دیفرانسیل - چیست؟ چگونه دیفرانسیل یک تابع را پیدا کنیم؟ §24. دیفرانسیل یک تابع دیفرانسیل یک تابع: مثال

اگر تابع قابل تمایز در یک نقطه , سپس افزایش آن را می توان به صورت مجموع دو جمله نشان داد

. این اصطلاحات توابع بی نهایت کوچکی هستند
.جمله اول با توجه به خطی است
، دومی یک مرتبه بینهایت کوچک بالاتر از
.واقعا

.

بنابراین، دوره دوم در
در هنگام یافتن افزایش تابع، سریعتر به صفر تمایل دارد
ترم اول نقش اصلی را ایفا می کند
یا (چون
)
.

تعریف . بخش اصلی افزایش تابع
در نقطه ، خطی نسبت به
,دیفرانسیل نامیده می شود کارکرد در این نقطه و نشان داده شده استدویاdf(ایکس)

. (2)

بنابراین می توان نتیجه گرفت: دیفرانسیل یک متغیر مستقل با افزایش آن منطبق است، یعنی
.

رابطه (2) اکنون شکل می گیرد

(3)

اظهار نظر . فرمول (3) برای اختصار اغلب به شکل نوشته می شود

(4)

معنای هندسی دیفرانسیل

نمودار یک تابع متمایز را در نظر بگیرید
. نکته ها
و متعلق به نمودار تابع است. در نقطه میک مماس بهبه نمودار تابعی که زاویه آن با جهت مثبت محور است
با نشان دادن
. بیایید مستقیم بکشیم MN موازی با محور گاو نر و
موازی با محور اوه. افزایش تابع برابر با طول قطعه است
. از مثلث قائم الزاویه
، که در آن
، ما گرفتیم

استدلال فوق به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم:

دیفرانسیل عملکرد
در نقطه با افزایش مماس به نمودار این تابع در نقطه مربوطه آن نشان داده می شود.
.

رابطه بین دیفرانسیل و مشتق

فرمول (4) را در نظر بگیرید

.

ما هر دو طرف این برابری را بر تقسیم می کنیم dx، سپس

.

بدین ترتیب، مشتق یک تابع برابر است با نسبت دیفرانسیل آن به دیفرانسیل متغیر مستقل.

اغلب این نگرش صرفاً به عنوان نمادی در نظر گرفته می شود که مشتق یک تابع را نشان می دهد دربا استدلال ایکس.

نماد مناسب برای مشتق نیز این است:

,
و غیره

همچنین ورودی ها استفاده می شوند

,
,

به ویژه هنگامی که مشتق یک عبارت پیچیده گرفته شود راحت است.

2. دیفرانسیل جمع، حاصلضرب و ضریب.

از آنجایی که دیفرانسیل با ضرب آن در دیفرانسیل یک متغیر مستقل از مشتق به دست می آید، پس با دانستن مشتقات توابع ابتدایی اولیه و همچنین قوانین یافتن مشتقات، می توان به قوانین مشابهی برای یافتن دیفرانسیل رسید.

1 0 . دیفرانسیل یک ثابت صفر است

.

2 0 . دیفرانسیل مجموع جبری تعداد محدودی از توابع متمایز برابر با مجموع جبری دیفرانسیل این توابع است.

3 0 . دیفرانسیل حاصلضرب دو تابع متمایز برابر است با مجموع حاصلضرب تابع اول و دیفرانسیل تابع دوم و دوم و دیفرانسیل تابع اول.

.

نتیجه. فاکتور ثابت را می توان از علامت دیفرانسیل خارج کرد

.

مثال. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید.

راه حل این تابع را به شکل می نویسیم

,

سپس دریافت می کنیم

.

4. توابع داده شده به صورت پارامتری، تمایز آنها.

تعریف . تابع
اگر هر دو متغیر به صورت پارامتری داده شوند نامیده می شود ایکس و در هر کدام به طور جداگانه به عنوان توابع تک مقداری از همان متغیر کمکی - پارامتر تعریف می شوندتی:

جایی کهتیدر داخل متفاوت است
.

اظهار نظر . تخصیص پارامتری توابع به طور گسترده در مکانیک نظری استفاده می شود، جایی که پارامتر تی زمان و معادلات را نشان می دهد
قوانین تغییر در پیش بینی یک نقطه متحرک هستند
روی محور
و
.

اظهار نظر . معادلات پارامتریک دایره و بیضی را ارائه می کنیم.

الف) دایره در مرکز مبدأ و شعاع r معادلات پارامتری دارد:

جایی که
.

