Jeśli funkcja
różniczkowalne w punkcie 
,
wówczas jego przyrost można przedstawić jako sumę dwóch wyrazów
. Terminy te są nieskończenie małymi funkcjami dla 
.Pierwszy wyraz jest liniowy względem 
, drugi jest nieskończenie wyższym rzędem niż 
.Naprawdę,
.
Tym samym druga kadencja o godz 
dąży do zera szybciej i przy znalezieniu przyrostu funkcji 
pierwszy termin odgrywa główną rolę 
lub (ponieważ 
)
.
Definicja
.
Główna część przyrostu funkcji
w tym punkcie 
, liniowy względem
,zwany różnicowym
Funkcje
w tym miejscu i oznaczonedyLubzm(X)
. (2)
Zatem możemy stwierdzić: różnica zmiennej niezależnej pokrywa się z jej przyrostem, tj 
.
Relacja (2) przyjmuje teraz postać
(3)
Komentarz . Wzór (3) na zwięzłość jest często zapisywany w formie
(4)
Geometryczne znaczenie różniczki
Rozważmy wykres funkcji różniczkowalnej 
. zwrotnica 
i należą do wykresu funkcji. W punkcie M styczna DO do wykresu funkcji, której kąt z dodatnim kierunkiem osi 
oznaczać przez 
. Narysujmy prosto MN
równolegle do osi Wół
I 
równolegle do osi Oj. Przyrost funkcji jest równy długości odcinka 
. Z trójkąta prostokątnego 
, w którym 
, otrzymujemy
Powyższe rozumowanie pozwala nam stwierdzić:
Funkcja różnicowa
w tym punkcie 
jest reprezentowany przez przyrost rzędnej stycznej do wykresu tej funkcji w odpowiadającym jej punkcie 
.
Zależność różniczki od pochodnej
Rozważ wzór (4)
.
Obie strony tej równości dzielimy przez dx, Następnie
.
Zatem, pochodna funkcji jest równa stosunkowi jej różniczki do różniczki zmiennej niezależnej.
Często taka postawa 
traktowane po prostu jako symbol oznaczający pochodną funkcji Na przez argument X.
Wygodny zapis pochodnej to także:
,
i tak dalej.
Stosowane są również wpisy
,
,
szczególnie wygodne, gdy bierze się pochodną wyrażenia złożonego.
2. Różniczka sumy, iloczynu i ilorazu.
Ponieważ różnicę uzyskuje się z pochodnej mnożąc ją przez różniczkę zmiennej niezależnej, to znając pochodne podstawowych funkcji elementarnych, a także zasady znajdowania pochodnych, można dojść do podobnych zasad znajdowania różnic.
1 0 . Różniczka stałej wynosi zero
.
2 0 . Różniczka sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji różniczkowalnych jest równa sumie algebraicznej różniczek tych funkcji
3 0 . Różniczka iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pierwszej funkcji oraz różniczki drugiej i drugiej funkcji oraz różniczki pierwszej
.
Konsekwencja. Ze znaku różniczki można odjąć stały współczynnik
.
Przykład. Znajdź różniczkę funkcji .
Rozwiązanie Zapisujemy tę funkcję w formie
,
wtedy otrzymamy
.
4. Funkcje dane parametrycznie, ich różniczkowanie.
Definicja
.
Funkcjonować 
nazywa się danymi parametrycznymi, jeśli obie zmienne X I
Na
są definiowane oddzielnie jako funkcje jednowartościowe tej samej zmiennej pomocniczej – parametruT:
GdzieTzmienia się wewnątrz 
.
Komentarz
. Parametryczne przypisywanie funkcji jest szeroko stosowane w mechanice teoretycznej, gdzie parametr T
oznacza czas i równania 
są prawami zmiany rzutów poruszającego się punktu 
na osi 
I 
.
Komentarz . Przedstawiamy równania parametryczne okręgu i elipsy.
a) Okrąg o środku w początku i promieniu R ma równania parametryczne:
Gdzie 
.
b) Napiszmy równania parametryczne elipsy:
Gdzie 
.
