Załóżmy, że dla dowolnego przekroju (rys. 1.13) znane są momenty bezwładności względem osi współrzędnych z i y oraz znany jest odśrodkowy moment bezwładności Izy. Należy ustalić zależności momentów bezwładności względem osi 11 zy obróconych o kąt względem pierwotnych osi z i y (rys. 1.13). Kąt dodatni uznamy, jeśli obrót układu współrzędnych nastąpi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Niech dla danego przekroju IzI. yAby rozwiązać problem, znajdźmy związek pomiędzy współrzędnymi miejsca dA w osi oryginalnej i obróconej. Z rys. 1.13 wynika: Z trójkąta z trójkąta Mając to na uwadze, otrzymujemy Podobnie dla współrzędnej y1, którą otrzymujemy Biorąc pod uwagę, że ostatecznie mamy ), wyznaczamy moment bezwładności względem nowych (obróconych) osi z1 i y1: Podobnie odśrodkowy moment bezwładności I względem obracanych osi wyznaczany jest z zależności . Odejmując (1.27) od (1.26) otrzymujemy Wzór (1.30), który może posłużyć do obliczenia odśrodkowego momentu bezwładności względem osi z i y, zgodnie ze znanymi momentami bezwładności względem osi z, y oraz z1, y1 i wzorem (1.29) można wykorzystać do sprawdzenia obliczeń momentów bezwładności przekrojów złożonych. 1.8. Główne osie i główne momenty bezwładności przekroju Wraz ze zmianą kąta (patrz rys. 1.13) zmieniają się również momenty bezwładności. Dla niektórych wartości kąta 0 momenty bezwładności mają wartości ekstremalne. Osiowe momenty bezwładności o wartościach maksymalnych i minimalnych nazywane są głównymi osiowymi momentami bezwładności przekroju. Osie, względem których osiowe momenty bezwładności mają wartości maksymalne i minimalne, są głównymi osiami bezwładności. Z drugiej strony, jak zauważono powyżej, osie główne to osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności przekroju wynosi zero. Aby określić położenie głównych osi odcinków o dowolnym kształcie, bierzemy pierwszą pochodną względem I i przyrównujemy ją do zera: Należy zauważyć, że wzór (1.31) można otrzymać z (1.28) przyrównując go do zera. Jeśli podstawimy wartości kąta wyznaczonego z wyrażenia (1.31) na (1. 26) i (1.27), to po przekształceniu otrzymujemy wzory określające główne osiowe momenty bezwładności przekroju, wzór ten w swojej budowie przypomina wzór (4.12), który wyznacza naprężenia główne (patrz rozdział 4.3). Jeżeli IzI, to z badań drugiej pochodnej wynika, że ​​maksymalny moment bezwładności Imax zachodzi względem osi głównej obróconej pod kątem do osi z, a minimalny moment bezwładności - względem drugiej osi głównej położonej pod kątem 0. Jeśli II, wszystko się zmienia, wręcz przeciwnie. Wartości głównych momentów bezwładności Imax i I można również obliczyć z zależności (1.26) i (1.27), jeśli podstawimy je zamiast wartości. W tym przypadku pytanie rozwiązuje się samo: względem której osi głównej uzyskany jest maksymalny moment bezwładności, a względem której osi minimalny? Należy zauważyć, że jeśli dla przekroju główne środkowe momenty bezwładności względem osi z i y są równe, to dla tego przekroju dowolna oś środkowa jest główną i wszystkie główne środkowe momenty bezwładności są takie same (okrąg, kwadrat , sześciokąt, trójkąt równoboczny itp.). Można to łatwo ustalić z zależności (1.26), (1.27) i (1.28). Rzeczywiście załóżmy, że dla jakiegoś przekroju osie z i y są głównymi osiami środkowymi i dodatkowo I. yNastępnie ze wzorów (1.26) i (1.27) otrzymujemy, że Izy , 1a ze wzoru (1.28) upewniamy się, że 11 e. dowolne osie są głównymi środkowymi osiami bezwładności takiej figury. 1.9. Pojęcie promienia bezwładności Moment bezwładności przekroju względem dowolnej osi można przedstawić jako iloczyn pola przekroju przez kwadrat pewnej wielkości, zwanej promieniem bezwładności pola przekroju, gdzie iz ─ promień bezwładności względem osi z. Następnie z (1.33) wynika: Główne środkowe osie bezwładności odpowiadają głównym promieniom bezwładności: 1.10. Momenty oporu Rozróżnij osiowe i biegunowe momenty oporu. 1. Osiowy moment oporu to stosunek momentu bezwładności względem danej osi do odległości do najdalszego punktu przekroju poprzecznego od tej osi. Osiowy moment oporu względem osi z: oraz względem osi y: max gdzie odpowiednio ymax i zmax─ to odległości od głównych osi środkowych z i y do punktów najbardziej od nich oddalonych. W obliczeniach wykorzystywane są główne środkowe osie bezwładności i główne momenty centralne, dlatego pod Iz i Iy we wzorach (1.36) i (1.37) zrozumiemy główne środkowe momenty bezwładności przekroju. Rozważ obliczenie momentów oporu niektórych prostych przekrojów. 1. Prostokąt (patrz rys. 1.2): 2. Okrąg (patrz rys. 1.8): 3. Pierścieniowy przekrój rurowy (ryc. 1.14): . Dla profili walcowanych momenty wytrzymałości podane są w tabelach asortymentowych i nie ma potrzeby ich wyznaczania (patrz załącznik 24 - 27). 2. Biegunowy moment oporu to stosunek biegunowego momentu bezwładności do odległości od bieguna do najdalszego punktu przekroju maksymalnie 30. Za biegun przyjmuje się zwykle środek ciężkości przekroju. Na przykład dla okrągłego przekroju pełnego (ryc. 1.14): Dla okrągłego przekroju rurowego. Osiowe momenty oporu Wz i Wy charakteryzują czysto geometrycznie wytrzymałość pręta (belki) na odkształcenie zginające, a biegunowy moment oporu W charakteryzuje wytrzymałość na skręcanie.

