Дифференциал в разрезе. Как работают дифференциалы

06.04.2019

В случае с автомобилем, дифференциал отвечает за распределение момента между ведущими колесами, а также позволяет колесам вращаться с разной угловой скоростью при определенных условиях.

Читайте в этой статье

Где находится дифференциал в устройстве трансмиссии автомобиля, виды дифференциалов

Как известно, автомобили бывают переднеприводными, заднеприводными, а также полноприводными. Что касается места расположения дифференциала:

если привод реализован на передние колеса, дифференциал находится в самой ;
на заднеприводном авто дифференциал устанавливается в картере заднего моста;
в автомобилях с полным приводом для привода ведущих колес дифференциал стоит в картере переднего и заднего моста, а для привода ведущих мостов механизм устанавливается в раздаточной коробке (раздатке).

Также дифференциалы бывают межколсесными и межосевыми. Если дифференциал использован для привода ведущих колес, это межколесный дифференциал. Межосевой дифференциал располагается между ведущими мостами применительно к автомобилям с полным приводом.

Что касается устройства и особенностей конструкции, в основу дифференциала положен планетарный редуктор. С учетом типа зубчатой передач, которая применена в редукторе, дифференциал (редуктор) может быть: коническим, цилиндрическим, червячным. Теперь давайте рассмотрим устройство и принцип работы дифференциала более подробно.

Устройство дифференциала и принцип работы

Начнем с первого типа. Конический дифференциал зачастую выполнят функцию межколесного дифференциала. Цилиндрический дифференциал обычно встречается на полном приводе и ставится между осями. Червячный дифференциал универсален, что позволяет ставить механизм как между колесами, так и использовать в качестве межосевого.

При этом наиболее распространенным является конический дифференциал, а базовые элементы его конструкции активно используются и в устройстве других типов дифференциалов. По этой причине рассмотрим устройство и принцип работы конического дифференциала в качестве примера.

Итак, конический дифференциал, как уже было сказано выше, фактически является планетарным редуктором. В конструкцию включены полуосевые шестерни и сателлиты, которые находятся в корпусе (чашке дифференциала).

На корпус от главной передачи передается крутящий момент, затем через сателлиты происходит его передача на полуосевые шестерни. Также на корпусе крепится ведомая шестерня главной передачи (крепление жесткое). В корпусе установлены оси, на осях вращаются сателлиты.

Сами сателлиты, которые реализуют функцию планетарной шестерни, позволяют соединить корпус и полуосевые шестерни. С учетом того, какую величину крутящего момента нужно передать, в конструкцию дифференциала могут интегрировать 2 или 4 четыре сателлита.

Солнечные (полуосевые шестерни) осуществляют передачу крутящего момента на ведущие колеса автомобиля. Передача происходит через полуоси, соединение полуосевых шестерен и полуосей выполнено через шлицы.

Полуосевые шестерни бывают левыми и правыми, с одинаковым или разным количеством зубьев. Если число зубьев одинаковое, тогда это симметричный дифференциал, разное количество зубьев на левой и правой шестерне используется в устройстве несимметричных дифференциалов.

В первом случае симметричный дифференциал позволяет распределять крутящий момент по осям в равной степени, причем независимо от величины угловых скоростей ведущих колес.

Такой дифференциал используют для установки между колесами (симметричный межколесный дифференциал). Несимметричный дифференциал способен разделять крутящий момент в том или ином соотношении. Данная особенность позволяет использовать его между ведущими осями.

Теперь перейдем к принципам работы дифференциала. Прежде всего, симметричный дифференциал работает в трех основных режимах. Первый режим – движение по прямой, второй — движение в повороте, третий — езда по дорогое с плохим сцеплением (грязь, лед и т.д.).

Когда автомобиль движется прямо, колеса испытывают равнозначное сопротивление. Происходит передача крутящего момента от главной передачи на корпус дифференциала. Вместе с корпусом перемещаются сателлиты, которые, в свою очередь, осуществляют передачу момента на ведущие колеса.

