Перетин та сума підпросторів лінійного простору. Перетин та сума підпросторів лінійного простору Розмірність, базис, координати

Визначення. Лінійний простірнад числовим полем Доназивається безліч R елементів, які називатимемо векторами і позначатим ,,і так далі, якщо:

З цих аксіом випливає, що:

Лінійні оболонки

Визначення.Лінійною оболонкоюсімейства векторів називається безліч їх усіляких лінійних комбінацій у лінійному просторі L.

Легко перевірити, що лінійна оболонка є лінійним простором у L.

Лінійну оболонку також називають підпростором, натягнутим на вектори або породженим векторами сімейства. Її можна визначити ще як перетин всіх підпросторів у L, що містять всі РангомСімейства векторів називається розмірність його лінійної оболонки.

Перше характеристичне властивість базису: його лінійна оболонка збігається з усімL.

Підпростору

Визначення. Лінійний підпростір або векторний підпростір- це непорожня безліч K лінійного простору L таке, що K саме є лінійним простором по відношенню до певних L діям складання та множення на скаляр. Безліч всіх підпростір позначають як Lat ( L ) . Щоб підмножина була підпростором, необхідно і достатньо, щоб

Останні два твердження еквівалентні наступному:

Зокрема, простір, що складається з одного елемента, є підпростором будь-якого простору; будь-який простір є сам собі підпростором. Підпростори, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

Властивості підпросторів

У функціональному аналізі у нескінченномірних просторах особливо виділяють замкнуті підпростори.

Лінійна залежність векторів

Визначення.Сімейство векторів називається лінійно незалежнимякщо жодна нетривіальна лінійна комбінація не дорівнює нулю, тобто з

слід, що все = 0. Інакше воно називається лінійно залежним. Лінійна незалежність сімейства означає, що нульовий вектор однозначно представляється як лінійної комбінації елементів сімейства.Тоді будь-який інший вектор має або єдину виставу, або жодного. Справді, порівнюючи два уявлення

Звідси випливає друга характеристика базису: його елементи лінійно незалежні.Визначення цих двох властивостей рівнозначне початковому визначенню базису.

Зауважимо, що сімейство векторів лінійно незалежно тоді і лише тоді, коли воно утворює базис своєї лінійної оболонки.

Сімейство свідомо лінійно залежно, якщо серед векторовість нульової або дві однакові.

Лемма 1.Сімейство векторів лінійно залежно тоді і лише тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших.

Доведення.

Якщо і

Навпаки, якщо , то

Лемма 2.лінійно залежно, тобто лінійної комбінацією.

Доведення.

Якщо не всерівні, то обов'язково, інакше ми отримали б нетривіальну залежність.

Лінійним (векторним)простором називається безліч V довільних елементів, званих векторами, у якому визначено операції складання векторів і множення вектора число, тобто. будь-яким двом векторам \mathbf(u) і (\mathbf(v)) поставлений у відповідність вектор \mathbf(u)+\mathbf(v), званий сумою векторів \mathbf(u) і (\mathbf(v)) , будь-якого вектора (\mathbf(v)) і будь-якого числа \lambda з поля дійсних чисел \mathbb(R) поставлений у відповідність вектор \lambda \mathbf(v), званий твором вектора \mathbf(v) на число \lambda; так що виконуються такі умови:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(комутативність складання);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(Асоціативність складання);
3. існує такий елемент \mathbf(o)\in V , званий нульовим вектором, що \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. для кожного вектора (\mathbf(v)) існує такий вектор , званий протилежним вектору \mathbf(v) , що \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ in \mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Умови 1-8 називаються аксіомами лінійного простору. Знак рівності, поставлений між векторами, означає, що в лівій і правій частинах рівності представлений один і той самий елемент множини V такі вектори називаються рівними.

У визначенні лінійного простору операція множення вектора число введена для дійсних чисел. Такий простір називають лінійним простором над полем дійсних (речових) чисел, або, коротше, речовим лінійним простором. Якщо у визначенні замість поля \mathbb(R) дійсних чисел взяти поле комплексних чисел \mathbb(C) , то отримаємо лінійний простір над полем комплексних чисел, або, коротше, комплексний лінійний простір. Як числове поле можна вибрати і поле \mathbb(Q) раціональних чисел, при цьому отримаємо лінійний простір над полем раціональних чисел. Далі, якщо не обумовлено неприємне, розглядатимуться речові лінійні простори. У деяких випадках для стислості говоритимемо про простір, опускаючи лінійне слово, так як всі простори, що розглядаються нижче - лінійні.

Зауваження 8.1

1. Аксіоми 1-4 показують, що лінійний простір є комутативною групою щодо операції додавання.

2. Аксіоми 5 і 6 визначають дистрибутивність операції множення вектора на число по відношенню до операції додавання векторів (аксіома 5) або до операції додавання чисел (аксіома 6). Аксіома 7, іноді звана законом асоціативності множення на число, виражає зв'язок двох різних операцій: множення вектора на число та множення чисел. Властивість, що визначається аксіомою 8, називається унітарністю операції множення вектора на число.

3. Лінійний простір - це безліч, оскільки обов'язково містить нульовий вектор.

4. Операції складання векторів та множення вектора на число називаються лінійними операціями над векторами.