ب) معادلات پارامتری بیضی را بنویسیم:

جایی که
.

با حذف پارامتر تی از معادلات پارامتریک خطوط مورد بررسی می توان به معادلات متعارف آنها رسید.

قضیه . اگر تابع y از استدلال x به صورت پارامتریک توسط معادلات داده می شود
، جایی که
و
قابل تمایز توسطتیتوابع و
، آن

.

مثال. مشتق یک تابع را پیدا کنید دراز جانب ایکستوسط معادلات پارامتری ارائه می شود.

راه حل.
.

24.1. مفهوم دیفرانسیل تابع

اجازه دهید تابع y=ƒ(x) در نقطه x مشتق غیر صفر داشته باشد.

سپس، با توجه به قضیه اتصال یک تابع، حد آن و یک تابع بی نهایت کوچک، می توانیم D y / D x \u003d ƒ "(x) + α را بنویسیم، که α → 0 برای ∆x → 0، یا ∆y \u003d ƒ" (x) ∆х+α ∆х.

بنابراین، افزایش تابع ∆у مجموع دو جمله ƒ "(х) ∆х و a ∆χ است که در ∆x→0 بی نهایت کوچک هستند. در این حالت، جمله اول یک تابع بی‌نهایت کوچک از همان ترتیب با ∆х، از آنجایی که و جمله دوم یک تابع بی نهایت کوچک با مرتبه بالاتر از ∆x است:

بنابراین اولین عبارت ƒ "(x) ∆x نامیده می شود بخش اصلی افزایشتوابع ∆у.

دیفرانسیل عملکرد y \u003d ƒ (x) در نقطه x قسمت اصلی افزایش آن نامیده می شود که برابر با حاصلضرب مشتق تابع و افزایش آرگومان است و به آن dу (یا dƒ (x) نشان داده می شود:

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

دیفرانسیل dу نیز نامیده می شود دیفرانسیل مرتبه اولاجازه دهید دیفرانسیل متغیر مستقل x، یعنی دیفرانسیل تابع y=x را پیدا کنیم.

از آنجایی که y"=x"=1 است، پس طبق فرمول (24.1) dy=dx=∆x داریم، یعنی دیفرانسیل متغیر مستقل برابر با افزایش این متغیر است: dx=∆x.

بنابراین فرمول (24.1) را می توان به صورت زیر نوشت:

dy \u003d ƒ "(x) dx، (24.2)

به عبارت دیگر، دیفرانسیل یک تابع برابر است با حاصلضرب مشتق این تابع و دیفرانسیل متغیر مستقل.

از فرمول (24.2) برابری dy / dx \u003d ƒ "(x) به دست می آید. اکنون تعیین

مشتق dy/dx را می توان به عنوان نسبت دیفرانسیل های dy و dx در نظر گرفت.

<< Пример 24.1

دیفرانسیل تابع ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) را بیابید.

راه حل: طبق فرمول dy \u003d ƒ "(x) dx پیدا می کنیم

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

دیفرانسیل یک تابع را پیدا کنید

dy را در x=0، dx=0.1 محاسبه کنید.

راه حل:

با جایگزینی x=0 و dx=0.1، دریافت می کنیم

24.2. معنای هندسی دیفرانسیل یک تابع

بیایید معنای هندسی دیفرانسیل را دریابیم.

برای انجام این کار، مماس MT را به نمودار تابع y \u003d ƒ (x) در نقطه M (x; y) رسم می کنیم و ترتیب این مماس را برای نقطه x + ∆x در نظر می گیریم (شکل 138 را ببینید. ). در شکل ½ AM½ =∆x، |AM 1 |=∆y. از مثلث قائم الزاویه MAB داریم:

اما، با توجه به معنای هندسی مشتق، tga \u003d ƒ "(x). بنابراین، AB \u003d ƒ" (x) ∆x.

با مقایسه نتیجه به‌دست‌آمده با فرمول (24.1)، dy=AB را به دست می‌آوریم، یعنی دیفرانسیل تابع y=ƒ(x) در نقطه x برابر است با افزایش مختصات مماس بر نمودار تابع. در این مرحله، زمانی که x افزایش ∆x را دریافت می کند.

این معنای هندسی دیفرانسیل است.

24.3 قضایای دیفرانسیل بنیادی

قضایای اصلی در مورد دیفرانسیل ها با استفاده از رابطه بین دیفرانسیل و مشتق تابع (dy=f"(x)dx) و قضایای مربوطه در مورد مشتقات به راحتی به دست می آیند.