С учетом того, что вращения сателлитов на осях не происходит, движение полуосевых шестерен осуществляется с равной угловой скоростью, частота вращения левой и правой шестерни равна частоте вращения ведомой шестерни главной передачи.

Однако если машина заходит в поворот, колесо, которое находится ближе к центру (внутреннее ведущее) нагружается сильнее и начинает испытывать большее сопротивление сравнительно с наружным колесом (дальним от центра поворота).

В результате роста нагрузки внутренняя полуосевая шестерня несколько замедляет вращение, а это приводит к тому, что сателлиты начинают вращаться вокруг своей оси. Такое вращение сателлитов приводит к увеличению частоты вращения наружной полуосевой шестерни.

На практике возможность движения ведущих колес с разными угловыми скоростями делает возможным прохода поворота без пробуксовок. Кстати, крутящий момент все равно распределяется на ведущие колеса равнозначно.

Если же автомобиль забуксовал в грязи, в снегу или на льду, одно колесо испытывает большее сопротивление, чем другое. В этом случае дифференциал (благодаря своей конструкции) инициирует ускоренное вращение буксующего колеса, тогда как другое колесо замедляется.

Однако недостаточная сцепка с покрытием не позволяет получить большой крутящий момент на буксующем колесе, а особенность работы симметричного дифференциала не позволит также развить нужный момент на другом колесе. Часто в этом случае машина попросту не может продолжить дальнейшее движение.

Выходом из ситуации становится необходимость увеличения крутящего момента на колесе, которое не буксует. Для этого дифференциал необходимо заблокировать. По этой причине внедорожники имеют дополнительную возможность блокировки дифференциала, тогда как легковые авто и даже некоторые современные бюджетные «паркетники» лишены такой функции.

Причина использования в конструкциях автомобилей

Во время поворота машины, ведущие приводные колеса вращаются с одинаковой частотой вращения и так, как одно колеса авто совершает поворот по длинной дуге, а другое по короткой, происходит пробуксовка, что плохо сказывается и сопровождается износом шин и доставляет дискомфорт водителю из-за уменьшения качества динамики автомобиля.

Назначение дифференциала

дает возможность приводным (ведущим) колесам вращаться с разными угловыми скоростями
служит отдельной доп.передачей в паре с главной передачей. Главная передача - это зубчатый механизм трансмиссии автомобиля, который передает крутящий момент ведущим колесам.
непрерывно передает крутящий момент, исходящий от двигателя к ведущим колесам.

У переднеприводных авто главная передача и differencial расположены непосредственно в коробке переключения передач.

Если на транспортном средстве установлены более одного двигателя, на каждое колесо один двигатель, то дифференциал не требуется. Но так обычно не делают. Устанавливают 4 двигателя, по одному на каждое колесо, только на самосвалы Белаз. Двигатели эти электрические.

В устройстве гоночных картингов также дифференциал не устанавливают, так как конструкция рамы гибкая, что позволяет слегка приподнимать ведущее заднее колесо с внутренней стороны поворота не приподнимая передние колеса.

на рисунке а) - колеса вращаются с одинаковой частотой, на рисунке б) - движение колес на повороте
1 - ось сателлитов, 2 – ведомая шестерня, 3 - полуосевые шестерни, 4 - сателлит,
5 - ведущая шестерня, 6 - полуоси.

На гоночных автомобилях ралли differencial обычно заваривают сваркой, жестко блокируют и намертво связывают колеса на ведущей оси. Это применяется потому, что такие машины при езде, все повороты проходят с заносом.

Как работает дифференциал

Принцип действия. Главная передача посредством шестерни передает крутящую энергию на корпус и сателлиты, которые сцеплены с шестернями полуосей.

Когда скорость вращения колес одинакова, сателлиты сидят неподвижно (см. рисунки ниже).

