微分回路は、出力電圧が入力電圧の一次微分値に比例する回路です。
米。 3.7.1. 微分回路図
微分回路(図3.7.1)は抵抗で構成されています。 Rとコンデンサ と、そのパラメータは、アクティブ抵抗が容量性リアクタンスよりも何倍も小さくなるように選択されます。
回路の入力と出力の電圧は、次の関係によって関係付けられます。
あなた=で あなたアウト + あなた C ;
あなたアウト = 私· R
あなた C = あなたで - あなたアウト = あなたで - iR;
値が 私Rより大幅に少ない あなたで、それでは あなた〜で あなた C.
値τ = R.C.呼ばれた 微分連鎖の時定数.
入力パルス幅に比べて時定数が短いほど、微分精度は高くなります。
微分回路の入力に正弦波電圧が印加されると、出力電圧も正弦波になりますが、入力電圧に対して位相がずれ、その振幅は入力の振幅よりも小さくなります。 したがって、線形システムである微分回路は、それに供給される電圧のスペクトル構成を変更しません。
知られているように、無限の数の正弦波成分で構成される方形パルスを微分回路の入力に印加すると、これらの成分の振幅と位相が変化し、これにより出力電圧の形状が変化します。入力の形状。
微分回路の入力に方形パルスが印加されるとコンデンサが充電を開始します。 と抵抗を通して R.
最初の瞬間では、コンデンサの両端の電圧はゼロであるため、出力電圧は入力電圧と等しくなります。 コンデンサが充電されると、その両端の電圧は指数関数に従って増加し始めます。
あなた c = あなた入力 · (1 – e– t/τ) ;
ここで、τ = R.C.– 回路の時定数。
微分回路の出力の電圧:
あなたアウト = あなたで - あなた c = あなたで - あなた入力 · (1 – e– t / τ) = あなたで ・ e– t / τ);
したがって、コンデンサが充電されると、回路の出力の電圧は指数関数的に減少します。 コンデンサが完全に充電されると、微分回路の出力の電圧はゼロになります。
方形パルスの終わりに、回路の入力電圧は突然ゼロに減少します。 この時点ではコンデンサは完全に充電されているため、この瞬間から抵抗を介して放電が始まります。 R。 コンデンサの放電の開始時、回路の出力の電圧はコンデンサの両端の電圧と大きさがほぼ等しくなりますが、放電電流の方向が充電電流の方向と逆であるため、符号が逆になります。 コンデンサが放電すると、回路出力の電圧は指数関数的に減少します。
図に示す RC 回路を考えてみましょう。 3.20、a. 電圧 u1(t) がこの回路の入力に作用するとします。
米。 3.20。 RC-(a) 鎖と RL-(b) 鎖の区別。
この場合、このチェーンの関係は true になります
そしてこれから起こるであろう変革を考慮すると、
与えられた信号に対して、(3.114) の右側の第 2 項の寄与が無視できるほど大きな回路時定数 τ=RC を選択すると、電圧の交流成分は uR ≈ u1 になります。 これは、時定数が大きい場合、抵抗 R の両端の電圧が入力電圧に追従することを意味します。 このような回路は、一定の成分を送信せずに信号の変化を送信する必要がある場合に使用されます。
(3.114) の τ の値が非常に小さい場合、最初の項は無視できます。 それから
つまり、小さな時定数 τ で、RC 回路 (図 3.20a) は入力信号を微分するため、このような回路は微分 RC 回路と呼ばれます。
RL 回路も同様の特性を持っています (図 3.20b)。
米。 3.21。 微分回路の周波数(a)と遷移(b)特性。
RC および RL 回路を通過する信号は、次の場合に高速に呼び出されます。
または遅い場合
したがって、検討中の RC 回路は低速信号を区別し、高速信号を歪みなく通過させることになります。
高調波の場合は e. d.s. 同様の結果は、回路の伝達係数 (図 3.20、a) を定常抵抗 R および XC = 1/ωC を持つ分圧器の伝達係数として計算することで簡単に得られます。
τが小さいとき、つまりτが小さいとき<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в
この場合、出力電圧の位相 (引数 K) は π/2 に等しくなります。 高調波信号の π/2 の位相シフトは、その微分に相当します。 τ>>1/ωの場合、透過係数K≈1。
一般的なケースでは、伝達係数係数 (3.116)、または回路の周波数応答 (図 3.20a):
引数 K、またはこの回路の位相特性:
これらの依存関係を図に示します。 3.21、a.
