Tarkime, kad savavališkai atkarpai (1.13 pav.) žinomi inercijos momentai koordinačių ašių z ir y atžvilgiu, taip pat žinomas išcentrinis inercijos momentas Izy. Reikia nustatyti priklausomybes inercijos momentams apie 11 zy ašių, pasuktų kampu pradinių z ir y ašių atžvilgiu (1.13 pav.). Kampą laikysime teigiamu, jei koordinačių sistemos sukimasis vyksta prieš laikrodžio rodyklę. Leiskite tam tikrai atkarpai IzI. yKad išspręstume problemą, rasime ryšį tarp vietos dA koordinačių pradinėje ir pasuktoje ašyje. Iš 1.13 pav.: Iš ​​trikampio iš trikampio Atsižvelgdami į tai, gauname Panašiai koordinatei y1 gauname Atsižvelgiant į tai, kad pagaliau turime 1Naudodami gautas priklausomybes (1.23), (1.24) ir inercijos momentų išraiškas (1.8), (1.9) ir (1.11 ) atkarpų, nustatome inercijos momentą naujų (pasuktų) ašių z1 ir y1 atžvilgiu: Panašiai išcentrinis inercijos momentas I pasuktų ašių atžvilgiu nustatomas pagal priklausomybė Atidarę skliaustus gauname Sudėjus, gauname Inercijos momentų, susijusių su viena kitai statmenomis ašimis, suma nesikeičia joms besisukant ir yra lygi pjūvio poliniam inercijos momentui . Iš (1.26) atėmus (1.27) gauname formulę (1.30) galima apskaičiuoti išcentriniam inercijos momentui apie z ir y ašis, remiantis žinomais inercijos momentais apie z, y ir z1, y1 ašis ir Sudėtingų pjūvių momentų inercijos skaičiavimams patikrinti galima naudoti formulę (1.29). 1.8. Pagrindinės pjūvio ašys ir pagrindiniai inercijos momentai Keičiantis kampui (žr. 1.13 pav.), kinta ir inercijos momentai. Esant kai kurioms kampo reikšmėms 0, inercijos momentai turi kraštutines vertes. Ašiniai inercijos momentai, turintys didžiausią ir mažiausią reikšmes, vadinami pagrindiniais pjūvio ašiniais inercijos momentais. Ašys, kurių ašiniai inercijos momentai turi didžiausią ir mažiausią reikšmes, yra pagrindinės inercijos ašys. Kita vertus, kaip pažymėta aukščiau, pagrindinės ašys yra ašys, kurių atžvilgiu sekcijos išcentrinis inercijos momentas yra lygus nuliui. Norėdami nustatyti pagrindinių ašių padėtį savavališkos formos pjūviuose, imame pirmąją išvestinę I atžvilgiu ir prilyginame ją nuliui: Kur Ši formulė nustato dviejų ašių padėtis, kurių vienos atžvilgiu ašinis inercijos momentas yra maksimalus, o kito atžvilgiu – minimumas. Reikia pažymėti, kad formulę (1.31) galima gauti iš (1.28), prilyginus ją nuliui. Jei kampo reikšmes, nustatytas iš (1.31) išraiškos, pakeisime į (1. 26) ir (1.27), tada po transformacijos gauname formules, kurios nustato pagrindinius pjūvio ašinius inercijos momentus.Savo struktūra ši formulė panaši į (4.12) formulę, kuri nustato pagrindinius įtempius (žr. 4.3 skyrių). . Jei IzI, tai, remiantis antrosios išvestinės studijomis, išplaukia, kad didžiausias inercijos momentas Imax atsiranda pagrindinės ašies, pasuktos kampu z ašies atžvilgiu, atžvilgiu, o mažiausias inercijos momentas – inercijos momento atžvilgiu. kita pagrindinė ašis, esanti 0 kampu Jei II, tai viskas pasikeičia atvirkščiai. Pagrindinių inercijos momentų Imax ir I reikšmės taip pat gali būti apskaičiuojamos iš priklausomybių (1,26) ir (1,27), jei pakeisime reikšmę jose. Šiuo atveju klausimas išsprendžiamas savaime: kurios pagrindinės ašies atžvilgiu gaunamas didžiausias inercijos momentas, o kurios ašies atžvilgiu – mažiausias? Būtina pažymėti, kad jei atkarpoje pagrindiniai centriniai inercijos momentai z ir y ašių atžvilgiu yra lygūs, tai šiai atkarpai bet kuri centrinė ašis yra pagrindinė ir visi pagrindiniai centriniai inercijos momentai yra vienodi (apskritimas , kvadratas, šešiakampis, lygiakraštis trikampis ir kt.). Tai nesunku nustatyti iš priklausomybių (1.26), (1.27) ir (1.28). Iš tiesų, darykime prielaidą, kad kai kurioms atkarpoms z ir y ašys yra pagrindinės centrinės ašys ir, be to, I. yTada iš (1.26) ir (1.27) formulių gauname, kad Izy, 1 ir iš formulės (1.28) esame įsitikinęs, kad 11 e. bet kurios ašys yra pagrindinės tokios figūros centrinės inercijos ašys. 1.9. Inercijos spindulio samprata Pjūvio inercijos momentas bet kurios ašies atžvilgiu gali būti pavaizduotas kaip skerspjūvio ploto sandauga iš tam tikros vertės kvadrato, vadinamo skerspjūvio ploto inercijos spinduliu, kur iz ─ inercijos spindulys z ašies atžvilgiu. Tada iš (1.33) seka: Pagrindinės centrinės inercijos ašys atitinka pagrindinius inercijos spindulius: 1.10. Pasipriešinimo momentai Yra ašiniai ir poliniai pasipriešinimo momentai. 1. Ašinis pasipriešinimo momentas yra inercijos momento apie tam tikrą ašį ir atstumo iki labiausiai nutolusio nuo šios ašies skerspjūvio taško santykis. Ašinis pasipriešinimo momentas z ašies atžvilgiu: ir y ašies atžvilgiu: max kur ymax ir zmax─ atitinkamai atstumai nuo pagrindinių centrinių ašių z ir y iki toliausiai nuo jų esančių taškų. Skaičiavimuose naudojamos pagrindinės centrinės inercijos ašys ir pagrindiniai centriniai momentai, todėl Iz ir Iy formulėse (1.36) ir (1.37) turime omenyje pagrindinius pjūvio centrinius inercijos momentus. Panagrinėkime kai kurių paprastų atkarpų pasipriešinimo momentų apskaičiavimą. 1. Stačiakampis (žr. 1.2 pav.): 2. Apskritimas (žr. 1.8 pav.): 3. Vamzdinis žiedinis pjūvis (1.14 pav.): . Valcuotų ruožų pasipriešinimo momentai pateikti asortimento lentelėse ir jų nustatyti nereikia (žr. 24 - 27 priedą). 2. Polinis pasipriešinimo momentas – tai poliarinio inercijos momento ir atstumo nuo poliaus iki tolimiausio ruožo taško santykis max 30. Poliu dažniausiai imamas ruožo svorio centras. Pvz., apskritam vientisam pjūviui (1.14 pav.): Vamzdiniam apskritam pjūviui. Ašiniai pasipriešinimo momentai Wz ir Wy vien iš geometrinės pusės apibūdina strypo (sijos) atsparumą lenkimo deformacijai, o poliarinis pasipriešinimo momentas W yra atsparumas sukimui.