При изменении угловых скоростей колес, например, при повороте или пробуксовке из-за неровностей дорог и так далее, происходит вращение сателлитов. Сателлиты служат для компенсации разницы частот вращения колес.

Рассмотрим на примере - автомобиль буксует на льду. Здесь одно колесо буксует, потому что нет сцепления со льдом, а значит и нет крутящего момента. А так как свободное блокирующее устройство распределяет тягу поровну на колеса, то раз нет крутящей силы на одном колесе, значит оно исчезает и на втором.

Выход из такой ситуации - создать противодействующую силу на противоположном колесе. А это делает блокировка. Необходимо заблокировать буксующее противоположное колесо и тогда появится противодействующая сила для противоположного колеса.

Как работает дифференциал на полноприводном автомобиле

На джипах, седанах, хэтбчеках и универсалах 4х4, если установлен свободный симметричный дифференциал, происходит следующая ситуация. Во время движения без пробуксовок на каждое колесо распределяется по 25% энергии кр.момента поровну.

Но если одно колесо буксует, например на льду, крутящая энергия снижается до нуля, так как колесо не может сцепиться с гладкой поверхностью льда. В такой ситуации, если одно колесо осталось без вращения, то и на противоположном соседнем колесе исчезает энергия вращения, потому что в данном примере установлен симметричный межосевой.

Получается одна ось осталась без вращения, поэтому и пропадает крутящий момент и на второй оси, так как differencial межосевой симметричный. Результат - на всех 4 ведущих колесах нет вращения.

Что такое дифференциал

Дифференциал — это устройство, распределяющее поток мощности от двигателя к другим элементам трансмиссии. В автомобиле с приводом на одну ось используется только один дифференциал, межколесный, в полноприводном их целых три — два межколесных и межосевой.

Рассмотрим для примера классический дифференциал (в отличие от блокируемых, его называют «открытым» или «свободным»). Он устанавливается в картере главной передачи и получает крутящий момент от её ведомой шестерни. В коробке дифференциала расположены конические шестерни-сателлиты. Они входят в зацепление с шестернями, закрепленными на полуосях, а те, в свою очередь, вращают ведущие колеса. При движении по ровной и прямой дороге угловые скорости колес одинаковы, и сателлиты не вращаются вокруг своей оси. Во время поворота или движения по неровностям, когда колеса правого и левого борта проходят разный путь, сателлиты начинают вращаться и перераспределять крутящий момент.

Главная передача заднего моста ВАЗ-2101: 1 – фланец карданного вала; 2 – сальник; 3 – маслоотражательное кольцо; 4 – передний подшипник ведущей шестерни; 5 – задний подшипник ведущей шестерни; 6 – регулировочное кольцо; 7 – опорное кольцо шестерни полуоси; 8 – шестерня полуоси; 9 – сателлит; 10 – палец сателлитов; 11 – ведомая шестерня главной передачи; 12 – коробка дифференциала; 13 – болт крепления стопора регулировочной гайки; 14 – стопор регулировочной гайки; 15 – подшипник коробки дифференциала; 16 – регулировочная гайка ведомой шестерни; 17 – болт крепления ведомой шестерни к фланцу коробки дифференциала; 18 – ведущая шестерня главной передачи; 19 – картер редуктора главной передачи; 20 – распорная втулка; 21 – шайба; 22 – гайка ведущей шестерни заднего моста.

Существует простая формула, отражающая связь между частотами вращения коробки дифференциала и полуосевых шестерен. Если через а1 и а2 обозначить частоты вращения полуосевых шестерен, а через а — частоту вращения коробки дифференциала, то: а = (а1+а2)/2 . Формула показывает, что если одно из колес автомобиля неподвижно, то другое колесо вращается с удвоенной частотой. Если одно из двух ведущих колес попадает на скользкую поверхность дороги (мокрый асфальт, масляные пятна, лед), сопротивление его вращению резко падает, уменьшается и сцепление с дорогой, а значит, колесо не в состоянии иметь необходимую силу тяги. Такое колесо начнет быстрее вращаться и пробуксовывать. К другому ведущему колесу, имеющему достаточное сцепление с дорогой, будет подводиться такой же крутящий момент, как и к буксующему. Имея возможность образовать большую силу тяги, второе колесо не сможет этого сделать потому, что дифференциал передаст ему только половину крутящего момента от главной передачи.