5. Різниця векторів \mathbf(u) і \mathbf(v) називається сума вектора \mathbf(u) з протилежним вектором (-\mathbf(v)) і позначається: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Два ненульові вектори \mathbf(u) і \mathbf(v) називаються колінеарними (пропорційними), якщо існує таке число \lambda , що \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Поняття колінеарності поширюється будь-яке кінцеве число векторів. Нульовий вектор \mathbf(o) вважається колінеарним будь-яким вектором.

Наслідки аксіом лінійного простору

1. У лінійному просторі існує єдиний нульовий вектор.

2. У лінійному просторі для будь-якого вектора \mathbf(v)\in V існує єдиний протилежний вектор (-\mathbf(v))\in V.

3. Добуток довільного вектора простору число нуль дорівнює нульовому вектору, тобто. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Добуток нульового вектора на будь-яке число дорівнює нульовому вектору, тобто для будь-якого числа lambda .

5. Вектор, протилежний даному вектору, дорівнює добутку даного вектора число (-1), тобто. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. У виразах виду \mathbf(a+b+\ldots+z)(сума кінцевого числа векторів) або \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(Виробництво вектора на кінцеве число множників) можна розставляти дужки в будь-якому порядку, або взагалі не вказувати.

Доведемо, наприклад, перші дві властивості. Єдиність нульового вектора. Якщо \mathbf(o) і \mathbf(o)" - два нульові вектори, то по аксіомі 3 отримуємо дві рівності: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"або \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), ліві частини яких дорівнюють по аксіомі 1. Отже, рівні та праві частини, тобто. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Єдиність протилежного вектора. Якщо вектор \mathbf(v)\in V має два протилежні вектори (-\mathbf(v)) і (-\mathbf(v))" , то за аксіомами 2, 3,4 отримуємо їх рівність:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Інші властивості доводяться аналогічно.

Приклади лінійних просторів

1. Позначимо \(\mathbf(o)\) - множина, що містить один нульовий вектор, з операціями \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)і \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Для зазначених операцій аксіоми 1-8 виконуються. Отже, множина \(\mathbf(o)\) є лінійним простором над будь-яким числовим полем. Цей лінійний простір називається нульовим.

2. Позначимо V_1,\,V_2,\,V_3 - множини векторів (спрямованих відрізків) на прямій, на площині, у просторі відповідно до звичайних операцій складання векторів і множення векторів на число. Виконання аксіом 1-8 лінійного простору випливає з курсу елементарної геометрії. Отже, множини V_1,\,V_2,\,V_3 є речовими лінійними просторами. Замість вільних векторів можна розглянути відповідні множини радіус-векторів. Наприклад, безліч векторів площині, мають загальне початок, тобто. відкладених від однієї фіксованої точки площини, є речовим лінійним простором. Безліч радіус-векторів одиничної довжини не утворює лінійного простору, тому що для будь-якого з цих векторів сума \mathbf(v)+\mathbf(v)не належить розглянутій множині.

3. Позначимо \mathbb(R)^n - безліч матриць-стовпців розмірів n\times1 з операціями складання матриць і множення матриць на число. Аксіоми 1-8 лінійного простору для цієї множини виконуються. Нульовим вектором у цій множині служить нульовий стовпець o=\begin(pmatrix)0&cdots&0\end(pmatrix)^T. Отже, безліч \mathbb(R)^n є дійсним лінійним простором. Аналогічно, безліч \mathbb(C)^n стовпців розмірів n\times1 з комплексними елементами є комплексним лінійним простором. Безліч матриць-стовпців з невід'ємними дійсними елементами, навпаки, не є лінійним простором, тому що не містить протилежних векторів.

4. Позначимо \(Ax=o\) - безліч рішень однорідної системи Ax=o лінійних рівнянь алгебри з і невідомими (де A - дійсна матриця системи), що розглядається як безліч стовпців розмірів n\times1 з операціями складання матриць і множення матриць на число . Зауважимо, що це операції дійсно визначено на безлічі \(Ax=o\) . З якості 1 рішень однорідної системи (див. разд. 5.5) випливає, що сума двох рішень однорідної системи та добуток її розв'язання на число є рішеннями однорідної системи, тобто. належать множині \ (Ax = o \). Аксіоми лінійного простору для стовпців виконуються (див. пункт 3 у прикладах лінійних просторів). Тому безліч рішень однорідної системи є речовим лінійним простором.

Безліч \(Ax=b\) рішень неоднорідної системи Ax=b,~b\ne o , навпаки, не є лінійним простором, хоча б тому, що не містить нульового елемента (x=o не є рішенням неоднорідної системи).

5. Позначимо M_(m\times n) - безліч матриць розмірів m\times n з операціями складання матриць та множення матриць на число. Аксіоми 1-8 лінійного простору для цієї множини виконуються. Нульовим вектором є нульова матриця відповідних розмірів. Отже, множина M_(m\times n) є лінійним простором.