Wykluczając parametr T Z równań parametrycznych rozważanych prostych można wyprowadzić ich równania kanoniczne.
Twierdzenie
. Jeśli funkcja y z argumentu
x jest dane parametrycznie za pomocą równań 
, Gdzie 
I 
różniczkowalne przezTfunkcje i 
, To
.
Przykład. Znajdź pochodną funkcji Na z X dane równaniami parametrycznymi.
Rozwiązanie. 
.
24.1. Pojęcie różniczki funkcji
Niech funkcja y=ƒ(x) będzie miała niezerową pochodną w punkcie x.
Następnie, zgodnie z twierdzeniem o połączeniu funkcji, jej granicy i nieskończenie małej funkcji, możemy napisać D y / D x \u003d ƒ „(x) + α, gdzie α → 0 dla ∆x → 0 lub ∆y \u003d ƒ” (x) ∆х+α ∆х.
Zatem przyrost funkcji ∆у jest sumą dwóch wyrazów ƒ "(х) ∆х i a ∆х, które są nieskończenie małe przy ∆x → 0. W tym przypadku pierwszy wyraz jest nieskończenie małą funkcją ta sama kolejność z ∆х, ponieważ 
a drugi wyraz jest nieskończenie małą funkcją wyższego rzędu niż ∆x:
Dlatego nazywa się pierwszy wyraz ƒ „(x) ∆x główna część przyrostu funkcje ∆у.
różnica funkcji y \u003d ƒ (x) w punkcie x nazywa się główną częścią jej przyrostu, równą iloczynowi pochodnej funkcji i przyrostu argumentu i oznacza się dу (lub dƒ (x)):
dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24,1)
Różnica dу jest również nazywana różnica pierwszego rzędu. Znajdźmy różniczkę zmiennej niezależnej x, czyli różniczkę funkcji y=x.
Ponieważ y"=x"=1, to zgodnie ze wzorem (24.1) mamy dy=dx=∆x, czyli różniczka zmiennej niezależnej jest równa przyrostowi tej zmiennej: dx=∆x.
Dlatego wzór (24.1) można zapisać w następujący sposób:
dy \u003d ƒ „(x) dx, (24,2)
innymi słowy, różniczka funkcji jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji i różniczki zmiennej niezależnej.
Ze wzoru (24.2) wynika równość dy / dx \u003d ƒ „(x). Teraz oznaczenie
pochodną dy/dx można postrzegać jako stosunek różnic dy i dx.
<< Пример 24.1
Znajdź różniczkę funkcji ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).
Rozwiązanie: Zgodnie ze wzorem dy \u003d ƒ „(x) dx znajdujemy
dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.
<< Пример 24.2
Znajdź różnicę funkcji
Oblicz dy przy x=0, dx=0,1.
Rozwiązanie:
Podstawiając x=0 i dx=0,1 otrzymujemy
24.2. Geometryczne znaczenie różniczki funkcji
Odkryjmy geometryczne znaczenie różniczki.
Aby to zrobić, rysujemy styczną MT na wykresie funkcji y \u003d ƒ (x) w punkcie M (x; y) i uwzględniamy rzędną tej stycznej dla punktu x + ∆x (patrz ryc. 138 ). Na rysunku ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Z trójkąta prostokątnego MAB mamy:
Ale zgodnie z geometrycznym znaczeniem pochodnej tga \u003d ƒ „(x). Dlatego AB \u003d ƒ” (x) ∆x.
Porównując wynik otrzymany wzorem (24.1) otrzymujemy dy=AB, czyli różniczka funkcji y=ƒ(x) w punkcie x jest równa przyrostowi rzędnej stycznej do wykresu funkcji w tym momencie, gdy x otrzymuje przyrost ∆x.
Takie jest geometryczne znaczenie różniczki.
24.3 Podstawowe twierdzenia różniczkowe
Główne twierdzenia o różniczkach można łatwo otrzymać korzystając z relacji różniczki do pochodnej funkcji (dy=f"(x)dx) i odpowiednich twierdzeń o pochodnych.
Na przykład, ponieważ pochodna funkcji y \u003d c jest równa zeru, wówczas różniczka wartości stałej jest równa zeru: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.
