تقاطع و مجموع زیرفضاهای فضای خطی. تقاطع و مجموع زیرفضاهای فضای خطی ابعاد، مبنا، مختصات

تعریف. فضای خطیبالای فیلد شماره بهمجموعه ای نامیده می شود آر عناصری که آنها را بردار می نامیم و نشان می دهیم، و غیره اگر:

از این بدیهیات چنین بر می آید که:

پوسته های خطی

تعریف.پوسته خطیخانواده بردارها مجموعه ای از تمام ترکیبات خطی ممکن آنها در فضای خطی است L.

به راحتی می توان بررسی کرد که بدنه خطی یک فضای خطی در داخل است L.

پوسته خطی همچنین فضای فرعی که توسط بردارها پوشانده شده یا توسط بردارهای یک خانواده تولید می شود نیز نامیده می شود. همچنین می توان آن را به عنوان محل تلاقی همه زیرفضاها در تعریف کرد. L، شامل همه رتبهخانواده بردارها بعد دهانه خطی آن نامیده می شود.

اولین ویژگی مشخصه پایه: پوسته خطی آن با همه چیز منطبق استL.

فضاهای فرعی

تعریف. زیرفضای خطی یا زیرفضای برداریمجموعه ای غیر خالی است ک فضای خطی L به طوری که ک خود یک فضای خطی با توجه به مواردی است که در آن تعریف شده است L عملیات جمع و ضرب در یک اسکالر. مجموعه همه زیرفضاها به صورت نشان داده می شود لات ( L ) . برای اینکه یک زیرمجموعه یک زیرفضا باشد لازم و کافی است که

دو عبارت آخر معادل عبارت زیر است:

به طور خاص، فضایی متشکل از یک عنصر، زیرفضای هر فضا است. هر فضا خودش یک زیرفضا است. فضاهای فرعی که با این دو منطبق نیستند نامیده می شوند خودیا غیر پیش پا افتاده

ویژگی های زیرفضاها

در تحلیل عملکردی در فضاهای بی‌بعدی، تاکید ویژه‌ای بر آن است فضاهای فرعی بسته

وابستگی خطی بردارها

تعریف.به خانواده ای از بردارها خطی می گویند مستقل، اگر هیچ ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده ای برابر با صفر نباشد، یعنی از

نتیجه می شود که همه چیز = 0. در غیر این صورت خطی نامیده می شود وابسته. استقلال خطی خانواده به این معناست بردار صفر به طور منحصر به فرد به عنوان یک ترکیب خطی از عناصر خانواده نشان داده می شود.سپس هر بردار دیگری یا یک نمایش واحد دارد یا هیچ یک. در واقع، مقایسه این دو نمایش

این نشان دهنده دومین ویژگی مشخصه پایه است: عناصر آن به صورت خطی مستقل هستند.تعریف این دو ویژگی معادل تعریف اولیه مبنا است.

توجه کنید که یک خانواده از بردارها به صورت خطی مستقل است اگر و فقط در صورتی که مبنایی برای گستره خطی آن باشد.

اگر صفر یا دو بردار یکسان وجود داشته باشد، یک خانواده آشکارا به صورت خطی وابسته است.

لم 1.یک خانواده از بردارها به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از بردارها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اثبات

اگر

برعکس، اگر، پس

لم 2.به صورت خطی وابسته است، سپس یک ترکیب خطی است.

اثبات

اگر آنها برابر نیستند، پس باید با هم باشند، در غیر این صورت ما یک وابستگی غیر پیش پا افتاده بین بنابراین خواهیم داشت

خطی (بردار)فضا مجموعه V از عناصر دلخواه به نام بردار است که در آن عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد تعریف شده است. به هر دو بردار \mathbf(u) و (\mathbf(v)) یک بردار اختصاص داده می شود \mathbf(u)+\mathbf(v)، به نام مجموع بردارهای \mathbf(u) و (\mathbf(v))، هر بردار (\mathbf(v)) و هر عدد \lambda از میدان اعداد حقیقی \mathbb(R) با یک بردار مرتبط است. \lambda\mathbf(v)، حاصل ضرب بردار \mathbf(v) با عدد \lambda نامیده می شود. بنابراین شرایط زیر رعایت می شود:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\در V(جابه‌جایی جمع)؛
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u)، \mathbf(v)،\mathbf(w)\در V(تداعی جمع)؛
3. یک عنصر \mathbf(o)\ در V وجود دارد که بردار صفر نامیده می شود، به طوری که \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\در V;
4. برای هر بردار (\mathbf(v)) برداری وجود دارد که مخالف بردار \mathbf(v) نامیده می شود. \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ در\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( ر);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\در V.

شرایط 1-8 نامیده می شود بدیهیات فضای خطی. علامت مساوی که بین بردارها قرار می گیرد به این معنی است که سمت چپ و راست برابری همان عنصر مجموعه V را نشان می دهد؛ چنین بردارهایی برابر نامیده می شوند.

در تعریف فضای خطی، عمل ضرب بردار در عدد برای اعداد حقیقی معرفی شده است. چنین فضایی نامیده می شود فضای خطی روی میدان اعداد حقیقییا به طور خلاصه فضای خطی واقعی. اگر در تعریف به جای فیلد \mathbb(R) اعداد حقیقی، فیلد اعداد مختلط \mathbb(C) را بگیریم، به دست می‌آییم. فضای خطی روی میدان اعداد مختلطیا به طور خلاصه فضای خطی پیچیده. به عنوان یک فیلد عددی، می‌توانیم فیلد \mathbb(Q) اعداد گویا را نیز انتخاب کنیم و در این حالت یک فضای خطی روی میدان اعداد گویا به‌دست می‌آوریم. در ادامه، مگر اینکه خلاف آن ذکر شود، فضاهای خطی واقعی در نظر گرفته خواهند شد. در برخی موارد، برای اختصار، با حذف کلمه خطی، در مورد فضا صحبت خواهیم کرد، زیرا تمام فضاهای مورد بحث در زیر خطی هستند.

یادداشت 8.1

1. بدیهیات 1-4 نشان می دهد که یک فضای خطی یک گروه جابجایی با توجه به عمل جمع است.

2. بدیهیات 5 و 6 میزان توزیع عمل ضرب یک بردار را در یک عدد در رابطه با عمل جمع بردارها (اصل 5) یا با عمل جمع اعداد (اصول 6) تعیین می کنند. اصل 7 که گاهی به آن قانون تداعی ضرب در عدد می گویند، ارتباط بین دو عمل مختلف را بیان می کند: ضرب بردار در عدد و ضرب اعداد. خاصیت تعریف شده توسط اصل 8 را یکسانی عمل ضرب یک بردار در عدد می نامند.

3. فضای خطی یک مجموعه غیر خالی است، زیرا لزوماً حاوی یک بردار صفر است.

4-عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در عدد را عملیات خطی روی بردارها می گویند.

5. تفاوت بین بردارهای \mathbf(u) و \mathbf(v) حاصل جمع بردار \mathbf(u) با بردار مخالف (-\mathbf(v)) است و نشان داده می شود: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. دو بردار غیرصفر \mathbf(u) و \mathbf(v) خطی (متناسب) نامیده می شوند اگر عدد لامبدا وجود داشته باشد به طوری که \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). مفهوم هم خطی به هر تعداد محدودی از بردارها گسترش می یابد. بردار صفر \mathbf(o) با هر بردار هم خط در نظر گرفته می شود.

