Jei funkcija
taške skiriasi 
,
tada jo prieaugis gali būti pavaizduotas kaip dviejų narių suma
. Šie terminai yra be galo mažos funkcijos 
.Pirmasis narys yra tiesinis atžvilgiu 
, antroji yra be galo maža aukštesnė tvarka nei 
.Tikrai,
.
Taigi, antroji kadencija val 
linkęs į nulį greičiau ir kai suranda funkcijos prieaugį 
pirmas terminas vaidina pagrindinį vaidmenį 
arba (nes 
)
.
Apibrėžimas
.
Pagrindinė funkcijos padidėjimo dalis
taške 
, tiesinis atžvilgiu
,vadinamas diferencialu
funkcijas
šioje vietoje ir žymimasdyarbadf(x)
. (2)
Taigi galime daryti išvadą: nepriklausomo kintamojo diferencialas sutampa su jo prieaugiu, tai yra 
.
Santykis (2) dabar įgauna formą
(3)
komentuoti . Formulė (3) trumpumui dažnai rašoma formoje
(4)
Geometrinė diferencialo reikšmė
Apsvarstykite diferencijuojamos funkcijos grafiką 
. taškų 
ir priklauso funkcijos grafikui. Taške M liestinė KAMį funkcijos, kurios kampas su teigiama ašies kryptimi, grafiką 
žymėti 
. Pieškime tiesiai MN
lygiagrečiai ašiai Jautis
Ir 
lygiagrečiai ašiai Oy. Funkcijos prieaugis yra lygus atkarpos ilgiui 
. Iš stačiojo trikampio 
, kuriame 
, mes gauname
Aukščiau pateiktas argumentas leidžia daryti išvadas:
Funkcinis diferencialas
taške 
yra pavaizduotas šios funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugiu atitinkamame jos taške 
.
Ryšys tarp diferencialo ir išvestinės
Apsvarstykite formulę (4)
.
Abi šios lygybės puses padalijame iš dx, Tada
.
Taigi, funkcijos išvestinė lygi jos diferencialo ir nepriklausomo kintamojo diferencialo santykiui.
Dažnai toks požiūris 
traktuojamas tiesiog kaip simbolis, reiškiantis funkcijos išvestinę adresu argumentu X.
Patogus išvestinės žymėjimas taip pat yra:
,
ir taip toliau.
Taip pat naudojami įrašai
,
,
ypač patogu, kai imama kompleksinės išraiškos išvestinė.
2. Sumos, sandaugos ir dalinio skirtumas.
Kadangi diferencialas gaunamas iš išvestinės, padauginus jį iš nepriklausomo kintamojo diferencialo, tai žinant pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestines, taip pat išvestinių radimo taisykles, galima prieiti prie panašių diferencialų radimo taisyklių.
1 0 . Konstantos skirtumas lygus nuliui
.
2 0 . Baigtinio skaičiaus diferencijuojamų funkcijų algebrinės sumos diferencialas yra lygus šių funkcijų diferencialų algebrinei sumai
3 0 . Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos diferencialas yra lygus pirmosios funkcijos sandaugų ir antrosios bei antrosios funkcijos skirtumo sandaugų ir pirmosios diferencialų sumai
.
Pasekmė. Pastovų koeficientą galima paimti iš diferencialo ženklo
.
Pavyzdys. Raskite funkcijos skirtumą.
Sprendimas Šią funkciją įrašome formoje
,
tada gauname
.
4. Funkcijos, pateiktos parametriškai, jų diferenciacija.
Apibrėžimas
.
Funkcija 
vadinamas parametriškai duotu, jei abu kintamieji X Ir
adresu
kiekviena atskirai apibrėžiama kaip to paties pagalbinio kintamojo – parametro – vienareikšmės funkcijost:
Kurtskiriasi viduje 
.
komentuoti
. Parametrinis funkcijų priskyrimas plačiai naudojamas teorinėje mechanikoje, kur parametras t
žymi laiką ir lygtis 
yra judančio taško projekcijų kitimo dėsniai 
ant ašies 
Ir 
.
komentuoti . Pateikiame parametrines apskritimo ir elipsės lygtis.
a) Apskritimas, kurio centras yra taške ir spinduliu r turi parametrines lygtis:
Kur 
.
b) Parašykime elipsės parametrines lygtis:
Kur 
.