Twierdzenie 24.1. Różniczkę sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji różniczkowalnych określają następujące wzory:
Udowodnimy na przykład drugą formułę. Z definicji różniczki mamy:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Twierdzenie 24.2. Różniczka funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego i różniczki tego argumentu pośredniego.
Niech y=ƒ(u) i u=φ(x) będą dwiema funkcjami różniczkowalnymi tworzącymi funkcję zespoloną y=ƒ(φ(x)). Za pomocą twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej można napisać
y" x = y" u u" x .
Mnożąc obie części tej równości przez dx, dowiadujemy się y „x dx \u003d y” u u „x dx. Ale y” x dx \u003d dy i u „x dx \u003d du. Dlatego ostatnią równość można przepisać jako następująco:
dy=y" ty du.
Porównując wzory dy=y "x dx i dy=y" u du widzimy, że pierwszą różniczkę funkcji y=ƒ(x) wyznacza ten sam wzór, niezależnie od tego, czy jej argument jest zmienną niezależną, czy też jest funkcją innego argumentu.
Ta właściwość różniczki nazywana jest niezmiennością (niezmienniczością) postaci pierwszej różniczki.
Wzór dy \u003d y „x dx z wyglądu pokrywa się ze wzorem dy \u003d y” u du, ale istnieje między nimi zasadnicza różnica: w pierwszym wzorze x jest zmienną niezależną, dlatego dx \u003d ∆x, w drugim wzorze jest funkcja x , czyli ogólnie du≠∆u.
Za pomocą definicji różniczki i podstawowych twierdzeń o różniczkach łatwo jest przekształcić tablicę pochodnych w tablicę różniczkową.
Na przykład: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Tabela różnicowa
24,5. Stosowanie różnicy do obliczeń przybliżonych
Jak już wiadomo, przyrost ∆у funkcji y=ƒ(х) w punkcie x można przedstawić jako ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, gdzie α→0 jako ∆х→0, lub dy+α ∆x Odrzucając nieskończenie małe α ∆x rzędu wyższego niż ∆x, otrzymujemy przybliżoną równość
∆у≈dy, (24,3)
co więcej, ta równość jest tym dokładniejsza, im mniejsze ∆x.
Ta równość pozwala nam obliczyć w przybliżeniu przyrost dowolnej funkcji różniczkowalnej z dużą dokładnością.
Różnicę zwykle można znaleźć znacznie łatwiej niż przyrost funkcji, dlatego wzór (24.3) jest szeroko stosowany w praktyce obliczeniowej.
<< Пример 24.3
Znajdź przybliżoną wartość przyrostu funkcji y \u003d x 3 -2x + 1 dla x \u003d 2 i ∆x \u003d 0,001.
Rozwiązanie: Stosujemy wzór (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
Zatem ∆у» 0,01.
Zobaczmy, jaki błąd popełniono, obliczając różniczkę funkcji zamiast jej przyrostu. Aby to zrobić, znajdujemy ∆у:
∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);
Bezwzględny błąd aproksymacji jest równy
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Podstawiając do równości (24.3) wartości ∆у i dy, otrzymujemy
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24,4)
Wzór (24.4) służy do obliczania przybliżonych wartości funkcji.
<< Пример 24.4
Oblicz w przybliżeniu arctg(1,05).
Rozwiązanie: Rozważmy funkcję ƒ(х)=arctgx. Zgodnie ze wzorem (24.4) mamy:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
tj. 
Ponieważ x+∆x=1,05, to dla x=1 i ∆x=0,05 otrzymujemy:
Można wykazać, że błąd bezwzględny wzoru (24.4) nie przekracza wartości M (∆x) 2, gdzie M jest największą wartością |ƒ"(x)| na odcinku [x;x+∆x].