به عنوان مثال، از آنجایی که مشتق تابع y \u003d c برابر با صفر است، دیفرانسیل یک مقدار ثابت برابر با صفر است: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

قضیه 24.1.دیفرانسیل مجموع، حاصلضرب و ضریب دو تابع قابل تفکیک با فرمول های زیر تعریف می شود:

اجازه دهید برای مثال، فرمول دوم را ثابت کنیم. با تعریف دیفرانسیل داریم:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

قضیه 24.2.دیفرانسیل یک تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و دیفرانسیل این آرگومان میانی.

فرض کنید y=ƒ(u) و u=φ(x) دو تابع قابل تمایز باشند که یک تابع پیچیده y=ƒ(φ(x)) را تشکیل می دهند. با قضیه مشتق تابع مرکب می توان نوشت

y" x = y" u u" x .

با ضرب هر دو قسمت این برابری در dx، یاد می گیریم y "x dx \u003d y" u u "x dx. اما y" x dx \u003d dy و u "x dx \u003d du. بنابراین، آخرین تساوی را می توان به صورت بازنویسی کرد. به شرح زیر است:

dy=y" u du.

با مقایسه فرمول های dy=y "x dx و dy=y" u du، می بینیم که اولین دیفرانسیل تابع y=ƒ(x) با همان فرمول تعیین می شود، صرف نظر از اینکه آرگومان آن یک متغیر مستقل باشد یا باشد. تابعی از آرگومان دیگر

به این خاصیت دیفرانسیل، تغییر ناپذیری (ناواریانس) شکل دیفرانسیل اول می گویند.

فرمول dy \u003d y "x dx در ظاهر با فرمول dy \u003d y" u du منطبق است ، اما یک تفاوت اساسی بین آنها وجود دارد: در فرمول اول x یک متغیر مستقل است ، بنابراین dx \u003d ∆x، در فرمول دوم و تابعی از x وجود دارد، بنابراین، به طور کلی، du≠∆u.

با کمک تعریف دیفرانسیل و قضایای اساسی در مورد دیفرانسیل، تبدیل جدول مشتقات به جدول دیفرانسیل آسان است.

برای مثال: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. جدول دیفرانسیل

24.5. اعمال دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

همانطور که قبلاً مشخص شد، افزایش ∆у تابع y=ƒ(х) در نقطه x را می توان به صورت ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х، که α→0 به صورت ∆х→0، یا dy+α ∆x با حذف بی نهایت کوچک α ∆x از مرتبه بالاتر از ∆x، برابری تقریبی را بدست می آوریم.

∆у≈dy، (24.3)

علاوه بر این، این برابری هر چه دقیق تر باشد، ∆x کوچکتر است.

این برابری به ما این امکان را می دهد که تقریباً افزایش هر تابع قابل تفکیک را با دقت زیادی محاسبه کنیم.

دیفرانسیل معمولاً بسیار ساده تر از افزایش یک تابع است، بنابراین فرمول (24.3) به طور گسترده در عمل محاسباتی استفاده می شود.

<< Пример 24.3

مقدار تقریبی افزایش تابع y \u003d x 3 -2x + 1 را برای x \u003d 2 و ∆x \u003d 0.001 بیابید.

راه حل: فرمول (24.3) را اعمال می کنیم: ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

بنابراین، ∆у» 0.01.

بیایید ببینیم با محاسبه دیفرانسیل تابع به جای افزایش آن چه خطایی رخ داده است. برای انجام این کار، Δу را پیدا می کنیم:

∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( Δx ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

خطای تقریب مطلق برابر است با

|∆у-dy|=|0.010006-0.011=0.000006.

با جایگزینی برابر (24.3) مقادیر ∆у و dy، به دست می‌آییم

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

از فرمول (24.4) برای محاسبه مقادیر تقریبی توابع استفاده می شود.

<< Пример 24.4

تقریباً arctg (1.05) را محاسبه کنید.

راه حل: تابع ƒ(х)=arctgx را در نظر بگیرید. طبق فرمول (24.4) داریم:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

یعنی

از آنجایی که x+∆x=1.05، پس برای x=1 و ∆x=0.05 به دست می‌آییم:

می توان نشان داد که خطای مطلق فرمول (24.4) از مقدار M (∆x) 2 تجاوز نمی کند، جایی که M بزرگترین مقدار |ƒ"(x)| در بخش [x;x+∆x] است.

<< Пример 24.5

بدن در 10.04 ثانیه از آغاز پاییز چه مسافتی را در سقوط آزاد روی ماه طی خواهد کرد. معادله سقوط آزاد بدن

H \u003d g l t 2 /2، g l \u003d 1.6 m / s 2.