6. Позначимо P(\mathbb(C)) - безліч багаточленів однієї змінної з комплексними коефіцієнтами. Операції складання багато членів та множення багаточлена на число, що розглядається як багаточлен нульового ступеня, визначені та задовольняють аксіомам 1-8 (зокрема, нульовим вектором є багаточлен, що тотожно дорівнює нулю). Тому безліч P(\mathbb(C)) є лінійним простором над полем комплексних чисел. Безліч P(\mathbb(R)) багаточленів із дійсними коефіцієнтами також є лінійним простором (але, зрозуміло, над полем дійсних чисел). Множина P_n(\mathbb(R)) багаточленів ступеня не вище, ніж n, з дійсними коефіцієнтами також є речовим лінійним простором. Зауважимо, що операція додавання багато членів визначено на цій множині, тому що ступінь суми багаточленів не перевищує ступенів доданків.

Безліч багаточленів ступеня n не є лінійним простором, так як сума таких багаточленів може виявитися багаточленом меншого ступеня, що не належить множині, що розглядається. Безліч усіх багаточленів ступеня не вище, ніж л, з позитивними коефіцієнтами також не є лінійним простором, оскільки при множенні такого багаточлена на негативне число отримаємо багаточлен, що не належить цій множині.

7. Позначимо C(\mathbb(R)) - безліч дійсних функцій, визначених і безперервних на \mathbb(R). Сума (f+g) функцій f,g та добуток \lambda f функції f на дійсне число \lambda визначаються рівностями:

(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)для всіх x\in \mathbb(R)

Ці операції дійсно визначено на C(\mathbb(R)) , оскільки сума безперервних функцій і добуток безперервної функції число є безперервними функціями, тобто. елементами C(\mathbb(R)) . Перевіримо виконання аксіом лінійного простору. З комутативності складання дійсних чисел випливає справедливість рівності f(x)+g(x)=g(x)+f(x)для будь-якого x\in\mathbb(R). У цьому f+g=g+f , тобто. аксіома 1 виконується. Аксіома 2 випливає аналогічно з асоціативності додавання. Нульовим вектором служить функція o (x), тотожно рівна нулю, яка, зрозуміло, є безперервною. Для будь-якої функції f виконується рівність f(x) + o (x) = f (x), тобто. справедлива аксіома 3. Протилежним вектором вектора f буде функція (-f)(x)=-f(x) . Тоді f+(-f)=o (аксіома 4 виконується). Аксіоми 5, 6 випливають з дистрибутивності операцій додавання та множення дійсних чисел, а аксіома 7 - з асоціативності множення чисел. Остання аксіома виконується, оскільки множення на одиницю не змінює функцію: 1\cdot f(x)=f(x) будь-якого x\in \mathbb(R) , тобто. 1 \ cdot f = f . Таким чином, безліч C(\mathbb(R)), що розглядається, з введеними операціями є речовим лінійним простором. Аналогічно доводиться, що C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- безлічі функцій, що мають безперервні похідні першого, другого і т.д. порядків відповідно також є лінійними просторами.

Позначимо - безліч тригонометричних двочленів (часто ти \ omega \ ne0) з дійсними коефіцієнтами, тобто. безліч функцій виду f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, де a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Сума таких двочленів і добуток двочлена на дійсне число є тригонометричним двочленом. Аксіоми лінійного простору для розглянутої множини виконуються (бо T_(\omega)(\mathbb(R))\subset C(\mathbb(R))). Тому безліч T_(\omega)(\mathbb(R))із звичайними для функцій операціями складання та множення на число є речовим лінійним простором. Нульовим елементом служить двочлен o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, тотожно дорівнює нулю.

Багато дійсних функцій, визначених і монотонних на \mathbb(R) , не є лінійним простором, так як різниця двох монотонних функцій може виявитися немонотонною функцією.

8. Позначимо \mathbb(R)^X - безліч дійсних функцій, визначених на множині X, з операціями:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Воно є речовим лінійним простором (доказ такий самий, як у попередньому прикладі). У цьому безліч X може бути обрано довільно. Зокрема, якщо X = \ (1,2, \ ldots, n \), F(X) - упорядкований набір чисел f_1,f_2,\ldots,f_n, де f_i=f(i),~i=1,\ldots,nТакий набір можна вважати матрицею-стовпцем розмірів n\times1, тобто. безліч \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))збігається з безліччю \mathbb(R)^n (див. пункт 3 прикладів лінійних просторів). Якщо X=\mathbb(N) (нагадаємо, що \mathbb(N) - безліч натуральних чисел), то отримуємо лінійний простір \mathbb(R)^(\mathbb(N))- безліч числових послідовностей \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Зокрема, безліч схожих числових послідовностей також утворює лінійний простір, так як сума двох схожих послідовностей сходиться, і при множенні всіх членів послідовності, що сходить, на число отримуємо схожу послідовність. Навпаки, безліч послідовностей, що розходяться, не є лінійним простором, так як, наприклад, сума розбіжних послідовностей може мати межу.