<< Пример 24.5
Jaką odległość przebędzie ciało podczas swobodnego spadku na Księżycu w ciągu 10,04 s od początku spadku? Równanie swobodnego spadania ciała
H. \u003d g l t 2/2, g l \u003d 1,6 m / s 2.
Rozwiązanie: Należy znaleźć H(10,04). Używamy wzoru przybliżonego (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Przy t=10 s i ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, znajdujemy
Zadanie (dla samodzielnego rozwiązania). Ciało o masie m=20 kg porusza się z prędkością ν=10,02 m/s. Oblicz w przybliżeniu energię kinetyczną ciała
24,6. Różnice wyższego rzędu
Niech y=ƒ(x) będzie funkcją różniczkowalną, a jej argumentem x będzie zmienna niezależna. Wtedy jej pierwsza różniczka dy=ƒ"(x)dx jest także funkcją x; można znaleźć różniczkę tej funkcji.
Nazywa się różnicę od różniczki funkcji y=ƒ(x). jej drugi mechanizm różnicowy(lub różniczka drugiego rzędu) i jest oznaczana d 2 y lub d 2 ƒ(x).
Zatem z definicji d 2 y=d(dy). Znajdźmy wyrażenie na drugą różniczkę funkcji y=ƒ(x).
Ponieważ dx=∆x nie zależy od x, zakładamy, że dx jest stałe przy różniczkowaniu:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 tj. .
d 2 y \u003d ƒ „(x) dx 2. (24,5)
Tutaj dx 2 oznacza (dx) 2 .
Różniczkę trzeciego rzędu definiuje się i znajduje w podobny sposób
re 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ „(x) dx 2) ≈ f” (x) (dx) 3.
Ogólnie rzecz biorąc, różniczka n-tego rzędu jest różnicą różniczki (n-1)-tego rzędu: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Stąd stwierdzamy, że w szczególności dla n=1,2,3
odpowiednio otrzymujemy:
tj. pochodną funkcji można postrzegać jako stosunek jej różniczki odpowiedniego rzędu do odpowiedniej potęgi różniczki zmiennej niezależnej.
Należy zauważyć, że wszystkie powyższe wzory są ważne tylko wtedy, gdy x jest zmienną niezależną. Jeśli funkcja y \u003d ƒ (x), gdzie x - funkcją innej zmiennej niezależnej, to różniczki drugiego i wyższych rzędów nie mają własności niezmienności postaci i są obliczane za pomocą innych wzorów. Pokażemy to na przykładzie różniczki drugiego rzędu.
Korzystając ze wzoru na iloczyn różniczkowy (d(uv)=vdu+udv) otrzymujemy:
re 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , tj.
re 2 y \u003d ƒ „(x) dx 2 + ƒ” (x) re 2 x. (24,6)
Porównując wzory (24.5) i (24.6) widzimy, że w przypadku funkcji złożonej zmienia się wzór różniczkowy drugiego rzędu: pojawia się drugi człon ƒ „(x) d 2 x.
Jasne jest, że jeśli x jest zmienną niezależną, to
re 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
a wzór (24.6) przechodzi do wzoru (24.5).
<< Пример 24.6
Znajdź d 2 y jeśli y=e 3x i x jest zmienną niezależną.
Rozwiązanie: Ponieważ y"=3e 3x, y"=9e 3x, to ze wzoru (24.5) mamy d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Znajdź d 2 y jeśli y=x 2 i x=t 3 +1 oraz t jest zmienną niezależną.
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru (24.6): od
y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,
To re 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
Inne rozwiązanie: y=x 2 , x=t 3 +1. Dlatego y \u003d (t 3 +1) 2. Następnie według wzoru (24.5)
d 2 y=y ¢¢ dt 2 ,
re 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .
Mechanizm różnicowy funkcja y \u003d ƒ (x) w punkcie x nazywana jest główną częścią jej przyrostu, równą iloczynowi pochodnej funkcji i przyrostu argumentu i jest oznaczana dу (lub dƒ (x)): dy \u003d ƒ „(x) ∆x.
Główne różnice:
Różniczka funkcji ma właściwości podobne do pochodnej.
- Stała różnica równa się zeru:
dc = 0, c = stała. - Różniczka sumy funkcji różniczkowalnych jest równa sumie różniczek wyrazów:
Konsekwencja. Jeśli dwie funkcje różniczkowalne różnią się stałym wyrazem, to ich różniczki są
d(u+c) = du (c= stała).
