Pirmos eilės skirtumas apytiksliais skaičiavimais. Diferencialo taikymas apytiksliuose skaičiavimuose

Ryžiai. 4.2. Tvarkaraštis

Ryžiai. 4.3. Tvarkaraštis

Funkcijos vertikalių asimptočių reikia ieškoti arba antrojo tipo nenutrūkstamų taškų taškuose (bent viena iš vienpusių funkcijos ribų taške yra begalinė arba neegzistuoja), arba jos apibrėžimo srities galuose.
, Jei
yra galutiniai skaičiai.

Jei funkcija
yra apibrėžtas sveikoje skaičių eilutėje ir yra baigtinė riba
, arba
, tada tiesė, kurią suteikia lygtis
, yra dešinioji horizontali asimptotė ir tiesi linija
yra kairioji horizontali asimptotė.

Jei yra ribos

Ir
,

tada tiesiai
yra funkcijos grafiko įstrižinė asimptotė. Įstrižas asimptotas taip pat gali būti dešiniarankis (
) arba kairiarankis (
).

Funkcija
vadinamas didėjimu rinkinyje
, jei kam
, toks >, galioja ši nelygybė:
>
(mažėja, jei tuo pačiu metu:
<
). Krūva
šiuo atveju vadinamas funkcijos monotoniškumo intervalu.

Yra teisinga tokia pakankama funkcijos monotoniškumo sąlyga: jei diferencijuojamos funkcijos išvestinė aibėje
yra teigiamas (neigiamas), tada funkcija didėja (mažėja) šiame rinkinyje.

4.5 pavyzdys. Suteikta funkcija
. Raskite jo didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Sprendimas. Raskime jo išvestinę
. Tai akivaizdu >0 val >3 ir <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) ir padidėja (3;
).

Taškas vadinamas tašku vietinis maksimumas (minimalus) funkcijas
, jei kurioje nors taško kaimynystėje nelygybę
(
) . Funkcijos reikšmė taške paskambino maksimalus (minimalus). Funkcijos maksimumas ir minimumas yra sujungti bendru pavadinimu ekstremumas funkcijas.

Norint atlikti funkciją
taške turėjo ekstremumą būtina, kad jo išvestinė šiame taške būtų lygi nuliui (
) arba neegzistavo.

Vadinami taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui stacionarus funkciniai taškai. Stacionariame taške nebūtinai turi būti funkcijos ekstremumas. Norint rasti ekstremalumą, reikia papildomai ištirti stacionarius funkcijos taškus, pavyzdžiui, naudojant pakankamas ekstremumo sąlygas.

Pirmasis iš jų yra tas, kad jei važiuojant per stacionarų tašką iš kairės į dešinę diferencijuojamos funkcijos išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tada taške pasiekiamas lokalus maksimumas. Jei ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai yra mažiausias funkcijos taškas.

Jei einant per tiriamą tašką išvestinės ženklas nekinta, tai šioje vietoje ekstremumo nėra.

Antroji pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga stacionariame taške naudoja antrąją funkcijos išvestinę: jei
<0, тоyra maksimalus taškas, o jei
>0, tada - minimalus taškas. At
=0 klausimas apie ekstremumo tipą lieka atviras.

Funkcija
paskambino išgaubtas (įgaubtas)) filmavimo aikštelėje
, jei bet kurioms dviem vertėms
galioja ši nelygybė:

.

4.4 pav. Išgaubtos funkcijos grafikas

Jei du kartus diferencijuojamos funkcijos antroji išvestinė
teigiamas (neigiamas) rinkinio viduje
, tada funkcija rinkinyje yra įgaubta (išgaubta).
.

Tolydžios funkcijos grafiko vingio taškas
vadinamas tašku, skiriančiu intervalus, kuriuose funkcija yra išgaubta ir įgaubta.

Antrasis darinys
dvigubai diferencijuojama funkcija vingio taške lygus nuliui, tai yra
= 0.

Jei antroji išvestinė einant per kurį nors tašką tada pakeičia savo ženklą yra jo grafiko vingio taškas.

Tiriant funkciją ir braižant jos grafiką, rekomenduojama naudoti šią schemą:

Diferencialo samprata

Tegul funkcija y = f(x) yra diferencijuojamas tam tikrai kintamojo reikšmei x. Todėl taške x yra baigtinė išvestinė

Tada, pagal funkcijos ribos apibrėžimą, skirtumas

yra be galo mažas dydis ties . Iš lygybės (1) išreiškę funkcijos prieaugį, gauname

(2)

(reikšmė nepriklauso nuo , t. y. išlieka pastovi ties ).