Išskyrus parametrą t Iš nagrinėjamų eilučių parametrinių lygčių galima gauti jų kanonines lygtis.
Teorema
. Jei funkcija y iš argumento
x lygtimis pateikiamas parametriškai 
, Kur 
Ir 
skiriasi pagaltfunkcijos ir 
, Tai
.
Pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę adresu iš X pateiktos parametrinėmis lygtimis.
Sprendimas. 
.
24.1. Funkcijos diferencialo samprata
Tegul funkcija y=ƒ(x) taške x turi nulinę išvestinę.
Tada pagal funkcijos, jos ribos ir be galo mažos funkcijos ryšio teoremą galime parašyti D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, kur α → 0, jei ∆x → 0, arba ∆y \u003d ƒ" (x) ∆х+α ∆х.
Taigi funkcijos ∆у prieaugis yra dviejų dėmenų ƒ "(х) ∆х ir a ∆х, kurie yra be galo maži, kai ∆x → 0, suma. Šiuo atveju pirmasis narys yra be galo maža ta pati tvarka su ∆х, kadangi 
o antrasis narys yra be galo maža aukštesnės eilės funkcija nei ∆x:
Todėl pirmasis narys ƒ "(x) ∆x vadinamas pagrindinė prieaugio dalis funkcijos ∆у.
funkcijų diferencialas y \u003d ƒ (x) taške x vadinamas pagrindine jo prieaugio dalimi, lygia funkcijos išvestinės ir argumento prieaugio sandaugai, ir žymimas dу (arba dƒ (x)):
dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24,1)
Taip pat vadinamas diferencialas dу pirmos eilės diferencialas. Raskime nepriklausomo kintamojo x diferencialą, tai yra funkcijos y=x diferencialą.
Kadangi y"=x"=1, tai pagal (24.1) formulę turime dy=dx=∆x, t.y. nepriklausomo kintamojo diferencialas lygus šio kintamojo prieaugiui: dx=∆x.
Todėl formulę (24.1) galima parašyti taip:
dy \u003d ƒ "(x) dx, (24,2)
kitaip tariant, funkcijos diferencialas yra lygus šios funkcijos išvestinės ir nepriklausomo kintamojo diferencialo sandaugai.
Iš formulės (24.2) seka lygybė dy / dx \u003d ƒ "(x). Dabar žymėjimas
išvestinę dy/dx galima žiūrėti kaip diferencialų dy ir dx santykį.
<< Пример 24.1
Raskite funkcijos ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) diferencialą.
Sprendimas: Pagal formulę dy \u003d ƒ "(x) dx randame
dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.
<< Пример 24.2
Raskite funkcijos skirtumą
Apskaičiuokite dy, kai x=0, dx=0,1.
Sprendimas:
Pakeitę x=0 ir dx=0.1, gauname
24.2. Funkcijos diferencialo geometrinė reikšmė
Išsiaiškinkime geometrinę diferencialo reikšmę.
Norėdami tai padaryti, nubrėžiame funkcijos y \u003d ƒ (x) grafiką taške M (x; y) liestinę MT ir apsvarstykite šios liestinės ordinatę taškui x + ∆x (žr. 138 pav. ). ½ paveiksle AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Iš dešiniojo trikampio MAB turime:
Bet pagal geometrinę išvestinės reikšmę tga \u003d ƒ "(x). Todėl AB \u003d ƒ" (x) ∆x.
Palyginus gautą rezultatą su (24.1) formule, gauname dy=AB, t.y., funkcijos y=ƒ(x) diferencialas taške x yra lygus funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugiui. šiuo momentu, kai x gauna prieaugį ∆x.
Tai geometrinė diferencialo reikšmė.
24.3 Pagrindinės diferencialinės teoremos
Pagrindines teoremas apie diferencialus lengva gauti naudojant ryšį tarp diferencialo ir funkcijos išvestinės (dy=f"(x)dx) ir atitinkamas teoremas apie išvestines.
Pavyzdžiui, kadangi funkcijos y \u003d c išvestinė yra lygi nuliui, tada pastovios reikšmės skirtumas yra lygus nuliui: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.