- różnica produktu dwóch funkcji różniczkowalnych jest równy iloczynowi pierwszej funkcji przez różniczkę drugiej plus iloczyn drugiej funkcji przez różniczkę pierwszej:
d(uv) = udv + vdu.
Konsekwencja. Ze znaku różniczki można odjąć stały współczynnik
d(cu) = cdu (c = stała).
- różnica ilorazowa u/v dwóch różniczkowalnych funkcji u = u(x) i v = v(x) określa wzór
- Własność niezależności formy różniczki od wyboru zmiennej niezależnej (niezmienniczość formy różniczki): różniczka funkcji jest równa iloczynowi pochodnej i różniczki argumentu, niezależnie od tego, czy argument ten jest zmienną niezależną lub funkcją innej zmiennej niezależnej.
Pochodne i różniczki wyższych rzędów.
Niech pochodna jakiejś funkcji F różniczkowalne. Następnie nazywa się pochodną pochodnej tej funkcji druga pochodna Funkcje F i oznaczone F". Zatem,
F"(X) = (F"(X))" .
Jeśli różniczkowalne ( N- 1)-ta pochodna funkcji F, potem ona N-ta pochodna nazywa się pochodną ( N- 1)ta pochodna funkcji F i oznaczone f(n). Więc,
f(n)(X) = (f(n-1)(X))" , N ϵ N, f(0)(X) = F(X).
Numer N zwany zlecenie pochodne.
Mechanizm różnicowy N-ta kolejność Funkcje F nazywa się różniczką od różniczki ( N- 1)-ty rząd tej samej funkcji. Zatem,
dnf(X) = D(d n -1 F(X)), D 0 F(X) = F(X), N ϵ N.
Jeśli X jest zatem zmienną niezależną
dx= stała i D 2 X = D 3 X = ... = dnx = 0.
W tym przypadku formuła jest ważna
dnf(X) = F (N) (X)(dx)N.
Pochodne N-tego rzędu od podstawowych funkcji elementarnych
Uczciwe formuły
Zastosowanie pochodnych do badania funkcji.
Podstawowe twierdzenia o różniczkowaniu funkcji:
Twierdzenie Rolle'a
Niech funkcja F: [A, B] → R jest ciągła na odcinku [ A, B] i ma skończoną lub nieskończoną pochodną w tym segmencie. Niech dodatkowo F(A) = F(B). Następnie wewnątrz segmentu [ A, B] Jest sens ξ takie, że F"(ξ ) = 0.
Twierdzenie Lagrange'a
Jeśli funkcja F: [A, B] → R jest ciągła na odcinku [ A, B] i ma skończoną lub nieskończoną pochodną w wewnętrznych punktach tego odcinka, to taką, że F(B) - F(A) = F"(ξ )(B - A).
Twierdzenie Cauchy'ego
Jeśli każda z funkcji F I G ciągły na [ A, B] i ma skończoną lub nieskończoną pochodną na ] A, B[ i jeśli dodatkowo pochodna G"(X) ≠ 0 przez ] A, B[, to taki, że formuła
Jeśli jest to dodatkowo wymagane G(A) ≠ G(B), to warunek G"(X) ≠ 0 można zastąpić mniej sztywnym:
Obydwa, nierozerwalnie ze sobą powiązane, są aktywnie wykorzystywane od kilku stuleci w rozwiązywaniu prawie wszystkich problemów powstałych w procesie ludzkiej działalności naukowo-technicznej.
Pojawienie się pojęcia różniczku
Po raz pierwszy wyjaśnił, czym jest różniczka, jeden z twórców (wraz z Izaakiem Newtonem) rachunku różniczkowego, słynny niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz. Wcześniej matematycy 17 art. użył bardzo rozmytego i niejasnego pomysłu na jakąś nieskończenie małą „niepodzielną” część dowolnej znanej funkcji, reprezentującą bardzo małą stałą wartość, ale nie równą zeru, mniejszą niż wartość funkcji po prostu nie może być. Stąd już tylko jeden krok do wprowadzenia koncepcji nieskończenie małych przyrostów argumentów funkcji i odpowiadających im przyrostów samych funkcji, wyrażonych poprzez pochodne tych ostatnich. I na ten krok niemal jednocześnie zdecydowali się dwaj wspomniani wielcy naukowcy.
