Površina bočne površine cilindra jednaka je površini pravokutnika čija je osnova 2π r, a visina je jednaka visini cilindra h, tj. 2π rh.
Ukupna površina cilindra će biti: 2π r 2+2π rh= 2π r(r+ h).
Uzima se površina bočne površine cilindra sweep area njegove bočne površine.
Dakle, površina bočne površine desnog kružnog cilindra jednaka je površini odgovarajućeg pravokutnika (sl.) i izračunava se po formuli
S b.c. = 2πRH, (1)
Ako površini dvije baze cilindra dodamo površinu bočne površine cilindra, dobićemo ukupnu površinu cilindra
S puna \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).
Zapremina ravnog cilindra
Teorema. Zapremina desnog cilindra jednaka je proizvodu površine njegove osnove i visine , tj.gdje je Q površina baze, a H visina cilindra.
Pošto je površina baze cilindra Q, postoje nizovi opisanih i upisanih poligona sa površinama Q n i Q' n takav da
\(\lim_(n \desno \infty)\) Q n= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q' n= Q.
Konstruirajmo nizove prizmi čije su osnove gore opisani i upisani poligoni, a čije su bočne ivice paralelne generatrisi datog cilindra i imaju dužinu H. Ove prizme su opisane i upisane za dati cilindar. Njihove zapremine se nalaze po formulama
V n= Q n H i V' n= Q' n H.
dakle,
V= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \strelica desno \infty)\) Q' n H = QH.
Posljedica.
Zapremina desnog kružnog cilindra izračunava se po formuli
V = π R 2 H
gdje je R polumjer baze, a H visina cilindra.
Budući da je osnova kružnog cilindra krug polumjera R, tada je Q \u003d π R 2, i stoga
Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravnima i cilindričnom površinom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema, na primjer.
Cilindar ima tri površine: gornju, donju i bočnu površinu.
Gornji i donji dio cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.
Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2 . Stoga će formula za površinu dva kruga (gornji i donji dio cilindra) izgledati kao πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljeni zid cilindra. Kako bismo što bolje predstavili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar običan tin, koji nema gornji poklopac i dnu. Napravimo vertikalni rez na bočnom zidu od vrha do dna tegle (korak 1 na slici) i pokušajmo da otvorimo (ispravimo) rezultirajuću figuru što je više moguće (korak 2).
Nakon potpunog otkrivanja rezultirajuće tegle, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravougaonik. Površinu pravougaonika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak originalnom cilindru. Vrh originalnog cilindra je krug, a znamo da se obim kruga izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.
Kada je bočna stijenka cilindra potpuno proširena, vidimo da obim postaje dužina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika biće obim (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih stranica - S = dužina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat, dobili smo formulu za izračunavanje bočne površine cilindra.
Formula za površinu bočne površine cilindra
S strana = 2prh
Puna površina cilindra
Konačno, ako zbrojimo površine sve tri površine, dobićemo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini osnove cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz zapisuje identičnom formulom 2πr (r + h).
Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r je polumjer cilindra, h je visina cilindra
Primjeri izračunavanja površine cilindra
Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra koristeći primjere.
1. Poluprečnik osnove cilindra je 2, visina 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.
Ukupna površina se izračunava po formuli: S strana. = 2prh
S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3
S strana = 6,28 * 6
S strana = 37,68
Bočna površina cilindra je 37,68.
2. Kako pronaći površinu cilindra ako je visina 4, a polumjer 6?
Ukupna površina se izračunava po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Cilindar (kružni cilindar) - tijelo koje se sastoji od dva kruga, spojena paralelnim prijenosom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih krugova. Krugovi se nazivaju bazama cilindra, a segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke krugova kružnica nazivaju se generatori cilindra.
Osnove cilindra su jednake i leže u paralelnim ravnima, a generatori cilindra su paralelni i jednaki. Površina cilindra sastoji se od baze i bočne površine. Bočnu površinu formiraju generatori.