24.1 teorema. Dviejų diferencijuojamų funkcijų sumos, sandaugos ir dalinio skirtumas apibrėžiamas šiomis formulėmis:
Įrodykime, pavyzdžiui, antrąją formulę. Pagal diferencialo apibrėžimą turime:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
24.2 teorema. Sudėtingos funkcijos diferencialas yra lygus šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento ir šio tarpinio argumento diferencialui.
Tegu y=ƒ(u) ir u=φ(x) yra dvi diferencijuojamos funkcijos, sudarančios kompleksinę funkciją y=ƒ(φ(x)). Pagal sudėtinės funkcijos išvestinės teoremą galima rašyti
y" x = y" u u" x .
Abi šios lygybės dalis padauginus iš dx, sužinome, kad y "x dx \u003d y" u u "x dx. Bet y" x dx \u003d dy ir u "x dx \u003d du. Todėl paskutinę lygybę galima perrašyti kaip taip:
dy=y" u du.
Palyginus formules dy=y "x dx ir dy=y" u du, matome, kad pirmasis funkcijos y=ƒ(x) diferencialas nustatomas ta pačia formule, nepriklausomai nuo to, ar jos argumentas yra nepriklausomas kintamasis, ar yra kito argumento funkcija.
Ši diferencialo savybė vadinama pirmojo diferencialo formos nekintamumu (invariancija).
Formulė dy \u003d y "x dx" savo išvaizda sutampa su formule dy \u003d y" u du, tačiau tarp jų yra esminis skirtumas: pirmoje formulėje x yra nepriklausomas kintamasis, todėl dx \u003d ∆x, antroje formulėje ir yra x funkcija, taigi, paprastai kalbant, du≠∆u.
Naudojant diferencialo apibrėžimą ir pagrindines diferencialų teoremas, išvestinių lentelę lengva paversti diferencialų lentele.
Pavyzdžiui: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Diferencialinė lentelė
24.5. Skirtumo taikymas apytiksliems skaičiavimams
Kaip jau žinoma, funkcijos y=ƒ(х) prieaugis ∆у taške x gali būti pavaizduotas kaip ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, kur α→0 kaip ∆х→0, arba dy+α ∆x Atmetę be galo mažą α ∆x aukštesnės eilės nei ∆x, gauname apytikslę lygybę
∆у≈dy, (24.3)
be to, ši lygybė yra tikslesnė, tuo mažesnė ∆x.
Ši lygybė leidžia mums labai tiksliai apskaičiuoti bet kokios diferencijuojamos funkcijos prieaugį.
Diferencialas paprastai randamas daug lengviau nei funkcijos prieaugis, todėl skaičiavimo praktikoje plačiai naudojama formulė (24.3).
<< Пример 24.3
Raskite apytikslę funkcijos y \u003d x 3 -2x + 1 priedo reikšmę, kai x \u003d 2 ir ∆x \u003d 0,001.
Sprendimas: Taikome formulę (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
Taigi, ∆у» 0,01.
Pažiūrėkime, kokia klaida buvo padaryta apskaičiuojant funkcijos skirtumą, o ne jo prieaugį. Norėdami tai padaryti, randame ∆у:
∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);
Absoliuti aproksimacijos paklaida lygi
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Į lygybę (24.3) pakeitę reikšmes ∆у ir dy, gauname
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)
Apytikslėms funkcijų reikšmėms apskaičiuoti naudojama formulė (24.4).
<< Пример 24.4
Apskaičiuokite apytiksliai arctg(1,05).
Sprendimas: Apsvarstykite funkciją ƒ(х)=arctgx. Pagal formulę (24.4) turime:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
t.y. 
Kadangi x+∆x=1,05, tada x=1 ir ∆x=0,05 gauname:
Galima parodyti, kad (24.4) formulės absoliuti paklaida neviršija reikšmės M (∆x) 2, kur M yra didžiausia |ƒ"(x)| reikšmė atkarpoje [x;x+∆x].
<< Пример 24.5
Kokį atstumą kūnas nukeliaus laisvu kritimu Mėnulyje per 10,04 s nuo kritimo pradžios. Kūno laisvo kritimo lygtis
H \u003d g l t 2 /2, g l = 1,6 m / s 2.