Если сопротивление движению автомобиля превысит силу тяги у небуксующего колеса, то машина не сможет двигаться. Частота вращения буксующего колеса резко возрастет, а второе колесо остановится. Возникнет буксование автомобиля. Попытка водителя повысить силу тяги на колесах за счет увеличения подачи топлива приведет только к увеличению частоты вращения одного из колес. В такой ситуации проявляется существенный недостаток обычного дифференциала, снижающего проходимость автомобиля как на скользких дорогах, так и на грунтах, оказывающих большое сопротивление качению колес (пeсок, снег, распутица).

Принудительная блокировка

На автомобилях, предназначенных для движения по бездорожью, приходится устанавливать дифференциалы специальных конструкций. Блокировки Часто применяют дифференциалы с принудительной блокировкой. В них водитель с помощью специального привода (чаще всего пневматического) останавливает на время вращение сателлитов, и колeca автомобиля начинают вращаться с одинаковой скоростью. Следует учесть, что автомобиль с заблокированным дифференциалом на извилистой дороге расходует больше топлива и у него происходит интенсивный износ шин, а значит, увеличивается цена эксплуатации автомобиля.

Как только взаимный поворот колес на общей оси с заблокированным дифференциалом будет больше, чем это допускает упругая деформация шин, произойдет буксование колес, продолжающееся до тех пор, пока какое-либо колесо на неровности не оторвется от дороги. Это говорит о том, что водитель не должен забывать выключать блокировку дифференциала после преодоления тяжелого участка. В ряде конструкций предусмотрена его автоматическая разблокировка или ограничение возможности включения блокировки по скорости.

Самоблокирующиеся дифференциалы

Для упрощения процесса управления применяются так называемые самоблокирующиеся дифференциалы. В настоящее время, в основном, используют четыре вида блокировок: дисковая (фрикционная, повышенного трения, LSD), вязкостная (вискомуфты) и винтовая (червячная). В самых современных разработках используются электронные системы контроля проскальзывания колес, основанные на применении датчиков вращения и использовании штатных тормозов (как правило, эти системы совмещаются с антиблокировочными и противопробуксовочными).

Дисковая блокировка

Существуют две наиболее характерные конструкции дифференциалов с фрикционными муфтами. В первом применяют одну, во втором — две муфты. В первом случае фрикционная дисковая муфта 1 введена между одной из полуосей и коробкой дифференциала. Бронзовые диски установлены в шлицах гильзы 2, связанной с коробкой дифференциала, стальные диски сидят на шлицах полуоси 3. Диски прижимаются друг к другу пружинами 4. Когда оба колеса испытывают одинаковое сопротивление, весь дифференциал вращается как одно целое и трение в муфте 1 отсутствует.

Вторая конструкция представляет из себя дифференциал повышенного трения с двойными фрикционными муфтами, получивший широкое распространение на американских автомобилях. В этой конструкции крестовина заменена двумя отдельными, пересекающимися под прямым углом осями 5 сателлитов 6. Оси 5 имеют возможность перемещаться одна относительно другой как в осевом, так и в угловом направлении, для чего их концы имеют скосы соответственно А и Б, которыми они опираются на коробку 9 дифференциала. Кроме того, в дифференциал введены промежуточные чашки 7, так же как и полуосевые шестерни, надетые на шлицы полуосей.

При невращающихся сателлитах усилие к полуосям передается как и в простом дифференциале. При вращении сателлитов последние будут сдвигать концевые скосы осей 5 так, что усилие на фрикционную муфту 8, передаваемое через чашку 7, будет увеличиваться для отстающей полуоси и уменьшаться для оси, вращающейся быстрее. При этом величина подтормаживающего момента не будет постоянной, как в дифференциале с одной дисковой муфтой, а будет пропорциональна моменту, передаваемому колесами.