9. Позначимо \mathbb(R)^(+) - безліч позитивних дійсних чисел, в якому сума aoplus b і добуток lambdaast a (позначення в цьому прикладі відрізняються від звичайних) визначені рівностями: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), Іншими словами, сума елементів розуміється як добуток чисел, а множення елемента на число - як зведення в ступінь. Обидві операції дійсно визначені на безлічі \mathbb(R)^(+) , оскільки добуток позитивних чисел є позитивним числом і будь-який дійсний ступінь позитивного числа є позитивним числом. Перевіримо справедливість аксіом. Рівності

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

показують, що аксіоми 1, 2 виконуються. Нульовим вектором даної множини є одиниця, оскільки aoplus1=acdot1=a, тобто. o=1. Протилежним для вектором є вектор \frac(1)(a) , який визначений, так як a\ne o . Справді, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Перевіримо виконання аксіом 5, 6,7,8:

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\;;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a = a^ \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(gathered)

Усі аксіоми виконуються. Отже, розглянута множина є речовим лінійним простором.

10. Нехай V - речовий лінійний простір. Розглянемо безліч визначених V лінійних скалярних функцій, тобто. функцій f\colon V\to \mathbb(R), що приймають дійсні значення та задовольняють умовам:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(Адитивність);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(Однорідність).

Лінійні операції над лінійними функціями задаються так само, як у пункті 8 прикладів лінійних просторів. Сума f+g і добуток lambda cdot f визначаються рівностями:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Виконання аксіом лінійного простору підтверджується також, як у пункті 8. Тому безліч лінійних функцій, визначених на лінійному просторі V є лінійним простором. Цей простір називається сполученим до простору V і позначається V ^ (\ ast). Його елементи називають ковекторами.

Наприклад, безліч лінійних форм змінних n, що розглядаються як безліч скалярних функцій векторного аргументу, є лінійним простором, пов'язаним до простору \mathbb(R)^n .

Якщо помітили помилку, друкарську помилку або є пропозиції, напишіть у коментарях.

Лінійний простір називається безліч L , У якому визначено операції складання і множення число, тобто. для кожної пари елементів a,bL існує деякий cL , Який називається їх сумою, і для будь-якого елемента aL і будь-якого числа R існує bL званий твором  на a. Елементи лінійного простору називаються векторами . Операції додавання та множення на число задовольняють наступним аксіомам.

Аксіоми складання:  a, b, c  L

a+b = b+a –комутативність

(a+b) + c = a + (b+c) –асоціативність

У просторі існує такий елемент, який називається нуль-вектор і позначається 0 , який у сумі з будь-яким aз L дає цей же елемент a,тобто.  0L:  a L 0 + a = a.

Для кожного aз L існує протилежний елемент , що позначається -a, такий що (-a) + a = 0

( a L  (-a) L: (-a) + a = 0)

Наслідки з аксіом додавання:

1. Нуль-вектор єдиний, тобто. якщо хоча б для одного a L справедливо, що b + a = a, то b = 0.

2. Для будь-якого вектора aL протилежний елемент єдиний, тобто. b + a = 0  b = (-a)

Аксіоми множення:  ,  R  a, b  L

 (a) = ()a

(a+b) =a +b –дистрибутивність (за векторами)

(+)a =a +a –дистрибутивність (за числами)

1a = a

Наслідки з аксіом множення:  a L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-a) = (-1) a
^

2.1 Приклади лінійних просторів

1. Простір K n стовпців висоти n. Елементами цього простору є стовпці, що містять n дійсних чисел, з операціями покомпонентного додавання та покомпонентного множення на число. Нуль-вектором у такому просторі є стовпець, що складається з n нулів.

2. Звичайні вектори у тривимірному просторі R 3 з операціями складання “за правилом паралелограма” та множенням-розтягуванням. Передбачається, що початки всіх векторів знаходяться на початку координат, нуль-вектор - це вектор, який і закінчується на початку координат

3. Багаточлен ступеня n від однієї змінної 1 називається функція

P n ( x ) =  n x +  n-1 x n n-1 + … +  1 x +  0 причому  n  0

Безліч багаточленів, ступеня не вище n, із звичайними операціями складання та множення на число, утворюють лінійний простір. Зазначимо, що багато многочленів, ступеня n, лінійного простору не утворюють. Справа в тому, що сума двох багаточленів ступеня, наприклад, 3 може бути багаточленом ступеня 2 (наприклад, ( x 3 + 3) + (– x 3 – 2x 2 + 7) = – 2x 2 + 10 - багаточлен ступеня 2). Однак, операція складання багаточленів може знизити ступінь, але не підвищити її, тому безліч багаточленів, ступеня не вище n, замкнуто щодо додавання (тобто сума двох багаточленів, ступеня не вище n - завжди многочлен, ступеня не вище n) і утворює лінійний простір.
^

2.2 Розмірність, базис, координати.

Лінійною комбінацією векторів ( e 1 , e 2 , …e n)  називається вираз  1 e 1 +  2 e 2 + …  n e n = Таким чином, лінійна комбінація – це просто сума векторів із числовими коефіцієнтами. Якщо всі коефіцієнти  iрівні 0, лінійна комбінація називається тривіальною .

Система 2 векторів називається лінійно залежною якщо існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, рівна 0 . Іншими словами, якщо існують такі n чисел  R, що не всі вони дорівнюють нулю, і лінійна комбінація векторів з коефіцієнтами дорівнює нуль-вектору:

В іншому випадку вектори називаються лінійно незалежними . Іншими словами – вектори називаються лінійно незалежними , якщо
з  1 e 1 +  2 e 2 + …+  n e n = 0 слід  1 =  2 = …=  n = 0, тобто. якщо будь-яка лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нуль-вектору, є тривіальною.

