Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики

14.07.2023

Кузов

Устанавливающий общее условие равновесия механической системы . Согласно этому принципу, для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ $A_i$ только активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю (если система приведена в это положение с нулевыми скоростями).

Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы.

Возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями (при этом время, входящее явно в уравнения нестационарных связей, считается зафиксированным). Проекции возможных перемещений на декартовы координатные оси называются вариациями декартовых координат.

Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения, допускаемые связями, при "замороженном времени". Т.е. они отличаются от возможных перемещений, только когда связи реономны (явно зависят от времени).

Если, например, на систему наложено $l$ голономных реономных связей:

$f_{\alpha}(\vec r, t) = 0, \quad \alpha = \overline{1,l}$

То возможные перемещения $\Delta \vec r$ - это те, которые удовлетворяют

$\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vec{r}} \cdot \Delta \vec{r}
+ \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \Delta t = 0, \quad \alpha = \overline{1,l}$

А виртуальные $\delta \vec r$ :

$\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vec{r}}\delta \vec{r} = 0, \quad \alpha = \overline{1,l}$

Виртуальные перемещения, вообще говоря, не имеют отношения к процессу движения системы - они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соотношения сил и получить условия равновесия. Малость же перемещений нужна для того, чтобы можно было считать реакции идеальных связей неизменными.

Напишите отзыв о статье "Принцип возможных перемещений"

Литература

Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. 10-е изд. - Спб.: Лань, 2009. - 480 с. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. 18-е изд. - М .: Высшая школа, 2010. - 416 с. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
Маркеев А. П. Теоретическая механика: учебник для университетов. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2001. - 592 с. - ISBN 5-93972-088-9 .

Отрывок, характеризующий Принцип возможных перемещений

– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!

В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.

Рисунок 2.4

Решение

Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой Q = q∙DH . Эта сила приложена в середине отрезка DH – в точке L .

Силу F разложим на составляющие, спроецировав ее на оси : горизонтальную F x cosα и вертикальную F y sinα .

Рисунок 2.5

Чтобы решить задачу с помощью принципа возможных перемещений, необходимо, чтобы конструкция могла перемещаться и при этом чтобы в уравнении работ была одна неизвестная реакция . В опоре A реакция раскладывается на составляющие X A , Y A .

Для определения X A изменим конструкцию опоры A так, чтобы точка A могла перемещаться только по горизонтали. Выразим перемещения точек конструкции через возможный поворот части CDB вокруг точки B на угол δφ 1 , часть AKC конструкции в этом случае поворачивается вокруг точки C V1 — мгновенного центра вращения (рисунок 2.5) на угол δφ 2 , и перемещения точек L и C – будут

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1 .

В то же время

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1 .

Уравнение работ удобнее составить через работу моментов заданных сил , относительно центров вращений.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0 .

Реакция Y A работу не совершает. Преобразуя это выражение, получим

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0 .

Сократив на δφ 1 , получим уравнение, из которого легко находится X A .

Для определения Y A конструкцию опоры A изменим так, чтобы при перемещении точки A работу совершала только сила Y A (рисунок 2.6). Примем за возможное перемещение части конструкции BDC поворот вокруг неподвижной точки B — δφ 3 .

Рисунок 2.6

Для точки C δS C = BC∙δφ 3 , мгновенным центром вращения для части конструкции AKC будет точка C V2 , и перемещение точки C выразится.

Необходимо и достаточно, чтобы сумма работ , всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Количество уравнений, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой самой механической системы.

