Predpokladajme, že pre ľubovoľný rez (obr. 1.13) sú známe momenty zotrvačnosti vzhľadom na súradnicové osi z a y a známy je aj odstredivý moment zotrvačnosti Izy. Je potrebné stanoviť závislosti pre momenty zotrvačnosti okolo 11 osí zy, otočených pod uhlom vzhľadom na pôvodné osi z a y (obr. 1.13). Uhol budeme považovať za kladný, ak rotácia súradnicového systému nastane proti smeru hodinových ručičiek. Nech pre daný úsek IzI. yNa vyriešenie úlohy nájdeme vzťah medzi súradnicami miesta dA v pôvodnej a otočenej osi. Z obr.1.13 vyplýva: Z trojuholníka z trojuholníka S prihliadnutím na to dostaneme Podobne pre súradnicu y1 dostaneme Vzhľadom na to, že nakoniec máme 1Pomocou získaných závislostí (1.23), (1.24) a výrazov pre momenty zotrvačnosti úseku (1.8), (1.9) a (1.11 ) určíme moment zotrvačnosti vzhľadom na nové (pootočené) osi z1 a y1: Podobne aj odstredivý moment zotrvačnosti I vzhľadom na pootočené osi je určený závislosť Po otvorení zátvoriek dostaneme Sčítanie, dostaneme Súčet momentov zotrvačnosti voči vzájomne kolmým osám sa pri ich otáčaní nemení a je rovný polárnemu momentu zotrvačnosti úseku . Odčítaním (1.27) od (1.26) dostaneme Vzorec (1.30) môžeme použiť na výpočet odstredivého momentu zotrvačnosti okolo osí z a y na základe známych momentov zotrvačnosti okolo osí z, y a z1, y1 a vzorec (1.29) možno použiť na kontrolu výpočtov momentov zotrvačnosti zložitých rezov. 1.8. Hlavné osi a hlavné momenty zotrvačnosti rezu So zmenou uhla (pozri obr. 1.13) sa menia aj momenty zotrvačnosti. Pri niektorých hodnotách uhla 0 majú momenty zotrvačnosti extrémne hodnoty. Axiálne momenty zotrvačnosti s maximálnymi a minimálnymi hodnotami sa nazývajú hlavné axiálne momenty zotrvačnosti sekcie. Osi, okolo ktorých majú axiálne momenty zotrvačnosti maximálne a minimálne hodnoty, sú hlavné osi zotrvačnosti. Na druhej strane, ako je uvedené vyššie, hlavné osi sú osi, voči ktorým je odstredivý moment zotrvačnosti úseku rovný nule. Aby sme určili polohu hlavných osí pre úseky ľubovoľného tvaru, vezmeme prvú deriváciu vzhľadom na I a prirovnáme ju k nule: Kde Tento vzorec určuje polohy dvoch osí, vzhľadom na jednu z nich je osový moment zotrvačnosti maximum a relatívne k druhému - minimum. Je potrebné poznamenať, že vzorec (1.31) možno získať z (1.28) jeho rovnaním nule. Ak dosadíme hodnoty uhla určeného z výrazu (1.31) do (1. 26) a (1.27), potom po transformácii získame vzorce, ktoré určujú hlavné osové momenty zotrvačnosti prierezu.Vo svojej štruktúre je tento vzorec podobný vzorcu (4.12), ktorý určuje hlavné napätia (pozri časť 4.3) . Ak IzI, potom na základe štúdií druhej derivácie vyplýva, že maximálny moment zotrvačnosti Imax nastáva vzhľadom na hlavnú os otočenú pod uhlom vzhľadom na os z a minimálny moment zotrvačnosti nastáva vzhľadom na iná hlavná os umiestnená pod uhlom 0 Ak II, potom sa všetko zmení naopak. Hodnoty hlavných momentov zotrvačnosti Imax a I môžeme vypočítať aj zo závislostí (1,26) a (1,27), ak do nich dosadíme hodnotu. V tomto prípade je otázka vyriešená sama o sebe: vzhľadom ku ktorej hlavnej osi je získaný maximálny moment zotrvačnosti a relatívne ku ktorej osi je minimálny? Je potrebné poznamenať, že ak sú pre úsek hlavné centrálne momenty zotrvačnosti vzhľadom na osi z a y rovnaké, potom pre tento úsek je hlavnou osou ľubovoľná stredová os a všetky hlavné centrálne momenty zotrvačnosti sú rovnaké (kružnica , štvorec, šesťuholník, rovnostranný trojuholník atď.). To sa dá ľahko zistiť zo závislostí (1,26), (1,27) a (1,28). Predpokladajme totiž, že pre nejaký úsek sú osi z a y hlavnými stredovými osami a okrem toho I. y Potom zo vzorcov (1.26) a (1.27) dostaneme, že Izy, 1 a zo vzorca (1.28) sme presvedčený, že 11 e.akékoľvek osi sú hlavnými centrálnymi osami zotrvačnosti takéhoto útvaru. 1.9. Pojem polomer zotrvačnosti Moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na ľubovoľnú os možno znázorniť ako súčin plochy prierezu druhou mocninou určitej hodnoty, nazývanej polomer zotrvačnosti plochy prierezu, kde iz ─ polomer zotrvačnosti vzhľadom na os z. Potom z (1.33) vyplýva: Hlavné stredové osi zotrvačnosti zodpovedajú hlavným polomerom zotrvačnosti: 1.10. Momenty odporu Existujú axiálne a polárne momenty odporu. 1. Axiálny moment odporu je pomer momentu zotrvačnosti okolo danej osi k vzdialenosti k najvzdialenejšiemu bodu prierezu od tejto osi. Osový moment odporu vzhľadom na os z: a vzhľadom na os y: max kde ymax a zmax─, v tomto poradí, vzdialenosti od hlavných centrálnych osí z a y k bodom, ktoré sú od nich najďalej. Vo výpočtoch sú použité hlavné centrálne osi zotrvačnosti a hlavné centrálne momenty, preto Iz a Iy vo vzorcoch (1.36) a (1.37) pochopíme hlavné centrálne momenty zotrvačnosti prierezu. Uvažujme o výpočte momentov odporu niektorých jednoduchých úsekov. 1. Obdĺžnik (pozri obr. 1.2): 2. Kruh (pozri obr. 1.8): 3. Rúrkový prstencový rez (obr. 1.14): . Pre valcované profily sú momenty odporu uvedené v sortimentných tabuľkách a nie je potrebné ich určovať (pozri prílohu 24 - 27). 2. Polárny moment odporu je pomer polárneho momentu zotrvačnosti k vzdialenosti od pólu k najvzdialenejšiemu bodu úseku max 30. Za pól sa zvyčajne berie ťažisko úseku. Napríklad pre kruhový plný prierez (obr. 1.14): Pre rúrkový kruhový prierez. Axiálne momenty odporu Wz a Wy charakterizujú čisto z geometrickej strany odolnosť tyče (nosníka) voči ohybovej deformácii a polárny moment odporu W je odolnosť voči krúteniu.