Розкладанням вектора aза системою векторів ( e i) називається уявлення aу вигляді лінійної комбінації векторів ( e i). Іншими словами, розкласти вектор aза векторами ( e i) означає знайти такі числа  i , щоб

a = 1 e 1 +  2 e 2 + …  k e k

Зауважимо, що визначення незалежності векторів можна надати таку форму: вектори незалежні, тоді і тільки тоді, коли розкладання 0 щодо них єдино.

Лінійний простір називається кінцевомірним якщо існує таке ціле n, що всі незалежні системи векторів у цьому просторі містять не більше n елементів.

Розмірністю кінцевого лінійного простору L називається максимально можливе число лінійно незалежних векторів (позначається dim L або dim L ). Іншими словами, лінійний простір називається n-мірним , якщо:

1. у просторі існує незалежна система, що складається з n векторів;

2. Будь-яка система, що складається з n +1 вектора, лінійно залежна.

Базисом лінійного простору L nназивається будь-яка незалежна система векторів, число елементів якої дорівнює розмірності простору.

Теорема 1.Будь-яку незалежну систему векторів можна доповнити до базису. Тобто, якщо система  L kнезалежна та містить векторів менше, ніж розмірність простору (n  L k, що об'єднана сукупність векторів ( e 1 ,e 2 ,…e n, f 1 ,f 2 ,…f k-n) незалежна, містить k векторів і, отже, утворює базис L k. ▄ Таким чином, у кожному лінійному просторі є багато (насправді – нескінченно багато) базисів.

Система векторів називається повної якщо будь-який aL можна розкласти по векторах системи (можливе розкладання не єдине).

Навпаки, розкладання будь-якого вектора незалежною системою завжди єдино (але не завжди існує). Тобто.

Теорема 2Розкладання будь-якого вектора за базисом лінійного простору завждиіснує і єдино. Тобто базис є незалежною та повною системою. Коефіцієнти  i розкладання вектора за базисом ( e i) називаються координатами вектора в базисі ( e i }.▄

Усі координати нуль-вектора дорівнюють 0 у будь-якому базисі.

2.3 Приклади

1. Простір R 3 – відомий зі шкільного курсу тривимірний простір векторів-“спрямованих відрізків” із звичайними операціями додавання “за правилом паралелограма” та множення на число. Стандартний базис утворюють три взаємно перпендикулярні вектори, спрямованих по трьох осях координат; їх позначають буквами i , jі k.

2. Простір K n стовпців висоти n має розмірність n. Стандартний базис у просторі стовпців утворюють вектори – це стовпці, які мають на i–ой позиції стоять одиниці, інші елементи нули:

Дійсно, легко бачити, що будь-який стовпець розкладається по системі векторів єдиним чином, а саме: , тобто, коефіцієнти розкладання для будь-якого стовпця просто рівні відповідним елементам цього стовпця.

3. Простір многочленів, ступеня не вище n, має розмірність n+1. Стандартний базис у цьому просторі:

(). Справді, визначення багаточлена ступеня n очевидно, що будь-який многочлен, ступеня не вище n, однозначно представляється у вигляді лінійної комбінації векторів , причому коефіцієнтами лінійної комбінації є просто коефіцієнти многочлена (якщо ступінь многочлена k менше n, то останні n-k коефіцієнтів рівні 0 ).
^

2.4 Ізоморфізм лінійних просторів

Нехай базис у L n . Тоді кожному aL n взаємно однозначно відповідає набір із n чисел – координат вектора aу базисі. Отже, кожному aL n можна взаємно однозначно зіставити вектор із простору стовпців K n - Стовпець, який утворюється з координат вектора a. При так визначеній відповідності базису буде зіставлений стандартний базис K n . 4

Легко перевірити, що підсумовування векторів у L n призводить до підсумовування відповідних координат у базисі; означає сумі векторів у L n відповідає за нашою відповідністю сума відповідних стовпців у K n ; аналогічне правило має місце для множення на число.

Взаємно однозначна відповідність між елементами двох просторів із збереженням введених у цих просторах операцій називається ізоморфізм . Ізоморфізм, як і рівність, властивість транзитивна (перехідна): якщо простір L n ізоморфно K n , а простір K n ізоморфно деякому простору M n , то й L n ізоморфно M n .

Теорема 3.Будь-який лінійний простір розмірності n ізоморфно K n, отже, з транзитивності, всі лінійні простору розмірності n ізоморфні одне одному. ▄

Ізоморфні об'єкти з погляду математики є по суті лише різними "втіленнями" (реалізаціями) одного об'єкта, і будь-який факт, доведений для деякого простору, справедливий і для будь-якого іншого простору, ізоморфного першому.

2.5 Підпростори

Підпростором простору L називається підмножина M L , Замкнене щодо операцій складання та множення на число, тобто. x,y

M 

Очевидно, 0 M , якщо M – підпростір L , тобто нуль-вектор належить будь-якому підпростору 5 .

Кожен підпростір лінійного простору сам є лінійним простором. Безліч ( 0 ) є підпростором (всі аксіоми лінійного простору виконані, якщо простір складається з єдиного елемента – нуль-вектора) 6 .