Jei , tada dešinėje lygybės (2) pusėje pirmasis narys yra tiesinis atžvilgiu . Todėl kai

jis yra be galo mažas tos pačios eilės mažumo kaip . Antrasis narys yra begalinis aukštesnės laipsnio mažumo dydis nei pirmasis, nes jų santykis linkęs į nulį

Todėl jie sako, kad pirmasis (2) formulės narys yra pagrindinė, santykinai tiesinė funkcijos prieaugio dalis; kuo mažesnė, tuo didesnė prieaugio dalis yra ši dalis. Todėl esant mažoms reikšmėms (ir ) funkcijos prieaugis gali būti apytiksliai pakeistas pagrindine jos dalimi, t.y.

Ši pagrindinė funkcijos prieaugio dalis vadinama duotosios funkcijos skirtumu taške x ir žymėti

Vadinasi,

(5)

Taigi funkcijų skirtumas y=f(x) yra lygus jo išvestinės ir nepriklausomo kintamojo prieaugio sandaugai.

komentuoti. Reikia atsiminti, kad jei x yra pradinė argumento reikšmė,

Sukaupta reikšmė, tada diferencialo išraiškoje išvestinė imama pradiniame taške x; formulėje (5) tai matyti iš įrašo, formulėje (4) taip nėra.

Funkcijos diferencialas gali būti parašytas kita forma:

Geometrinė diferencialo reikšmė. Funkcinis diferencialas y=f(x) yra lygus šios funkcijos grafiko liestinės taške ( x; y), kai jis pasikeičia x pagal dydį.

diferencines savybes. Diferencialinės formos nekintamumas

Šiame ir kituose skyriuose kiekviena funkcija bus laikoma diferencijuota pagal visas svarstomas argumentų vertes.

Diferencialas turi panašių savybių kaip ir išvestinio:

(C yra pastovi reikšmė) (8)

(9)

(12)

Formulės (8) - (12) gaunamos iš atitinkamų išvestinės formulių, padauginus abi kiekvienos lygybės dalis iš .

Apsvarstykite sudėtingos funkcijos skirtumą. Tegul yra sudėtinga funkcija:

Diferencialinis

šios funkcijos, naudojant sudėtingos funkcijos išvestinės formulę, galima parašyti kaip

Tačiau yra funkcijų skirtumas, todėl

(13)

Čia diferencialas rašomas ta pačia forma kaip ir (7) formulėje, nors argumentas yra ne nepriklausomas kintamasis, o funkcija. Todėl funkcijos diferencialo išraiška kaip šios funkcijos išvestinės ir jos argumento diferencialo sandauga galioja nepriklausomai nuo to, ar argumentas yra nepriklausomas kintamasis, ar kito kintamojo funkcija. Ši savybė vadinama nekintamumas diferencialo formos (pastovumas).

Pabrėžiame, kad formulėje (13) negalima pakeisti , nes

bet kuriai funkcijai, išskyrus tiesinę.

2 pavyzdys Rašymo funkcijos diferencialas

dviem būdais, išreiškiant jį: per tarpinio kintamojo diferencialą ir per kintamojo diferencialą x. Patikrinkite, ar gautos išraiškos sutampa.

Sprendimas. Padėkime

o diferencialas gali būti parašytas kaip

Pakeičiant šią lygybę

Mes gauname

Diferencialo taikymas apytiksliuose skaičiavimuose

Pirmoje dalyje nustatyta apytikslė lygybė

leidžia naudoti diferencialą apytiksliai funkcijų verčių skaičiavimams.

Parašykime apytikslę lygybę išsamiau. Nes

3 pavyzdys Naudodamiesi diferencialo sąvoka, apskaičiuokite apytiksliai ln 1,01.

Sprendimas. Skaičius ln 1,01 yra viena iš funkcijos reikšmių y=ln x. Formulė (15) šiuo atveju įgauna formą

Vadinasi,

kuri yra labai geras apytikslis: lentelės reikšmė ln 1.01 = 0.0100.

4 pavyzdys Naudodamiesi diferencialo sąvoka, apskaičiuokite apytiksliai

Sprendimas. Skaičius
yra viena iš funkcijos reikšmių

Kadangi šios funkcijos išvestinė

tada (15) formulė įgauna formą

mes gauname

(lentelės vertė

).