図のRL回路も同様の特性を持っています。 3.20,b 時定数 τ=L/R。
出力信号として単一の電圧ジャンプを取得する場合、式 (3.114) を積分することで、微分回路の過渡応答、または入力における単一の電圧ジャンプに対する出力信号の時間依存性を取得できます。
過渡応答グラフを図に示します。 3.21、b.
米。 3.22 RC-(a) 回路と LC-(b) 回路を統合。
図に示す RC 回路を考えてみましょう。 3.22、a. それは方程式で説明されます
小さい場合、τ=RC (「遅い」信号の場合) uC ≈ u1。 「高速」信号の場合、電圧 u1 が積分されます。
したがって、出力電圧が容量 C から取り除かれた RC 回路は積分回路と呼ばれます。
積分回路の透過係数は次の式で求められます。
ωで<<1/τ K≈1.
周波数特性と位相特性はそれぞれ次の式で表されます。
米。 3.23。 積分回路の周波数(a)と遷移(b)特性。
と図に示されています。 3.23、a. 遷移特性 (図 3.23、b) は、(3.121) を次のように積分することで得られます。
時定数が等しい場合、図に示す RL 回路は同じ特性を持ちます。 3.22、b.
出力電圧 U out (t) (または電流) が入力電圧 U in (t) (または電流) の時間積分に比例する電気回路:
米。 1 .
オペアンプ積分器。<В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью と印加電流または磁気蓄積の影響下。 インダクタンスを伴うコイル内の磁束 L印加電圧の影響でI.c.が主に使用されます。 コンデンサー付き。<С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R、充電電流に等しい
コンデンサ と、そしてそれらの接続点の電圧はゼロです。 その結果、コンデンサの充電速度を特徴付ける積 RC=t が呼び出されます。 時定数 I. c.<Широко используется простейшая RC-I。 c. (図2、a)。 この回路では、コンデンサの充電電流は入力電圧と出力電圧の差によって決まるため、入力電圧の積分は近似的に、より正確に実行され、出力電圧は入力に比べて低くなります。 最後の条件は、時定数 t が積分が行われる時間間隔よりもはるかに大きい場合に満たされます。 パルス入力信号を正しく積分するには、t がパルス持続時間 T よりもはるかに長いことが必要です (図 3)。 RL-I にも同様の特性があります。 c.、図に示されています。 2、b、時定数は以下に等しい L/R。
米。 3.1 -
入力方形パルス。 2 -
tдTにおける積分回路の出力電圧。
IC。 持続時間によって変調されたパルスを振幅によって変調されたパルスに変換したり、パルスを長くしたり、のこぎり波電圧を取得したり、信号の低周波成分を分離したりするために使用されます。 I. c. 操作ごとに アンプはオートメーション デバイスやアナログ コンピュータで統合操作を実装するために使用されます。
53.一時的なプロセス。 転流法とその適用。
移行プロセス- さまざまな影響下で電気回路内で発生し、電気回路を定常状態から新しい定常状態に導くプロセス。つまり、 - 電源をオンまたはオフにするためのキーやスイッチなど、さまざまなタイプのスイッチング機器の作用下でまたはエネルギーの受信機、回路の中断中、回路の個々のセクションの短絡の場合など。
回路内で過渡現象が発生する物理的な理由は、回路内のインダクタとコンデンサ、つまり対応する等価回路内の誘導性要素と容量性要素の存在です。 これは、これらの要素の磁界と電界のエネルギーが突然変化することはないという事実によって説明されます。 切り替え回路内の（スイッチを開閉するプロセス）。
回路内の過渡プロセスは、微分方程式によって数学的に記述されます。
- 不均質（均質）、回路の等価回路に起電力と電流の発生源が含まれる（含まれない）場合、