Кожен лінійний простір містить два тривіальних підпростор: сам простір і нульовий підпростір ( 0 ); інші підпростори називаються нетривіальними .

Перетин двох підпросторів є підпростором. Об'єднання двох підпросторів підпростором, взагалі кажучи, не є, наприклад, об'єднання двох прямих, що проходять через початок координат, не містить суми векторів, що належать різним прямим (така сума лежить між прямими) 7 .

Нехай, n L k . Тоді безліч лінійних комбінацій цих векторів, тобто. безліч усіх векторів виду

a =  1 f 1 +  2 f 2 + …  n f n

Утворює n-вимірний підпростір G {f 1 , f 2 ,…f n), яке називається лінійною оболонкою векторів ( f 1 , f 2 ,…f n).

Теорема 4.Базис будь-якого підпростору може бути доповнений базисом всього простору. Тобто. нехай M n L k підпростір, розмірності n - базис в M n . Тоді в L k існує такий набір векторів  L k , що система векторів ( f 1 ,f 2 …f n , g 1 , g 2 , …g k-n) 8 лінійно незалежна і містить k елементів, отже, утворює базис. ▄
^

2.6 Приклади підпросторів.

1. У R 3 всяка площина, що проходить через початок координат, утворює двовимірне підпростір, а всяка пряма, що проходить через початок координат, утворює одновимірне підпростір (площини і прямі, що не містять 0 , підпросторами бути не можуть), та інших підпросторів у R 3 ні.

2. У просторі стовпців K 3 стовпці виду, тобто. стовпці, у яких третя координата дорівнює 0, утворюють підпростір, очевидно ізоморфний простору K 2 стовпців, висоти 2.

3. У просторі P n багаточленів, ступеня не вище n, багаточлени, ступеня не вище 2-х, утворюють тривимірнепідпростір (у них три коефіцієнти).

4. У тривимірному просторі P 2 багаточленів, ступеня не вище 2, багаточлени, що звертаються в 0 у заданій точці х 0 утворюють двовимірне підпростір (доведіть!).

5. Завдання.В просторі K 4 безліч М складається із стовпців, координати яких задовольняють умові: 1 2 2 + 3 =0 (*). Доведіть, що М тривимірний підпростір K 4 .

Рішення. Доведемо, що М підпростір. Справді, нехай а М , b М , Отже, а 1 2а 2 + а 3 = 0, b 1 2b 2 + b 3 = 0. Але за правилом складання векторів ( а + b) i= а i+ b i. Звідси випливає, що якщо для векторів аі bумова (*) виконана, то й для а + bця умова виконана. Так само ясно, що якщо для стовпця аумова (*) виконана, то вона виконана і для стовпця а.І, нарешті, нуль-вектор безлічі М належить. Таким чином доведено, що М підпростір. Доведемо, що воно тривимірне. Зазначимо, що будь-який вектор а М через умови (*) має координати (**). Нехай m 1 = , m 2 = , a h 4 =. Покажемо, що система векторів ( m 1 m 2 ,h 4 ) утворює базис у М . Складемо лінійну комбінацію 1 m 1 + 2 m 2 +h 4 = з довільними коефіцієнтами. Очевидно, що будь-який вектор аз М (див. (**)) розкладається за набором ( m 1 m 2 , h 4 ); для цього достатньо вибрати як коефіцієнти розкладання координати вектора 1 = а 1 , 2 = а 2 , 4 = а 4 . Зокрема, єдиною лінійною комбінацією векторів m 1 m 2 , h 4 , Що дорівнює нуль-вектору, є комбінація з нульовими коефіцієнтами: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. З єдиності розкладання нуль-вектора випливає, що ( m 1 m 2 , h 4 ) незалежна система векторів. А з того факту, що кожен а М розкладається за системою ( m 1 m 2 , h 4 ) , Випливає, що ця система повна. Повна та незалежна система утворює базис у підпросторі М . Оскільки цей базис містить три вектори, то М тривимірний підпростір.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Нехай Lі M- два простори простору R.

Сумою L+Mназивається безліч векторів x+y, де x∈Lі y∈M. Очевидно, що будь-яка лінійна комбінація векторів з L+Mналежить L+M, отже L+Mє підпростором простору R(може збігатися з простором R).

Перетином L∩Mпідпросторів Lі Mназивається безліч векторів, що належать одночасно підпросторам Lі M(може складатися лише з нульового вектора).

Теорема 6.1.Сума розмірностей довільних підпросторів Lі Mкінцевого лінійного простору Rдорівнює розмірності суми цих підпросторів та розмірності перетину цих підпросторів:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доведення. Позначимо F=L+Mі G=L∩M. Нехай G g-мірне підпростір. Виберемо в ньому базис. Так як G⊂Lі G⊂M, отже базис Gможна доповнити до базису Lі до базису M. Нехай базис підпростору Lі нехай базис підпростору M. Покажемо, що вектори

належить підпростору G=L∩M. З іншого боку, вектор vможна уявити лінійною комбінацією базисних векторів підпростору G:

З огляду на лінійну незалежність базису підпростору Lмаємо:

лінійно незалежні. Але будь-який вектор zз F(за визначенням суми підпросторів) можна подати сумою x+y, де x∈L, y∈M. В свою чергу xє лінійною комбінацією векторів а y- Лінійною комбінацією векторів. Отже вектори (6.10) породжують підпростір F. Отримали, що вектори (6.10) утворюють базис F=L+M.