پیامدهای بدیهیات فضای خطی

1. در فضای خطی فقط یک بردار صفر وجود دارد.

2. در فضای خطی، برای هر بردار \mathbf(v)\در V یک بردار متضاد منحصر به فرد وجود دارد. (-\mathbf(v))\در V.

3. حاصل ضرب یک بردار فضای دلخواه و عدد صفر برابر با بردار صفر است، i.e. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\در V.

4. حاصل ضرب یک بردار صفر با هر عددی برابر است با یک بردار صفر، یعنی برای هر عدد \lambda.

5. بردار مقابل یک بردار داده شده برابر است با حاصلضرب این بردار با عدد (-1)، یعنی. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\در V.

6. در عبارات شکل \mathbf(a+b+\ldots+z)(مجموع تعداد محدودی از بردارها) یا \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)( حاصل ضرب یک بردار و تعداد محدودی از عوامل ) می توانید براکت ها را به هر ترتیبی قرار دهید یا اصلاً آنها را مشخص نکنید.

به عنوان مثال، دو ویژگی اول را ثابت کنیم. منحصر به فرد بودن بردار صفر. اگر \mathbf(o) و \mathbf(o)" دو بردار صفر باشند، با اصل 3 دو برابری بدست می آوریم: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"یا \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o)، که اضلاع چپ آن مطابق اصل 1 برابر است. در نتیجه، اضلاع راست نیز برابر هستند، i.e. \mathbf(o)=\mathbf(o)". منحصر به فرد بودن بردار مقابل. اگر بردار \mathbf(v)\در V دارای دو بردار متضاد (-\mathbf(v)) و (-\mathbf(v)) باشد، با بدیهیات 2، 3،4 برابری آنها را بدست می آوریم:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

خواص باقی مانده به روشی مشابه اثبات می شود.

نمونه هایی از فضاهای خطی

1. اجازه دهید \(\mathbf(o)\) را نشان دهیم - مجموعه ای حاوی یک بردار صفر، با عملیات \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)و \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). برای عملیات ذکر شده، بدیهیات 1-8 برآورده می شود. در نتیجه، مجموعه \(\mathbf(o)\) یک فضای خطی روی هر فیلد عددی است. این فضای خطی null نامیده می شود.

2. اجازه دهید V_1,\,V_2,\,V_3 را نشان دهیم - مجموعه ای از بردارها (قطعات جهت دار) در یک خط مستقیم، در یک صفحه، در فضا، به ترتیب، با عملیات معمول جمع بردارها و ضرب بردارها در یک عدد. تحقق بدیهیات 1-8 فضای خطی از درس هندسه ابتدایی ناشی می شود. در نتیجه، مجموعه های V_1،\، V_2،\، V_3 فضاهای خطی واقعی هستند. به جای بردارهای آزاد، می توانیم مجموعه های مربوط به بردارهای شعاع را در نظر بگیریم. به عنوان مثال، مجموعه ای از بردارها در یک صفحه که منشا مشترک دارند، به عنوان مثال. رسم شده از یک نقطه ثابت صفحه یک فضای خطی واقعی است. مجموعه بردارهای شعاع واحد طول یک فضای خطی تشکیل نمی دهد، زیرا برای هر یک از این بردارها مجموع \mathbf(v)+\mathbf(v)به مجموعه مورد نظر تعلق ندارد.

3. اجازه دهید \mathbb(R)^n را نشان دهیم - مجموعه ای از ماتریس-ستون ها با اندازه های n\times1 با عملیات جمع ماتریس ها و ضرب ماتریس ها در یک عدد. بدیهیات 1-8 فضای خطی برای این مجموعه برآورده می شود. بردار صفر در این مجموعه، ستون صفر است o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. در نتیجه، مجموعه \mathbb(R)^n یک فضای خطی واقعی است. به طور مشابه، مجموعه ای از ستون های \mathbb(C)^n به اندازه n\times1 با عناصر پیچیده یک فضای خطی پیچیده است. مجموعه ماتریس های ستون با عناصر واقعی غیر منفی، برعکس، یک فضای خطی نیست، زیرا شامل بردارهای مخالف نیست.

4. بگذارید \(Ax=o\) را نشان دهیم - مجموعه راه حل های یک سیستم همگن Ax=o از معادلات جبری خطی با و مجهولات (که در آن A ماتریس واقعی سیستم است) که به عنوان مجموعه ای از ستون ها در نظر گرفته می شود. اندازه n\times1 با عملیات جمع ماتریس و ضرب ماتریس در یک عدد. توجه داشته باشید که این عملیات در واقع در مجموعه \(Ax=o\) تعریف شده اند. از خاصیت 1 محلول به یک سیستم همگن (نگاه کنید به بخش 5.5) نتیجه می شود که مجموع دو محلول یک سیستم همگن و حاصلضرب محلول آن توسط یک عدد نیز محلول های یک سیستم همگن هستند، یعنی. متعلق به مجموعه \(Ax=o\) است. بدیهیات فضای خطی برای ستون ها برآورده شده است (نقطه 3 را در نمونه هایی از فضاهای خطی ببینید). بنابراین مجموعه راه حل های یک سیستم همگن یک فضای خطی واقعی است.

مجموعه \(Ax=b\) از راه حل های سیستم ناهمگن Ax=b,~b\ne o، برعکس، یک فضای خطی نیست، فقط به این دلیل که حاوی عنصر صفر نیست (x=o است راه حلی برای سیستم ناهمگن نیست).

5. اجازه دهید M_(m\times n) را نشان دهیم - مجموعه ای از ماتریس ها به اندازه m\times n با عملیات جمع ماتریس ها و ضرب ماتریس ها در یک عدد. بدیهیات 1-8 فضای خطی برای این مجموعه برآورده می شود. بردار صفر یک ماتریس صفر O با اندازه های مناسب است. بنابراین مجموعه M_(m\times n) یک فضای خطی است.

6. P(\mathbb(C)) را نشان می دهیم - مجموعه چندجمله ای های یک متغیر با ضرایب مختلط. عملیات جمع کردن بسیاری از جمله ها و ضرب یک چند جمله ای در عددی که به عنوان چند جمله ای درجه صفر در نظر گرفته می شود، تعریف شده است و بدیهیات 1-8 را برآورده می کند (به ویژه، بردار صفر چند جمله ای است که به طور یکسان برابر با صفر است). بنابراین، مجموعه P(\mathbb(C)) یک فضای خطی بر روی میدان اعداد مختلط است. مجموعه P(\mathbb(R)) چندجمله‌ای با ضرایب واقعی نیز یک فضای خطی است (اما البته بیش از میدان اعداد حقیقی). مجموعه P_n(\mathbb(R)) از چندجمله‌ای درجه حداکثر n با ضرایب واقعی نیز یک فضای خطی واقعی است. توجه داشته باشید که عملیات جمع بسیاری از جمله ها در این مجموعه تعریف شده است، زیرا درجه مجموع چندجمله ای ها از درجات عبارت ها بیشتر نمی شود.