Cilindar se naziva pravim ako su njegovi generatori okomiti na ravni baze. Cilindar se može smatrati tijelom koje se dobije rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih strana kao ose. Postoje i druge vrste cilindara - eliptični, hiperbolični, parabolični. Prizma se takođe smatra vrstom cilindra.
Slika 2 prikazuje kosi cilindar. Krugovi sa centrima O i O 1 su njegove osnove.
Poluprečnik cilindra je poluprečnik njegove baze. Visina cilindra je udaljenost između ravnina baza. Osa cilindra je prava linija koja prolazi kroz središta baza. Paralelno je sa generatorima. Presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz osu cilindra naziva se aksijalni presjek. Ravan koja prolazi kroz generatricu pravog cilindra i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatricu naziva se tangentna ravan cilindra.
Ravan okomita na osu cilindra siječe njegovu bočnu površinu duž kružnice jednake obimu baze.
Prizma upisana u cilindar je prizma čije su osnove jednaki mnogouglovi upisani u osnovice cilindra. Njegove bočne ivice su generatrise cilindra. Za prizmu se kaže da je opisana u blizini cilindra ako su njene osnove jednaki poligoni opisani u blizini baza cilindra. Ravnine njegovih strana dodiruju bočnu površinu cilindra.
Površina bočne površine cilindra može se izračunati množenjem dužine generatrike s perimetrom presjeka cilindra ravninom okomitom na generatrisu.
Bočna površina desnog cilindra može se naći iz njegovog razvoja. Razvoj cilindra je pravougaonik visine h i dužine P, koja je jednaka obodu osnove. Stoga je površina bočne površine cilindra jednaka površini njegovog razvoja i izračunava se po formuli:
Konkretno, za desni kružni cilindar:
P = 2πR, i Sb = 2πRh.
Ukupna površina cilindra jednaka je zbroju površina njegove bočne površine i njegovih baza.
Za pravi kružni cilindar:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Postoje dvije formule za pronalaženje volumena nagnutog cilindra.
Zapreminu možete pronaći množenjem dužine generatrike s površinom poprečnog presjeka cilindra ravninom okomitom na generatricu.
Zapremina nagnutog cilindra jednaka je umnošku površine baze i visine (udaljenost između ravnina u kojima leže baze):
V = Sh = S l sin α,
gdje je l dužina generatrike, a α je ugao između generatrike i ravni baze. Za pravi cilindar h = l.
Formula za pronalaženje zapremine kružnog cilindra je sljedeća:
V \u003d π R 2 h = π (d 2 / 4) h,
gdje je d osnovni prečnik.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Naziv nauke "geometrija" preveden je kao "merenje zemlje". Nastao je zahvaljujući naporima prvih drevnih geodeta. A dogodilo se ovako: tokom poplava svetog Nila potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice se možda neće poklapati sa starim. Poreze su seljaci plaćali u faraonsku blagajnu srazmjerno veličini zemljišne parcele. Nakon izlivanja, na mjerenju površina oranica u novim granicama angažovani su specijalci. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova znanost koja se razvila u staroj Grčkoj. Tamo je dobila ime i praktično stekla moderan izgled. U budućnosti, termin je postao međunarodni naziv za nauku o ravnim i trodimenzionalnim figurama.
Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana nauke je stereometrija, koja razmatra svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Cilindar opisan u ovom članku također pripada takvim figurama.
Postoji mnogo primjera prisutnosti cilindričnih predmeta u svakodnevnom životu. Gotovo svi dijelovi rotacije - osovine, čahure, vratovi, osovine itd. imaju cilindrični (mnogo rjeđe - konusni) oblik. Cilindar se široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni, ukrasni stupovi. A osim toga, posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi raznih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su već dugo postali simbol muške elegancije. Lista je beskrajna.
Definicija cilindra kao geometrijske figure
Cilindar (kružni cilindar) se obično naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se, po želji, kombiniraju paralelnim prijevodom. Upravo su ovi krugovi osnove cilindra. Ali linije (ravne segmente) koje povezuju odgovarajuće tačke nazivaju se "generatori".
Bitno je da su osnovice cilindra uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda ispred sebe imamo krnji konus, nešto drugo, ali ne cilindar) i da su u paralelnim ravnima. Segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke na kružnicama su paralelni i jednaki.