- 線形（非線形）回路の場合は線形（非線形）。
移行プロセスの期間は、数ナノ秒から数年に及びます。 特定の回路によって異なります。 たとえば、ポリマー誘電体を使用したコンデンサの自己放電時定数は、1,000 年に達することがあります。 移行プロセスの期間が決定される 時定数鎖。
スイッチングの法則は、エネルギー集約型 (無効) 要素、つまりキャパシタンスとインダクタンスに適用されます。 彼らはこう言います：有限の影響下でのキャパシタンスの両端の電圧とインダクタンスの電流は連続的な時間の関数であり、突然変化することはありません。
数学的には、この定式化は次のように書くことができます
コンテナ用。
インダクタンス用。
転流の法則は、キャパシタンスとインダクタンスの要素の定義の結果です。
物理的には、インダクタンスの転流則は、電流の変化に対する自己誘導起電力の反作用によって説明され、キャパシタンスの転流則は、外部電圧の変化に対するコンデンサの電界強度の反作用によって説明されます。 。
54. 渦電流、その発現と使用。
渦電流または フーコーの流れ(J. B. L. フーコーに敬意を表して) - 導体を貫く磁場が変化したときに導体内に発生する渦誘導電流。
渦電流は、1824 年にフランスの科学者 D. F. アラゴ (1786 ～ 1853 年) によって、回転する磁針の下の軸上に置かれた銅製の円盤の中で初めて発見されました。 渦電流により、円盤は回転を始めました。 アラゴ現象と呼ばれるこの現象は、数年後、M. ファラデーによって発見された電磁誘導の法則の観点から説明されました。つまり、回転磁場が銅の円盤内に渦電流を誘導し、磁針と相互作用します。 渦電流はフランスの物理学者フーコー (1819-1868) によって詳細に研究され、彼の名にちなんで名付けられました。 彼は、磁場中で回転する金属体が渦電流によって加熱される現象を発見しました。
フーコー電流は交流電磁場の影響下で発生し、その物理的性質上、直線ワイヤで発生する誘導電流と何ら変わりません。 それらは渦巻き状、つまりリング状に閉じられています。
巨大な導体の電気抵抗は低いため、フーコー電流は非常に高い強度に達します。
フーコー電流の熱効果は誘導炉で使用されます。導電体が高出力高周波発生器によって電力を供給されるコイル内に配置され、その中に渦電流が発生し、溶融するまで加熱されます。
フーコー電流の助けを借りて、真空装置の金属部品を加熱して脱ガスします。
多くの場合、フーコー電流は望ましくない可能性があります。 これらに対処するために、特別な対策が講じられています。変圧器コアの加熱によるエネルギー損失を防ぐために、これらのコアは絶縁層で分離された薄いプレートから組み立てられています。 フェライトの出現により、これらのコアを固体として製造できるようになりました。
渦電流検査は、導電性材料で作られた製品の非破壊検査法の一つです。
55. 変圧器、基本的な特性と設計の種類。
微分回路- 電気的な時間を区別するために設計された装置。 信号。 出力反応 D. c. あなた外 （ t) は入力の影響に関係します あなたで（ t) 関係により、ここで は post です。 時間の次元を持つ量。 パッシブ D とアクティブ D があります。 c. パッシブD.c. パルスおよびデジタルデバイスでパルスを短縮するために使用されます。 アクティブD.c. アナログコンピューティングの微分器として使用されます。 デバイス。 最も単純なパッシブ D. c. 図に示されています。 1、 あ。 静電容量を流れる電流は、静電容量に印加される電圧の導関数に比例します。 D.のパラメータの場合、 c. こうして選ばれた、
何 u c =uで、それでは 
、 状態 u c =uパッシブ D のオプションの入力信号のスペクトルの最高周波数で入力が実行されます。 c. 図に示されています。 1、 b。 と
米。 1. 受動微分回路のスキーム: あ- 容量性 RC; b- 誘導的 R.L..