راه حل: برای یافتن H(10,04) لازم است. ما از فرمول تقریبی (ΔH≈dH) استفاده می کنیم

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. در t=10 s و ∆t=dt=0.04 s، H"(t)=g l t، پیدا می کنیم

وظیفه (برای راه حل مستقل).جسمی با جرم m=20 کیلوگرم با سرعت 02/10 m/s ν= حرکت می کند. تقریباً انرژی جنبشی بدن را محاسبه کنید

24.6. دیفرانسیل های مرتبه بالاتر

فرض کنید y=ƒ(x) یک تابع متمایزپذیر باشد و آرگومان آن x باشد متغیر مستقلسپس اولین دیفرانسیل آن dy=ƒ"(x)dx نیز تابعی از x است؛ می توان دیفرانسیل این تابع را پیدا کرد.

دیفرانسیل از دیفرانسیل تابع y=ƒ(x) نامیده می شود دیفرانسیل دوم او(یا دیفرانسیل مرتبه دوم) و d 2 y یا d 2 ƒ(x) نشان داده می شود.

بنابراین، طبق تعریف d 2 y=d(dy). اجازه دهید عبارت دیفرانسیل دوم تابع y=ƒ(x) را پیدا کنیم.

از آنجایی که dx=∆x به x بستگی ندارد، فرض می‌کنیم که dx هنگام تمایز ثابت است:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 یعنی .

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

در اینجا dx 2 مخفف (dx) 2 است.

دیفرانسیل مرتبه سوم به طور مشابه تعریف و یافت می شود

d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

و به طور کلی، دیفرانسیل مرتبه n، دیفرانسیل دیفرانسیل مرتبه (n-1)ام است: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

از این رو متوجه می شویم که، به طور خاص، برای n=1،2،3

به ترتیب دریافت می کنیم:

به عنوان مثال، مشتق یک تابع را می توان به عنوان نسبت دیفرانسیل آن از ترتیب متناظر به توان متناظر دیفرانسیل متغیر مستقل در نظر گرفت.

توجه داشته باشید که تمام فرمول های فوق فقط در صورتی معتبر هستند که x یک متغیر مستقل باشد. اگر تابع y \u003d ƒ (x)، جایی که x - تابع یک متغیر مستقل دیگر، سپس دیفرانسیل های مرتبه دوم و بالاتر خاصیت عدم تغییر شکل را ندارند و با استفاده از فرمول های دیگر محاسبه می شوند. اجازه دهید این را با مثال یک دیفرانسیل مرتبه دوم نشان دهیم.

با استفاده از فرمول دیفرانسیل محصول (d(uv)=vdu+udv)، به دست می آوریم:

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x، یعنی

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24.6)

با مقایسه فرمول های (24.5) و (24.6)، می بینیم که در مورد یک تابع پیچیده، فرمول دیفرانسیل مرتبه دوم تغییر می کند: عبارت دوم ƒ "(x) d 2 x ظاهر می شود.

واضح است که اگر x یک متغیر مستقل باشد، پس

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

و فرمول (24.6) به فرمول (24.5) می رود.

<< Пример 24.6

اگر y=e 3x و x متغیر مستقل باشد d 2 y را پیدا کنید.

راه حل: از آنجایی که y"=3e 3x، y"=9e 3x، پس با فرمول (24.5) d 2 y=9e 3x dx 2 داریم.

<< Пример 24.7

d 2 y را بیابید اگر y=x 2 و x=t 3 +1 و t متغیر مستقل است.

راه حل: از فرمول (24.6) استفاده می کنیم: از آنجا که

y"=2x، y"=2، dx=3t 2 dt، d 2 x=6tdt 2،

که d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

راه حل دیگر: y=x 2، x=t 3 +1. بنابراین، y \u003d (t 3 +1) 2. سپس با فرمول (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2،

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

دیفرانسیلتابع y \u003d ƒ (x) در نقطه x قسمت اصلی افزایش آن نامیده می شود که برابر با حاصلضرب مشتق تابع و افزایش آرگومان است و به آن dу (یا dƒ (x) نشان داده می شود: dy \u003d ƒ "(x) ∆x.

تفاوت های اصلی:

دیفرانسیل یک تابع دارای خواصی شبیه به مشتقات است.

1. دیفرانسیل ثابتبرابر با صفر است:
   dc = 0، c = ثابت.
2. دیفرانسیل مجموع توابع متمایزبرابر است با مجموع دیفرانسیل های عبارت:

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک جمله ثابت با هم تفاوت داشته باشند، دیفرانسیل آنها است

d(u+c) = du (c= const).