Ukupnost beskonačnog skupa generatora nije ništa drugo do bočna površina cilindra - jedan od elemenata date geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su krugovi o kojima smo gore govorili. Zovu se baze.
Vrste cilindara
Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Sastoji se od dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu biti druge figure.
Osnove cilindara mogu formirati (osim krugova) elipse i druge zatvorene figure. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoreni oblik. Na primjer, parabola, hiperbola ili druga otvorena funkcija može poslužiti kao osnova cilindra. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.
Prema kutu nagiba generatrisa prema bazama, cilindri mogu biti ravni ili nagnuti. Za desni cilindar, generatori su strogo okomiti na ravninu baze. Ako se ovaj ugao razlikuje od 90°, cilindar je nagnut.
Šta je površina revolucije
Desni kružni cilindar je bez sumnje najčešća okretna površina koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se, prema tehničkim indikacijama, koriste konusne, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osovina itd. izrađene u obliku cilindara. Da bismo bolje razumjeli što je okretna površina, možemo razmotriti kako se formira sam cilindar.
Recimo da postoji linija a postavljena vertikalno. ABCD je pravougaonik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravoj liniji a. Ako zakrenemo pravougaonik oko prave linije, kao što je prikazano na slici, zapremina koju će on zauzimati dok se okreće biće naše telo okretanja - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i poluprečnika R = AD = BC.
IN ovaj slučaj, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobije se cilindar. Rotirajući trokut, možete dobiti konus, rotirajući polukrug - loptu itd.
Površina cilindra
Da bi se izračunala površina običnog ravnog kružnog cilindra, potrebno je izračunati površine baza i bočne površine.
Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je proizvod obima i visine cilindra. Opseg je, zauzvrat, jednak dvostrukom proizvodu univerzalnog broja P na poluprečnik kruga.
Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P na kvadrat poluprečnika. Dakle, dodavanjem formule za površinu određivanja bočne površine sa dvostrukim izrazom za površinu osnove (postoje ih dvije) i jednostavnim algebarskim transformacijama, dobijamo konačni izraz za određivanje površina cilindra.
Određivanje zapremine figure
Zapremina cilindra određena je standardnom shemom: površina baze se množi s visinom.
Dakle, konačna formula izgleda ovako: željeno se definira kao proizvod visine tijela univerzalnim brojem P i kvadrat polumjera baze.
Rezultirajuća formula, mora se reći, primjenjiva je na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i zapremina cilindra, na primjer, određuje se volumen električnih instalacija. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.
Jedina razlika u formuli je u tome što umjesto polumjera jednog cilindra, postoji prečnik jezgre ožičenja podijeljen na dva i broj žila u žici se pojavljuje u izrazu N. Također, dužina žice se koristi umjesto visine. Dakle, volumen "cilindra" se izračunava ne po jedan, već po broju žica u pletenici.
Takvi proračuni su često potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio rezervoara za vodu napravljen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati zapreminu cilindra čak iu domaćinstvu.
Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti različit. A u nekim slučajevima potrebno je izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.
Razlika je u tome što se površina baze ne množi s duljinom generatrike, kao u slučaju ravnog cilindra, već s razmakom između ravnina - okomitim segmentom izgrađenim između njih.
Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment je jednak proizvodu dužine generatrike sa sinusom ugla nagiba generatrike prema ravni.
Kako napraviti cilindar za čišćenje
U nekim slučajevima potrebno je izrezati razvrtač cilindra. Na slici ispod prikazana su pravila po kojima se gradi blank za proizvodnju cilindra zadane visine i promjera.
Imajte na umu da je slika prikazana bez šavova.
Zakošene razlike cilindara
Zamislimo pravi cilindar omeđen s jedne strane ravninom koja je okomita na generatore. Ali ravan koja ograničava cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.
Na slici je prikazan zakošeni cilindar. Avion A pod nekim uglom drugim od 90° u odnosu na generatore, siječe sliku.
Ovaj geometrijski oblik je u praksi češći u obliku cevovodnih priključaka (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku zakošenog cilindra.