Apskaičiuokime savavališkos formos figūros inercijos momentus ašių atžvilgiu, pasuktų duotų ašių atžvilgiu ir
kampu (4.14 pav.)

Tegul inercijos momentai apie ašis
Ir
žinomas. Pasirinkime savavališką svetainę
ir išreikšti jo koordinates ašių sistemoje
Ir
per ankstesnių ašių koordinates
Ir
:

Raskime figūros ašinius ir išcentrinius inercijos momentus pasuktų ašių atžvilgiu
Ir
:

Atsižvelgiant į tai

;
Ir
,

Tuo pačiu būdu mes įdiegsime:

Išcentrinis inercijos momentas yra toks:

. (4.30)

Ašinius momentus išreikškime dvigubo kampo sinusu ir kosinusu. Norėdami tai padaryti, pristatome šias funkcijas:

. (4.31)

Pakeitę (4.31) į (4.27) ir (4.28) formules, gauname:

Jei sudėsime ašinių inercijos momentų (4.32) ir (4.33) išraiškas, gausime:

Sąlyga (4.34) parodo ašinių inercijos momentų sumos nekintamumo sąlygą dviejų viena kitai statmenų ašių atžvilgiu, t.y. ašinių inercijos momentų apie dvi viena kitai statmenas ašis suma nepriklauso nuo ašių sukimosi kampo ir yra pastovi reikšmė. Anksčiau ši sąlyga buvo gauta remiantis tuo, kad ašinių inercijos momentų apie dvi viena kitai statmenas ašis suma buvo lygi polinio inercijos momento apie šių ašių susikirtimo tašką vertei.