Вивчаючи базиси підпросторів Lі Mта базис підпростору F=L+M(6.10), маємо: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Отже:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

2. Власні вектори та власні значення лінійного оператора.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Вектор Х ≠ 0 називають власним векторомлінійного оператора з матрицею А, якщо знайдеться таке число, що АХ = lХ.

При цьому число l називають власним значеннямоператора (матриці А), що відповідає вектору х.

Інакше кажучи, власний вектор – це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі таким чином:

(А - lЕ) Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи – квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди матимемо єдине рішення – нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - lЕ| = = 0

Це рівняння з невідомим l називають характеристичним рівнянням(характеристичним багаточленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточлен лінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

І тому складемо характеристичне рівняння |А - lЕ| = = (1 -l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35; Д = 4 + 140 = 144; власні значення l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

,

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

,

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є всі вектори виду (-(2/3)з; с) з власним значенням (-5) і всі вектори виду ((2/3)з 1; з 1) з власним значенням 7 .

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з власних векторів, є діагональною і має вигляд:

,

де l i - Власні значення цієї матриці.

Правильно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з 1 але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто. утворили б базис. Наприклад, нехай з = з 1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3). Переконаємося у лінійній незалежності цих векторів:

12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А набуде вигляду А * = .

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А* = С-1АС. Спочатку знайдемо С-1.

З -1 = ;

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ КВИТОК № 11

1. Перехід до нового базу у лінійному просторі. Матриця переходу.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Перехід до нового базису

Шлях у просторі R є два базиси: старий e l , e 2 ,...e n і новий e l * , e 2 * ,...e n * . Будь-який вектор нового базису можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів старого базису:

Перехід від старого базису до нового можна задати матрицею переходу

Зазначимо, що коефіцієнти розмноження нових базисних векторів за старим базисом утворюють стовпці, а не рядки цієї матриці.

Матриця А - неособлива, тому що інакше її стовпці (а отже, і базисні вектори) виявилися б лінійно залежними. Отже, має зворотну матрицю А -1 .

Нехай вектор Х має координати (х l , х 2 ... х n) щодо старого базису і координати (х l * х 2 * ... х n *) щодо нового базису, тобто. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

Підставимо в це рівняння значення e l * , e 2 * , ... e n * з попередньої системи:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = el (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 – x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

Через лінійну незалежність векторів e l , e 2 ,...e n всі коефіцієнти при них в останньому рівнянні повинні дорівнювати нулю. Звідси:

або в матричній формі

Помножимо обидві частини на А-1, отримаємо:

Наприклад, нехай у базисі e l , e 2 , e 3 задані вектори а 1 = (1, 1, 0), а 2 = (1, -1, 1), а 3 = (-3, 5, -6) і b = (4; -4; 5). Показати, що вектор а l , а 2 , а 3 теж утворюють базис і виразити в цьому базисі векторb.

Покажемо, що вектори а l, а 2, а 3 лінійно незалежні. Для цього переконаємося в тому, що ранг складеної з них матриці дорівнює трьом:

Зазначимо, що вихідна матриця є не що інше, як матрицю переходу А. Насправді, зв'язок між базисами e l , e 2 , e 3 і а l , а 2 , а 3 можна виразити системою:

Обчислимо А-1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисі а l, а 2, а 3 вектор b = (0,5; 2; -0,5).

2 Довжина вектор і кут між векторами в евклідовому просторі.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Нехай і-підпростору лінійного простору.

Перетином підпросторів і називається безліч векторів, кожен із яких і одночасно, тобто. перетин підпросторів визначається як звичайне перетин двох множин.

Алгебраїчною сумою підпросторів і називається безліч векторів виду, де. Алгебраїчна сума (короче просто сума) підпросторів позначається

Подання вектора у вигляді , де називається розкладання вектора no підпросторам та .

Зауваження 8.8

1. Перетин підпросторів є підпростором. Тому поняття розмірності, базису тощо. застосовуються до перетинів.

2. Сума підпросторів є підпростором. Тому поняття розмірності, базису тощо. застосовуються до сум.

Справді, треба показати замкнутість лінійних операцій у множині . Нехай два вектори і належать до суми , тобто . кожен із них розкладається по підпросторам:

Знайдемо суму: . Так як, а, то. Отже, множина замкнута по відношенню до операції додавання. Знайдемо твір: . Так як, a, то. Отже, множина замкнута по відношенню до операції множення на число. Таким чином, - лінійний підпростір.

3. Операція перетину визначена на багатьох підпросторів лінійного простору. Вона є комутативною та асоціативною. Перетин будь-якої родини підпросторів V є лінійним підпростором, причому дужки у виразі - можна розставляти довільно або взагалі не ставити.

4. Мінімальним лінійним підпростором , що містить підмножину кінцевого лінійного простору , називається перетин всіх підпросторів , що містять , тобто . . Якщо , то зазначений перетин збігається з нульовим підпростором , оскільки воно міститься у будь - якому підпросторі . Якщо - лінійний підпростір , то зазначений перетин збігається з , оскільки міститься в кожному з пересіканих підпросторів (і є одним з них: ).