Geometrijske karakteristike zakošenog cilindra
Nagib jedne od ravnina zakošenog cilindra malo mijenja redoslijed izračunavanja i površine takve figure i njenog volumena.
Prilikom proučavanja stereometrije, jedna od glavnih tema je "Cilindar". Bočna površina se smatra, ako ne glavnom, onda važnom formulom u rješavanju geometrijskih problema. Međutim, važno je zapamtiti definicije koje će vam pomoći da se krećete kroz primjere i prilikom dokazivanja različitih teorema.
Koncept cilindra
Prvo, moramo razmotriti nekoliko definicija. Tek nakon njihovog proučavanja može se početi razmatrati pitanje formule za površinu bočne površine cilindra. Na osnovu ovog unosa mogu se izračunati drugi izrazi.
- Cilindrična površina je ravan opisana generatricom koja se kreće i ostaje paralelna. datom pravcu klizanje duž postojeće krivine.
- Postoji i druga definicija: cilindrična površina je formirana skupom paralelnih linija koje seku datu krivu.
- Generatorica se konvencionalno naziva visinom cilindra. Kada se kreće oko ose koja prolazi kroz centar baze, dobija se određeno geometrijsko tijelo.
- Os je prava linija koja prolazi kroz obje baze figure.
- Cilindar je stereometrično tijelo ograničeno bočnom površinom koja se siječe i 2 paralelne ravnine.
Postoje varijante ove trodimenzionalne figure:
- Pod kružnim se podrazumijeva cilindar, čiji je vodič kružnica. Njegove glavne komponente su polumjer baze i generatriksa. Potonji je jednak visini figure.
- Postoji pravi cilindar. Ime je dobio zbog okomitosti generatrikse na osnove figure.
- Treći tip je zakošeni cilindar. U udžbenicima možete pronaći i drugi naziv za njega - "kružni cilindar sa zakošenom bazom". Ova brojka je određena radijusom baze, minimalnim i maksimalna visina.
- Pod jednakostraničnim cilindrom se podrazumijeva tijelo koje ima jednaku visinu i prečnik kružne ravni.
konvencije
Tradicionalno, glavne "komponente" cilindra nazivaju se kako slijedi:
- Radijus baze je R (također zamjenjuje sličnu vrijednost stereometričke figure).
- Generiranje - L.
- Visina - H.
- Osnovno područje je S glavno (drugim riječima, potrebno je pronaći navedeni parametar kruga).
- Visine zakošenih cilindara - h 1, h 2 (minimalna i maksimalna).
- Bočna površina je S strana (ako je rasklopite, dobićete neku vrstu pravougaonika).
- Volumen stereometrijske figure je V.
- Ukupna površina - S.
"Komponente" stereometrijske figure
Prilikom proučavanja cilindra, bočna površina igra važnu ulogu. Ovo je povezano sa činjenicom da datu formulu uključeno u nekoliko drugih, složenijih. Stoga je potrebno dobro poznavati teoriju.
Glavne komponente figure su:
- Bočna površina. Kao što znate, dobija se pomeranjem generatrise duž date krive.
- Kompletna površina uključuje postojeće baze i bočnu ravan.
- Presjek cilindra, u pravilu, je pravougaonik koji se nalazi paralelno s osi figure. Inače se zove avion. Ispostavilo se da su dužina i širina povremene komponente drugih figura. Dakle, uslovno, dužine sekcije su generatori. Širina - paralelni akordi stereometrijske figure.
- Pod aksijalnim presjekom se podrazumijeva položaj ravnine kroz centar tijela.
- I konačno, konačna definicija. Tangenta je ravan koja prolazi kroz generatrisu cilindra i pod pravim uglom u odnosu na aksijalni presjek. U ovom slučaju mora biti ispunjen jedan uslov. Navedena generatriksa mora biti uključena u ravninu aksijalnog presjeka.
Osnovne formule za rad sa cilindrom
Da bi se odgovorilo na pitanje kako pronaći površinu cilindra, potrebno je proučiti glavne "komponente" stereometrijske figure i formule za njihovo pronalaženje.