Naudodamiesi apytiksle skaičiaus verte, turite sugebėti įvertinti jo tikslumo laipsnį. Šiuo tikslu apskaičiuojamos jo absoliučios ir santykinės paklaidos.

Absoliuti apytikslio skaičiaus paklaida yra lygi skirtumo tarp tikslaus skaičiaus ir jo apytikslės reikšmės absoliučiai vertei:

Santykinė apytikslio skaičiaus paklaida yra šio skaičiaus absoliučios paklaidos ir atitinkamo tikslaus skaičiaus absoliučios vertės santykis:

Padauginę iš 4/3, randame

Lentelės šakninės vertės paėmimas

tiksliam skaičiui apskaičiuojame pagal formules (16) ir (17) apytikslės reikšmės absoliučią ir santykinę paklaidas:

Analogiškai su vieno kintamojo funkcijos linearizavimu, apytiksliai apskaičiuojant kelių kintamųjų funkcijos reikšmes, kurios tam tikru momentu skiriasi, jos prieaugis gali būti pakeistas skirtumu. Taigi, naudojant formulę, galima rasti apytikslę kelių (pavyzdžiui, dviejų) kintamųjų funkcijos reikšmę:

Pavyzdys.

Apskaičiuokite apytikslę vertę
.

Apsvarstykite funkciją
ir pasirinkti X 0 = 1, adresu 0 = 2. Tada Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Raskime
,

Todėl, atsižvelgiant į tai f ( 1, 2) = 3, gauname:

Sudėtingų funkcijų diferencijavimas.

Tegul funkcijos argumentai z = f (x, y) u Ir v: x = x (u, v), y = y (u, v). Tada funkcija f taip pat yra funkcija u Ir v. Išsiaiškinkite, kaip rasti jo dalines išvestines argumentų atžvilgiu u Ir v, neatliekant tiesioginio pakeitimo

z = f (x(u, v), y(u, v)).Šiuo atveju darysime prielaidą, kad visos nagrinėjamos funkcijos turi dalines išvestines visų jų argumentų atžvilgiu.

Nustatykite argumentą u prieaugis Δ u, nekeičiant argumento v. Tada

Jei prieaugį nustatysite tik prie argumento v, mes gauname: . (2.8)

Abi lygybės (2.7) puses padaliname iš Δ u, o lygybės (2.8) ties Δ v ir pereiti iki ribos, atitinkamai, Δ u→ 0 ir ∆ v→ 0. Šiuo atveju atsižvelgiame į tai, kad dėl funkcijų tęstinumo X Ir adresu. Vadinasi,

Panagrinėkime keletą ypatingų atvejų.

Leisti x = x(t), y = y(t). Tada funkcija f (x, y) iš tikrųjų yra vieno kintamojo funkcija t, o tai galima naudojant (2.9) formules ir jose pakeičiant dalines išvestis X Ir adresu Autorius u Ir vį įprastus darinius, susijusius su t(žinoma, su sąlyga, kad funkcijos skiriasi x(t) Ir y(t) ), gaukite išraišką :

(2.10)

Dabar tarkime, kad kaip t palankus kintamasis X, tai yra X Ir adresu susijęs santykiu y = y(x).Šiuo atveju, kaip ir ankstesniu atveju, funkcija f yra vieno kintamojo funkcija X. Naudojant (2.10) formulę t = x ir atsižvelgiant į tai
, mes tai suprantame

. (2.11)

Atkreipkite dėmesį, kad šioje formulėje yra dvi funkcijos išvestinės f argumentu X: kairėje yra vadinamasis bendra išvestinė, priešingai nei privatus dešinėje.

Pavyzdžiai.

Tada iš (2.9) formulės gauname:

(Galutiniame rezultate pakeičiame išraiškas X Ir adresu kaip funkcionuoti u Ir v).

Raskime suminę funkcijos išvestinę z = nuodėmė ( x + y²), kur y = cos x.

Diferencialinės formos nekintamumas.

Naudodami (2.5) ir (2.9) formules išreiškiame suminį funkcijos skirtumą z = f (x, y) , Kur x = x(u, v), y = y(u, v), per kintamųjų skirtumus u Ir v:

(2.12)

Todėl argumentams išsaugoma diferencialo forma u Ir v tokia pati kaip ir šių argumentų funkcijoms X Ir adresu, tai yra, yra nekintamas(nepakeista).