Для нормальной работы такого дифференциала требуется использование специального трансмиссионного масла для LSD или соответствующих присадок к обычному маслу. Кроме того, со временем возникает необходимость регулировки из-за износа дисков.

Вязкостная блокировка

Принцип ее действия такой же, как у дисковой. Гидравлическая муфта состоит из большого числа дисков с липкими рабочими поверхностями. Благодаря свойствам особой вязкой жидкости на силиконовой основе отвердевать при нагреве диски передают крутящий момент в зависимости от разности частот вращения входных и выходных валов. Нагрев происходит, когда одна полуось начинает вращаться быстрее другой.

Характерной особенностью конструкции является то, что в случае длительного буксования колес блокирующая муфта с вязкой жидкостью работает вначале мягко, а затем происходит значительный рост эффективности блокировки. В затвердевшем силиконе диски получают жесткое зацепление и полуоси блокируются. Вискомуфты не требуют обслуживания и считаются весьма надежными, однако для их продолжительной работы необходимо сохранение полной герметичности устройства.

Винтовая блокировка

Принцип ее действия таков: в обычном режиме винты (или червяки, как их называют из-за характерной формы) свободно обкатываются вокруг центральной шестерни. В случае изменения момента винты проскальзывают в крайнее положение и фиксируются в эксцентричных пазах. Когда момент выравнивается, винты возвращаются в исходное положение. Момент срабатывания винтовых блокировок определяется профилем винтов. Такие дифференциалы мало подвержены износу (срок службы сопоставим со сроком коробки или классического дифференциала), а масло используется обычное трансмиссионное.

Кулачковая блокировка

Такая блокировка срабатывает при возникновении разности в скоростях вращения колес. Рассмотрим пример реализации дифференциала от компании Tractech. В корпусе дифференциала между парами корончатых шестерен установлены поворотные кулачки. В обычных условиях они не участвуют в работе, но, как только одно их колес начинает пробуксовывать (т.е., вращаться существено быстрее другого), кулачки поворачиваются и пары шестерен входят в зацепление, обеспечивая тем самым полную блокировку. Блокировка выключается, когда буксующее колесо прекратит проскальзывание. Этот тип дифференциалов также довольно долговечен и не требует специальных масел.

Особенности управления

Управление автомобилем, оборудованным самоблокирующимся межколесным дифференциалом имеет некоторые особенности. В частности, автомобиль в повороте на скользком покрытии может обладать избыточной поворачиваемостью, при слишком интенсивном разгоне на смешанном покрытии возможен увод в сторону от предполагаемой траектории и т.д. Особенно это касается разработок, предлагаемых в качестве дополнительного оборудования третьими фирмами. Однако грамотное использование свойств таких дифференциалов позволяет уверенно перемещаться в сложных дорожных условиях, и существенно повышает проходимость вне дорог.

Межосевой дифференциал и его блокировки

При отсутствии межосевого разделения мощности (межосевого дифференциала или отключающего механизма) необходимо отключить передний мост, чтобы стало возможно вращение передних и задних колес с разными угловыми скоростями. По условиям движения требуется, чтобы колеса как переднего и заднего мостов, так и колеса одного моста могли вращаться с разной частотой и проходить различные пути. Особенно характерно это для поворотов: передние колеса при повороте проходят большее расстояние, чем задние.

На изменение пути колес влияют различные факторы: скольжение шин, их углы увода, давление воздуха, нагрузка на колеса, кинематика подвески. При этом очевидно, что соотношение между путями, проходимыми колесами переднего и заднего мостов, также меняется во время движения. Это обстоятельство исключает возможность применения разных передаточных чисел в главных передачах мостов для компенсации разности проходимых путей.