Vypočítajme momenty zotrvačnosti útvaru ľubovoľného tvaru vzhľadom na osi otočené vzhľadom na dané osi a
pod uhlom (Obr.4.14)

Nech sú momenty zotrvačnosti okolo osí
A
známy. Vyberme si ľubovoľnú lokalitu
a vyjadrite jeho súradnice v osovom systéme
A
cez súradnice v predchádzajúcich osiach
A
:

Nájdite axiálne a odstredivé momenty zotrvačnosti obrázku vzhľadom na rotované osi
A
:

Berúc do úvahy to

;
A
,

Rovnakým spôsobom nainštalujeme:

Odstredivý moment zotrvačnosti má tvar:

. (4.30)

Vyjadrime osové momenty cez sínus a kosínus dvojitého uhla. Na tento účel uvádzame nasledujúce funkcie:

. (4.31)

Dosadením (4.31) do vzorcov (4.27) a (4.28) dostaneme:

Ak sčítame výrazy pre osové momenty zotrvačnosti (4.32) a (4.33), dostaneme:

Podmienka (4.34) predstavuje podmienku invariantnosti súčtu osových momentov zotrvačnosti voči dvom na seba kolmým osám, t.j. súčet osových momentov zotrvačnosti okolo dvoch vzájomne kolmých osí nezávisí od uhla natočenia osí a je konštantnou hodnotou. Predtým sa táto podmienka získavala na základe toho, že súčet osových momentov zotrvačnosti okolo dvoch vzájomne kolmých osí sa rovnal hodnote polárneho momentu zotrvačnosti okolo priesečníka týchto osí.