Литература

Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учеб. для втузов.- 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986.- 416 с, ил.
Основной курс теоретической механики (часть первая) Н. Н. Бухгольц, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1972, 468 стр.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Принцип возможных перемещений" в других словарях:

принцип возможных перемещений

Один из вариационных принципов механики, устанавливающий общее условие равновесия механич. системы. Согласно В. п. п., для равновесия механич. системы с идеальными связями (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ) необходимо и достаточно, чтобы сумма работ dAi… … Физическая энциклопедия

Большой Энциклопедический словарь

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при… … Энциклопедический словарь

Один из вариационных принципов механики (См. Вариационные принципы механики), устанавливающий общее условие равновесия механической системы. Согласно В. п. п., для равновесия механической системы с идеальными связями (см. Связи… … Большая советская энциклопедия

Виртуальных скоростей принцип, дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями. Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии … Математическая энциклопедия

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при изучении условий равновесия… … Энциклопедический словарь

Для равновесия механич. системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. В. п. п. применяется при изучении условий равновесия сложных механич. систем… … Естествознание. Энциклопедический словарь

принцип виртуальных смещений - virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. principle of virtual displacement vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. принцип виртуальных смещений, m; принцип возможных перемещений, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Один из вариационных принципов механики, согласно к рому для данного класса сравниваемых друг с другом движений механич. системы действительным является то, для которого физ. величина, наз. действием, имеет наименьшее (точнее, стационарное)… … Физическая энциклопедия

Книги

Теоретическая механика. В 4-х томах. Том 3: Динамика. Аналитичекая механика. Тексты лекций. Гриф МО РФ , Богомаз Ирина Владимировна. В учебном пособии изложены две части единого курса по теоретической механике: динамика и аналитическая механика. В первой части подробно рассматривается первая ивторая задачи динамики, также…

виртуальных скоростей принцип,- дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями.

Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии в нек-ром положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ заданных активных сил на всяком возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю или меньше нуля:

в любой момент времени.

Возможными (виртуальными) перемещениями системы наз. элементарные (бесконечно малые) перемещения точек системы, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями. Если связи являются удерживающими (двусторонними), то возможные перемещения обратимы, и в условии (*) следует брать знак равенства; если же связи- неудерживающие (односторонние), то среди возможных перемещений имеются необратимые. При движении системы под действием активных сил связи действуют на точки системы с нек-рыми силами реакций (пассивные силы), в определении к-рых предполагается полностью учтенным механич. действие связей на систему (в том смысле, что связи возможно заменять вызванными ими реакциями) (аксиома освобождаемости). Связи наз. идеальными, если сумма элементарных работ их реакций причем знак равенства имеет место для обратимых возможных перемещений, а знаки равенства или больше нуля - для необратимых перемещений. Положения равновесия системы - такие положения в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями при этом предполагается, что уравнения связей удовлетворяются при любом tзначениями Активные силы в общем случае предполагаются заданными функциями а в условии (*) следует считать

В условии (*) содержатся все уравнения и законы равновесия систем с идеальными связями, благодаря чему можно сказать, что вся статика сводится к одной общей формуле (*).

Закон равновесия, выражаемый В. п. п., впервые был установлен Гвидо Убальди (Guido Ubaldi) на рычаге и на движущихся блоках или полиспастах. Г. Галилей (G. Galilei) установил его для наклонных плоскостей и рассматривал этот закон как общее свойство равновесия простых машин. Дж. Валлис (J. Wallis) положил его в основание статики и из него вывел теорию равновесия машин. Р. Декарт (R. Descartes) свел всю статику к единому принципу, к-рый, по существу, совпадает с принципом Галилея. И. Бернулли (J. Bernoulli) первый понял большую общность В. п. п. и его полезность при решении задач статики. Ж. Лагранж выразил В. п. п. в общей форме и тем самым свел всю статику к адиной общей формуле; он дал доказательство (не вполне строгое) В. п. п. для систем, стесненных двусторонними (удерживающими) связями. Общая формула статики для равновесия любой системы сил и разработанный Ж. Лагранжем метод применения этой формулы были систематически им использованы для вывода общих свойств равновесия системы тел и решения различных проблем статики, включая задачи равновесия несжимаемых, а также сжимаемых и упругих жидкостей. Ж. Лагранж считал В. п. п. основным принципом для всей механики. Строгое доказательство В. п. п., а также распространение его на односторонние (неудерживающие) связи было дано Ж. Фурье , М. В. Остроградским .