Wychodząc z potrzeby rozwiązania palących problemów praktycznych mechaniki, jakie stawiał nauce szybko rozwijający się przemysł i technologia, Newton i Leibniz stworzyli ogólne metody wyznaczania szybkości zmian funkcji (przede wszystkim w odniesieniu do prędkości mechanicznej poruszającego się ciała po znanej trajektorii), co doprowadziło do wprowadzenia takich pojęć, jak pochodna i różniczka funkcji, a także znalazło algorytm rozwiązania problemu odwrotnego, jak znaleźć drogę przebytą ze znanej (zmiennej) prędkości, co doprowadziło do powstania pojęcia całki.
W pracach Leibniza i Newtona po raz pierwszy pojawił się pomysł, że różniczki są głównymi częściami przyrostów funkcji Δy, proporcjonalnymi do przyrostów argumentów Δx, które z powodzeniem można zastosować do obliczenia wartości ten ostatni. Innymi słowy, odkryli, że przyrost funkcji można wyrazić w dowolnym punkcie (w jej dziedzinie definicji) jako jej pochodną jako 0, znacznie szybciej niż samo Δx.
Według twórców analizy matematycznej różniczki to tylko pierwsze człony wyrażeń oznaczających przyrosty dowolnej funkcji. Nie mając jeszcze jasno sformułowanego pojęcia granicy ciągów, intuicyjnie rozumieli, że wartość różniczki dąży do pochodnej funkcji jako Δх→0 - Δу/Δх→ y”(x).
W przeciwieństwie do Newtona, który był przede wszystkim fizykiem i traktował aparat matematyczny jako narzędzie pomocnicze w badaniu problemów fizycznych, Leibniz poświęcił większą uwagę samemu temu zestawowi narzędzi, obejmującemu system wizualnej i zrozumiałej notacji wielkości matematycznych. To on zaproponował ogólnie przyjęty zapis różniczek funkcji dy \u003d y „(x) dx, argument dx i pochodna funkcji w postaci ich stosunku y” (x) \u003d dy / dx .
Nowoczesna definicja
Czym jest różnica w rozumieniu współczesnej matematyki? Jest to ściśle powiązane z koncepcją zmiennego przyrostu. Jeżeli zmienna y przyjmuje najpierw wartość y = y 1, a następnie y = y 2 , to różnicę y 2 ─ y 1 nazywa się przyrostem y.
Wzrost może być dodatni. ujemny i równy zeru. Słowo „przyrost” oznacza się przez Δ, zapis Δy (czytaj „delta y”) oznacza przyrost y. więc Δу = y 2 ─ y 1 .
Jeśli wartość Δу dowolnej funkcji y = f (x) można przedstawić jako Δу = A Δх + α, gdzie A nie jest zależne od Δх, tj. A = const dla danego x, a termin α zmierza do tego nawet szybciej niż sam Δx, wówczas pierwszy („główny”) termin proporcjonalny do Δx jest różnicą dla y \u003d f (x), oznaczoną przez dy lub df (x) (czytaj „de y”, „de ef z x „). Różniczki są zatem „głównymi” składnikami liniowymi przyrostów funkcji względem Δx.
Interpretacja mechaniczna
Niech s = f(t) będzie odległością od pozycji początkowej (t jest czasem podróży). Przyrost Δs to droga punktu w przedziale czasu Δt, a różnica ds = f”(t) Δt to droga, jaką przebył punkt w tym samym czasie Δt, gdyby utrzymywał prędkość f” (t ) osiągnięty do czasu t . Dla nieskończenie małego Δt urojona ścieżka ds różni się od rzeczywistej Δs o nieskończenie małą wartość, która jest wyższego rzędu w stosunku do Δt. Jeżeli prędkość w chwili t nie jest równa zeru, wówczas ds podaje przybliżoną wartość małego przemieszczenia punktu.