Колеса разных осей автомобиля, кинематически жестко связанные одно с другим, имеют при вращении одинаковые угловые скорости. На твердой поверхности дороги при движении автомобиля с приводом на все колеса (при отсутствии межосевого дифференциала) могут возникнуть условия, при которых колеса разных осей будут стараться двигаться с различными линейными скоростями, а жесткая мехаческая связь между ними станет преградой к достижению этого. При прямолинейном движении описанное явление может быть вызвано, например, разностью радиусов качения связанных между собой колес. Качение колес в этом случае должно сопровождаться относительным перемещением точек площадки контакта шины по поверхности дороги (со скольжением или буксованием).

Подобное же возможно и при одинаковых радиусах качения, но при движении по дороге с неровной поверхностью или на повороте. Возникающее в этих условиях скольжение или 6yксовaние шин сопровождается увеличеным их износом, износом механизмов трансмиссии и непроизводительной затратой энергии двигателя на движение автомобиля. Для того чтобы колеса катились без вредных сопровождающих явлений в трансмиссии, кроме дифференциалов межколесных устанавливают дифференциалы межосевые.

Однако, в условиях внедорожного движения автомобиль может лишиться подвижности в тот момент, когда колеса одного из мостов потеряют сцепление с дорогой и начнут буксовать. В такой ситуации дифференциал обычного типа будет не в состоянии передать требуемую для движения величину крутящего момента задним колесам, опирающимся на твердый грунт. Для избежания этого на внедорожниках устанавливают межосевые дифференциалы с принудительной блокировкой. Примером подобного конструктивного решения может служить «Нива» ВА3-2121, оснащенная раздаточной коробкой с принудительно блокируемым межосевым дифференциалом.

Блокировкой пользуется водитель автомобиля для преодоления труднопроходимого участка дороги. При возвращении на шоссе межосевой дифференциал необходимо разблокировать. В современных конструкциях, кроме механического, применяются и другие приводы (пневматический, гидравлический, электрический), при этом сам процесс включения сводится к простому нажатию кнопки на панели.

Следующим шагом стало появление самоблокирующихся межосевых дифференциалов. Принципы их работы сходны с межколесными, но условия и задачи несколько другие. Так, при поворотах машины забегающим относительно корпуса дифференциала всегда будет вал, передающий момент на управляемую ось, что определяется кинематикой поворота машины с колесной формулой 4х4. Исходя из этого, при забегании приводного вала управляемого моста коэффициент блокировки желательно иметь невысоким, а при забегании (буксовании) неуправляемого моста — несколько большим. Такой дифференциал называют самоблокирующимся с несимметричными блокирующими свойствами.

В настоящее время на легковых внедорожниках широко используются межосевые дифференциалы с автоматической блокировкой с помощью гидравлической муфты с вязкой жидкостью. Они обеспечивают оптимальную силу тяги во всех условиях движения, в связи с чем отпадает необходимость в принудительной блокировке. Есть у них и другие преимущества. Этот узел предохраняет трансмиссию от перегрузки, которая может возникнуть, например, при внезапном ударе колеса.

Дифференциал, автоматически блокирующийся гидравлической муфтой с вязкой жидкостью, чутко реагирует на состояние дорожной поверхности и обеспечивает более равномерную скорость автомобиля, а также уменьшает вероятность его застревания. При торможении межосевой дифференциал такого типа предотвращает блокировку колеса одного моста относительно колеса другого, приводящую к потере устойчивости. К тому же перераспределение избыточной тормозной силы с одной пары колес на другую значительно сокращает тормозной путь и сохраняет полный контроль над машиной.

Рассмотрим, как работает автоматически блокируемый межосевой дифференциал фирмы GKN с гидравлической муфтой. Изменение момента трения в ней рассчитано так, чтобы при маневрировании на поверхности с хорошими сцепными свойствами (асфальт, бетон и т.д.) имелся малый момент трения между выходными валами. С ростом разности частот их вращения трение между звеньями муфты значительно возрастает. Блокировка с помощью муфты с вязкой жидкостью происходит точно в соответствии с распределением крутящего момента в межосевом дифференциале.