1. دیفرانسیل محصولدو تابع متمایز برابر حاصلضرب تابع اول با دیفرانسیل دومی به اضافه حاصلضرب دومی با دیفرانسیل اولی است:

d(uv) = udv + vdu.

نتیجه. فاکتور ثابت را می توان از علامت دیفرانسیل خارج کرد

d(cu) = cdu (c = const).

1. دیفرانسیل ضریب u/v از دو تابع متمایز u = u(x) و v = v(x) با فرمول تعریف می شود

1. خاصیت استقلال شکل دیفرانسیل از انتخاب یک متغیر مستقل (عدم تغییر شکل دیفرانسیل): دیفرانسیل یک تابع برابر است با حاصلضرب مشتق و دیفرانسیل استدلال، صرف نظر از اینکه آیا این آرگومان یک متغیر مستقل یا تابعی از متغیر مستقل دیگر است.

مشتقات و دیفرانسیل های مرتبه بالاتر.

اجازه دهید مشتق برخی از تابع fقابل تمایز سپس مشتق مشتق این تابع نامیده می شود مشتق دومکارکرد fو نشان داد f". بدین ترتیب،

f"(ایکس) = (f"(ایکس))" .

در صورت تمایز ( n- 1)-ام مشتق تابع f، سپس او nمشتق -اممشتق از ( n- 1) مشتق تابع fو نشان داد f(n). بنابراین،

f(n)(ایکس) = (f(n-1)(ایکس))" , n ϵ ن, f (0)(ایکس) = f(ایکس).

عدد nتماس گرفت سفارش مشتق.

دیفرانسیل n- مرتبهکارکرد fدیفرانسیل از دیفرانسیل نامیده می شود ( n- 1)-امین مرتبه همان تابع. بدین ترتیب،

d n f(ایکس) = د(d n -1 f(ایکس)), د 0 f(ایکس) = f(ایکس), n ϵ ن.

اگر ایکسیک متغیر مستقل است، پس

dx= const و د 2 ایکس = د 3 ایکس = ... = d n x = 0.

در این مورد، فرمول معتبر است

d n f(ایکس) = f (n) (ایکس)(dx)n.

مشتقات nمرتبه -ام از توابع ابتدایی اولیه

فرمول های منصفانه

کاربرد مشتقات در مطالعه توابع.

قضایای تمایز پایه برای توابع:

قضیه رول

اجازه دهید تابع f: [آ, ب] → آرپیوسته در بخش [ آ, ب]، و دارای مشتق متناهی یا نامتناهی در داخل این قطعه است. اجازه دهید، علاوه بر این، f(آ) = f(ب). سپس در داخل بخش [ آ, ب] نکته ای وجود دارد ξ به طوری که f"(ξ ) = 0.

قضیه لاگرانژ

اگر تابع f: [آ, ب] → آرپیوسته در بخش [ آ, ب] و دارای مشتق متناهی یا نامتناهی در نقاط داخلی این قطعه است، سپس به گونه ای که f(ب) - f(آ) = f"(ξ )(ب - آ).

قضیه کوشی

اگر هر یک از توابع fو gپیوسته در [ آ, ب] و دارای مشتق متناهی یا نامتناهی در ] آ, ب[ و اگر علاوه بر آن مشتق g"(ایکس) ≠ 0 توسط ] آ, ب[، سپس به گونه ای که فرمول

اگر علاوه بر این مورد نیاز است g(آ) ≠ g(ب) سپس شرط g"(ایکس) ≠ 0 را می توان با یک سفت تر جایگزین کرد:

از آنجایی که به طور ناگسستنی به هم مرتبط هستند، هر دوی آنها برای چندین قرن به طور فعال در حل تقریباً تمام مشکلاتی که در روند فعالیت علمی و فنی بشر به وجود آمده است استفاده شده است.

پیدایش مفهوم دیفرانسیل

برای اولین بار او توضیح داد که دیفرانسیل چیست، یکی از بنیانگذاران (همراه با اسحاق نیوتن) حساب دیفرانسیل، ریاضیدان مشهور آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس. قبل از این، ریاضیدانان 17 هنر. از یک ایده بسیار مبهم و مبهم از یک بخش "تقسیم ناپذیر" بی نهایت کوچک از هر تابع شناخته شده استفاده کرد که نشان دهنده یک مقدار ثابت بسیار کوچک است، اما مساوی صفر نیست، کمتر از آن که مقادیر تابع به سادگی نمی تواند باشد. از اینجا تنها یک مرحله تا معرفی مفهوم افزایش بی نهایت کوچک آرگومان های توابع و افزایش متناظر خود توابع وجود داشت که از طریق مشتقات دومی بیان می شود. و این گام تقریباً به طور همزمان توسط دو دانشمند بزرگ فوق الذکر برداشته شد.