Sprendimas: Reikia rasti H(10,04). Mes naudojame apytikslę formulę (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Kai t=10 s ir ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, randame
Užduotis (savarankiškam sprendimui). Kūnas, kurio masė m=20 kg, juda greičiu ν=10,02 m/s. Apskaičiuokite apytikslę kūno kinetinę energiją
24.6. Didesnės eilės skirtumai
Tegu y=ƒ(x) yra diferencijuojama funkcija, o jos argumentas x yra nepriklausomas kintamasis. Tada jo pirmasis diferencialas dy=ƒ"(x)dx taip pat yra x funkcija; galima rasti šios funkcijos diferencialą.
Iškviečiamas funkcijos y=ƒ(x) diferencialas nuo diferencialo jos antrasis diferencialas(arba antros eilės diferencialas) ir žymimas d 2 y arba d 2 ƒ(x).
Taigi pagal apibrėžimą d 2 y=d(dy). Raskime funkcijos y=ƒ(x) antrojo diferencialo išraišką.
Kadangi dx=∆x nepriklauso nuo x, darome prielaidą, kad diferencijuojant dx yra pastovus:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 t.y.
d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24,5)
Čia dx 2 reiškia (dx) 2 .
Trečios eilės diferencialas apibrėžiamas ir randamas panašiai
d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.
Ir apskritai n-osios eilės diferencialas yra (n-1) eilės diferencialas: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Taigi mes pastebime, kad, ypač jei n = 1,2,3
atitinkamai gauname:
y., funkcijos išvestinė gali būti vertinama kaip jos atitinkamos eilės diferencialo ir nepriklausomo kintamojo diferencialo atitinkamos galios santykis.
Atkreipkite dėmesį, kad visos aukščiau pateiktos formulės galioja tik tuo atveju, jei x yra nepriklausomas kintamasis. Jei funkcija y \u003d ƒ (x), kur x - kurio nors kito nepriklausomo kintamojo funkcija, tada antrosios ir aukštesnės eilės skirtumai neturi formos nekintamumo savybės ir apskaičiuojami naudojant kitas formules. Parodykime tai antros eilės diferencialo pavyzdžiu.
Naudodami sandaugos diferencialinę formulę (d(uv)=vdu+udv), gauname:
d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , t.y.
d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24,6)
Palyginus (24.5) ir (24.6) formules, matome, kad kompleksinės funkcijos atveju antros eilės diferencialinė formulė pasikeičia: atsiranda antrasis narys ƒ "(x) d 2 x.
Akivaizdu, kad jei x yra nepriklausomas kintamasis, tada
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
ir formulė (24.6) pereina į formulę (24.5).
<< Пример 24.6
Raskite d 2 y, jei y=e 3x ir x yra nepriklausomas kintamasis.
Sprendimas: Kadangi y"=3e 3x, y"=9e 3x, tai pagal formulę (24.5) gauname d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Raskite d 2 y, jei y=x 2 ir x=t 3 +1 ir t yra nepriklausomas kintamasis.
Sprendimas: naudojame formulę (24.6): nuo
y" = 2x, y" = 2, dx = 3t 2 dt, d 2 x = 6tdt 2,
Tai d 2 y = 2 dx 2 + 2x 6 tdt 2 = 2 (3 t 2 dt) 2 +2 (t 3 +1) 6 td 2 = 18 t 4 dt 2 + 12 t 4 dt 2 + 12 td 2 = (30 t 4 + 12 t) dt 2
Kitas sprendimas: y=x 2, x=t 3 +1. Todėl y \u003d (t 3 +1) 2. Tada pagal formulę (24.5)
d 2 y=y ¢¢ dt 2,
d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .
Diferencialinis funkcija y \u003d ƒ (x) taške x vadinama pagrindine jos prieaugio dalimi, lygia funkcijos išvestinės ir argumento prieaugio sandaugai, ir žymima dу (arba dƒ (x)): dy \u003d ƒ "(x) ∆x.
Pagrindiniai skirtumai:
Funkcijos diferencialas turi panašių savybių kaip ir išvestinės.
- Nuolatinis diferencialas lygus nuliui:
dc = 0, c = pastovus. - Diferencijuojamų funkcijų sumos diferencialas yra lygus terminų skirtumų sumai:
Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų skirtumai yra
d(u+c) = du (c= const).