Испытания подтвердили, что распределение моментов между передними и задними колесами обеспечивает почти нейтральную поворачиваемость автомобиля. По легкости вождения и безопасности полноприводные автомобили с таким приводом превосходят даже переднеприводные легковые автомобили. Однако, при всех достоинствах такого рода блокировки, необходимо отметить, что фактическое включение блокировки после начала пробуксовки колес, характерное для вискомуфты, существенно снижает шансы на успешное преодоление серьезных внедорожных препятствий в виде слабого грунта, грязи или снега, поскольку буксующее колесо способно быстро зарываться. В результате возможностей автомобиля даже с заблокированным межосевым дифференциалом может оказаться недостаточно для самостоятельного выезда.

Подключаемый передний мост

Очень многие производители внедорожников используют схему с подключаемым передним мостом (так называемый part time 4WD). В этом случае межосевой дифференциал, как правило, отсутствует, и в режиме полного привода между мостами устанавливается жесткая кинематическая связь. Производители рекомендуют подключать передний мост только в сложных дорожных условиях, когда колеса склонны к пробуксовке.

Продолжительное движение в таком режиме по дорогам с твердой поверхностью вызывает повышенный износ шин и трансмиссии (в частности, в раздатках с цепной передачей перегружается цепь), повышенный расход топлива, а также ухудшает управляемость на высоких скоростях. Для избежания этих отрицательных последствий многие контрукции предусматривают не только отключение переднего моста, но и отсоединение передних колес от полуосей.

Для этого применяются колесные хабы (муфты свободного хода), которые могут быть автоматическими и ручными, рассоединение полуосей при помощи электрического или пневматического привода и т.д.

Об авторе: admin

Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y"(x) Δх + αΔх, где α Δх - остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы - это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y"(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y"(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y 1 , а затем y = y 2 , то разность y 2 ─ y 1 называется приращением величины y.

Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y 2 ─ y 1 .

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы - это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) - расстояние прямолинейно движущейся от начального положения (t - время пребывания в пути). Приращение Δs - это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f" (t) Δt - это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f"(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM" (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM". Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f "(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM" уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f "(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM"и QN эквивалентны; иными словами NM" уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM". Это видно на рисунке (с приближением M"к М отрезок NM"составляет все меньший процент отрезка QM").

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f "(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f "(x)Δх, или же df (x) = f "(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f "(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f "(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f "(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f "(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f "(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f "(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3) = 3x 2 dx.

При этом d(x 3) / dx = 3x 2 .

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f "(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f "(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

В принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной или, короче, предельной погрешностью - положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

Не каждый водитель задумывается о том, что при движении автомобиля на поворотах колёса каждой оси проходят путь, разный по длине. Именно поэтому вращение колёс имеет разную скорость. Необходимо это для того, не проскальзывали по асфальту, чтобы на повороте снизить нагрузку на привод колёс. Обеспечивает этот факт такой механизм, как дифференциал. Установленный на КПП механизм распределяет нагрузку так, что попадает под нагрузку именно самое разгруженное колесо.

95% производимых автомобилей не оснащаются блокировкой, которая позволяет сделать транспортное средство более проходимым.

Виды дифференциалов

Существуют разновидности дифференциалов. По месту нахождения разделяют межосевые и межколёсные. Однако любой свободный дифференциал не позволит автомобилю выбраться из ситуации, когда одно из ведущих колёс попадёт . Для решения подобных проблем разработчики придумали блокировку, которая, в свою очередь, подразделяется на следующие основные группы:

блокирующиеся на 100%;
механические устройства повышенного трения;
самоблокирующиеся механизмы.

Каждый вид имеет как свои преимущества, так и свои недостатки. Например, «жёсткие» блокировки довольно часто приводят к износу резины, разрушению трансмиссии и быстрому выходу из строя коробки передач. И всё это закономерно, так как при эксплуатации машина постоянно попадает в ямы и наезжает на кочки, а это довольно пагубно сказывается на трансмиссии.