したがって、D の指定されたパラメーターについては、 c. 入力信号のエネルギーが集中する周波数が低いほど、微分はより正確になります。 ただし、微分が正確であればあるほど、係数は低くなります。 伝送回路、したがって出力信号レベルに影響します。 この矛盾は、分化のプロセスが増幅のプロセスと組み合わされるアクティブなダイナミックセンターでは解消されます。 アクティブな D. c. 使用 オペアンプ(OA) は負のフィードバックによってカバーされます (図 2)。 入力電圧 あなたで（ t) 連続して形成されるチェーンによって区別されます。 コンテナの接続 とそして R eq - 端子間の回路の等価抵抗は 2-2 インチであり、オペアンプは増幅されます。オペアンプの反転入力に電圧を印加すると、そのゲイン , が得られます。
米。 2. 能動微分回路のスキーム。
米。 3. 微分回路を通過するインパルス RC: あ- 入力パルス、 あなた=で Eで ; b- コンデンサの両端の電圧 u c (t); V- 出力電圧 。
比較用。 能動的Ｄと受動的Ｄの評価 ｃ． 他の条件が等しい場合は、比率を使用できます。 Dを通過する場合 c. パルス信号の持続時間は減少するため、D. c. の概念が生まれます。 短縮する場合と同様に。 パッシブ DC を通る方形パルスの通過を示すタイミング図を図に示します。 3. 入力電圧源は内部ゼロであると仮定されます。 抵抗、および D.c. - 寄生容量がないこと。 内部の可用性 抵抗により入力端子の電圧振幅が減少し、その結果、出力パルスの振幅が減少します。 寄生容量の存在により、出力パルスの立ち上がりと立ち下がりのプロセスに遅延が生じます。 アクティブD.c.にも同様の短縮効果があります。
私たちはこれらの要素で構成される回路の検討に進む権利を持っています :) これが今日私たちが行うことです。
そして、その動作を検討する最初の回路は次のとおりです。 微分RC回路。
微分RC回路。
回路の名前から、原則として、その構成にどのような種類の要素が含まれているかはすでに明らかです - コンデンサと抵抗:) そして、それは次のようになります。
このスキームの運用は、次の事実に基づいています。 コンデンサに流れる電流、印加される電圧の変化率に正比例します。
回路内の電圧は次のように関係します (キルヒホッフの法則に従って)。
同時に、オームの法則によれば、次のように書くことができます。
最初の式からそれを表現し、それを 2 番目の式に代入してみましょう。
(つまり、電圧の変化率が低い) と仮定すると、出力電圧のおおよその依存性が得られます。
したがって、出力電圧は 差動入力信号。
ただし、title="Rendered by QuickLaTeX.com という別のケースも考えられます。" height="22" width="134" style="vertical-align: -6px;"> (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства мы получаем такую ситуацию:!}
あれは： 。
この条件は、積の値が小さいほどよく満たされることに注意してください。 回路時定数:
回路のこの特性の意味を理解してみましょう:)
コンデンサの充電と放電は、次の指数則に従って発生します。
これは、初期時の充電されたコンデンサの両端の電圧です。 時間の経過後に電圧値がどのようになるかを見てみましょう。
コンデンサの両端の電圧は元の電圧の 37% に減少します。
これは、コンデンサが次のように動作する時間であることがわかります。
- 充電時 – 最大 63% まで充電されます
- 放電時 - 63%放電（最大37%放電）
回路の時定数がわかったので、話に戻りましょう。 微分RC回路 🙂
回路の機能の理論的側面については説明したので、実際にどのように機能するかを見てみましょう。 これを行うために、入力に信号を適用して、出力で何が起こるかを見てみましょう。 例として、一連の矩形パルスを入力に適用してみましょう。