- produktų skirtumas dviejų diferencijuojamų funkcijų sandauga yra lygi pirmosios funkcijos sandaugai iš antrosios ir antrosios funkcijos sandaugai iš pirmosios funkcijos skirtumo:
d(uv) = udv + vdu.
Pasekmė. Pastovų koeficientą galima paimti iš diferencialo ženklo
d(cu) = cdu (c = const).
- koeficiento skirtumas u/v dviejų diferencijuojamų funkcijų u = u(x) ir v = v(x) apibrėžiamas formule
- Diferencialo formos nepriklausomumo nuo nepriklausomo kintamojo pasirinkimo savybė (diferencialo formos nekintamumas): funkcijos diferencialas yra lygus išvestinės ir argumento diferencialo sandaugai, nepriklausomai nuo to, ar šis argumentas yra nepriklausomas kintamasis arba kito nepriklausomo kintamojo funkcija.
Aukštesnių laipsnių išvestinės ir diferencialinės priemonės.
Tegu kokios nors funkcijos išvestinė f skiriasi. Tada vadinama šios funkcijos išvestinės išvestinė antrasis darinys funkcijas f ir žymimas f". Taigi,
f"(x) = (f"(x))" .
Jei skiriasi ( n- 1)-oji funkcijos išvestinė f, tada ji n-tas vedinys vadinamas išvestiniu iš ( n- 1)-oji funkcijos išvestinė f ir žymimas f(n). Taigi,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))" , n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Skaičius n paskambino išvestinė tvarka.
Diferencialinis n– įsakymas funkcijas f vadinamas skirtumu nuo diferencialo ( n- 1)-oji tos pačios funkcijos eilė. Taigi,
d n f(x) = d(d n -1 f(x)), d 0 f(x) = f(x), n ϵ N.
Jeigu x tada yra nepriklausomas kintamasis
dx= const ir d 2 x = d 3 x = ... = d n x = 0.
Šiuo atveju formulė galioja
d n f(x) = f (n) (x)(dx)n.
Dariniai n– eilė nuo pagrindinių elementariųjų funkcijų
Sąžiningos formulės
Išvestinių taikymas funkcijoms tirti.
Pagrindinės funkcijų diferenciacijos teoremos:
Rolio teorema
Tegul funkcija f: [a, b] → R yra ištisinis segmente [ a, b] ir šiame segmente turi baigtinę arba begalinę išvestinę. Tegul, be to, f(a) = f(b). Tada segmento viduje [ a, b] yra taškas ξ toks kad f"(ξ ) = 0.
Lagranžo teorema
Jei funkcija f: [a, b] → R yra ištisinis segmente [ a, b] ir turi baigtinę arba begalinę išvestinę šio atkarpos vidiniuose taškuose, tada tokią, kad f(b) - f(a) = f"(ξ )(b - a).
Koši teorema
Jei kiekviena iš funkcijų f Ir g nuolatinis [ a, b] ir turi baigtinę arba begalinę išvestinę ] a, b[ o jei, be to, išvestinė g"(x) ≠ 0 pagal ] a, b[, tada tokia, kad formulė
Jei to papildomai reikalaujama g(a) ≠ g(b), tada sąlyga g"(x) ≠ 0 gali būti pakeista ne tokia griežta:
Abu jie, būdami neatsiejamai susiję, jau kelis šimtmečius buvo aktyviai naudojami sprendžiant beveik visas problemas, iškilusias žmogaus mokslinės ir techninės veiklos procese.
Diferencialo sampratos atsiradimas
Pirmą kartą jis paaiškino, kas yra diferencialas, vienas iš diferencialinio skaičiavimo įkūrėjų (kartu su Isaacu Newtonu), garsus vokiečių matematikas Gottfriedas Wilhelmas Leibnicas. Prieš tai matematikai 17 str. naudojo labai miglotą ir neaiškią idėją apie be galo mažą bet kurios žinomos funkcijos „nedalomą“ dalį, reiškiančią labai mažą pastovią reikšmę, bet nelygią nuliui, mažesnė už kurią funkcijos reikšmės tiesiog negali būti. Nuo čia tebuvo vienas žingsnis iki be galo mažų funkcijų argumentų prieaugių ir atitinkamų pačių funkcijų prieaugių, išreikštų pastarųjų išvestinėmis, sąvokos įvedimo. Ir šį žingsnį beveik vienu metu žengė du jau minėti didieji mokslininkai.