مجموعه چند جمله ای های درجه n یک فضای خطی نیست، زیرا مجموع این چند جمله ای ها ممکن است چند جمله ای با درجه پایین تر باشد که به مجموعه مورد بررسی تعلق ندارد. مجموعه همه چند جمله ای های درجه بالاتر از n با ضرایب مثبت نیز یک فضای خطی نیست، زیرا ضرب چنین چند جمله ای در یک عدد منفی منجر به چند جمله ای می شود که به این مجموعه تعلق ندارد.

7. اجازه دهید C(\mathbb(R)) را نشان دهیم - مجموعه ای از توابع واقعی تعریف شده و پیوسته در \mathbb(R) . مجموع (f+g) توابع f,g و حاصلضرب \lambda f تابع f و عدد واقعی \lambda با تساوی تعریف می‌شوند:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)،\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)برای همه x\in \mathbb(R)

این عملیات در واقع بر روی C(\mathbb(R)) تعریف شده اند زیرا مجموع توابع پیوسته و حاصلضرب یک تابع پیوسته و یک عدد توابع پیوسته هستند، به عنوان مثال. عناصر C(\mathbb(R)) . اجازه دهید تحقق بدیهیات فضای خطی را بررسی کنیم. از آنجایی که جمع اعداد حقیقی جابجایی است، نتیجه آن برابری است f(x)+g(x)=g(x)+f(x)برای هر x\in \mathbb(R) . بنابراین f+g=g+f، یعنی. اصل 1 برآورده شده است. اصل 2 به طور مشابه از تداعی جمع پیروی می کند. بردار صفر تابع o(x) است که برابر با صفر است که البته پیوسته است. برای هر تابع f برابری f(x)+o(x)=f(x) برقرار است، یعنی. اصل 3 درست است.بردار مقابل برای بردار f تابع (-f)(x)=-f(x) خواهد بود. سپس f+(-f)=o (اصل 4 درست است). بدیهیات 5 و 6 از توزیعی بودن عملیات جمع و ضرب اعداد حقیقی و اصل 7 - از تداعی ضرب اعداد پیروی می کنند. آخرین اصل موضوع برآورده می شود، زیرا ضرب در یک تابع را تغییر نمی دهد: 1\cdot f(x)=f(x) برای هر x\in \mathbb(R)، یعنی. 1\cdot f=f. بنابراین، مجموعه در نظر گرفته شده C(\mathbb(R)) با عملیات معرفی شده یک فضای خطی واقعی است. به همین ترتیب ثابت می شود که C^1(\mathbb(R))، C^2(\mathbb(R))، \ldots، C^m(\mathbb(R))- مجموعه ای از توابع که مشتقات پیوسته اول، دوم و غیره دارند. نظم ها نیز به ترتیب فضاهای خطی هستند.

اجازه دهید مجموعه دوجمله‌ای مثلثاتی (اغلب \omega\ne0) را با ضرایب واقعی نشان دهیم، یعنی. بسیاری از عملکردهای فرم f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t، جایی که a\in \mathbb(R)،~b\in \mathbb(R). مجموع این دوجمله‌ها و حاصل ضرب یک دوجمله‌ای با یک عدد واقعی، دو جمله‌ای مثلثاتی هستند. بدیهیات فضای خطی برای مجموعه مورد بررسی برآورده شده است (از آنجا که T_(\omega)(\mathbb(R))\زیر مجموعه C(\mathbb(R))). بنابراین، بسیاری از T_(\omega)(\mathbb(R))با عملیات معمول جمع و ضرب در یک عدد برای توابع، یک فضای خطی واقعی است. عنصر صفر دو جمله ای است o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t، به طور یکسان برابر با صفر است.

مجموعه توابع واقعی تعریف شده و یکنواخت در \mathbb(R) یک فضای خطی نیست، زیرا تفاوت دو تابع یکنواخت ممکن است یک تابع غیر یکنواخت باشد.

8. اجازه دهید \mathbb(R)^X را نشان دهیم - مجموعه ای از توابع واقعی تعریف شده در مجموعه X با عملیات:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

این یک فضای خطی واقعی است (اثبات مانند مثال قبلی است). در این مورد، مجموعه X را می توان خودسرانه انتخاب کرد. به ویژه، اگر X=\(1,2,\lds,n\)، سپس f(X) مجموعه ای مرتب از اعداد است f_1، f_2،\ldots،f_n، جایی که f_i=f(i)،~i=1،\ldots،nچنین مجموعه ای را می توان یک ماتریس-ستون با ابعاد n\times1 در نظر گرفت، یعنی. یک دسته از \mathbb(R)^(\(1،2،\ldots،n\))با مجموعه \mathbb(R)^n منطبق است (برای مثالهایی از فضاهای خطی به نقطه 3 مراجعه کنید). اگر X=\mathbb(N) (به یاد بیاورید که \mathbb(N) مجموعه اعداد طبیعی است)، یک فضای خطی به دست می آوریم. \mathbb(R)^(\mathbb(N))- تعداد زیادی دنباله \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). به طور خاص، مجموعه دنباله های اعداد همگرا نیز یک فضای خطی را تشکیل می دهد، زیرا مجموع دو دنباله همگرا همگرا می شود و وقتی همه جمله های یک دنباله همگرا در یک عدد ضرب شوند، یک دنباله همگرا به دست می آوریم. در مقابل، مجموعه دنباله‌های واگرا یک فضای خطی نیست، زیرا برای مثال، مجموع دنباله‌های واگرا ممکن است محدودیتی داشته باشد.

9. اجازه دهید \mathbb(R)^(+) را نشان دهیم - مجموعه ای از اعداد حقیقی مثبت که در آن مجموع a\plus b و حاصلضرب \lambda\ast a (نشان های موجود در این مثال با اعداد معمول متفاوت است) هستند. تعریف شده توسط برابری ها: a\plus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda)به عبارت دیگر، مجموع عناصر به عنوان حاصل ضرب اعداد و ضرب یک عنصر در یک عدد به عنوان افزایش به توان درک می شود. هر دو عمل در واقع بر روی مجموعه \mathbb(R)^(+) تعریف می شوند زیرا حاصل ضرب اعداد مثبت یک عدد مثبت است و هر توان واقعی یک عدد مثبت یک عدد مثبت است. بیایید اعتبار بدیهیات را بررسی کنیم. برابری ها

a\oplus b=ab=ba=b\plus a,\quad a\oplus(b\plus c)=a(bc)=(ab)c=(a\plus b)\plus c

نشان می دهد که بدیهیات 1 و 2 راضی هستند. بردار صفر این مجموعه یک است، زیرا a\oplus1=a\cdot1=a، یعنی o=1. بردار مقابل a بردار \frac(1)(a) است که از a\ne o تعریف می شود. در واقع، a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. بیایید تحقق بدیهیات 5، 6،7،8 را بررسی کنیم:

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\plus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(جمع شد)

همه بدیهیات راضی هستند. در نتیجه مجموعه مورد نظر یک فضای خطی واقعی است.

10. فرض کنید V یک فضای خطی واقعی باشد. اجازه دهید مجموعه ای از توابع اسکالر خطی تعریف شده در V را در نظر بگیریم، یعنی. کارکرد f\colon V\to \mathbb(R)با در نظر گرفتن ارزش های واقعی و ارضای شرایط:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(افزایش)؛

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(همگنی).