Išnagrinėkime inercijos momento lygtį iki ekstremumo ir raskite kampo reikšmę , kai inercijos momentas pasiekia kraštutinę reikšmę. Tam imame pirmąją inercijos momento išvestinę pagal kampą (išraiška (4.32)) ir rezultatas lygus nuliui. Tuo pačiu dedame
.

(4.35)

Išraiška skliausteliuose reiškia išcentrinį inercijos momentą apie ašis, pasvirusias į ašį
kampu . Šių ašių atžvilgiu išcentrinis inercijos momentas yra lygus nuliui:

, (4.36)

o tai reiškia, kad naujosios ašys yra pagrindinės ašys.

Anksčiau buvo nustatyta, kad pagrindinės inercijos ašys yra ašys, kurių išcentrinis inercijos momentas yra lygus nuliui. Dabar šį apibrėžimą galima išplėsti - tai yra ašys, apie kurias nustatomi ašiniai inercijos momentai turi kraštutines vertybes. Šių ašių inercijos momentai vadinami pagrindiniai inercijos momentai.

Raskime pagrindinių inercijos ašių padėtį. Iš išraiškos (4.36) galime gauti:

. (4.37)

Gauta formulė nurodo kampą dvi reikšmės: Ir
.

Vadinasi, yra dvi viena kitai statmenos ašys, kurių inercijos momentai turi kraštutines vertes. Kaip minėta aukščiau, tokios ašys vadinamos pagrindinėmis inercijos ašimis. Belieka nustatyti, kurios iš ašių inercijos momentas pasiekia didžiausią reikšmę, o kurios – mažiausią inercijos momentą. Šią problemą galima išspręsti ištyrus antrąją išraiškos išvestinę (4.32) kampo atžvilgiu . Kampo reikšmės pakeitimas antrosios išvestinės išraiškoje arba
o nagrinėjant antrosios išvestinės ženklą galima spręsti, kuris iš kampų atitinka didžiausią inercijos momentą, o kuris mažiausią. Žemiau pateikiamos formulės, kurios suteiks nedviprasmišką kampo reikšmę .

Raskime ekstremalias inercijos momentų vertes. Norėdami tai padaryti, transformuojame išraišką (4.32), išimdami ją iš skliaustų
:

Naudojame iš trigonometrijos žinomą funkciją ir pakaitinę išraišką (4.37), gauname:

. (4.39)

Formule (4.38) pakeitę išraišką (4.39) ir atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname dvi ekstremalių inercijos momentų išraiškas, kurios neapima ašių pasvirimo kampo. :

; (4.40)

. (4.41)

Iš (4.40) ir (4.41) formulių aišku, kad pagrindinių inercijos momentų reikšmės nustatomos tiesiogiai per inercijos momentus ašių atžvilgiu
Ir
. Todėl juos galima nustatyti nežinant pačių pagrindinių ašių padėties.

Žinant kraštutines inercijos momentų vertes
Ir
Be formulės (4.37), galima nustatyti pagrindinių inercijos ašių padėtį.

Pateikiame formules be išvedimo, kurios leidžia rasti kampus Ir tarp ašies
ir pagrindinės ašys:

;
(4.42)

Kampas nustato ašies padėtį, kurios atžvilgiu inercijos momentas pasiekia didžiausią reikšmę (
), kampas nustato ašies padėtį, kurios atžvilgiu inercijos momentas pasiekia mažiausią reikšmę (
).

Pateikiame kitą geometrinę charakteristiką, kuri vadinama pjūvio sukimosi spinduliu. Ši savybė žymima raide ir gali būti apskaičiuojamas ašių atžvilgiu
Ir
tokiu būdu:

;
(4.43)

Inercijos spindulys plačiai naudojamas sprendžiant medžiagų stiprumo problemas, o jo taikymas bus aptartas tolesnėse kurso dalyse.