出力信号のオシログラムは次のようになります (2 番目のチャンネルは青です)。
ここで何が見えるでしょうか？
ほとんどの場合、入力電圧は一定です。これは、その差分が 0 (定数の導関数 = 0) であることを意味します。 これはまさにグラフで見られるものであり、チェーンが差別化機能を実行していることを意味します。 出力オシログラムのバーストの理由は何ですか? それは簡単です。入力信号が「オン」になると、コンデンサの充電プロセスが発生します。つまり、充電電流が回路を通過し、出力電圧が最大になります。 そして、充電プロセスが進むにつれて、電流は指数関数に従ってゼロまで減少し、それに伴い出力電圧も減少します。これは、 に等しいためです。 波形を拡大して、充電プロセスを明確に図解してみましょう。
微分回路の入力で信号が「オフ」になると、同様の過渡プロセスが発生しますが、これはコンデンサの充電ではなく放電によって引き起こされます。
この場合、回路の時定数が小さいため、回路は入力信号をよく微分します。 理論的な計算によると、時定数を大きくすればするほど、出力信号は入力信号に近づきます。 これを実際に確認してみましょう:)
抵抗器の抵抗を増やすと、次のような増加が生じます。
ここで何もコメントする必要はありません - 結果は明らかです :) 実際の実験を行って理論計算を確認しましたので、次の質問に進みましょう。 RC回路の統合.
この回路の電流と電圧を計算する式を書き留めてみましょう。
同時に、オームの法則から電流を求めることができます。
これらの式を等価すると次のようになります。
等式の右辺と左辺を積分してみましょう。
の場合と同様に、 差別化されたRCチェーンここで考えられるケースは 2 つあります。
回路が動作していることを確認するために、微分回路の動作を解析するときに使用したのとまったく同じ信号、つまり一連の矩形パルスをその入力に加えてみましょう。 小さな値では、出力信号は入力信号と非常に似ており、回路時定数の大きな値では、出力には入力の積分にほぼ等しい信号が表示されます。 これはどんな信号になるのでしょうか？ パルスのシーケンスは等しい電圧のセクションを表し、定数の積分は一次関数になります ()。 したがって、出力には鋸歯状の電圧が表示されるはずです。 実際に理論的な計算を確認してみましょう。
ここでの黄色は入力信号を示し、青色は回路時定数の異なる値での出力信号をそれぞれ示します。 ご覧のとおり、まさに期待どおりの結果が得られました:)
今日の記事はここで終わりますが、エレクトロニクスの勉強はまだ終わっていないので、また新しい記事でお会いしましょう。 🙂
RC回路の時定数
RC電気回路
容量のあるコンデンサで構成される電気回路内の電流を考えてみましょう。 C抵抗 R を持つ抵抗器が並列に接続されています。
コンデンサの充電または放電電流の値は次の式で決まります。 I = C(dU/dt)、オームの法則によると、抵抗器に流れる電流の値は次のようになります。 あなたは、 どこ U- コンデンサの充電電圧。
図からわかるように、電流は 私要素内 Cそして Rキルヒホッフの法則によれば、チェーンは同じ値で反対方向になります。 したがって、次のように表現できます。
微分方程式を解く C(dU/dt)= -U/R
統合しましょう: 
ここでは積分の表から次の変換を使用します。 
次の方程式の一般積分を求めます。 ln|U| = - t/RC + 定数.
その緊張感を表現しましょう U強化: U = e-t/RC * e 定数.
解決策は次のようになります。
U = e-t/RC *定数
ここ 定数- 定数、初期条件によって決定される値。
したがって、電圧は Uコンデンサの充電または放電は、指数関数に従って時間の経過とともに変化します e-t/RC 。
指数 - 関数 exp(x) = e x
e– 数学定数は 2.718281828 にほぼ等しい...