عملیات خطی روی توابع خطی به همان ترتیبی که در بند 8 نمونه هایی از فضاهای خطی مشخص شده است. مجموع f+g و حاصلضرب \lambda\cdot f با تساوی های زیر تعریف می شوند:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ در V، ~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

تحقق بدیهیات فضای خطی به همان روشی که در بند 8 وجود دارد تأیید می شود. بنابراین، مجموعه توابع خطی تعریف شده در فضای خطی V یک فضای خطی است. این فضا مزدوج به فضای V نامیده می شود و با V^(\ast) نشان داده می شود. عناصر آن بردار نامیده می شوند.

به عنوان مثال، مجموعه اشکال خطی n متغیر که به عنوان مجموعه ای از توابع اسکالر آرگومان برداری در نظر گرفته می شود، مزدوج فضای خطی به فضای \mathbb(R)^n است.

اگر متوجه اشتباه، اشتباه تایپی یا پیشنهادی شدید، در نظرات بنویسید.

فضای خطی مجموعه ای نامیده می شود L ، که در آن عملیات جمع و ضرب در یک عدد تعریف شده است، i.e. برای هر جفت عنصر الف، بL مقداری وجود دارد جL ، که جمع آنها نامیده می شود و برای هر عنصر آL و هر عدد R وجود دارد بL حاصل ضرب  توسط نامیده می شود آ. عناصر فضای خطی نامیده می شوند بردارها . عملیات جمع و ضرب در عدد بدیهیات زیر را برآورده می کند.

بدیهیات جمع:  الف، ب، ج  L

a+b = b+a –جابجایی

(a+b) + c = a + (b+c) –انجمنی

عنصری در فضا وجود دارد به نام بردار پوچ و تعیین شده است 0 ، که به هر کدام اضافه می شود آاز جانب L همان عنصر را می دهد آ،آن ها  0L:  a L 0 + a = a.

برای همه آاز جانب L وجود دارد عنصر مخالف ، نشان داده شده است -آ، به طوری که (-a) + a = 0

( a L  (-a) L: (-a) + a = 0)

نتایج حاصل از بدیهیات جمع:

1. بردار تهی منحصر به فرد است، i.e. اگر حداقل برای یکی الف L عادلانه است که b + a = a، آن b = 0.

2. برای هر بردار آL عنصر مقابل منحصر به فرد است، یعنی. b + a = 0  b = (-a)

بدیهیات ضرب:  ،  R  الف، ب  L

 (آ) = ()آ

(a+b) =a+ب –توزیع (بر اساس بردارها)

(+)a =a+آ -توزیع (بر اساس اعداد)

1a = a

نتایج حاصل از بدیهیات ضرب:  آ L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-آ) = (-1) آ
^

2.1 نمونه هایی از فضاهای خطی

1. فضا ک n ستون های ارتفاع n. عناصر این فضا، ستون‌هایی هستند که n عدد حقیقی را شامل می‌شوند، با عملیات جمع جزء و ضرب جزء در یک عدد. بردار تهی در چنین فضایی ستونی است که از n صفر تشکیل شده است.

2. بردارهای معمولی در فضای سه بعدی آر 3 با عملیات جمع "طبق قانون متوازی الاضلاع" و ضرب-بسط. فرض بر این است که ابتدای همه بردارها در مبدا مختصات است، بردار تهی برداری است که به مبدأ مختصات ختم می شود.

3. چند جمله ای درجه n در یک متغیر 1 تابع است

P n ( ایکس ) =  n ایکس +  n-1 ایکس n n-1 + … +  1 ایکس +  0 و  n  0

چند جمله ای های زیادی درجه بالاتر نیست n، با عملیات معمول جمع و ضرب در یک عدد، یک فضای خطی تشکیل می دهد. توجه داشته باشید که مجموعه چند جمله ای های درجه n فضای خطی تشکیل نمی دهند. واقعیت این است که مجموع دو چند جمله ای درجه، به عنوان مثال، 3، می تواند یک چند جمله ای درجه 2 باشد (به عنوان مثال، ایکس 3 + 3) + (– ایکس 3 – 2ایکس 2 + 7) = – 2ایکس 2 + 10 چند جمله ای درجه 2 است. با این حال، عملیات جمع چندجمله‌ای می‌تواند درجه را کاهش دهد، اما آن را افزایش نمی‌دهد، بنابراین مجموعه چندجمله‌ای درجه‌ای که بالاتر از n نیست، تحت جمع بسته می‌شود (یعنی مجموع دو چندجمله‌ای درجه‌ای که بالاتر از n نباشد همیشه a است. چند جمله ای درجه ای که بالاتر از n نباشد) و فضای خطی را تشکیل می دهد.
^

2.2 بعد، مبنا، مختصات.

ترکیب خطی بردارها ( ه 1 ، ه 2 ، … e n )  عبارت  1 نامیده می شود ه 1 +  2 ه 2 + … n ه n = بنابراین یک ترکیب خطی به سادگی مجموع بردارها با ضرایب عددی است. اگر همه ضرایب  منبرابر 0 هستند، یک ترکیب خطی نامیده می شود ناچیز .

سیستم 2 بردار نامیده می شود وابسته به خط ، اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از این بردارها برابر با 0 . به عبارت دیگر، اگر n عدد  R وجود داشته باشد به طوری که همه آنها برابر با صفر نباشند و ترکیب خطی بردارها با ضرایب برابر با بردار صفر باشد:

در غیر این صورت بردارها نامیده می شوند مستقل خطی . به عبارت دیگر بردارها نامیده می شوند مستقل خطی ، اگر
از  1 ه 1 +  2 ه 2 + …+ n ه n = 0 زیر  1 =  2 = …= n = 0، یعنی اگر هر ترکیب خطی از این بردارها برابر با بردار صفر بی اهمیت باشد.

تجزیه بردار آبا توجه به سیستم برداری ( ه من) نمایندگی نامیده می شود آبه عنوان یک ترکیب خطی از بردارها ( ه من). به عبارت دیگر، گسترش یافتن انتشار یافتن بردار آتوسط بردارها ( ه من) به معنای یافتن اعداد  i است که

a = 1 ه 1 +  2 ه 2 + … k هک

توجه داشته باشید که تعریف استقلال بردارها را می توان به شکل زیر ارائه کرد: بردارها مستقل هستند اگر و فقط در صورت بسط 0 فقط برای آنها

فضای خطی نامیده می شود محدود بعدی ، اگر یک عدد صحیح n وجود داشته باشد به طوری که تمام سیستم های مستقل بردارها در این فضا حداکثر دارای n عنصر باشند.

بعد، ابعاد، اندازه فضای خطی بعد محدود L حداکثر تعداد ممکن بردارهای مستقل خطی است (که با کم مشخص می شوند L یا کم نور L ). به عبارت دیگر فضای خطی نامیده می شود n بعدی ، اگر:

1. در فضا یک سیستم مستقل متشکل از n بردار وجود دارد.

2. هر سیستمی که از n +1 بردار تشکیل شده باشد به صورت خطی وابسته است.

اساس فضای خطی L nهر سیستم مستقلی از بردارها نامیده می شود که تعداد عناصر آن برابر با بعد فضا باشد.