نیوتن و لایب‌نیتس بر اساس نیاز به حل مسائل عملی فوری مکانیک، که صنعت و فناوری به سرعت در حال توسعه برای علم مطرح می‌کردند، روش‌های کلی برای یافتن سرعت تغییر عملکردها (عمدتاً در رابطه با سرعت مکانیکی جسم در حال حرکت) ایجاد کردند. در امتداد یک مسیر شناخته شده)، که منجر به معرفی چنین مفاهیمی، به عنوان مشتق و دیفرانسیل یک تابع شد، و همچنین الگوریتمی برای حل مسئله معکوس، نحوه یافتن مسافت طی شده از سرعت شناخته شده (متغیر) پیدا کرد. منجر به پیدایش مفهوم انتگرال شد.

در آثار لایب نیتس و نیوتن، برای اولین بار، این ایده ظاهر شد که دیفرانسیل ها بخش های اصلی افزایش توابع Δy هستند، متناسب با افزایش آرگومان های Δx، که می توانند با موفقیت برای محاسبه مقادیر استفاده شوند. دومی به عبارت دیگر، آنها کشف کردند که افزایش یک تابع را می توان در هر نقطه (در محدوده تعریف آن) بر حسب مشتق آن به صورت 0 بیان کرد، بسیار سریعتر از خود Δx.

به گفته بنیانگذاران آنالیز ریاضی، دیفرانسیل ها اولین اصطلاحات در عبارات برای افزایش هر توابع هستند. آنها هنوز مفهوم مشخصی از حد دنباله‌ها را فرمول‌بندی نشده‌اند، آنها به طور شهودی دریافتند که مقدار دیفرانسیل به مشتق تابع به صورت Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) تمایل دارد.

برخلاف نیوتن که اساساً یک فیزیکدان بود و دستگاه ریاضی را ابزاری کمکی برای مطالعه مسائل فیزیکی می‌دانست، لایب‌نیتس توجه بیشتری به خود این جعبه ابزار شامل سیستمی از نمادهای بصری و قابل درک برای کمیت‌های ریاضی داشت. این او بود که نماد پذیرفته شده عمومی را برای دیفرانسیل های تابع dy \u003d y "(x) dx ، آرگومان dx و مشتق تابع به شکل نسبت آنها y" (x) \u003d dy / dx پیشنهاد کرد. .

تعریف مدرن

تفاوت از نظر ریاضیات مدرن چیست؟ ارتباط نزدیکی با مفهوم افزایش متغیر دارد. اگر متغیر y ابتدا مقدار y = y 1 و سپس y = y 2 را به خود بگیرد، آنگاه تفاوت y 2 ─ y 1 را افزایش y می نامند.

افزایش می تواند مثبت باشد. منفی و برابر با صفر است. کلمه "افزایش" با Δ نشان داده می شود، نماد Δy (بخوانید "دلتا y") نشان دهنده افزایش y است. بنابراین Δу = y 2 ─ y 1 .

اگر مقدار Δу یک تابع دلخواه y = f (x) را می توان به صورت Δу = A Δх + α نشان داد، که در آن A هیچ وابستگی به Δх ندارد، یعنی A = const برای x معین، و عبارت α به آن تمایل دارد حتی سریعتر از خود Δx، اولین عبارت ("اصلی") متناسب با Δx دیفرانسیل برای y \u003d f (x) است که با dy یا df (x) نشان داده شده است (خوانده شود "de y" ، "de ef از x" "). بنابراین، دیفرانسیل ها اجزای خطی "اصلی" افزایش توابع با توجه به Δx هستند.

تفسیر مکانیکی

فرض کنید s = f(t) فاصله از موقعیت شروع باشد (t زمان سفر است). افزایش Δs مسیر نقطه در بازه زمانی Δt است و دیفرانسیل ds = f "(t) Δt مسیری است که نقطه اگر سرعت f را حفظ می کرد در همان زمان Δt طی می کرد" (t) ) در زمان t رسیده است. برای یک Δt بی نهایت کوچک، مسیر خیالی ds با مقدار بی نهایت کوچک با Δs واقعی متفاوت است که نسبت به Δt مرتبه بالاتری دارد. اگر سرعت در زمان t برابر با صفر نباشد، ds مقدار تقریبی جابجایی کوچک نقطه را می دهد.