時定数 τ
容量のあるコンデンサの場合 C抵抗と直列に R定電圧源に接続する U、回路に電流が流れます。 tコンデンサをその値まで充電します UCそして、次の式によって決定されます。
それからテンションは UCコンデンサ端子の値はゼロから値まで増加します U指数関数的に:
U C = U( 1 - e-t/RC )
で t = RC、コンデンサの両端の電圧は次のようになります。 U C = U( 1 - e -1 ) = U( 1 - 1/e).
数値的には積と等しい時間 R.C.、回路の時定数と呼ばれます R.C.ギリシャ文字で表されます τ
.
時定数 τ = RC
その間 τ
コンデンサは (1 - 1) まで充電されます。 /e)*100% ≈ 値の 63.2% U.
時間内 3 τ
電圧は (1 - 1) になります。 /e 3)*100% ≈ 値の 95% U.
時間内 5 τ
電圧は(1 - 1)まで増加します。 /e 5)*100% ≈ 99% 値 U.
容量のあるコンデンサの場合 C、電圧まで充電される U、抵抗と並列に抵抗を接続します。 R、コンデンサの放電電流が回路を流れます。
放電中のコンデンサの両端の電圧は次のようになります。 U C = うえ-t/τ = U/e t/τ
その間 τ
コンデンサの両端の電圧は次の値まで減少します。 ユー/エ、1になります /e※100%≒36.8%の値 U.
時間内 3 τ
コンデンサは (1) まで放電します。 /e 3)*100% ≈ 値の 5% U.
時間内 5 τ
に (1 /e 5)*100% ≈ 1% 値 U.
パラメータ τ 計算に広く使われている R.C.- さまざまな電子回路や部品のフィルター。
素子の電圧と電流の瞬時値の関係
電気回路
線形抵抗 R、インダクタ L、およびコンデンサ C を含む直列回路の場合、電圧 u の電源に接続すると (図 1 を参照)、次のように書くことができます。
ここで、x は目的の時間関数 (電圧、電流、鎖交磁束など) です。 - 既知の妨害影響（電気エネルギー源の電圧および（または）電流）。 - k番目の定数係数は回路のパラメータによって決定されます。
この方程式の次数は、回路内の独立したエネルギー貯蔵デバイスの数に等しくなります。これらは、元の回路からインダクタンスとそれに応じて要素の静電容量を組み合わせて得られる簡略化された回路内のインダクタとコンデンサとして理解されます。間の接続はシリアルまたはパラレルです。
一般的な場合、微分方程式の次数は次の関係によって決まります。
| , | (3) |
ここで、 と はそれぞれ、元の回路を指定して単純化した後のインダクタとコンデンサの数です。 - インダクタを含む分岐のみが収束するノードの数 (キルヒホッフの第 1 法則に従って、この場合のインダクタを流れる電流は、残りのコイルを流れる電流によって決まります)。 - 分岐にコンデンサのみが含まれる回路の数 (キルヒホッフの第 2 法則に従って、この場合のコンデンサの電圧は他のコンデンサの電圧によって決まります)。
誘導結合の存在は微分方程式の次数に影響を与えません。
数学から知られているように、式 (2) の一般解は、元の不均一方程式の特定の解と、元の式の左辺を 0 に等しくすることによって得られる均一方程式の一般解の和です。 数学的側面からは、特定の解 (2) の選択に制限が課されていないため、電気工学に関連して、転流後の定常状態における目的の変数 x に対応する解を後者として取るのが便利です。モード (理論的には )。
方程式 (2) の特定の解は、右側の関数のタイプによって決定されるため、次のように呼ばれます。 強制コンポーネント。一定または周期的な電源電圧 (電流) が与えられた回路の場合、強制成分は、線形電気回路を計算するための前述の方法のいずれかによってスイッチング後の回路の定常動作モードを計算することによって決定されます。
方程式 (2) の一般解 x の 2 番目の要素 (右辺がゼロの解 (2)) は、外部 (強制) 力 (エネルギー源) が回路に直接影響を与えない場合の領域に対応します。 ここでは、ソースの影響が、インダクタとコンデンサのフィールドに蓄えられたエネルギーを通じて現れます。 回路のこの動作モードはフリーと呼ばれ、変数は次のようになります。 無料のコンポーネント。