قضیه 1.هر سیستم مستقلی از بردارها را می توان به یک مبنا تکمیل کرد. یعنی اگر سیستم  L کمستقل است و بردارهای کمتری نسبت به بعد فضا دارد (n L ک، که مجموعه ترکیبی از بردارها ( ه 1 ,ه 2 ,… e n f 1 ,f 2 ,…ف k-n) مستقل است، حاوی k بردار است و بنابراین، پایه را تشکیل می دهد L ک. ▄ بنابراین، در هر فضای خطی، پایه های زیادی (در واقع بی نهایت زیاد) وجود دارد.

سیستم برداری نامیده می شود پر شده ، در صورت وجود آL را می توان به بردارهای سیستم گسترش داد (این امکان وجود دارد که بسط منحصر به فرد نباشد).

برعکس، بسط هر بردار در یک سیستم مستقل همیشه منحصر به فرد است (اما همیشه وجود ندارد). آن ها

قضیه 2تجزیه هر بردار به فضای خطی همیشهوجود دارد و منحصر به فرد است. یعنی اساس یک سیستم مستقل و کامل است. ضرایب  i بسط بردار بر اساس پایه ( ه من) نامیده می شوند مختصات بردارها در پایه ( ه من }.▄

همه مختصات بردار تهی در هر مبنایی برابر با 0 هستند.

2.3 مثال

1. فضا آر 3 - فضای سه بعدی از بردارهای شناخته شده از دوره مدرسه - "قطعات جهت دار" با عملیات معمول جمع "طبق قانون متوازی الاضلاع" و ضرب در یک عدد. مبنای استاندارد تشکیل سه بردار متقابل عمود بر سه محور مختصات. آنها با حروف مشخص شده اند من , jو ک.

2. فضا ک n ستون های ارتفاع n دارای بعد n هستند. مبنای استاندارد در فضای ستون ها بردارها را تشکیل می دهند - اینها ستون هایی هستند که در آنها موقعیت i دارای یک است و عناصر باقی مانده صفر هستند:

در واقع، به راحتی می توان مشاهده کرد که هر ستونی به روشی منحصر به فرد به سیستمی از بردارها تجزیه می شود، یعنی: ضرایب بسط برای هر ستون به سادگی با عناصر متناظر این ستون برابر است.

3. فضای چندجمله‌ای درجه‌ای که از n بیشتر نباشد دارای بعد n+1 است. مبنای استاندارد در این فضا:

(). در واقع، از تعریف یک چند جمله‌ای درجه n واضح است که هر چند جمله‌ای با درجه بالاتر از n به طور منحصربه‌فردی به عنوان ترکیب خطی بردارها نشان داده می‌شود و ضرایب ترکیب خطی صرفاً ضرایب چند جمله‌ای هستند (اگر درجه k چند جمله ای کمتر از n است، سپس آخرین ضرایب n-k برابر با 0 است.
^

2.4 ایزومورفیسم فضاهای خطی

بگذارید اساس در آن باشد L n . سپس همه آL n مطابقت یک به یک با مجموعه ای از n عدد - مختصات برداری آدر اساس. بنابراین، همه آL n می توان یک به یک بردار را از فضای ستون ترسیم کرد ک n – ستونی که از مختصات بردار تشکیل شده است آ. با چنین مطابقت تعریف شده با اساس، مبنای استاندارد از ک n . 4

به راحتی می توان بررسی کرد که جمع بردارها در L n منجر به جمع مختصات مربوطه در مبنا می شود. به معنای مجموع بردارها در L n با مکاتبات ما با مجموع ستون های مربوطه مطابقت دارد ک n ; یک قانون مشابه برای ضرب در یک عدد اعمال می شود.

مطابقت یک به یک بین عناصر دو فضا که عملیات معرفی شده در این فضاها را حفظ می کند نامیده می شود. ایزومورفیسم . ایزومورفیسم، مانند برابری، یک ویژگی متعدی (متعدی) است: اگر فضا L n هم شکل ک n ، و فضا ک n ایزومورف به مقداری فضا م n ، سپس L n هم شکل م n .

قضیه 3.هر فضای خطی با بعد n هم شکل است ک n بنابراین، به دلیل گذر، تمام فضاهای خطی بعد n نسبت به یکدیگر هم شکل هستند. ▄

اشیاء هم شکل از دیدگاه ریاضیات اساساً فقط «تجسم» (تحققات) متفاوت یک شی هستند و هر واقعیتی که برای یک فضای معین ثابت شود برای هر فضای دیگری هم‌شکل نسبت به اولی نیز صادق است.

2.5 فضاهای فرعی

فضای فرعی فضا L زیر مجموعه نامیده می شود م L ، تحت عمل جمع و ضرب در یک عدد بسته می شود، i.e. x، y

م 

به طور مشخص، 0 م ، اگر M – زیرفضا L ، یعنی بردار تهی به هر زیر فضای 5 تعلق دارد.

هر زیرفضای یک فضای خطی خودش یک فضای خطی است. یک دسته از ( 0 ) یک زیرفضا است (همه بدیهیات یک فضای خطی در صورتی برآورده می شوند که فضا از یک عنصر واحد - بردار تهی تشکیل شده باشد) 6.

هر فضای خطی شامل دو فضای خطی است ناچیز فضاهای فرعی: خود فضا و زیرفضای صفر ( 0 ) سایر فضاهای فرعی نامیده می شوند غیر پیش پا افتاده .

محل تلاقی دو زیرفضا یک زیرفضا است. اتحاد دو زیرفضا، به طور کلی، یک زیرفضا نیست؛ برای مثال، اتحاد دو خطی که از مبدا می گذرند، مجموع بردارهای متعلق به خطوط مختلف را شامل نمی شود (چنین مجموعی بین خطوط قرار دارد).

اجازه دهید، n L ک . سپس مجموعه تمام ترکیبات خطی این بردارها، i.e. مجموعه تمام بردارهای فرم

آ =  1 f 1 +  2 f 2 + … n f n

یک زیر فضای n بعدی را تشکیل می دهد جی {f 1 , f 2 ,…ف n) که نامیده می شود پوسته خطی بردارها ( f 1 , f 2 ,…ف n).

قضیه 4.اساس هر زیرفضایی را می توان با اساس کل فضا تکمیل کرد. آن ها اجازه دهید م n L ک زیرفضا، ابعاد n – پایه در م n . سپس در L ک چنین مجموعه ای از بردارها وجود دارد  L ک ، که سیستم بردارها ( f 1 ، اف 2 …ف n ، گ 1 ، گ 2 ، …g k-n) 8 به صورت خطی مستقل است و حاوی k عناصر است، بنابراین، پایه را تشکیل می دهد. ▄
^

2.6 نمونه هایی از فضاهای فرعی.

1. ب آر 3 هر صفحه ای که از مبدأ مختصات می گذرد یک زیرفضای دو بعدی را تشکیل می دهد و هر خطی که از مبدأ مختصات می گذرد یک زیر فضای یک بعدی را تشکیل می دهد (صفحه ها و خطوطی که حاوی 0 ، نمی تواند زیرفضا باشد) و سایر زیرفضاها در آر 3 خیر

2. در فضای ستون ک 3 ستون های فرم، یعنی ستون‌هایی که مختصات سوم آن‌ها 0 است، فضایی فرعی را تشکیل می‌دهند که آشکارا با فضا هم شکل است ک 2 ستون، ارتفاع 2.