Мінімальна властивість лінійної оболонки: лінійна оболонка будь-якої підмножини кінцевого лінійного простору є мінімальним лінійним підпростором, що містить , тобто. .

Справді, позначимо . Треба довести рівність двох множин: . Оскільки (див. пункт 6 зауважень 8.7), то . Доведемо включення. Довільний елемент має вигляд, де. Нехай - будь-яке підпростір, що містить . Воно містить всі вектори та будь-яку їхню лінійну комбінацію (див. пункт 7 зауважень 8.7), зокрема, вектор . Тому вектор належить будь-якому підпростору, що містить. Отже, належить перетину таких підпросторів. Таким чином, . З двох включень і випливає рівність.

5. Операція складання підпросторів визначена на безлічі всіх підпросторів лінійного простору. Вона є комутативною та асоціативною. Тому в сумах кінцевого числа підпросторів дужки можна розставляти довільно або взагалі не ставити.

6. Можна визначити об'єднання підпросторів як безліч векторів, кожен із яких належить простору чи простору (чи обом підпросторам). Однак, об'єднання підпросторів у загальному випадку не є підпростором (воно буде підпростором лише за додаткової умови або ).

7. Сума підпросторів збігається з лінійною оболонкою їхнього об'єднання. Справді, включення випливає з визначення. Будь - який елемент множини має вигляд , тобто . являє собою лінійну комбінацію двох векторів з множини. Доведемо протилежне включення. Будь-який елемент має вигляд де . Розіб'ємо цю суму на дві, відносячи до першої суми всі складові, у яких. Інші складові складуть другу суму:

Перша сума – це деякий вектор, друга сума – це деякий вектор. Отже, . Отже, . Отримані два включення говорять про рівність множин, що розглядаються.

Теорема 8.4 про розмірність суми підпросторів. Якщо і підпростору кінцевого лінійного простору то розмірність суми підпросторів дорівнює сумі їх розмірностей без розмірності їх перетину (формула Грассмана ):

Справді, хай - базис перетину. Доповнимо його впорядкованим набором векторів до базису підпростору та впорядкованим набором векторів до базису підпростору. Таке доповнення можливе за теоремою 8.2. Із зазначених трьох наборів векторів складемо впорядкований набір векторів. Покажемо, що ці вектори є такими, що утворюють простори . Справді, будь-який вектор цього простору представляється у вигляді лінійної комбінації векторів із впорядкованого набору

Отже, . Доведемо, що утворюють лінійно незалежні і тому є базисом простору. Справді складемо лінійну комбінацію цих векторів і прирівняємо її нульовому вектору:

Перші дві суми позначимо це деякий вектор з , останню суму позначимо це деякий вектор з . Рівність (8.14): означає, що вектор належить також простору . Отже, . Розкладаючи цей вектор по базису, знаходимо . Враховуючи розкладання цього вектора (8.14), отримуємо

Остання рівність можна розглядати як розкладання нульового вектора по базису підпростору . Усі коефіцієнти такого розкладання нульові: і . Підставляючи (8.14), отримуємо. Це можливо тільки в тривіальному випадку і, оскільки система векторів лінійно незалежна (це базис підпростору). Таким чином, рівність (8.14) виконується лише у тривіальному випадку, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю одночасно. Отже, сукупність векторів лінійно незалежна, тобто. є базисом простору. Підрахуємо розмірність суми підпросторів:

що й потрібно було довести.

Приклад 8.6.У просторі радіус-векторів із загальним початком у точці задані підпростори: і - три множини радіус-векторів, що належать прямим і відповідно, що перетинаються в точці; і - дві множини радіус-векторів, що належать площинам, що перетинаються, і відповідно; пряма , при площині , пряма належить площині , площині і перетинаються по прямій (рис. 8.2). Знайти суми та перетину кожних двох із зазначених п'яти підпросторів.

Рішення. Знайдемо суму. Складаючи два вектори, що належать і, відповідно, отримуємо вектор, що належить площині . На оборот, будь-який вектор (див. рис.8.2), що належить , можна уявити у вигляді , побудувавши проекції та вектора на прямі та відповідно. Отже, будь-який радіус-вектор площини розкладається по підпросторам і, тобто. . Аналогічно отримуємо, що а - безліч радіус-векторів, що належать площині, що проходить через прямі і .

Знайдемо суму. Будь-який вектор простору можна розкласти за підпросторами та . Справді, кінець радіус-вектора проводимо пряму, паралельну прямий (див. рис. 8.2), тобто. будуємо проекцію вектора на площину. Потім відкладаємо вектор так, щоб . Отже, . Так як, то. Аналогічно отримуємо, що . Інші суми перебувають просто: . Зауважимо, що .

Використовуючи теорему 8.4, перевіримо, наприклад, рівність розмірності. Підставляючи і формулу Грассмана, отримуємо , що слід було очікувати, оскільки .

Перетину підпросторів знаходимо за рис. 8.2 як перетин геометричних фігур:

де - нульовий радіус-вектор.

Пряма сума підпросторів. Критерії прямої суми.