Remdamiesi būtinybe išspręsti aktualias praktines mechanikos problemas, kurias mokslui kėlė sparčiai besivystanti pramonė ir technologijos, Niutonas ir Leibnicas sukūrė bendrus metodus, kaip nustatyti funkcijų kitimo greitį (pirmiausia atsižvelgiant į kūno judėjimo mechaninį greitį). išilgai žinomos trajektorijos), dėl kurių buvo įvestos tokios sąvokos, kaip funkcijos išvestinė ir diferencialas, taip pat rastas atvirkštinės problemos sprendimo algoritmas, kaip rasti atstumą, nuvažiuotą nuo žinomo (kintamo) greičio, kuris lėmė integralo sampratos atsiradimą.
Leibnizo ir Newtono darbuose pirmą kartą pasirodė mintis, kad diferencialai yra pagrindinės funkcijų Δy prieaugio dalys, proporcingos argumentų Δx prieaugiams, kurias galima sėkmingai pritaikyti apskaičiuojant pastarasis. Kitaip tariant, jie atrado, kad funkcijos prieaugis gali būti išreikštas bet kuriame taške (jos apibrėžimo srityje) jos išvestinėje kaip 0, daug greičiau nei pati Δx.
Pasak matematinės analizės įkūrėjų, diferencialai yra tik pirmieji bet kokių funkcijų prieaugio išraiškų terminai. Vis dar neturėdami aiškiai suformuluotos sekų ribos sampratos, jie intuityviai suprato, kad diferencialo reikšmė yra linkusi į funkcijos išvestinę Δх→0 – Δу/Δх→ y"(x).
Skirtingai nuo Niutono, kuris pirmiausia buvo fizikas ir matematinį aparatą laikė pagalbine fizinių problemų tyrimo priemone, Leibnicas daugiau dėmesio skyrė pačiam priemonių rinkiniui, įskaitant vizualaus ir suprantamo matematinių dydžių žymėjimo sistemą. Būtent jis pasiūlė visuotinai priimtą funkcijos dy \u003d y "(x) dx" diferencialų žymėjimą, argumentą dx ir funkcijos išvestinę jų santykio y forma (x) \u003d dy / dx. .
Šiuolaikinis apibrėžimas
Kuo skiriasi šiuolaikinė matematika? Jis glaudžiai susijęs su kintamo prieaugio sąvoka. Jei kintamasis y pirmiausia įgyja reikšmę y = y 1, o paskui y = y 2 , tai skirtumas y 2 ─ y 1 vadinamas y prieaugiu.
Prieaugis gali būti teigiamas. neigiamas ir lygus nuliui. Žodis „prieaugis“ žymimas Δ, žymėjimas Δy (skaityti „delta y“) reiškia y padidėjimą. taigi Δу = y 2 ─ y 1 .
Jei savavališkos funkcijos y = f (x) reikšmę Δу galima pavaizduoti kaip Δу = A Δх + α, kur A nepriklauso nuo Δх, t. y. A = const tam tikram x, o terminas α linkęs į jį yra net greičiau nei pats Δx, tada pirmasis („pagrindinis“) narys, proporcingas Δx, yra y \u003d f (x) diferencialas, žymimas dy arba df (x) (skaitykite „de y“, „de ef iš x“ “). Todėl diferencialai yra „pagrindiniai“ tiesiniai funkcijų prieaugio komponentai Δx atžvilgiu.
Mechaninis aiškinimas
Tegu s = f(t) yra atstumas nuo pradinės padėties (t – kelionės laikas). Prieaugis Δs yra taško kelias laiko intervale Δt, o skirtumas ds = f "(t) Δt yra kelias, kurį taškas būtų nuėjęs per tą patį laiką Δt, jei būtų išlaikęs greitį f" (t ) pasiekė iki laiko t . Esant be galo mažam Δt, įsivaizduojamas kelias ds nuo tikrojo Δs skiriasi be galo maža reikšme, kuri yra aukštesnė Δt atžvilgiu. Jei greitis momentu t nėra lygus nuliui, tai ds pateikia apytikslę taško mažojo poslinkio reikšmę.