3. در فضا پ n چند جمله ای ها، درجات نه بیشتر از n، چند جمله ای ها، درجات نه بیشتر از 2، شکل می گیرند سه بعدیزیرفضا (سه ضریب دارند).

4. در فضای سه بعدی پ 2 چند جمله‌ای‌هایی با درجه بالاتر از 2، چند جمله‌ای‌هایی که در یک نقطه معین x 0 ناپدید می‌شوند، یک زیرفضای دو بعدی را تشکیل می‌دهند (این را ثابت کنید!).

5. وظیفه.در فضای ک 4 یک دسته از م متشکل از ستون هایی است که مختصات آنها شرایط را برآورده می کند: 1 2 2 + 3 = 0 (*). ثابت کنیم که م زیرفضای سه بعدی ک 4 .

راه حل. این را ثابت کنیم م زیرفضا در واقع، اجازه دهید آ م , ب م ، که به معنی a 1 2a 2 + a 3 =0، b 1 2b 2 + b 3 =0 است. اما طبق قانون جمع بردار ( آ + ب) من= a من+b من. نتیجه می شود که اگر برای بردارها آو بشرط (*) برآورده می شود، سپس برای آ + باین شرط برقرار است همچنین مشخص است که اگر برای یک ستون آشرط (*) ارضا می شود، سپس برای ستون نیز ارضا می شود آ.و در نهایت بردار تهی مجموعه م متعلق است. بنابراین ثابت می شود که م زیرفضا بیایید ثابت کنیم که سه بعدی است. توجه داشته باشید که هر بردار a م به دلیل شرط (*) دارای مختصات (**) است. اجازه دهید متر 1 = , متر 2 =، الف ساعت 4 = اجازه دهید نشان دهیم که سیستم بردارها ( متر 1 ، متر 2 h 4 ) پایه ای را تشکیل می دهد م . بیایید یک ترکیب خطی 1 بسازیم متر 1 + 2 متر 2 +ساعت 4 = با ضرایب دلخواه. بدیهی است که هر بردار آاز جانب م (نگاه کنید به (**)) با توجه به مجموعه تجزیه می شود ( متر 1 ، متر 2 ، h 4 ) برای انجام این کار کافی است مختصات بردار 1 = a 1، 2 = a 2، 4 = a 4 را به عنوان ضرایب بسط انتخاب کنید.به ویژه تنها ترکیب خطی بردارها متر 1 ، متر 2 ، h 4 ، برابر با بردار تهی، ترکیبی با ضرایب صفر است: 1 = 0، 2 = 0، 4 = 0. از منحصر به فرد بودن بسط بردار تهی چنین می شود که ( متر 1 ، متر 2 ، h 4 ) سیستم مستقل بردارها. و از این واقعیت که همه آ م با توجه به سیستم گسترش یافته است ( متر 1 ، متر 2 ، h 4 ، نتیجه این است که این سیستم کامل است. یک سیستم کامل و مستقل اساس را در زیرفضا تشکیل می دهد م . از آنجایی که این پایه شامل سه بردار است، پس م زیرفضای سه بعدی

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

اجازه دهید Lو م- دو زیرفضای فضا آر.

میزان L+ممجموعه ای از بردارها نامیده می شود x+y، جایی که ایکس∈Lو y∈م. بدیهی است که هر ترکیب خطی از بردارها از L+Mمتعلق است L+M، از این رو L+Mزیرفضای فضا است آر(ممکن است با فضا همخوانی داشته باشد آر).

با عبور L∩مفضاهای فرعی Lو ممجموعه بردارهایی است که به طور همزمان به زیر فضاها تعلق دارند Lو م(فقط می تواند از یک بردار صفر تشکیل شود).

قضیه 6.1.مجموع ابعاد زیرفضاهای دلخواه Lو مفضای خطی بعد محدود آربرابر با بعد مجموع این زیرفضاها و بعد تقاطع این زیرفضاها:

کم نور L + کم نور M = کم نور (L + M) + کم نور (L∩M).

اثبات بیایید نشان دهیم F=L+Mو G=L∩M. اجازه دهید جی جی-فضای فرعی بعدی بیایید مبنایی را در آن انتخاب کنیم. زیرا جی⊂Lو جی⊂مبنابراین اساس جیرا می توان به پایه اضافه کرد Lو به پایه م. اجازه دهید اساس زیرفضا Lو اجازه دهید اساس زیرفضا م. اجازه دهید نشان دهیم که بردارها

متعلق به زیرفضا است G=L∩M. از سوی دیگر، بردار vرا می توان با ترکیب خطی بردارهای پایه زیرفضا نشان داد جی:

به دلیل استقلال خطی پایه زیرفضا Lما داریم:

مستقل خطی اما هر بردار zاز جانب اف(با تعریف مجموع فضاهای فرعی) را می توان با مجموع نشان داد x+y، جایی که x∈L، y∈M. در نوبتش ایکسبا ترکیبی خطی از بردارها نشان داده شده است y- ترکیب خطی بردارها. در نتیجه، بردارهای (6.10) فضای فرعی را ایجاد می کنند اف. ما دریافتیم که بردارهای (6.10) یک پایه را تشکیل می دهند F=L+M.

مطالعه پایگاه های زیرفضایی Lو مو اساس زیرفضا F=L+M(6.10)، ما داریم: کم نور L=g+l، کم نور M=g+m، کم نور (L+M)=g+l+m. از این رو:

کم نور L+Dim M−Dim(L∩M)=Dim(L+M). ■

2. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک عملگر خطی.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

بردار X ≠ 0 نامیده می شود بردار ویژهعملگر خطی با ماتریس A، اگر یک عدد l وجود داشته باشد که AX = lX باشد.

در این حالت عدد l نامیده می شود مقدار خاصعملگر (ماتریس A) مربوط به بردار x.

به عبارت دیگر، بردار ویژه برداری است که تحت عمل یک عملگر خطی، به یک بردار خطی تبدیل می شود، یعنی. فقط در یک عدد ضرب کنید در مقابل، بردارهای نامناسب برای تبدیل پیچیده تر هستند.

بیایید تعریف بردار ویژه را در قالب یک سیستم معادلات بنویسیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

سیستم اخیر را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:

(A - lE)X = O

سیستم حاصل همیشه یک جواب صفر دارد X = O. چنین سیستم هایی که در آنها تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شوند. همگن. اگر ماتریس چنین سیستمی مربع باشد و تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، با استفاده از فرمول های کرامر همیشه یک جواب منحصربفرد به دست می آوریم - صفر. می توان ثابت کرد که یک سیستم راه حل های غیر صفر دارد اگر و تنها در صورتی که تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر باشد، یعنی.

|A - lE| = = 0

این معادله با مجهول نامیده می شود معادله مشخصه(چند جمله ای مشخصه) ماتریس A (عملگر خطی).

می توان ثابت کرد که چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی به انتخاب مبنا بستگی ندارد.

برای مثال، بیایید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی را که با ماتریس A = تعریف شده است، پیدا کنیم.

