ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać
| (4) |
Z zależności (4) wynika, że przy klasycznej metodzie obliczeń proces pokomutacyjny rozpatruje się jako superpozycję dwóch modów – wymuszonej, która następuje bezpośrednio po przełączeniu i swobodnej, która występuje dopiero w procesie przejścia.
Należy podkreślić, że ponieważ zasada superpozycji obowiązuje tylko dla układów liniowych, to metoda rozwiązania oparta na określonym rozwinięciu żądanej zmiennej x obowiązuje tylko dla obwodów liniowych.
Warunki początkowe. Prawa komutacyjne
Zgodnie z definicją składnika swobodnego w jego wyrażeniu zachodzą stałe całkowania, których liczba jest równa rządowi równania różniczkowego. Stałe całkowania znajdują się na podstawie warunków początkowych, które zwykle dzielą się na niezależne i zależne. Niezależne warunki początkowe obejmują powiązanie strumienia (prądu) cewki indukcyjnej i ładunek (napięcie) na kondensatorze w danej chwili (chwila komutacji). Niezależne warunki początkowe wyznaczane są w oparciu o prawa komutacji (patrz tabela 2).
Tabela 2. Prawa komutacyjne
Więcej informacji można znaleźć na stronie: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf
Układ scalony RC
Rozważmy obwód elektryczny składający się z rezystora o rezystancji R i kondensator o pojemności C pokazany na rysunku.
Elementy R I C są połączone szeregowo, co oznacza, że prąd w ich obwodzie można wyrazić na podstawie pochodnej napięcia ładowania kondensatora dQ/dt = C(dU/dt) i prawo Ohma U/R. Oznaczamy napięcie na zaciskach rezystora Ty R.
Wtedy nastąpi równość:
Zintegrujmy ostatnie wyrażenie 
. Całka lewej strony równania będzie równa U na zewnątrz + stała. Przesuńmy składnik stały Konst w prawą stronę z tym samym znakiem.
Po prawej stronie stała czasowa RC Wyjmijmy to ze znaku całki:
W rezultacie okazało się, że napięcie wyjściowe Wychodzisz wprost proporcjonalna do całki napięcia na zaciskach rezystora, a zatem do prądu wejściowego ja w.
Składnik stały Konst nie zależy od wartości znamionowych elementów obwodu.
Aby zapewnić wprost proporcjonalną zależność napięcia wyjściowego Wychodzisz z całki wejściowej ty w, napięcie wejściowe musi być proporcjonalne do prądu wejściowego.
Nieliniowa zależność Ty w / Ja w w obwodzie wejściowym jest spowodowane faktem, że ładowanie i rozładowywanie kondensatora następuje wykładniczo mi-t/τ , co jest najbardziej nieliniowe w t/τ≥ 1, czyli gdy wartość T porównywalne lub więcej τ
.
Tutaj T- czas ładowania lub rozładowania kondensatora w danym okresie.
τ
= RC- stała czasowa - iloczyn ilości R I C.
Jeśli weźmiemy pod uwagę nominały RCłańcuchy kiedy τ
będzie dużo więcej T, następnie początkowa część wykładnicza przez krótki okres (w stosunku do τ
) może być dość liniowy, co zapewni niezbędną proporcjonalność między napięciem wejściowym a prądem.
Dla prostego obwodu RC stała czasowa jest zwykle przyjmowana o 1-2 rzędy wielkości większa niż okres przemiennego sygnału wejściowego, wówczas główna i znacząca część napięcia wejściowego spadnie na zaciskach rezystora, zapewniając dość liniową zależność U w /I w ≈ R.
W tym przypadku napięcie wyjściowe Wychodzisz będzie, z dopuszczalnym błędem, proporcjonalna do całki z wejścia ty w.
Im wyższe nominały RC, im mniejsza jest składowa zmienna na wyjściu, tym dokładniejsza będzie krzywa funkcji.
W większości przypadków przy stosowaniu takich obwodów nie jest wymagana składowa zmienna całki, potrzebny jest jedynie składnik stały Konst, a następnie wyznania RC możesz wybrać tak duży, jak to możliwe, ale biorąc pod uwagę impedancję wejściową następnego stopnia.
Przykładowo sygnał z generatora - dodatnia fala prostokątna o napięciu 1 V i okresie 2 mS - zostanie podany na wejście prostego układu całkującego RC o nominałach:
R= 10 kiloomów, Z= 1 uF. Następnie τ
= RC= 10 mS.
W tym przypadku stała czasowa jest tylko pięć razy dłuższa niż okres czasu, ale integrację wizualną można prześledzić dość dokładnie.
Z wykresu wynika, że napięcie wyjściowe na poziomie składowej stałej 0,5 V będzie miało kształt trójkąta, ponieważ odcinki, które nie zmieniają się w czasie, będą dla całki stałymi (oznaczamy to A), a całka stałej będzie funkcją liniową. ∫adx = topór + stała. Wartość stałej A określi nachylenie funkcji liniowej.