Numanomos funkcijos, jų egzistavimo sąlygos. Netiesioginių funkcijų diferencijavimas. Aukštesnių laipsnių dalinės išvestinės ir diferencialai, jų savybės.

Apibrėžimas 3.1. Funkcija adresu iš X, apibrėžta lygtimi

F(x,y)= 0 , (3.1)

paskambino numanoma funkcija.

Žinoma, ne kiekviena (3.1) formos lygtis lemia adresu kaip vienareikšmė (ir, be to, tęstinė) funkcija X. Pavyzdžiui, elipsės lygtis

rinkiniai adresu kaip dvivertė funkcija X:
Dėl

Vienareikšmės ir tolydžios numanomos funkcijos egzistavimo sąlygos nustatomos pagal šią teoremą:

3.1 teorema (nėra įrodymų). Leisti būti:

a) tam tikroje taško kaimynystėje ( X 0 , y 0 ) lygtis (3.1) apibrėžia adresu kaip vienareikšmė funkcija X: y = f(x) ;

b) kada x = x 0 ši funkcija įgauna reikšmę adresu 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

c) funkcija f (x) tęstinis.

Nurodytomis sąlygomis suraskime funkcijos išvestinę y = f (x) Autorius X.

3.2 teorema. Tegul funkcija adresu iš X netiesiogiai pateikiama pagal (3.1) lygtį, kur funkcija F (x, y) tenkina 3.1 teoremos sąlygas. Tegul, be to,
- nuolatinės funkcijos tam tikroje srityje D kuriame yra taškas (x, y), kurių koordinatės tenkina (3.1) lygtį, ir šiame taške
. Tada funkcija adresu iš X turi išvestinę

(3.2)

Pavyzdys. Raskime , Jei
. Raskime
,
.

Tada iš (3.2) formulės gauname:
.

Aukštesnių laipsnių išvestinės ir diferencialinės priemonės.

Dalinės išvestinės funkcijos z = f (x, y) savo ruožtu yra kintamųjų funkcijos X Ir adresu. Todėl galima rasti jų dalines išvestis šių kintamųjų atžvilgiu. Pažymėkime juos taip:

Taip gaunamos keturios 2-osios eilės dalinės išvestinės. Kiekvieną iš jų vėl galima atskirti pagal X ir pagal adresu ir gauti aštuonis dalinius 3 eilės išvestinius ir kt. Aukštesnės eilės išvestines apibrėžiame taip:

Apibrėžimas 3.2.privatus darinysn – įsakymas Kelių kintamųjų funkcijos vadinamos pirmąja išvestinės ( n– 1) įsakymas.

Dalinės išvestinės turi svarbią savybę: diferenciacijos rezultatas nepriklauso nuo diferenciacijos eilės (pvz.
). Įrodykime šį teiginį.

3.3 teorema. Jei funkcija z = f (x, y) ir jo daliniai dariniai
apibrėžtas ir tęstinis taške M (x, y) ir kai kuriose jos apylinkėse, tada šiuo metu

(3.3)

Pasekmė. Ši savybė galioja bet kokios eilės išvestinėms ir bet kokio kintamųjų skaičiaus funkcijoms.

Apytikslė funkcijos prieaugio reikšmė

Pakankamai mažiems funkcijos prieaugiams yra maždaug lygus jos diferencialui, t.y. Dy » dy ir todėl

2 pavyzdys Raskite apytikslę funkcijos y= prieaugio reikšmę, kai argumentas x iš reikšmės x 0 =3 pasikeičia į x 1 =3,01.

Sprendimas. Mes naudojame formulę (2.3). Norėdami tai padaryti, mes apskaičiuojame

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 = 0,01, tada

Daryti » .

Apytikslė funkcijos reikšmė taške

Pagal funkcijos y = f(x) padidėjimo taške x 0 apibrėžimą, kai argumentas Dx (Dx®0) didėja, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) o formulę (3.3) galima parašyti

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Konkretūs (3.4) formulės atvejai yra išraiškos:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4 V)

tgDx » Dx (3,4 g)

Čia, kaip ir anksčiau, daroma prielaida, kad Dx®0.

3 pavyzdys Raskite apytikslę funkcijos f (x) \u003d (3x -5) 5 reikšmę taške x 1 \u003d 2,02.