تفسیر هندسی

بگذارید خط L نمودار y = f(x) باشد. سپس Δ x \u003d MQ، Δy \u003d QM "(شکل زیر را ببینید). مماس MN قطعه Δy را به دو قسمت QN و NM تقسیم می کند. اولی متناسب با Δχ و برابر است QN = MQ∙tg (زاویه QMN) = Δх f "(x)، یعنی QN دیفرانسیل است.

قسمت دوم NM"تفاوت Δу ─ dy را می دهد، در Δх→0 طول NM" حتی سریعتر از افزایش آرگومان کاهش می یابد، یعنی ترتیب کوچکی آن بالاتر از Δх است. در مورد مورد بررسی، برای f "(x) ≠ 0 (مماس با OX موازی نیست)، بخش های QM و QN معادل هستند. به عبارت دیگر، NM" سریعتر از افزایش کل Δυ = QM کاهش می یابد (ترتیب کوچکی آن بیشتر است). این را می توان در شکل مشاهده کرد (از آنجایی که M "به M نزدیک می شود، بخش NM" درصد کمتری از بخش QM را تشکیل می دهد ").

بنابراین، از نظر گرافیکی، دیفرانسیل یک تابع دلخواه برابر است با بزرگی افزایش مماس آن.

مشتق و دیفرانسیل

ضریب A در جمله اول عبارت برای افزایش تابع برابر با مقدار مشتق آن f "(x) است. بنابراین، رابطه زیر رخ می دهد - dy \u003d f" (x) Δx یا df (x) \u003d f "(x) Δx.

مشخص است که افزایش آرگومان مستقل برابر است با دیفرانسیل آن Δх = dx. بر این اساس، می توانید بنویسید: f "(x) dx \u003d dy.

یافتن دیفرانسیل ها (که گاهی اوقات «حل کردن» نامیده می شود) طبق قوانین مشابه برای مشتقات انجام می شود. لیست آنها در زیر آورده شده است.

چه چیزی جهانی تر است: افزایش استدلال یا تفاوت آن

در اینجا لازم است توضیحاتی ارائه شود. نمایش با مقدار f "(x) Δx دیفرانسیل زمانی امکان پذیر است که x را به عنوان یک آرگومان در نظر بگیریم. اما تابع می تواند پیچیده باشد، که در آن x می تواند تابعی از برخی از آرگومان t باشد. سپس نمایش دیفرانسیل با عبارت f "(x) Δx، به عنوان یک قاعده، غیرممکن است. به جز مورد وابستگی خطی x = at + b.

در مورد فرمول f "(x) dx \u003d dy، سپس در مورد یک آرگومان مستقل x (سپس dx \u003d Δx)، و در مورد وابستگی پارامتری x به t، یک دیفرانسیل را نشان می دهد.

به عنوان مثال، عبارت 2 x Δx برای y = x 2 دیفرانسیل آن را زمانی که x یک آرگومان است نشان می دهد. اجازه دهید x= t 2 را تنظیم کنیم و t را به عنوان آرگومان در نظر بگیریم. سپس y = x 2 = t 4 .

این عبارت با Δt متناسب نیست و بنابراین اکنون 2xΔх دیفرانسیل نیست. می توان آن را از معادله y = x 2 = t 4 یافت. برابر است با dy=4t 3 Δt.

اگر عبارت 2xdx را بگیریم، آنگاه دیفرانسیل y = x 2 را برای هر آرگومان t نشان می دهد. در واقع، در x= t 2 dx = 2tΔt را دریافت می کنیم.

این به این معنی است که 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt، یعنی عبارات دیفرانسیل نوشته شده بر حسب دو متغیر متفاوت منطبق هستند.

جایگزینی افزایش با دیفرانسیل

اگر f "(x) ≠ 0، آنگاه Δу و dy معادل هستند (برای Δх→0)؛ اگر f "(x) = 0 (که به معنای dy = 0 است)، معادل نیستند.

به عنوان مثال، اگر y \u003d x 2، سپس Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 و dy \u003d 2xΔx. اگر x=3 باشد، آنگاه دو = 6Δх + Δх 2 و dy = 6Δх داریم که به دلیل Δх 2 → 0 معادل هستند، در x=0، مقادیر Δу = Δх 2 و dy=0 معادل نیستند.