برای انجام این کار، اجازه دهید یک معادله مشخصه |A - lE| ایجاد کنیم = = (1 -l) 2 – 36 = 1 – 2l+l 2 - 36 =l 2 – 2l- 35; D = 4 + 140 = 144; مقادیر ویژه 1 = (2 - 12)/2 = -5;l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

برای یافتن بردارهای ویژه، دو سیستم معادله را حل می کنیم

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

برای اولین مورد، ماتریس گسترش یافته شکل می گیرد

,

از آنجا x 2 = c، x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s، یعنی. X (1) = (-(2/3)s؛ s).

برای دومی از آنها، ماتریس گسترش یافته شکل می گیرد

,

از جایی که x 2 = c 1، x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1، یعنی. X (2) = ((2/3)s 1؛ s 1).

بنابراین، بردارهای ویژه این عملگر خطی، همه بردارهای شکل (-(2/3)с؛ c) با مقدار ویژه (-5) و همه بردارهای شکل ((2/3)с 1 ; с 1) با مقدار ویژه 7.

می توان ثابت کرد که ماتریس عملگر A در پایه متشکل از بردارهای ویژه آن مورب است و به شکل زیر است:

,

جایی که l i مقادیر ویژه این ماتریس هستند.

عکس این قضیه نیز صادق است: اگر ماتریس A در برخی از پایه ها مورب باشد، تمام بردارهای این مبنا بردارهای ویژه این ماتریس خواهند بود.

همچنین می توان ثابت کرد که اگر یک عملگر خطی دارای n مقدار ویژه متمایز جفتی باشد، بردارهای ویژه متناظر به صورت خطی مستقل هستند و ماتریس این عملگر در مبنای متناظر دارای فرم مورب است.

بیایید این را با مثال قبلی توضیح دهیم. بیایید مقادیر دلخواه غیر صفر c و c 1 را در نظر بگیریم، اما به گونه ای که بردارهای X (1) و X (2) به صورت خطی مستقل باشند، یعنی. مبنایی را تشکیل خواهد داد. برای مثال، اجازه دهید c = c 1 = 3، سپس X (1) = (-2؛ 3)، X (2) = (2؛ 3). اجازه دهید استقلال خطی این بردارها را تأیید کنیم:

12 ≠ 0. در این مبنای جدید، ماتریس A به شکل A * = خواهد بود.

برای تأیید این موضوع، از فرمول A * = C -1 AC استفاده می کنیم. ابتدا بیایید C -1 را پیدا کنیم.

C -1 = ;

بلیط امتحانی شماره 11

1. انتقال به یک پایه جدید در فضای خطی. ماتریس انتقال

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

انتقال به یک پایه جدید

در فضای R دو پایه وجود دارد: پایه قدیمی e l , e 2 ,...e n و پایه جدید e l * , e 2 * ,...e n * . هر بردار پایه جدید را می توان به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای پایه قدیمی نشان داد:

انتقال از پایه قدیمی به جدید را می توان مشخص کرد ماتریس انتقال

توجه داشته باشید که ضرایب ضرب بردارهای پایه جدید بر پایه قدیمی، ستون‌ها و نه ردیف‌های این ماتریس را تشکیل می‌دهند.

ماتریس A غیر منفرد است، زیرا در غیر این صورت ستون های آن (و بنابراین بردارهای پایه) به صورت خطی وابسته هستند. بنابراین ماتریس معکوس A -1 دارد.

بگذارید بردار X مختصاتی (x l, x 2,... x n) نسبت به پایه قدیمی و مختصات (xl *, x 2 *,... x n *) نسبت به پایه جدید داشته باشد. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

بیایید مقادیر e l * , e 2 * ,...e n * از سیستم قبلی را در این معادله جایگزین کنیم:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 - x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

به دلیل استقلال خطی بردارهای e l, e 2,...e n، تمام ضرایب آنها در آخرین معادله باید برابر با صفر باشد. از اینجا:

یا به صورت ماتریسی

هر دو طرف را در A -1 ضرب کنیم، به دست می‌آییم:

برای مثال، اجازه دهید به پایه e l , e 2 , e 3 بردارهای 1 = (1, 1, 0) و 2 = (1, -1, 1) و 3 = (-3, 5, -6) داده شود. ) و b = (4؛ -4؛ 5). نشان دهید که بردارهای a l، a 2 و 3 نیز یک پایه تشکیل می دهند و بردار b را در این مبنا بیان می کنند.

اجازه دهید نشان دهیم که بردارهای a l، a 2 و 3 مستقل خطی هستند. برای انجام این کار، مطمئن می شویم که رتبه ماتریس تشکیل شده از آنها برابر با سه باشد:

توجه داشته باشید که ماتریس اصلی چیزی بیشتر از ماتریس انتقال A نیست. در واقع ارتباط بین پایه های el, e 2, e 3 و a l, a 2 و 3 را می توان با سیستم بیان کرد:

بیایید A -1 را محاسبه کنیم.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

یعنی در پایه a l، a 2، a 3 بردار b = (0.5؛ 2؛ -0.5).

2 طول برداری و زاویه بین بردارها در فضای اقلیدسی.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

اجازه دهید و زیرفضاهای یک فضای خطی باشد.

با عبور از فضاهای فرعی و مجموعه ای از بردارها نامیده می شود که هر کدام متعلق به و در عین حال، i.e. تقاطع فضاهای فرعی به عنوان تقاطع معمولی دو مجموعه تعریف می شود.

مجموع جبری زیرفضاها و مجموعه ای از بردارهای شکل نامیده می شود که در آن . مجموع جبری (به طور خلاصه، فقط مجموع) زیرفضاها نشان داده می شود

نمایش یک بردار به شکل ، جایی که ، نامیده می شود تجزیه برداری بدون فضاهای فرعی و .

یادداشت های 8.8

1. محل تلاقی فضاهای فرعی یک زیرفضا است. بنابراین مفاهیم بعد، مبنا و .... برای تقاطع ها اعمال شود.

2. مجموع زیرفضاها یک زیرفضا است. بنابراین مفاهیم بعد، مبنا و .... به مقادیر اعمال شود.

در واقع، نشان دادن بسته بودن عملیات خطی در مجموعه ضروری است. اجازه دهید دو بردار به جمع تعلق داشته باشند، i.e. هر یک از آنها به فضاهای فرعی تجزیه می شوند:

بیایید جمع را پیدا کنیم: . از آن زمان و پس از آن . در نتیجه، مجموعه با توجه به عملیات جمع بسته می شود. بیایید کار را پیدا کنیم: . از آنجا که ، یک ، پس از آن . در نتیجه، مجموعه با توجه به عملیات ضرب در یک عدد بسته می شود. بنابراین، یک زیرفضای خطی است.

3. عملیات تقاطع بر روی مجموعه تمام زیرفضاهای یک فضای خطی تعریف می شود. جابجایی و تداعی کننده است. محل تلاقی هر خانواده ای از زیرفضاهای V یک زیرفضای خطی است و پرانتزهای عبارت - را می توان خودسرانه یا اصلاً قرار داد.