Panagrinėkime keletą konstrukcinių skaičiavimų pavyzdžių, atsižvelgiant į ašių sukimąsi ir naudojant sekcijos sukimosi spindulį.

4.7 pavyzdys. Stačiakampio pjūvio inercijos momentai pagrindinių ašių atžvilgiu yra atitinkamai lygūs
4 cm,
cm 4. Sukant 45 0, inercijos momentai naujųjų ašių atžvilgiu pasirodė vienodi. Koks jų dydis?

Norėdami išspręsti problemą, naudojame išraišką (4.28), atsižvelgdami į tai, kad išcentrinis inercijos momentas pagrindinių ašių atžvilgiu yra lygus nuliui:

Į formulę (a) pakeiskime inercijos momentų ir ašių sukimosi kampo skaitines vertes:

4.8 pavyzdys. Kuris iš figūrų (4.15 pav.), turintis tą patį plotą, turi sukimosi spindulį ašies atžvilgiu , bus didžiausias? Nustatykite didžiausią pjūvio sukimosi spindulį ašies atžvilgiu .

1. Raskite kiekvienos figūros plotą ir pjūvių matmenis. Figūrų plotas yra lygus cm 2 trečiajai figūrai.

Pirmosios sekcijos skersmenį randame iš išraiškos:

cm.

Kvadratinės pusės dydis:

Trikampio pagrindas:

cm.

2. Raskite kiekvienos atkarpos inercijos momentus ir spindulius centrinės ašies atžvilgiu .

Apvaliam skyriui:

cm 4;
cm.

Kvadratinei sekcijai:

cm 4;
cm.

Stačiakampei sekcijai:

;

Trikampei sekcijai:

cm 4;
cm.

Paaiškėjo, kad didžiausias sukimo spindulys yra stačiakampei atkarpai ir yra lygus
cm.

Pagrindinės ašys ir pagrindiniai inercijos momentai

Sukant koordinačių ašis, išcentrinis inercijos momentas keičia ženklą, todėl yra ašių padėtis, kurioje išcentrinis momentas yra lygus nuliui.

Vadinamos ašys, apie kurias išnyksta pjūvio išcentrinis inercijos momentas pagrindinės ašys , o pagrindinės ašys, einančios per atkarpos svorio centrą, yrapagrindinės centrinės sekcijos inercijos ašys.

Inercijos momentai apie pagrindines atkarpos inercijos ašis vadinamipagrindiniai atkarpos inercijos momentaiir yra žymimi I1 ir I2 su I1>I2 . Paprastai, kalbėdami apie pagrindinius momentus, jie turi omenyje ašinius inercijos momentus apie pagrindines centrines inercijos ašis.

Tarkime, kad ašys u ir v yra pagrindiniai. Tada

Iš čia

.

(6.32)

Lygtis (6.32) nustato atkarpos pagrindinių inercijos ašių padėtį tam tikrame taške pradinių koordinačių ašių atžvilgiu. Sukant koordinačių ašis, keičiasi ir ašiniai inercijos momentai. Raskime ašių, kurių atžvilgiu ašiniai inercijos momentai pasiekia kraštutines vertes, padėtį. Norėdami tai padaryti, imame pirmąjį išvestinį Iu pagal α ir nustatykite jį lygų nuliui:

iš čia

.

Sąlyga lemia tą patį rezultatą dIv/dα. Palyginus paskutinę išraišką su (6.32) formule, prieiname prie išvados, kad pagrindinės inercijos ašys yra ašys, apie kurias pjūvio ašiniai inercijos momentai pasiekia kraštutines reikšmes.

Siekiant supaprastinti pagrindinių inercijos momentų skaičiavimą, formulės (6.29) - (6.31) transformuojamos, iš jų pašalinant trigonometrines funkcijas naudojant ryšį (6.32):

.

(6.33)

Pliuso ženklas prieš radikalą atitinka didesnį I1 , o minuso ženklas yra mažesnis I2 nuo atkarpos inercijos momentų.

Nurodykime vieną svarbią atkarpų savybę, kuriose ašiniai inercijos momentai pagrindinių ašių atžvilgiu yra vienodi. Tarkime, kad ašys y ir z yra pagrindiniai (Iyz = 0), o Iy = Iz . Tada pagal lygybes (6.29) - (6.31) bet kokiam ašių sukimosi kampuiα išcentrinis inercijos momentas Iuv = 0, o ašinis Iu = Iv.