Obliczmy momenty bezwładności dowolnego kształtu względem osi obróconych wokół danych osi i
na rogu (Rys. 4.14)

Niech momenty bezwładności względem osi
I
znany. Wybierz dowolną witrynę
i wyrazić jego współrzędne w układzie osi
I
poprzez współrzędne w starych osiach
I
:

Znajdźmy osiowe i odśrodkowe momenty bezwładności figury względem obróconych osi
I
:

Biorąc to pod uwagę

;
I
,

Zainstaluj w ten sam sposób:

Odśrodkowy moment bezwładności przyjmuje postać:

. (4.30)

Momenty osiowe wyrażamy w postaci sinusa i cosinusa podwójnego kąta. W tym celu wprowadzamy następujące funkcje:

. (4.31)

Podstawiając (4.31) do wzorów (4.27) i (4.28) otrzymujemy:

Jeśli dodamy wyrażenia na osiowe momenty bezwładności (4.32) i (4.33), otrzymamy:

Warunek (4.34) reprezentuje warunek niezmienności sumy osiowych momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi, tj. suma osiowych momentów bezwładności wokół dwóch wzajemnie prostopadłych osi nie zależy od kąta obrotu osi i jest wartością stałą. Wcześniej warunek ten otrzymywano na podstawie tego, że suma osiowych momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi była równa wartości biegunowego momentu bezwładności względem punktu przecięcia tych osi.

Badamy równanie momentu bezwładności do ekstremum i znajdź taką wartość kąta , przy którym moment bezwładności osiąga wartość ekstremalną. Aby to zrobić, bierzemy pierwszą pochodną momentu bezwładności według kąta (wyrażenie (4.32)) i zrównaj wynik do zera. Jednocześnie kładziemy
.

(4.35)

Wyrażenie w nawiasach oznacza odśrodkowy moment bezwładności względem osi nachylonych do osi
pod kątem . W odniesieniu do tych osi odśrodkowy moment bezwładności wynosi zero:

, (4.36)

co oznacza, że ​​nowe osie są osiami głównymi.

Ustalono wcześniej, że głównymi osiami bezwładności są te osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności wynosi zero. Teraz tę definicję można rozszerzyć - są to osie, względem których osiowe momenty bezwładności mają wartości ekstremalne. Nazywa się momenty bezwładności względem tych osi główne momenty bezwładności.

Znajdź położenie głównych osi bezwładności. Z wyrażenia (4.36) można otrzymać:

. (4.37)

Otrzymany wzór podaje kąt dwa znaczenia: I
.

W rezultacie istnieją dwie wzajemnie prostopadłe osie, względem których momenty bezwładności mają ekstremalne wartości. Jak wspomniano powyżej, takie osie nazywane są głównymi osiami bezwładności. Pozostaje ustalić, która z osi moment bezwładności osiąga wartość maksymalną, a względem której – wartość minimalną. Problem ten można rozwiązać badając drugą pochodną wyrażenia (4.32) względem kąta . Podstawiając w wyrażeniu drugą pochodną wartość kąta Lub
i badając znak drugiej pochodnej, można ocenić, który z kątów odpowiada maksymalnemu momentowi bezwładności, a który minimalnemu. Poniżej znajdują się wzory, które dadzą jednoznaczną wartość kąta .