Ove formule se razlikuju po tome što su prvo dati izrazi za zakošeni cilindar, a zatim za ravan.
Primjeri slomljenog rješenja
Morate pronaći površinu bočne površine cilindra. Zadana je dijagonala presjeka AC = 8 cm (štaviše, aksijalna je). Kada je u kontaktu sa generatriksom, ispada< ACD = 30°
Rješenje. Pošto su vrijednosti dijagonale i ugla poznate, u ovom slučaju:
- CD = AC*cos 30°.
Komentar. Trougao ACD, in konkretan primjer, pravougaona. To znači da je količnik dijeljenja CD i AC = kosinus datog ugla. Vrijednost trigonometrijskih funkcija može se naći u posebnoj tabeli.
Slično, možete pronaći AD vrijednost:
- AD = AC*sin 30°
Sada morate izračunati željeni rezultat koristeći sljedeću formulaciju: površina bočne površine cilindra jednaka je dvostrukom rezultatu množenja "pi", polumjera figure i njegove visine. Treba koristiti i drugu formulu: površina baze cilindra. To je jednako rezultatu množenja "pi" kvadratom polumjera. I na kraju, posljednja formula: ukupna površina. Jednako je zbiru prethodne dvije oblasti.
date cilindre. Njihov volumen = 128 * n cm³. Koji cilindar ima najmanju ukupnu površinu?
Rješenje. Prvo morate koristiti formule za pronalaženje volumena figure i njene visine.
Budući da je ukupna površina cilindra poznata iz teorije, potrebno je primijeniti njegovu formulu.
Ako dobijenu formulu razmotrimo kao funkciju površine cilindra, tada će se minimalni "eksponent" postići u tački ekstrema. Da biste dobili posljednju vrijednost, trebate koristiti diferencijaciju.
Formule se mogu pogledati u posebnoj tabeli za pronalaženje izvoda. U budućnosti, pronađeni rezultat se izjednačava sa nulom i nalazi se rješenje jednačine.
Odgovor: S min će se postići na h = 1/32 cm, R = 64 cm.
Dat je stereometrijski lik - cilindar i presjek. Potonji se izvodi na takav način da se nalazi paralelno s osi stereometrijskog tijela. Cilindar ima sljedeće parametre: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm.. Potrebno je pronaći rastojanje između presjeka i ose.
Pošto se poprečni presek cilindra podrazumeva VSKM, odnosno pravougaonik, onda je njegova stranica VM = h. WMC treba uzeti u obzir. Trougao je pravougaonog oblika. Na osnovu ove tvrdnje možemo izvesti tačnu pretpostavku da je MK = BC.
VK² = VM² + MK²
MK² = VK² - VM²
MK² = 17² - 15²
Iz ovoga možemo zaključiti da je MK \u003d BC \u003d 8 cm.
Sljedeći korak je crtanje presjeka kroz bazu figure. Potrebno je uzeti u obzir rezultujuću ravninu.
AD je prečnik stereometričke figure. To je paralelno sa odjeljkom spomenutim u opisu problema.
BC je prava linija koja se nalazi na ravni postojećeg pravougaonika.
ABCD je trapez. U određenom slučaju, smatra se jednakokračnim, jer je oko njega opisan krug.
Ako pronađete visinu rezultirajućeg trapeza, onda možete dobiti odgovor dat na početku zadatka. Naime: pronalaženje udaljenosti između ose i nacrtanog presjeka.
Da biste to učinili, morate pronaći vrijednosti AD i OS.
Odgovor: presjek se nalazi 3 cm od ose.
Zadaci za fiksiranje materijala
Dat cilindar. Bočna površina se koristi u daljnjem rješenju. Druge opcije su poznate. Površina baze je Q, površina aksijalnog presjeka je M. Potrebno je pronaći S. Drugim riječima, ukupna površina cilindra.
Dat cilindar. Bočna površina mora se pronaći u jednom od koraka rješavanja problema. Poznato je da je visina = 4 cm, polumjer = 2 cm. Potrebno je pronaći ukupnu površinu stereometričke figure.