上記に従って、 。 方程式 (2) の一般解は次の形式になります。
| (4) |
関係式 (4) は、古典的な計算方法では、転流後のプロセスが、スイッチング直後に発生する強制モードと、遷移プロセス中にのみ発生するフリー モードの 2 つのモードの重ね合わせとして考慮されることを示しています。
重ね合わせの原理は線形システムにのみ有効であるため、目的の変数 x の指定された展開に基づく解法は線形回路にのみ有効であることを強調しなければなりません。
初期条件。 転流法則
式における自由成分の定義に従って、微分方程式の次数に等しい数の積分定数が発生します。 定数積分は初期条件から求められ、通常は独立と依存に分けられます。 独立した初期条件には、インダクタの鎖交磁束 (電流) と、ある時点 (転流の瞬間) でのコンデンサの電荷 (電圧) が含まれます。 独立した初期条件は、転流則に基づいて決定されます (表 2 を参照)。
表 2. 転流法則
詳細については、http://www.toehelp.ru/ Theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf を参照してください。
RC積分回路
抵抗と抵抗で構成される電気回路を考えてみましょう。 Rそして容量のあるコンデンサー C図に示されています。
要素 Rそして Cが直列に接続されているため、回路内の電流はコンデンサの充電電圧の導関数に基づいて表すことができます。 dQ/dt = C(dU/dt)そしてオームの法則 あなたは。 抵抗端子の電圧を示します あなたは.
すると等価性が生じます:
最後の式を統合しましょう 
。 方程式の左辺の積分は次と等しくなります。 U out + Const。 定数成分を動かしてみましょう 定数同じ記号の右側にあります。
右側は時定数 R.C.これを積分記号から取り出してみましょう。
その結果、出力電圧が アウトです抵抗端子の電圧の積分に正比例し、したがって入力電流に正比例します。 私は入っています.
定数成分 定数回路素子の定格には依存しません。
出力電圧の正比例依存性を確保するには アウトです入力積分から Uin、入力電圧は入力電流に比例する必要があります。
非線形関係 U で /I で入力回路におけるコンデンサの充放電が指数関数的に発生することが原因です。 e-t/τ 、これは次の点で最も非線形です。 t/τ≥ 1、つまり値が t同等以上 τ
.
ここ t- 期間内のコンデンサの充電または放電の時間。
τ
= R.C.- 時定数 - 量の積 Rそして C.
宗派をとってみると R.C.チェーンのとき τ
もっと多くなるだろう t、その後、短期間の指数関数の最初の部分 ( τ
) は非常に線形になる可能性があり、入力電圧と電流の間に必要な比例関係が得られます。
簡単な回路の場合 R.C.時定数は通常、交流入力信号の周期より 1 ～ 2 桁大きく取られ、入力電圧の主要な部分が抵抗端子で降下し、かなり線形な依存性が得られます。 U in /I in ≈ R.
この場合、出力電圧は アウトです許容誤差はあるものの、入力の積分に比例します。 Uin.
宗派が高くなるほど R.C.、出力における変数成分が小さいほど、関数曲線はより正確になります。
ほとんどの場合、このような回路を使用する場合、積分の可変成分は必要ありません。定数成分のみが必要です。 定数、次に宗派 R.C.次の段の入力インピーダンスを考慮して、できるだけ大きな値を選択できます。
例として、ジェネレータからの信号 (周期 2 mS、1V の正の方形波) が単純な積分回路の入力に供給されます。 R.C.宗派別:
R= 10キロオーム、 と= 1μF。 それから τ
= R.C.= 10 ミリ秒。
この場合、時定数は周期時間の 5 倍しか長くありませんが、視覚的な積分は非常に正確に追跡できます。
このグラフは、0.5V の一定成分のレベルでの出力電圧が三角形の形状になることを示しています。これは、時間の経過とともに変化しない部分が積分値の定数になるためです (これを ある)、定数の積分は一次関数になります。 ∫adx = ax + 定数。 定数の値 ある一次関数の傾きが決まります。
正弦波を積分して、符号が反対の余弦を求めてみましょう ∫sinxdx = -cosx + Const.