Całkujmy sinusoidę i otrzymajmy cosinus o przeciwnym znaku ∫sinxdx = -cosx + stała.
W tym przypadku składnik stały Konst = 0.
Jeśli na wejście zastosujesz przebieg trójkątny, na wyjściu będzie napięcie sinusoidalne.
Całką części liniowej funkcji jest parabola. W najprostszej formie ∫xdx = x 2 /2 + st.
Znak mnożnika określi kierunek paraboli.
Wadą najprostszego łańcucha jest to, że składowa przemienna na wyjściu jest bardzo mała w stosunku do napięcia wejściowego.
Rozważmy wzmacniacz operacyjny (O-Amp) jako integrator zgodnie z obwodem pokazanym na rysunku.
Biorąc pod uwagę nieskończenie duży opór wzmacniacza operacyjnego i regułę Kirchhoffa, równość będzie tutaj obowiązywać:
I w = I R = U w /R = - I C.
Napięcie na wejściach idealnego wzmacniacza operacyjnego wynosi tutaj zero, a następnie na zaciskach kondensatora U C = U na zewnątrz = - U na zewnątrz .
Stąd, Wychodzisz zostanie określony na podstawie prądu wspólnego obwodu.
Przy wartościach elementów RC, Gdy τ = 1 s, wyjściowe napięcie przemienne będzie miało wartość równą całce wejścia. Ale przeciwny znak. Idealny integrator-inwerter z idealnymi elementami obwodu.
Obwód różnicowy RC
Rozważmy wyróżnik wykorzystujący wzmacniacz operacyjny.
Idealny wzmacniacz operacyjny zapewni tutaj równe prądy Ja R = - I C zgodnie z regułą Kirchhoffa.
Napięcie na wejściach wzmacniacza operacyjnego wynosi zero, a zatem napięcie wyjściowe U na zewnątrz = U R = - U na zewnątrz = - U C .
Na podstawie pochodnej ładunku kondensatora, prawa Ohma i równości wartości prądów w kondensatorze i rezystorze piszemy wyrażenie:
U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)
Z tego widzimy, że napięcie wyjściowe Wychodzisz proporcjonalna do pochodnej ładunku kondensatora dU w /dt, jako szybkość zmian napięcia wejściowego.
Dla stałej czasowej RC, równe jedności, napięcie wyjściowe będzie miało wartość równą pochodnej napięcia wejściowego, ale będzie miała przeciwny znak. W rezultacie rozważany obwód różnicuje i odwraca sygnał wejściowy.
Pochodna stałej wynosi zero, zatem przy różniczkowaniu na wyjściu nie będzie składowej stałej.
Jako przykład przyłóżmy sygnał trójkątny do wejścia układu różniczkującego. Wyjściem będzie sygnał prostokątny.
Pochodna części liniowej funkcji będzie stałą, której znak i wielkość wyznacza nachylenie funkcji liniowej.
Dla najprostszego różniczkującego łańcucha RC dwóch elementów wykorzystujemy proporcjonalną zależność napięcia wyjściowego od pochodnej napięcia na zaciskach kondensatora.
U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)
Jeśli przyjmiemy wartości elementów RC tak, że stała czasowa jest o 1-2 rzędy wielkości mniejsza niż długość okresu, wówczas stosunek przyrostu napięcia wejściowego do przyrostu czasu w okresie może określić szybkość zmiany napięcia wejściowego w pewnym stopniu dokładnie. W idealnym przypadku przyrost ten powinien dążyć do zera. W takim przypadku główna część napięcia wejściowego spadnie na zaciskach kondensatora, a moc wyjściowa będzie niewielką częścią wejścia, dlatego takie obwody praktycznie nie są używane do obliczania pochodnej.
Najczęstszym zastosowaniem obwodów różniczkujących i integrujących RC jest zmiana długości impulsu w urządzeniach logicznych i cyfrowych.
W takich przypadkach nominały RC obliczane są wykładniczo mi-t/RC na podstawie długości impulsu w okresie i wymaganych zmian.
Na przykład poniższy rysunek pokazuje długość impulsu T ja na wyjściu łańcucha integrującego wzrośnie o czas 3 τ
. Jest to czas potrzebny do rozładowania kondensatora do 5% wartości amplitudy.
Na wyjściu obwodu różnicującego napięcie amplitudowe pojawia się natychmiast po przyłożeniu impulsu, ponieważ na zaciskach rozładowanego kondensatora jest równe zeru.
Następuje proces ładowania i napięcie na zaciskach rezystora maleje. W czasie 3 τ
zmniejszy się do 5% wartości amplitudy.
Tutaj 5% jest wartością orientacyjną. W obliczeniach praktycznych próg ten wyznaczany jest na podstawie parametrów wejściowych zastosowanych elementów logicznych.