این واقعیت، همراه با ساختار ساده دیفرانسیل (یعنی خطی بودن نسبت به Δx)، اغلب در محاسبات تقریبی استفاده می شود، با این فرض که Δy ≈ dy برای Δx کوچک. یافتن دیفرانسیل یک تابع معمولا ساده تر از محاسبه مقدار دقیق افزایش است.

به عنوان مثال، ما یک مکعب فلزی داریم که لبه آن x = 10.00 سانتی متر است، وقتی گرم می شود، لبه آن 0.001 = Δx طول می کشد. حجم V مکعب چقدر افزایش یافت؟ ما V \u003d x 2 داریم، به طوری که dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). افزایش حجم ΔV معادل dV دیفرانسیل است، بنابراین ΔV = 3 cm 3 است. یک محاسبه کامل، ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 را به دست می دهد. اما در این نتیجه، همه ارقام به جز اولی غیر قابل اعتماد هستند. بنابراین، به هر حال، باید آن را تا 3 سانتی متر 3 گرد کنید.

بدیهی است که چنین رویکردی تنها در صورتی مفید است که بتوان بزرگی خطای معرفی شده را تخمین زد.

دیفرانسیل تابع: مثال

بیایید سعی کنیم دیفرانسیل تابع y = x 3 را بدون یافتن مشتق پیدا کنیم. بیایید آرگومان را افزایش دهیم و Δу را تعریف کنیم.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

در اینجا ضریب A = 3x 2 به Δх بستگی ندارد، بنابراین جمله اول با Δх متناسب است، در حالی که جمله دیگر 3xΔх 2 + Δх 3 در Δх→0 سریعتر از افزایش آرگومان کاهش می یابد. بنابراین، عبارت 3x 2 Δx دیفرانسیل y = x 3 است:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx یا d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

در این مورد، d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

اجازه دهید دو تابع y = 1/x را بر حسب مشتق آن پیدا کنیم. سپس d(1/x) / dx = ─1/x 2 . بنابراین، dy = ─ Δх/х 2.

دیفرانسیل توابع اصلی جبری در زیر آورده شده است.

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل

اغلب محاسبه تابع f (x) و همچنین مشتق f "(x) برای x=a دشوار نیست، اما انجام همین کار در مجاورت نقطه x=a آسان نیست. بیان تقریبی به کمک می آید

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

مقدار تقریبی تابع را با افزایش های کوچک Δх از طریق دیفرانسیل f "(a)Δх به دست می دهد.

بنابراین، این فرمول یک عبارت تقریبی برای تابع در نقطه پایانی مقطعی به طول Δx به عنوان مجموع مقدار آن در نقطه شروع این بخش (x=a) و دیفرانسیل در همان نقطه شروع به دست می دهد. خطای این روش در تعیین مقدار تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

با این حال، بیان دقیق مقدار تابع برای x=a+Δх نیز مشخص است که با فرمول افزایش های محدود (یا به عبارت دیگر، فرمول لاگرانژ) ارائه می شود.

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a)،

که در آن نقطه x = a + ξ روی قطعه از x = a تا x = a + Δx است، اگرچه موقعیت دقیق آن ناشناخته است. فرمول دقیق تخمین خطای فرمول تقریبی را ممکن می سازد. اگر ξ = Δχ /2 را در فرمول لاگرانژ قرار دهیم، اگر چه دقیق نیست، معمولاً تقریب بسیار بهتری نسبت به عبارت اصلی از طریق دیفرانسیل ارائه می دهد.

تخمین خطای فرمول ها با اعمال دیفرانسیل

در اصل، آنها نادرست هستند و خطاهای مربوطه را به داده های اندازه گیری وارد می کنند. آنها با خطای حاشیه ای یا به طور خلاصه خطای حاشیه ای مشخص می شوند - یک عدد مثبت که آشکارا از این خطا در مقدار مطلق (یا حداقل برابر با آن) بیشتر است. حد را ضریب تقسیم آن بر قدر مطلق مقدار اندازه گیری شده می گویند.

اجازه دهید از فرمول دقیق y= f (x) برای محاسبه تابع y استفاده شود، اما مقدار x نتیجه اندازه گیری است و بنابراین یک خطا به y وارد می کند. سپس برای یافتن خطای مطلق محدود کننده │‌Δу│ تابع y از فرمول استفاده کنید.

│‌Δу│≈│‌dy│=│ f "(x)││Δх│،

که در آن │Δх│ خطای حاشیه ای استدلال است. مقدار │‌Δу│ باید به سمت بالا گرد شود، زیرا نادرست، جایگزینی محاسبه افزایش با محاسبه دیفرانسیل است.