Geometrinė interpretacija
Tegul tiesė L yra grafikas y = f(x). Tada Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(žr. paveikslėlį žemiau). Liestinė MN padalija atkarpą Δy į dvi dalis, QN ir NM". Pirmasis yra proporcingas Δх ir lygus QN = MQ∙tg (kampas QMN) = Δх f "(x), t.y. QN yra diferencialas dy.
Antroji dalis NM"pateikia skirtumą Δу ─ dy, ties Δх→0 NM ilgis" mažėja net greičiau nei argumento prieaugis, ty jo mažumo tvarka yra didesnė nei Δх. Nagrinėjamu atveju, jei f "(x) ≠ 0 (liestinė nėra lygiagreti OX), atkarpos QM" ir QN yra lygiavertės; kitaip tariant, NM" mažėja greičiau (jo mažumo tvarka yra didesnė) nei bendras prieaugis Δу = QM". Tai matyti paveikslėlyje (kai M „artėja prie M, segmentas NM“ sudaro vis mažesnę segmento QM procentinę dalį).
Taigi, grafiškai, savavališkos funkcijos skirtumas yra lygus jos liestinės ordinatės prieaugio dydžiui.
Išvestinė ir diferencinė
Koeficientas A pirmajame funkcijos padidėjimo išraiškos naryje yra lygus jo išvestinės f "(x) reikšmei. Taigi vyksta toks ryšys - dy \u003d f" (x) Δx, arba df (x) \u003d f "(x) Δx.
Yra žinoma, kad nepriklausomo argumento prieaugis yra lygus jo diferencialui Δх = dx. Atitinkamai galite parašyti: f "(x) dx \u003d dy.
Skirtumų radimas (kartais vadinamas „sprendimu“) atliekamas pagal tas pačias taisykles, kaip ir išvestiniams. Jų sąrašas pateikiamas žemiau.
Kas yra universaliau: argumento padidėjimas ar jo skirtumas
Čia būtina pateikti kai kuriuos paaiškinimus. Diferencialo atvaizdavimas reikšme f "(x) Δx galimas, kai x yra argumentas. Tačiau funkcija gali būti sudėtinga, kurioje x gali būti kokio nors argumento t funkcija. Tada diferencialo atvaizdavimas išraiška f "(x) Δx, kaip taisyklė, neįmanomas; išskyrus tiesinės priklausomybės atvejį x = ties + b.
Kalbant apie formulę f "(x) dx \u003d dy, tada nepriklausomo argumento x atveju (tada dx \u003d Δx) ir esant parametrinei x priklausomybei nuo t, tai reiškia skirtumą.
Pavyzdžiui, išraiška 2 x Δx reiškia y = x 2 diferencialą, kai x yra argumentas. Dabar nustatykime x= t 2 ir paimkime t kaip argumentą. Tada y = x 2 = t 4 .
Ši išraiška nėra proporcinga Δt, todėl dabar 2xΔх nėra diferencialas. Jį galima rasti iš lygties y = x 2 = t 4 . Pasirodo lygi dy=4t 3 Δt.
Jei imsime reiškinį 2xdx, tai reiškia bet kurio argumento t diferencialą y = x 2. Iš tiesų, esant x= t 2, gauname dx = 2tΔt.
Tai reiškia, kad 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, t.y., diferencialų, užrašytų dviem skirtingais kintamaisiais, išraiškos sutapo.
Prieaugių pakeitimas diferencialais
Jei f "(x) ≠ 0, tada Δу ir dy yra lygiaverčiai (kai Δх→0); jei f "(x) = 0 (tai reiškia, kad dy = 0), jie nėra lygiaverčiai.
Pavyzdžiui, jei y \u003d x 2, tada Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 ir dy \u003d 2xΔx. Jei x=3, tai turime Δу = 6Δх + Δх 2 ir dy = 6Δх, kurie yra lygiaverčiai dėl Δх 2 →0, esant x=0 reikšmės Δу = Δх 2 ir dy=0 nėra lygiavertės.