4. حداقل زیرفضای خطی حاوی زیرمجموعه‌ای از فضای خطی با ابعاد محدود، محل تلاقی همه زیرفضاهایی است که شامل، i.e. . اگر، پس تقاطع مشخص شده با زیر فضای خالی منطبق است، زیرا در هر یک از فضاهای فرعی وجود دارد. اگر یک زیرفضای خطی است، پس تقاطع نشان داده شده با آن منطبق است زیرا در هر یک از زیرفضاهای متقاطع موجود است (و یکی از آنها است: ).

حداقل ویژگی پوسته خطی: پوسته خطی هر زیر مجموعه فضای خطی بعد محدود حداقل زیرفضای خطی حاوی است ، یعنی .

در واقع، اجازه دهید نشان دهیم . اثبات برابری دو مجموعه ضروری است: . از آنجا که (به پاراگراف 6 از نظرات 8.7 مراجعه کنید)، پس. اجازه دهید شمول را ثابت کنیم. یک عنصر دلخواه دارای شکل است که در آن . اجازه دهید هر زیرفضایی حاوی . این شامل تمام بردارها و هر ترکیب خطی از آنها است (به بند 7 از نکات 8.7 مراجعه کنید)، به ویژه، بردار. بنابراین، بردار متعلق به هر زیر فضایی است که حاوی . یعنی متعلق به تقاطع چنین زیرفضاهایی است. بدین ترتیب، . برابری از دو شمول حاصل می شود.

5. عملیات جمع زیرفضا بر روی مجموعه تمام زیرفضاهای یک فضای خطی تعریف می شود. جابجایی و تداعی کننده است. بنابراین، در مجموع تعداد محدودی از فضاهای فرعی، می توان براکت ها را به صورت دلخواه یا اصلاً قرار داد.

6. می‌توانیم اتحادیه‌ای از زیرفضاها را به عنوان مجموعه‌ای از بردارها تعریف کنیم که هر کدام به یک فضا یا یک فضا (یا هر دو زیرفضا) تعلق دارند. با این حال، اتحاد زیرفضاها در حالت کلی یک زیرفضا نیست (فقط در شرایط اضافی یا یک زیرفضا خواهد بود).

7. مجموع زیرفضاها با گستره خطی اتحاد آنها منطبق است. در واقع، شمول از تعریف ناشی می شود. هر عنصر از مجموعه دارای شکل است، یعنی. ترکیبی خطی از دو بردار از مجموعه است. اجازه دهید شمول مخالف را ثابت کنیم. هر عنصری فرم دارد ، جایی که . بیایید این مجموع را به دو تقسیم کنیم و تمام عبارت هایی را که دارند به جمع اول اختصاص دهیم. شرایط باقی مانده جمع دوم را تشکیل می دهد:

مجموع اول مقداری بردار است، جمع دوم مقداری بردار است. از این رو، . به معنای، . دو شمول حاصل نشان دهنده برابری مجموعه های مورد بررسی است.

قضیه 8.4 در مورد بعد مجموع فضاهای فرعی. اگر و زیرفضاهای یک فضای خطی با ابعاد محدود ، سپس بعد مجموع زیرفضاها برابر است با مجموع ابعاد آنها بدون بعد تقاطع آنها (فرمول گراسمن ):

در واقع، اجازه دهید اساس تقاطع باشد. اجازه دهید آن را با یک مجموعه مرتب از بردارها تا پایه زیرفضا و یک مجموعه مرتب از بردارها تا پایه زیرفضا تکمیل کنیم. چنین جمعی با قضیه 8.2 امکان پذیر است. از سه مجموعه بردار بالا یک مجموعه مرتب می سازیم بردارها اجازه دهید نشان دهیم که این بردارها مولد فضا هستند. در واقع، هر بردار این فضا به صورت ترکیبی خطی از بردارها از یک مجموعه مرتب نشان داده می شود

از این رو، . اجازه دهید ثابت کنیم که ژنراتورها مستقل خطی هستند و بنابراین اساس فضا هستند. در واقع، بیایید یک ترکیب خطی از این بردارها ایجاد کنیم و آن را با بردار صفر برابر کنیم:

بیایید دو مجموع اول را نشان دهیم - این مقداری از بردار است، آخرین جمعی که نشان می‌دهیم - این مقداری بردار از است. برابری (8.14): یعنی بردار نیز متعلق به فضا است. به معنای، . با گسترش این بردار بر روی مبنا، متوجه می شویم . با در نظر گرفتن بسط این بردار در (8.14)، به دست می آوریم

آخرین برابری را می توان به عنوان بسط بردار صفر بر حسب مبنای زیرفضا در نظر گرفت. همه ضرایب این بسط صفر هستند: و . با جایگزینی (8.14)، دریافت می کنیم. این فقط در حالت پیش پا افتاده و امکان پذیر است، زیرا سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است (این اساس فضای فرعی است). بنابراین، تساوی (8.14) تنها در حالتی ناچیز برآورده می شود که همه ضرایب در آن واحد برابر با صفر باشند. بنابراین مجموعه بردارها مستقل خطی، یعنی اساس فضا است. بیایید بعد مجموع زیرفضاها را محاسبه کنیم:

Q.E.D.

مثال 8.6.در فضای بردارهای شعاع با مبدأ مشترک در یک نقطه، زیرفضاهای زیر آورده شده است: و - سه مجموعه بردار شعاع متعلق به خطوط مستقیم متقاطع در یک نقطه و به ترتیب. و دو مجموعه از بردارهای شعاع متعلق به صفحات متقاطع و به ترتیب; خط مستقیم، متعلق به صفحه، خط مستقیم متعلق به صفحه، صفحه و متقاطع در یک خط مستقیم است (شکل 8.2). مجموع و تقاطع هر دو از پنج زیرفضای نشان داده شده را بیابید.

راه حل. بیایید جمع را پیدا کنیم. با اضافه کردن دو بردار متعلق به و به ترتیب، بردار متعلق به صفحه را به دست می آوریم. برعکس، هر بردار (شکل 8.2 را ببینید) که متعلق به آن است را می توان با ساختن برجستگی ها و بردارها بر روی خطوط و به ترتیب به شکلی نمایش داد. این بدان معنی است که هر بردار شعاع صفحه را می توان به فضاهای فرعی گسترش داد و به عنوان مثال. . به طور مشابه، متوجه می شویم که a مجموعه ای از بردارهای شعاع متعلق به صفحه ای است که از خطوط و .

بیایید جمع را پیدا کنیم. هر بردار فضا را می توان به زیر فضاها و . در واقع، از طریق انتهای بردار شعاع، یک خط مستقیم به موازات خط مستقیم رسم می کنیم (شکل 8.2 را ببینید)، یعنی. ما طرح بردار را بر روی صفحه می سازیم. سپس بردار را به تعویق می اندازیم تا . از این رو، . از آن به بعد. به همین ترتیب ما آن را بدست می آوریم. مقادیر باقی مانده به سادگی یافت می شود: . توجه کنید که .

با استفاده از قضیه 8.4، اجازه دهید برای مثال، برابری در بعد را بررسی کنیم. با جایگزینی و به فرمول گراسمن، همانطور که انتظار می رود، به دست می آوریم، زیرا .

تقاطع فضاهای فرعی را از شکل 1 پیدا می کنیم. 8.2، به عنوان محل تلاقی اشکال هندسی:

بردار شعاع صفر کجاست

فقط مجموع فضا معیارهای جمع مستقیم