この場合、定数成分は 定数 = 0.
入力に三角波形を適用すると、出力は正弦波電圧になります。
関数の線形部分の積分は放物線です。 最も単純な形では ∫xdx = x 2 /2 + 定数.
乗数の符号によって放物線の方向が決まります。
最も単純なチェーンの欠点は、出力の交流成分が入力電圧に比べて非常に小さいことです。
図に示す回路に従って、オペアンプ (O-Amp) を積分器として考えてみましょう。
オペアンプの無限に大きな抵抗とキルヒホッフの法則を考慮すると、ここで等式が成り立ちます。
I in = I R = U in /R = - I C.
理想的なオペアンプの入力の電圧はここではゼロであり、次にコンデンサの端子の電圧です。 U C = U アウト = - U イン .
したがって、 アウトですコモン回路の電流に基づいて決定されます。
要素値で R.C.、 いつ τ = 1 秒の場合、出力交流電圧の値は入力の積分値と等しくなります。 しかし、符号が反対です。 理想的な回路要素を備えた理想的な積分器インバーター。
RC微分回路
オペアンプを使った微分器を考えてみましょう。
ここでの理想的なオペアンプは、等しい電流を保証します。 I R = - I Cキルヒホッフの法則によると。
オペアンプの入力電圧はゼロであるため、出力電圧は U アウト = U R = - U イン = - U C .
コンデンサの電荷の導関数、オームの法則、およびコンデンサと抵抗の電流値の等しいことに基づいて、次の式を書きます。
U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)
このことから、出力電圧が アウトですコンデンサの電荷の導関数に比例 /dt の dU、入力電圧の変化率として。
時定数の場合 R.C.が 1 に等しい場合、出力電圧は入力電圧の微分値と等しくなりますが、符号が逆になります。 したがって、検討中の回路は入力信号を微分して反転します。
定数の導関数はゼロであるため、微分するときに出力に定数成分は存在しません。
例として、三角信号を微分器入力に適用してみましょう。 出力は方形信号になります。
関数の線形部分の導関数は定数となり、その符号と大きさは線形関数の傾きによって決まります。
2 つの要素からなる最も単純な微分 RC チェーンの場合、コンデンサ端子の電圧の導関数に対する出力電圧の比例依存性を使用します。
U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)
時定数が期間の長さよりも 1 ～ 2 桁小さくなるように RC 要素の値を取得すると、期間内の時間増分に対する入力電圧の増分の比率がレートを決定できます。入力電圧の変化をある程度正確に把握します。 理想的には、この増分はゼロになる傾向があるはずです。 この場合、入力電圧の主要部分はコンデンサの端子で降下し、出力は入力の重要な部分にならないため、このような回路は実際には微分値の計算には使用されません。
RC 微分および積分回路の最も一般的な用途は、ロジックおよびデジタル デバイスのパルス長を変更することです。
このような場合、RC 額面は指数関数的に計算されます。 e-t/RC は、期間内のパルス長と必要な変更に基づきます。
たとえば、次の図は、パルス長が ティ積分チェーンの出力では、時間 3 によって増加します。 τ
。 これは、コンデンサが振幅値の 5% まで放電するのにかかる時間です。
微分回路の出力では、放電されたコンデンサの端子では振幅電圧がゼロに等しいため、パルスを印加した直後に振幅電圧が現れます。
これに続いて充電プロセスが行われ、抵抗端子の電圧が減少します。 時間内 3 τ
振幅値の 5% に減少します。
ここでの 5% は参考値です。 実際の計算では、このしきい値は使用される論理要素の入力パラメータによって決定されます。