Sprendimas. Skaičiavimams naudojame formulę (3.4). Pavaizduokime x 1 kaip x 1 = x 0 + Dx. Tada x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

4 pavyzdys Apskaičiuokite (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Sprendimas

1. Naudokime formulę (3.4a). Norėdami tai padaryti, pavaizduojame (1,01) 5 kaip (1+0,01) 5 .

Tada, darant prielaidą, kad Dx = 0,01, n = 5, gauname

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Atvaizduodami formoje (1 - 0,006) 1/6, pagal (3.4a) gauname

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Atsižvelgiant į tai, kad ln(1.02) = ln(1 + 0.02) ir darant prielaidą, kad Dx=0.02, pagal (3.4b) formulę gauname

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Panašiai

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Raskite apytikslius funkcijų žingsnius

155. y = 2x 3 + 5, kai argumentas x pasikeičia iš x 0 = 2 į x 1 = 2,001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1, jei x 0 \u003d 3 ir Dx = 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 su x 0 \u003d 2 ir Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x ties x 0 \u003d 10 ir Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x su x 0 \u003d 3 ir Dx \u003d 0,01

Raskite apytiksles funkcijų reikšmes

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 x 1 \u003d 3,02

162.y= taške x 1 = 1,1

163. y \u003d taške x 1 \u003d 3,032

164. y \u003d taške x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d sin 2x ties x 1 \u003d 0,015

Apskaičiuokite apytiksliai

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln (1,003 × e) 179 ln (1,05) 5 180 ln

181.ln 0.98 182.ln 183.ln(e 2 × 0.97)

Funkcijų tyrinėjimas ir braižymas

Funkcijos monotoniškumo požymiai

1 teorema (būtina sąlyga norint padidinti (sumažėti) funkcijas) . Jei diferencijuojama funkcija y = f(x), xн(a; b) didėja (mažėja) intervale (a; b), tai bet kuriam x 0 н(a; b).

2 teorema (pakankama sąlyga funkcijai padidinti (sumažėti)) . Jei funkcija y = f(x), xн(a; b) turi teigiamą (neigiamą) išvestinę kiekviename intervalo (a; b) taške, tai ši funkcija šiame intervale didėja (mažėja).

Funkcijų kraštutinumai

1 apibrėžimas. Taškas x 0 vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos y \u003d f (x) tašku, jei visiems x iš taško x 0 kokios nors d kaimynystės nelygybė f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)), jei x ¹ x 0 .

3 teorema (ūkis) (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga) . Jei taškas x 0 yra funkcijos y = f(x) ekstremumo taškas ir šiame taške yra išvestinė, tada

4 teorema (pirma pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti) . Tegul funkcija y = f(x) yra diferencijuota taško x 0 d kaimynystėje. Tada:

1) jei išvestinė, eidama per tašką x 0, pakeičia ženklą iš (+) į (-), tai x 0 yra maksimalus taškas;

2) jei išvestinė, eidama per tašką x 0, pakeičia ženklą iš (-) į (+), tai x 0 yra mažiausias taškas;

3) jei išvestinė nekeičia ženklo, eidama per tašką x 0, tai taške x 0 funkcija ekstremumo neturi.

2 apibrėžimas. Vadinami taškai, kuriuose funkcijos išvestinė išnyksta arba neegzistuoja pirmosios rūšies kritiniai taškai.

naudojant pirmąją išvestinę

1. Raskite funkcijos y = f(x) apibrėžimo sritį D(f).

2. Apskaičiuokite pirmąją išvestinę

3. Raskite pirmos rūšies kritinius taškus.

4. Nustatykite kritinius taškus funkcijos y = f(x) srityje D(f) ir nustatykite išvestinės ženklą intervaluose, į kuriuos kritiniai taškai dalija funkcijos sritį.

5. Pasirinkite maksimalų ir mažiausią funkcijos taškus ir šiuose taškuose apskaičiuokite funkcijos reikšmes.

1 pavyzdys Ištirkite ekstremumo funkciją y \u003d x 3 - 3x 2.

Sprendimas. Pagal funkcijos ekstremumo suradimo naudojant pirmąją išvestinę algoritmą, turime:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 yra pirmosios rūšies kritiniai taškai.

Išvestinė einant per tašką x = 0

pakeičia ženklą iš (+) į (-), vadinasi, tai yra taškas

Maksimalus. Eidamas per tašką x \u003d 2, jis keičia ženklą iš (-) į (+), todėl tai yra mažiausias taškas.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Didžiausios koordinatės (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Minimalios koordinatės (2; -4).