Preštudujme si rovnicu pre moment zotrvačnosti do extrému a nájdite hodnotu uhla , pri ktorom moment zotrvačnosti dosahuje extrémnu hodnotu. Aby sme to dosiahli, vezmeme prvú deriváciu momentu zotrvačnosti podľa uhla (výraz (4.32)) a výsledok sa rovná nule. Zároveň kladieme
.

(4.35)

Výraz v zátvorkách predstavuje odstredivý moment zotrvačnosti okolo osí naklonených k osi
pod uhlom . Vo vzťahu k týmto osám je odstredivý moment zotrvačnosti nulový:

, (4.36)

čo znamená, že nové osi sú hlavné osi.

Predtým bolo určené, že hlavné osi zotrvačnosti sú osi, okolo ktorých je odstredivý moment zotrvačnosti nulový. Teraz môže byť táto definícia rozšírená - to sú osi, okolo ktorých sú axiálne momenty zotrvačnosti majú extrémne hodnoty. Momenty zotrvačnosti okolo týchto osí sa nazývajú hlavné momenty zotrvačnosti.

Nájdite polohu hlavných osí zotrvačnosti. Z výrazu (4.36) môžeme získať:

. (4.37)

Výsledný vzorec udáva uhol dva významy: A
.

V dôsledku toho existujú dve navzájom kolmé osi, okolo ktorých majú momenty zotrvačnosti extrémne hodnoty. Ako je uvedené vyššie, takéto osi sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti. Zostáva určiť, pre ktorú z osí dosahuje moment zotrvačnosti maximálnu hodnotu a pre ktorú moment zotrvačnosti minimálnu hodnotu. Tento problém možno vyriešiť štúdiom druhej derivácie výrazu (4.32) vzhľadom na uhol . Dosadenie hodnoty uhla do výrazu pre druhú deriváciu alebo
a skúmaním znamienka druhej derivácie možno posúdiť, ktorý z uhlov zodpovedá maximálnemu momentu zotrvačnosti a ktorý minimu. Nižšie sú uvedené vzorce, ktoré poskytnú jednoznačnú hodnotu uhla .

Nájdite extrémne hodnoty pre momenty zotrvačnosti. Aby sme to dosiahli, transformujeme výraz (4.32) tak, že ho vyberieme zo zátvoriek
:

Použijeme funkciu známu z trigonometrie a dosadíme do nej výraz (4.37), dostaneme:

. (4.39)

Dosadením výrazu (4.39) do vzorca (4.38) a vykonaním potrebných výpočtov získame dva výrazy pre extrémne momenty zotrvačnosti, ktoré nezahŕňajú uhol sklonu osí. :

; (4.40)

. (4.41)

Zo vzorcov (4.40) a (4.41) je zrejmé, že hodnoty hlavných momentov zotrvačnosti sa určujú priamo prostredníctvom momentov zotrvačnosti vzhľadom na osi
A
. Preto ich možno určiť bez znalosti polohy samotných hlavných osí.

Poznanie extrémnych hodnôt momentov zotrvačnosti
A
Okrem vzorca (4.37) je možné určiť polohu hlavných osí zotrvačnosti.

Uvádzame vzorce bez odvodenia, ktoré nám umožňujú nájsť uhly A medzi osou
a hlavné osi:

;
(4.42)

Rohový určuje polohu osi, voči ktorej moment zotrvačnosti dosiahne svoju maximálnu hodnotu (
), roh určuje polohu osi, voči ktorej moment zotrvačnosti dosiahne minimálnu hodnotu (
).

Predstavme si ďalšiu geometrickú charakteristiku, ktorá sa nazýva polomer otáčania rezu. Táto charakteristika je označená písmenom a možno ich vypočítať vzhľadom na osi
A
nasledujúcim spôsobom:

;
(4.43)

Polomer zotrvačnosti je široko používaný v problémoch pevnosti materiálov a jeho aplikácia bude diskutovaná v nasledujúcich častiach kurzu.