Znajdź ekstremalne wartości momentów bezwładności. Aby to zrobić, przekształcamy wyrażenie (4.32) , usuwając nawiasy
:

Wykorzystujemy do niej funkcję znaną z trygonometrii i wyrażenie zastępcze (4.37), otrzymujemy:

. (4.39)

Podstawiając wyrażenie (4.39) do wzoru (4.38) i dokonując niezbędnych obliczeń, otrzymujemy dwa wyrażenia na skrajne momenty bezwładności, które nie uwzględniają kąta nachylenia osi :

; (4.40)

. (4.41)

Ze wzorów (4.40) i (4.41) widać, że wartości głównych momentów bezwładności są wyznaczane bezpośrednio poprzez momenty bezwładności względem osi
I
. Dlatego można je wyznaczyć bez znajomości położenia samych głównych osi.

Znając ekstremalne wartości momentów bezwładności
I
oprócz wzoru (4.37) można wyznaczyć położenie głównych osi bezwładności.

Podajemy wzory bez wyprowadzania, które pozwalają nam znaleźć kąty I pomiędzy osią
i główne osie:

;
(4.42)

Narożnik określa położenie osi, względem którego moment bezwładności osiąga wartość maksymalną (
), narożnik określa położenie osi, względem którego moment bezwładności osiąga wartość minimalną (
).

Wprowadzamy kolejną cechę geometryczną, która nazywa się promieniem bezwładności przekroju. Ta cecha jest oznaczona literą i można je obliczyć w odniesieniu do osi
I
w następujący sposób:

;
(4.43)

Promień bezwładności jest szeroko stosowany w zagadnieniach wytrzymałości materiałów, a jego zastosowanie zostanie omówione w kolejnych rozdziałach kursu.

Rozważmy kilka przykładów obliczeń konstrukcyjnych z uwzględnieniem obrotu osi i wykorzystania promienia bezwładności przekroju.

Przykład 4.7. Momenty bezwładności przekroju prostokątnego względem głównych osi wynoszą odpowiednio
cm4,
cm 4. Po obróceniu o 45 0 momenty bezwładności względem nowych osi okazały się takie same. Jaka jest ich wartość?

Aby rozwiązać zadanie, używamy wyrażenia (4.28), biorąc pod uwagę fakt, że odśrodkowy moment bezwładności względem głównych osi wynosi zero:

Zastąp we wzorze (a) wartości liczbowe momentów bezwładności i kąta obrotu osi:

Przykład 4.8. Która z figur (ryc. 4.15), mająca tę samą powierzchnię, ma promień bezwładności względem osi , będzie największy? Określ największy promień bezwładności przekroju względem osi .

1. Znajdź obszar każdej z figur i wymiary sekcji. Pole figur jest równe cm 2 dla trzeciej figury.

Średnicę pierwszego odcinka znajdujemy z wyrażenia:

cm.

Rozmiar boku kwadratu:

Podstawa trójkąta:

cm.

2. Znajdujemy momenty i promienie bezwładności każdego z odcinków względem osi środkowej .

Dla przekroju kołowego:

cm4;
cm.

Dla przekroju kwadratowego:

cm4;
cm.

Dla przekroju prostokątnego:

;

Dla przekroju trójkątnego:

cm4;
cm.

Największy promień bezwładności okazał się mieć przekrój prostokątny i jest równy
cm.

Główne osie i główne momenty bezwładności

Przy obrocie osi współrzędnych odśrodkowy moment bezwładności zmienia znak i dlatego istnieje takie położenie osi, w którym moment odśrodkowy jest równy zeru.

Nazywa się osie, wokół których zanika moment bezwładności odśrodkowej przekroju główne osie , a główne osie przechodzące przez środek ciężkości przekroju -główne środkowe osie bezwładności przekroju.

Nazywa się momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności przekrojugłówne momenty bezwładności przekrojui są oznaczone I1 i I2 z I1>I2 . Zazwyczaj mówiąc o momentach głównych, mamy na myśli osiowe momenty bezwładności względem głównych środkowych osi bezwładności.

Załóżmy, że osie u i v są główne. Następnie

Stąd

.

(6.32)

Równanie (6.32) określa położenie głównych osi bezwładności przekroju w danym punkcie względem pierwotnych osi współrzędnych. Kiedy osie współrzędnych są obracane, zmieniają się również osiowe momenty bezwładności. Znajdźmy położenie osi, względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne. Aby to zrobić, bierzemy pierwszą pochodną Iu przez α i przyrównaj to do zera:

stąd

.

Warunek div/dα. Porównując ostatnie wyrażenie ze wzorem (6.32) dochodzimy do wniosku, że głównymi osiami bezwładności są te osie, względem których osiowe momenty bezwładności przekroju osiągają wartości ekstremalne.