Šis faktas kartu su paprasta diferencialo struktūra (ty tiesiškumas Δx atžvilgiu) dažnai naudojamas apytiksliuose skaičiavimuose, darant prielaidą, kad Δy ≈ dy esant mažam Δx. Funkcijos diferencialą rasti paprastai yra lengviau nei apskaičiuoti tikslią prieaugio reikšmę.
Pavyzdžiui, turime metalinį kubą, kurio briauna x = 10,00 cm Kaitinant briauna pailgėja Δx = 0,001 cm Kiek padidėjo kubo tūris V? Turime V \u003d x 2, kad dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Tūrio padidėjimas ΔV yra lygus diferencialui dV, todėl ΔV = 3 cm 3 . Išsamus skaičiavimas gautų ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Tačiau šiame rezultate visi skaičiai, išskyrus pirmąjį, yra nepatikimi; taigi bet kokiu atveju reikia suapvalinti iki 3 cm 3.
Akivaizdu, kad toks metodas yra naudingas tik tuo atveju, jei įmanoma įvertinti įvestos klaidos dydį.
Funkcijų diferencialas: pavyzdžiai
Pabandykime surasti funkcijos y = x 3 diferencialą, nerasdami išvestinės. Padidinkime argumentą ir apibrėžkime Δу.
Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).
Čia koeficientas A= 3x 2 nepriklauso nuo Δх, todėl pirmasis narys yra proporcingas Δх, o kitas narys 3xΔх 2 + Δх 3 ties Δх→0 mažėja greičiau nei argumento prieaugis. Todėl terminas 3x 2 Δx yra diferencialas y = x 3:
dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx arba d (x 3) = 3x 2 dx.
Šiuo atveju d(x 3) / dx \u003d 3x 2.
Dabar suraskime funkcijos y = 1/x dy pagal jos išvestinę. Tada d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Todėl dy = ─ Δх/х 2 .
Žemiau pateikiami pagrindinių algebrinių funkcijų skirtumai.
Apytiksliai skaičiavimai naudojant diferencialą
Dažnai nesunku apskaičiuoti funkciją f (x), taip pat jos išvestinę f "(x), kai x=a, tačiau tai nėra lengva padaryti šalia taško x=a. Tada apytikslė išraiška ateina į pagalbą
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
Tai suteikia apytikslę funkcijos vertę mažais žingsniais Δх per diferencialą f "(a) Δх.
Todėl ši formulė pateikia apytikslę funkcijos išraišką Δx ilgio atkarpos pabaigos taške kaip jos vertės šios atkarpos pradžios taške (x=a) ir diferencialo tame pačiame pradžios taške sumą. Šio funkcijos reikšmės nustatymo metodo klaida pavaizduota paveikslėlyje žemiau.
Tačiau taip pat žinoma tiksli funkcijos reikšmės x=a+Δх išraiška, pateikta baigtinių žingsnių formule (arba, kitaip tariant, Lagranžo formule)
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
kur taškas x = a + ξ yra atkarpoje nuo x = a iki x = a + Δx, nors tiksli jo padėtis nežinoma. Tiksli formulė leidžia įvertinti apytikslės formulės paklaidą. Jei į Lagranžo formulę įdėsime ξ = Δх /2, tada, nors ji nustoja būti tiksli, ji paprastai suteikia daug geresnę aproksimaciją nei pradinė išraiška per diferencialą.
Formulių klaidos įvertinimas taikant diferencialą
Iš esmės jie yra netikslūs ir įtraukia atitinkamas matavimo duomenų klaidas. Jiems būdinga ribinė arba, trumpai tariant, ribinė paklaida – teigiamas skaičius, akivaizdžiai viršijantis šią paklaidą absoliučia reikšme (arba bent jau jai lygus). Riba vadinama jos padalijimo iš išmatuotos vertės absoliučios vertės koeficientu.
Apskaičiuojant funkciją y, naudokite tikslią formulę y= f (x), tačiau x reikšmė yra matavimo rezultatas ir todėl į y įveda klaidą. Tada, norėdami rasti funkcijos y ribinę absoliučią paklaidą │Δу│, naudokite formulę
│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δх│,
kur │Δх│ yra argumento ribinė paklaida. Reikšmė │Δу│ turėtų būti suapvalinta, nes netikslus yra pats prieaugio skaičiavimo pakeitimas skirtumo apskaičiavimu.