Uvažujme niekoľko príkladov konštrukčných výpočtov s prihliadnutím na rotáciu osí a s použitím polomeru otáčania úseku.

Príklad 4.7. Momenty zotrvačnosti pravouhlého prierezu voči hlavným osám sú rovnaké, resp
cm 4,
cm 4. Pri otočení o 45 0 sa momenty zotrvačnosti vzhľadom na nové osi ukázali ako rovnaké. Aká je ich veľkosť?

Na vyriešenie problému používame výraz (4.28), berúc do úvahy skutočnosť, že odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na hlavné osi je rovný nule:

Dosaďte do vzorca (a) číselné hodnoty pre momenty zotrvačnosti a uhol natočenia osí:

Príklad 4.8. Ktorý z obrázkov (obr. 4.15) s rovnakou plochou má polomer otáčania vzhľadom na os , bude najväčší? Určte najväčší polomer otáčania rezu vzhľadom na os .

1. Nájdite plochu každého z obrázkov a rozmery sekcií. Plocha obrázkov sa rovná cm 2 pre tretí obrázok.

Priemer prvého úseku nájdeme z výrazu:

cm.

Veľkosť štvorcovej strany:

Trojuholníková základňa:

cm.

2. Nájdite momenty a polomery zotrvačnosti každého úseku vzhľadom na stredovú os .

Pre okrúhlu časť:

cm4;
cm.

Pre štvorcový úsek:

cm4;
cm.

Pre obdĺžnikovú časť:

;

Pre trojuholníkovú časť:

cm4;
cm.

Najväčší polomer otáčania sa ukázal byť pre obdĺžnikový prierez a rovná sa
cm.

Hlavné osi a hlavné momenty zotrvačnosti

Pri otáčaní súradnicových osí mení odstredivý moment zotrvačnosti znamienko, a preto existuje poloha osí, v ktorej je odstredivý moment rovný nule.

Osy, okolo ktorých zaniká odstredivý moment zotrvačnosti úseku, sa nazývajú hlavné osi , a hlavné osi prechádzajúce ťažiskom úseku súhlavné stredové osi zotrvačnosti úseku.

Momenty zotrvačnosti okolo hlavných osí zotrvačnosti úseku sa nazývajúhlavné momenty zotrvačnosti úsekua sú označené I1 a I2 s I1>I2 . Zvyčajne, keď hovoríme o hlavných momentoch, majú na mysli axiálne momenty zotrvačnosti okolo hlavných centrálnych osí zotrvačnosti.

Predpokladajme, že os u a v sú hlavné. Potom

Odtiaľ

.

(6.32)

Vzťah (6.32) určuje polohu hlavných osí zotrvačnosti rezu v danom bode vzhľadom na pôvodné súradnicové osi. Pri otáčaní súradnicových osí sa menia aj osové momenty zotrvačnosti. Nájdite polohu osí, voči ktorým dosahujú osové momenty zotrvačnosti extrémne hodnoty. Aby sme to dosiahli, vezmeme prvú deriváciu z Iu podľa α a nastavte ho na nulu:

odtiaľ

.

Podmienka vedie k rovnakému výsledku dIv/da. Porovnaním posledného výrazu so vzorcom (6.32) dospejeme k záveru, že hlavnými osami zotrvačnosti sú osi, okolo ktorých dosahujú osové momenty zotrvačnosti úseku extrémne hodnoty.

Pre zjednodušenie výpočtu hlavných momentov zotrvačnosti sa vzorce (6.29) - (6.31) transformujú, pričom sa z nich vylúčia goniometrické funkcie pomocou vzťahu (6.32):

.

(6.33)

Znamienko plus pred radikálom zodpovedá väčšiemu I1 a znamienko mínus je menšie I2 od momentov zotrvačnosti úseku.

Upozorníme na jednu dôležitú vlastnosť rezov, v ktorých sú osové momenty zotrvačnosti vzhľadom na hlavné osi rovnaké. Predpokladajme, že os y a z sú hlavné (Iyz = 0) a Iy = Iz . Potom, podľa rovnosti (6.29) - (6.31), pre akýkoľvek uhol natočenia osíα odstredivý moment zotrvačnosti Iuv = 0 a axiálne Iu = Iv.