Taigi, jei atkarpos inercijos apie pagrindines ašis momentai yra vienodi, tai visos ašys, einančios per tą patį pjūvio tašką, yra pagrindinės, o ašiniai inercijos momentai apie visas šias ašis yra vienodi: Iu=Iv=Iy=Iz. Šią savybę turi, pavyzdžiui, kvadratinės, apvalios ir žiedinės sekcijos.

Formulė (6.33) yra panaši į pagrindinių įtempių formulę (3.25). Vadinasi, pagrindinius inercijos momentus galima nustatyti grafiškai Mohro metodu.

Kintantys inercijos momentai sukant koordinačių ašis

Tarkime, kad yra pateikta koordinačių ašių sistema ir žinomi inercijos momentai Iz, Iy ir Izy skaičiai, palyginti su šiomis ašimis. Pasukime koordinačių ašis tam tikru kampuα prieš laikrodžio rodyklę ir nustatyti tos pačios figūros inercijos momentus naujų koordinačių ašių atžvilgiu u ir v.

Ryžiai. 6.8.

Iš pav. 6.8 iš to išplaukia, kad bet kurio taško koordinatės abiejose koordinačių sistemose yra susijusios viena su kita ryšiais

Inercijos momentas

Vadinasi,

	(6.29)
	(6.30)

Išcentrinis inercijos momentas

.

(6.31)

Iš gautų lygčių aišku, kad

,

y., ašinių inercijos momentų suma sukant koordinačių ašis išlieka pastovi. Todėl, jei bet kurios ašies atžvilgiu inercijos momentas pasiekia maksimumą, tai statmenos ašies atžvilgiu jis turi mažiausią reikšmę.

Apskaičiuokime inercijos momentus J u, J v ir J uv:

Sudėjus pirmąsias dvi formules (3.14), gauname J u + J v= J z+ Jy, t.y. bet kokiam viena kitai statmenų ašių sukimuisi ašinių inercijos momentų suma išlieka pastovi reikšmė (nekaitoma).

Pagrindinės ašys ir pagrindiniai inercijos momentai

Panagrinėkime funkciją J u a) iki ekstremumo. Norėdami tai padaryti, išvestinę prilyginame nuliui J u a) a.

Tą pačią formulę gauname prilyginę išcentrinį inercijos momentą nuliui

.

Pagrindinės ašys vadinamos ašimis, kurių ašiniai inercijos momentai turi kraštutines reikšmes, o išcentrinis inercijos momentas lygus nuliui.

Begalinį skaičių pagrindinių inercijos ašių galima nubrėžti, pradžią imant bet kurį plokštumos tašką. Norėdami išspręsti medžiagų stiprumo problemas, mus domina tik pagrindinės centrinės inercijos ašys. Pagrindinės centrinės inercijos ašys pereiti per atkarpos svorio centrą.

Formulė (3.17) pateikia du sprendinius, kurie skiriasi 90°, t.y. leidžia nustatyti dvi pagrindinių inercijos ašių pasvirimo kampo vertes pradinių ašių atžvilgiu. Kurios iš ašių atžvilgiu gaunamas didžiausias ašinis inercijos momentas? J 1 = J max , o kurio atžvilgiu – minimumas J 2 = J min , turės būti išspręstas pagal uždavinio reikšmę.

Patogesnės yra kitos formulės, kurios vienareikšmiškai nustato pagrindinių ašių 1 ir 2 padėtį (duotos be išvedimo). Šiuo atveju teigiamas kampas matuojamas nuo ašies Ozas prieš laikrodžio rodyklę.

Formulėje (3.19) ženklas „+“ atitinka didžiausią inercijos momentą, o ženklas „–“ – mažiausią.

komentuoti . Jei pjūvis turi bent vieną simetrijos ašį, tai šios ašies ir bet kurios kitos jai statmenos ašies atžvilgiu išcentrinis inercijos momentas yra lygus nuliui. Pagal pagrindinių inercijos ašių apibrėžimą galime daryti išvadą, kad šios ašys yra pagrindinės inercijos ašys, t.y. simetrijos ašis visada yra pagrindinė centrinė ašis.

Simetriškiems profiliams, pateikiamiems asortimente, kanale arba I-sijoje, pagrindinės centrinės inercijos ašys bus vertikalios ir horizontalios ašys, susikertančios per pusę profilio aukščio.