Interpretacja geometryczna
Niech prosta L będzie wykresem y = f(x). Następnie Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM „(patrz rysunek poniżej). Styczna MN dzieli odcinek Δy na dwie części, QN i NM”. Pierwsza jest proporcjonalna do Δх i równa się QN = MQ∙tg (kąt QMN) = Δх f "(x), tj. QN jest różniczką dy.
Druga część NM” daje różnicę Δу ─ dy, przy Δх →0 długość NM” maleje jeszcze szybciej niż przyrost argumentu, tj. jego rząd małości jest wyższy niż Δх. W rozpatrywanym przypadku dla f”(x) ≠ 0 (styczna nie jest równoległa do OX) odcinki QM” i QN są równoważne; innymi słowy, NM” maleje szybciej (jego rząd małości jest wyższy) niż całkowity przyrost Δу = QM”. Można to zobaczyć na rysunku (w miarę jak M „zbliża się do M, odcinek NM” stanowi coraz mniejszy procent odcinka QM”).
Zatem graficznie różniczka dowolnej funkcji jest równa wielkości przyrostu rzędnej jej stycznej.
Pochodna i różniczkowa
Współczynnik A w pierwszym członie wyrażenia na przyrost funkcji jest równy wartości jego pochodnej f „(x). Zatem zachodzi następująca zależność - dy \u003d f” (x) Δx lub df (x) \u003d f „(x) Δx.
Wiadomo, że przyrost niezależnego argumentu jest równy jego różniczce Δх = dx. W związku z tym możesz napisać: f „(x) dx \u003d dy.
Wyszukiwanie (czasami nazywane „rozwiązywaniem”) różnic odbywa się według tych samych zasad, co w przypadku instrumentów pochodnych. Ich lista znajduje się poniżej.
Co jest bardziej uniwersalne: przyrost argumentu czy jego różniczka
W tym miejscu należy dokonać kilku wyjaśnień. Reprezentacja przez wartość f "(x) Δx różniczki jest możliwa, jeśli weźmiemy pod uwagę x jako argument. Ale funkcja może być złożona, w której x może być funkcją jakiegoś argumentu t. Wtedy reprezentacja różniczki za pomocą wyrażenia f "(x) Δx z reguły jest niemożliwe; z wyjątkiem przypadku zależności liniowej x = at + b.
Jeśli chodzi o wzór f "(x) dx \u003d dy, to w przypadku niezależnego argumentu x (wtedy dx \u003d Δx) oraz w przypadku parametrycznej zależności x od t reprezentuje różnicę.
Na przykład wyrażenie 2 x Δx reprezentuje dla y = x 2 jego różnicę, gdy x jest argumentem. Ustalmy teraz x= t 2 i przyjmijmy t jako argument. Wtedy y = x 2 = t 4 .
To wyrażenie nie jest proporcjonalne do Δt i dlatego teraz 2xΔх nie jest różniczką. Można to znaleźć na podstawie równania y = x 2 = t 4 . Okazuje się, że jest równe dy=4t 3 Δt.
Jeśli weźmiemy wyrażenie 2xdx, to reprezentuje ono różnicę y = x 2 dla dowolnego argumentu t. Rzeczywiście, przy x= t 2 otrzymujemy dx = 2tΔt.
Oznacza to, że 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, czyli wyrażenia różniczek zapisanych w postaci dwóch różnych zmiennych pokrywają się.
Zastępowanie przyrostów różniczkami
Jeśli f "(x) ≠ 0, to Δу i dy są równoważne (dla Δх → 0); jeśli f "(x) = 0 (co oznacza dy = 0), to nie są równoważne.
Na przykład, jeśli y \u003d x 2, to Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 i dy \u003d 2xΔx. Jeśli x=3, to mamy Δу = 6Δх + Δх 2 i dy = 6Δх, które są równoważne ze względu na Δх 2 →0, przy x=0 wartości Δу = Δх 2 i dy=0 nie są równoważne.
Fakt ten, w połączeniu z prostą strukturą różniczki (tj. liniowością względem Δx), jest często wykorzystywany w obliczeniach przybliżonych, przy założeniu, że Δy ≈ dy dla małych Δx. Znalezienie różniczki funkcji jest zwykle łatwiejsze niż obliczenie dokładnej wartości przyrostu.