Ak sú teda momenty zotrvačnosti prierezu okolo hlavných osí rovnaké, potom všetky osi prechádzajúce rovnakým bodom prierezu sú hlavné a axiálne momenty zotrvačnosti okolo všetkých týchto osí sú rovnaké: Iu=Iv=Iy=Iz. Túto vlastnosť majú napríklad štvorcové, okrúhle a prstencové časti.

Vzorec (6.33) je podobný vzorcom (3.25) pre hlavné napätia. V dôsledku toho môžu byť hlavné momenty zotrvačnosti určené graficky Mohrovou metódou.

Zmena momentov zotrvačnosti pri otáčaní súradnicových osí

Predpokladajme, že je daný systém súradnicových osí a sú známe momenty zotrvačnosti Iz, Iy a Izy čísla vzhľadom na tieto osi. Otočme súradnicové osi o určitý uholα proti smeru hodinových ručičiek a určte momenty zotrvačnosti toho istého čísla vzhľadom na nové súradnicové osi u a v.

Ryža. 6.8.

Z obr. 6.8 vyplýva, že súradnice ľubovoľného bodu v oboch súradnicových systémoch sú navzájom prepojené vzťahmi

Moment zotrvačnosti

teda

	(6.29)
	(6.30)

Odstredivý moment zotrvačnosti

.

(6.31)

Z výsledných rovníc je zrejmé, že

,

t.j. súčet osových momentov zotrvačnosti pri otáčaní súradnicových osí zostáva konštantný. Preto, ak vzhľadom na ktorúkoľvek os dosiahne moment zotrvačnosti maximum, potom vo vzťahu k osi kolmej na ňu má minimálnu hodnotu.

Vypočítajme momenty zotrvačnosti J u, Jv a J uv:

Pridaním prvých dvoch vzorcov (3.14) dostaneme J u + J v= J z+ Jy, t.j. pre ľubovoľné otáčanie vzájomne kolmých osí zostáva súčet osových momentov zotrvačnosti konštantnou hodnotou (invariantnou).

Hlavné osi a hlavné momenty zotrvačnosti

Poďme preskúmať funkciu J u a) až do krajnosti. Aby sme to dosiahli, deriváciu prirovnáme k nule J u a) podľa a.

Rovnaký vzorec získame prirovnaním odstredivého momentu zotrvačnosti k nule

.

Hlavné osi sa nazývajú osi, okolo ktorých axiálne momenty zotrvačnosti nadobúdajú extrémne hodnoty a odstredivý moment zotrvačnosti je rovný nule.

Nekonečný počet hlavných osí zotrvačnosti možno nakresliť tak, že sa za počiatok vezme ľubovoľný bod v rovine. Na vyriešenie problémov pevnosti materiálov nás zaujíma iba hlavné centrálne osi zotrvačnosti. Hlavné centrálne osi zotrvačnosti prejsť ťažiskom úseku.

Vzorec (3.17) dáva dve riešenia, ktoré sa líšia o 90°, t.j. umožňuje určiť dve hodnoty uhla sklonu hlavných osí zotrvačnosti vzhľadom na pôvodné osi. Vo vzťahu ku ktorej z osí sa získa maximálny osový moment zotrvačnosti? J 1 = J max a relatívne ku ktorému – minimum J 2 = J min , bude potrebné riešiť podľa zmyslu problému.

Pohodlnejšie sú iné vzorce, ktoré jednoznačne určujú polohu hlavných osí 1 a 2 (uvedené bez odvodenia). V tomto prípade sa kladný uhol meria od osi Oz proti smeru hodinových ručičiek.

Vo vzorci (3.19) znamienko „+“ zodpovedá maximálnemu momentu zotrvačnosti a znamienko „–“ minimu.

Komentujte . Ak má úsek aspoň jednu os symetrie, potom je odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na túto os a akúkoľvek inú na ňu kolmú nulu. V súlade s definíciou hlavných osí zotrvačnosti môžeme konštatovať, že tieto osi sú hlavnými osami zotrvačnosti, t.j. os symetrie je vždy hlavnou stredovou osou.

Pre symetrické profily prezentované v sortimente, kanál alebo I-nosník, budú hlavnými stredovými osami zotrvačnosti vertikálna a horizontálna os, ktoré sa pretínajú v polovici výšky profilu.