Чтобы выровнять недостатки обычного и жёсткого устройств, был создан цилиндрический самоблокирующийся дифференциал повышенного трения. Он имеет ещё второе название - дифференциал ограниченного проскальзывания.

Такой конструкции довольно прост. Если к сателлитам применить определённую силу и зажать их, не позволяя им вращаться между полуосевыми шестернями с довольно большой скоростью, то получится, что, с одной стороны, механизм позволит колёсам при повороте вращаться с разной скоростью. А с другой стороны, распределит крутящий момент таким образом, что колесо, у которого будет наилучшее сцепление с дорожным покрытием, будет иметь большую силу тяги.

Ещё стоит сказать о дисковом дифференциале повышенного трения. Чаще всего такая конструкция используется в заднеприводных автомобилях, которые планируется использовать на соревнованиях. Такая система блокирует колёса до определённого уровня нагрузок. Её недостатком является довольно частая необходимость в замене дисков и масла в КПП.

На видео - принцип работы блокировки дифференциала:

А вот для использования как в обычных условиях эксплуатации, так и в соревнованиях очень удачной является блокировка дифференциала с преднатягом (червячного типа). Преимуществ у такой системы гораздо больше, чем недостатков. Плюсами можно назвать:

блокирование колёс до 70%;
минимум обслуживания;
отсутствие рывков на руле;
не нужно заливать в КПП специальное масло;
установка системы не сопровождается трудностями;
высокая проходимость машины;
длительный срок службы конструкции;
прекрасная управляемость автомобилем;
отличное чувство равновесия;
более высокая скорость прохождения поворотов;
лёгкость вывода транспортного средства из заноса.

Что касается недостатков конструкции, то и они есть:

с течением времени падает преднатяг;
для работоспособности конструкции придётся каждые 20–40 тыс. км менять регулировочные шайбы;
если не проводить регулировочные работы, то система будет работать как свободный дифференциал.

Различие принципов действия

Часто имеют одновременно три вида конструкций: один межосевой дифференциал и два мостовых. Для качественной работы может быть использована как полная, так и частичная автоматическая или ручная блокировка межосевого типа конструкции.

Уже во многих стали применять всевозможные электронные системы контроля над движением автомобиля. Преимуществом электронной блокировки является более высокая тяга на поворотах и к тому же возможность настройки степени блокирования в зависимости от предпочтений водителя. Единственным недостатком можно назвать то, что такой дифференциал нечувствителен к быстро меняющимся дорожным условиям.

Одним из видов самоблокирующегося механизма является блокирующийся межколёсный дифференциал. На ровной дороге, на твёрдом покрытии, такой механизм ведёт себя так, как обычная свободная система. И лишь тогда, когда колесо на оси вращается относительно другого с большей частотой, конструкция автоматически блокируется. при блокировании межколёсного типа устройства существенно повышается.

Принудительная блокировка

Наиболее простым способом является принудительная блокировка механизма. В этом случае только водитель принимает решение о её включении или выключении. Осуществляется это либо с помощью рычагов, либо посредством кнопок, расположенных в салоне автомобиля.

Этот вид блокирования просто идеален для внедорожников, которые эксплуатируются в условиях российского бездорожья. Система безупречно надёжна и практически непригодна в эксплуатации на ровных дорогах.

На видео - тест принудительной блокировки дифференциала:

В условиях бездорожья также эффективной будет блокировка заднего дифференциала. Она является просто незаменимой в случаях, когда одно из колёс оси вывешивается. Тогда крутящий момент от двигателя будет передаваться именно на колесо, которое касается грунта.

Подводя итог, можно сделать вывод, что оптимальным вариантом является именно самоблокирующийся дифференциал. Он во многом превосходит свободный механизм и не имеет недостатков жёсткой конструкции. При наличии такой системы автомобиль становится более проходимым.