5 teorema (antra pakankama ekstremumo egzistavimo sąlyga) . Jei funkcija y \u003d f (x) yra apibrėžta ir du kartus diferencijuojama kurioje nors taško x 0 kaimynystėje ir , tada taške x 0 funkcija f (x) turi maksimumą jei ir minimumą, jei .

Funkcijos ekstremumo radimo algoritmas

naudojant antrąją išvestinę

1. Raskite funkcijos y = f(x) apibrėžimo sritį D(f).

2. Apskaičiuokite pirmąją išvestinę

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

BetΔ y = Δ f(X 0) yra funkcijos prieaugis ir f (X 0) Δ x = d f(X 0) yra funkcijos diferencialas.

Todėl pagaliau gauname

1 teorema. Tegu funkcija y = f(X) taške x 0 turi baigtinę išvestinę f (X 0)≠0. Tada pakankamai mažoms vertėms Δ x, įvyksta apytikslė lygybė (1), kuri tampa savavališkai tiksli Δ x→ 0.

Taigi funkcijos diferencialas taške X 0 yra maždaug lygus funkcijos padidėjimui tame taške.

Nes tada iš lygybės (1) gauname

adresu Δ x→ 0 (2)

adresu x→ X 0 (2  )

Kadangi funkcijos grafiko liestinės lygtis y= f(x) taške X 0 turi formą

Tai apytikslės lygybės (1)-(2) geometriškai reiškia, kad šalia taško x=x 0 funkcijos y \u003d f grafikas(X) apytiksliai pakeičiamas kreivės liestine y = f(X).

Esant pakankamai mažoms reikšmėms, suminis funkcijos ir diferencialo prieaugis skiriasi nežymiai, t.y. . Ši aplinkybė naudojama apytiksliems skaičiavimams.

1 pavyzdys Apskaičiuokite apytiksliai .

Sprendimas. Apsvarstykite funkciją ir nustatykite X 0 = 4, X= 3,98. Tada Δ x =x –x 0 = – 0,02, f(x 0)= 2. Nuo tada f (X 0) = 1/4 = 0,25. Todėl pagal (2) formulę galiausiai gauname: .

2 pavyzdys Naudodami funkcijos diferencialą, nustatykite, kaip apytiksliai pasikeis funkcijos reikšmė y=f(X)=(3x 3 +5)∙tg4 x mažinant savo argumento vertę X 0 = 0 iš 0,01.

Sprendimas. Pagal (1) funkcijos pokytis y = f(X) taške X 0 yra maždaug lygus funkcijos skirtumui šiuo tašku, kai D reikšmės yra pakankamai mažos x:

Apskaičiuokite funkcijos skirtumą df(0). Turime D x= -0,01. Nes f (X)= 9x 2 tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 24 x)∙4, tada f (0)=5∙4=20 ir df(0)=f (0)∙Δ x= 20 (–0,01) = –0,2.

Todėl Δ f(0) ≈ –0,2, t.y. mažinant vertę X 0 = 0 funkcijos argumentas pagal 0,01 pačios funkcijos reikšmę y=f(X) sumažės maždaug 0,2.

3 pavyzdys Tegul produkto paklausos funkcija yra . Būtina rasti produkto paklausos kiekį už kainą p 0 \u003d 3 den. ir nustatyti, kaip apytiksliai padidės paklausa prekių kainai sumažėjus 0,2 piniginio vieneto.

Sprendimas. Už kainą p 0 \u003d 3 den. paklausos apimtis K 0 =D(p 0) = 270/9 = 30 vienetų prekės. Kainos pokytis Δ p= -0,2 den. vienetų Dėl (1) Δ K (p 0) ≈ dQ (p 0). Apskaičiuokime produkto paklausos apimties skirtumą.

Nuo tada D (3) = –20 ir

paklausos apimties skirtumas dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20 (–0,2) = 4. Todėl Δ K(3) ≈ 4, t.y. kai prekių kaina mažėja p 0 \u003d 3 x 0,2 piniginio vieneto. prekės paklausos apimtis padidės maždaug 4 prekės vienetais ir taps lygi maždaug 30 + 4 = 34 prekės vienetams.

Klausimai savityrai

1. Kas vadinama funkcijos diferencialu?

2. Kokia geometrinė funkcijos diferencialo reikšmė?

3. Išvardykite pagrindines funkcijų diferencialo savybes.

3. Parašykite formules, kurios leistų rasti apytikslę funkcijos reikšmę naudojant jos diferencialą.