Aby uprościć obliczenia głównych momentów bezwładności, wzory (6.29) - (6.31) przekształca się, wykluczając z nich funkcje trygonometryczne za pomocą zależności (6.32):

.

(6.33)

Znak plus przed pierwiastkiem odpowiada większemu I1 , a znak minus do mniejszego I2 od momentów bezwładności przekroju.

Zwróćmy uwagę na jedną ważną właściwość przekrojów, w których osiowe momenty bezwładności względem głównych osi są takie same. Załóżmy, że osie y i z są głównymi (Iyz = 0), a Iy = Iz . Następnie według równości (6.29) - (6.31) dla dowolnego kąta obrotu osiα odśrodkowy moment bezwładności Iuv =0, a osiowe Iu=Iv.

Jeśli więc momenty bezwładności przekroju względem głównych osi są takie same, to wszystkie osie przechodzące przez ten sam punkt przekroju są głównymi, a osiowe momenty bezwładności względem wszystkich tych osi są takie same: Iu=Iv=Iy=Iz. Tę właściwość posiadają na przykład przekroje kwadratowe, okrągłe, pierścieniowe.

Wzór (6.33) jest podobny do wzorów (3.25) na naprężenia główne. W związku z tym główne momenty bezwładności można również wyznaczyć graficznie metodą Mohra.

Zmiana momentów bezwładności przy obrocie osi współrzędnych

Załóżmy, że układ osi współrzędnych jest dany i znane są momenty bezwładności Iz, Iy i Izy figury dotyczące tych osi. Obróćmy osie współrzędnych o pewien kątα przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i wyznacz momenty bezwładności tej samej figury względem nowych osi współrzędnych ty i v.

Ryż. 6.8.

Z rys. Z 6.8 wynika, że ​​współrzędne dowolnego punktu w obu układach współrzędnych są ze sobą powiązane relacjami

Moment bezwładności

Stąd,

	(6.29)
	(6.30)

odśrodkowy moment bezwładności

.

(6.31)

Z otrzymanych równań wynika, że

,

tj. suma osiowych momentów bezwładności pozostaje stała, gdy osie współrzędnych są obracane. Jeżeli zatem względem dowolnej osi moment bezwładności osiąga maksimum, to względem osi do niej prostopadłej ma on wartość minimalną.

Oblicz momenty bezwładności J u , J v i J uv:

Dodając pierwsze dwa wzory (3.14), otrzymujemy J ty + J v= J z+ J, tj. dla dowolnego obrotu wzajemnie prostopadłych osi suma osiowych momentów bezwładności pozostaje stała (niezmiennicza).

Główne osie i główne momenty bezwładności

Badanie funkcji J ty a) do skrajności. Aby to zrobić, przyrównujemy pochodną do zera J ty(a) przez A.

Ten sam wzór otrzymujemy przyrównując do zera moment bezwładności odśrodkowej

.

Osie główne nazywane są osiami, względem których osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości skrajne, a odśrodkowy moment bezwładności wynosi zero.

Można narysować nieskończoną liczbę głównych osi bezwładności, przyjmując za początek dowolny punkt na płaszczyźnie. Interesują nas tylko rozwiązania problemów wytrzymałości materiałów główna środkowa oś bezwładności. Główne środkowe osie bezwładności przechodzić przez środek ciężkości sekcji.

Wzór (3.17) podaje dwa rozwiązania różniące się o 90°, tj. pozwala określić dwie wartości kąta nachylenia głównych osi bezwładności względem osi wyjściowych. W odniesieniu do której z osi występuje maksymalny osiowy moment bezwładności J 1 = J max i w stosunku do którego - minimum J 2 = J min, należy rozwiązać zgodnie ze znaczeniem problemu.

Wygodniejsze są inne wzory, które jednoznacznie określają położenie głównych osi 1 i 2 (podane bez wyprowadzenia). W tym przypadku kąt dodatni mierzony jest od osi Oz przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

We wzorze (3.19) znak „+” odpowiada maksymalnemu momentowi bezwładności, a znak „-” minimum.

Komentarz . Jeżeli przekrój ma co najmniej jedną oś symetrii, to względem tej osi i każdej innej prostopadłej do niej odśrodkowy moment bezwładności jest równy zeru. Zgodnie z definicją głównych osi bezwładności możemy stwierdzić, że osie te są głównymi osiami bezwładności, tj. oś symetrii jest zawsze główną osią środkową.

Dla profili symetrycznych prezentowanych w asortymencie, ceowniku lub dwuteownika, głównymi środkowymi osiami bezwładności będą osie pionowa i pozioma przecinające się w połowie wysokości profilu.