Przykładowo mamy metalowy sześcian o krawędzi x = 10,00 cm, po podgrzaniu krawędź wydłużyła się o Δx = 0,001 cm. O ile wzrosła objętość V sześcianu? Mamy V \u003d x 2, więc dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Wzrost objętości ΔV jest równy różnicy dV, więc ΔV = 3 cm 3 . Pełne obliczenie dałoby ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Ale w tym wyniku wszystkie liczby z wyjątkiem pierwszej są niewiarygodne; więc w każdym razie musisz to zaokrąglić do 3 cm 3.
Jest oczywiste, że takie podejście jest przydatne tylko wtedy, gdy możliwe jest oszacowanie wielkości wprowadzonego błędu.
Funkcja różnicowa: przykłady
Spróbujmy znaleźć różniczkę funkcji y = x 3 bez znajdowania pochodnej. Zwiększmy argument i zdefiniujmy Δу.
Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).
Tutaj współczynnik A= 3x 2 nie zależy od Δх, więc pierwszy wyraz jest proporcjonalny do Δх, natomiast drugi wyraz 3xΔх 2 + Δх 3 przy Δх→0 maleje szybciej niż przyrost argumentu. Dlatego wyraz 3x 2 Δx jest różnicą y = x 3:
dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx lub d (x 3) \u003d 3x 2 dx.
W tym przypadku d(x 3) / dx \u003d 3x 2.
Znajdźmy teraz dy funkcji y = 1/x w kategoriach jej pochodnej. Wtedy d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Dlatego dy = ─ Δх/х 2 .
Poniżej podano różniczki podstawowych funkcji algebraicznych.
Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem mechanizmu różnicowego
Często nie jest trudno obliczyć funkcję f(x), a także jej pochodną f”(x) dla x=a, ale nie jest łatwo zrobić to samo w pobliżu punktu x=a. Wtedy na ratunek przychodzi przybliżone wyrażenie
fa (a + Δх) ≈ f „(a) Δх + f (a).
Daje przybliżoną wartość funkcji przy małych przyrostach Δх poprzez jej różnicę f "(a)Δх.
Zatem wzór ten daje przybliżone wyrażenie funkcji w punkcie końcowym odcinka o długości Δx jako sumę jej wartości w punkcie początkowym tego odcinka (x=a) i różniczki w tym samym punkcie początkowym. Błąd tej metody wyznaczania wartości funkcji ilustruje poniższy rysunek.
Znane jest jednak również dokładne wyrażenie wartości funkcji dla x=a+Δх, podane wzorem na przyrosty skończone (czyli inaczej wzorem Lagrange'a)
fa (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
gdzie punkt x = a + ξ leży na odcinku od x = a do x = a + Δx, chociaż jego dokładne położenie nie jest znane. Dokładny wzór pozwala oszacować błąd wzoru przybliżonego. Jeśli do wzoru Lagrange'a wstawimy ξ = Δх /2, to chociaż przestaje to być dokładne, to zwykle daje znacznie lepsze przybliżenie niż pierwotne wyrażenie przez różnicę.
Szacowanie błędu wzorów poprzez zastosowanie różniczki
W zasadzie są one niedokładne i wprowadzają odpowiednie błędy do danych pomiarowych. Charakteryzują się one błędem krańcowym, czyli w skrócie marginalnym – liczbą dodatnią, oczywiście przewyższającą ten błąd w wartości bezwzględnej (lub przynajmniej mu równą). Granicę nazywa się ilorazem jej podziału przez wartość bezwzględną mierzonej wartości.
Niech do obliczenia funkcji y posłużymy się dokładnym wzorem y= f (x), ale wartość x jest wynikiem pomiaru i dlatego wprowadza błąd do y. Następnie, aby znaleźć graniczny błąd bezwzględny │Δу│ funkcji y, skorzystaj ze wzoru
│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δх│,
gdzie │Δх│ jest błędem krańcowym argumentu. Wartość │Δу│ należy zaokrąglić w górę, ponieważ niedokładne jest samo zastąpienie obliczenia przyrostu obliczeniem różnicy.