Лит. : Lagrange J., Mecanique analytiquc, P., 1788 (рус. пер.: Лагранж Ж., Аналитическая механлка, М.-Л., 1950); Fourier J., "J. de 1"Ecole Polytechnique", 1798, t. II, p. 20; Остроградский М. В., Лекции по аналитической механике, Собр. соч., т. 1, ч. 2, М.-Л., 1946.

- виртуальных скоростей принцип,- дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями...
Математическая энциклопедия
- Представление о том, что у настоящего может быть не одно, а несколько направлений развития в будущем, было, вероятно, в культуре всегда...
Энциклопедия культурологии
- комплекс мероприятий по оценке состояния резервуаров, продуктопроводов, запорной арматуры и устройств, узлов и агрегатов на опасном производстве, средств хранения и транспортировки опасных грузов,...
Гражданская защита. Понятийно-терминологический словарь
- графическое построение перемещении узлов стержневой системы по заданным продольным деформациям её стержней - диаграма на преместванията - translokační obrazec - Verschiebungsplan - elmozdulásábra - шилжилтийн диаграмм - wykres przesunięć -...
Строительный словарь
- метод строительной механики для определения усилий и перемещений в статически неопределимых конструктивных системах, при котором в качестве основных неизвестных выбираются линейные и угловые перемещения - метод...
Строительный словарь
- прогнозирование величины и структуры санитарных потерь при возможных чрезвычайных ситуациях, позволяющее определить объем предстоящей работы по оказанию медицинской помощи, эвакуации пораженных,...
Словарь терминов черезвычайных ситуаций
- - метод логического анализа модальных и интенсиональных понятий, основу которого составляет рассмотрение мыслимых положений дел...
Философская энциклопедия
- СЕМАНТИКА ВОЗМОЖНЫХ МИРОВ - совокупность семантических конструкций для истинностной интерпретации неклассических логических связок, главной особенностью которых является введение в рассмотрение так...
Энциклопедия эпистемологии и философии науки
- датчик, преобразующий механические перемещения в изменение силы или напряжения электрического тока, предназначенный для регистрации физиологических процессов...
Большой медицинский словарь
- теорема Максвелла, - состоит в том, что для линейно деформируемого тела перемещение сигмаki точки приложения единичной силы Pk первого состояния по направлению её действия, вызываемое любой др. единичной силой...
- диаграмма Вильо, - геометрич. построение, определяющее перемещения всех узлов плоской фермы по известным изменениям длины её стержней. См. рис. К ст. Перемещений диаграмма: а - схема фермы...
Большой энциклопедический политехнический словарь
- теорема Максвелла, состоит в том, что для линейно деформируемого тела перемещение δki точки приложения единичной силы Pk первого состояния по направлению её действия, вызываемое любой др. единичной силой Pi...
- один из вариационных принципов механики, устанавливающий общее условие равновесия механической системы...
Большая Советская энциклопедия
- ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ принцип - для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных...
Большой энциклопедический словарь
- прил., кол-во синонимов: 1 ни попадя...
Словарь синонимов
- прил., кол-во синонимов: 2 ревнивый ревностный...
Словарь синонимов

"ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП" в книгах

Типология социальных перемещений

Из книги Социальная философия автора Крапивенский Соломон Элиазарович

Типология социальных перемещений Прежде всего П. Сорокин выделил два основных типа социальной мобильности - горизонтальную и вертикальную. Примерами горизонтальной мобильности могут служить перемещение некоего индивида из баптистской в методистскую религиозную

12. (НП5) Пятый принцип НП - принцип улучшения или принцип вселенной

Из книги Путешествие длиною в себя (0.73) автора Артамонов Денис

12. (НП5) Пятый принцип НП - принцип улучшения или принцип вселенной Пятый принцип, является логическим продолжением - дополнением четвертого принципа. С его помощью, я хотел бы провести определенную параллель между целью, смыслом самой Вселенной и нашей деятельностью

Техника перемещений

Из книги Маленькая книга о капоэйре автора Капоэйра Нестор

Техника перемещений Теперь, оставив позади чистую теорию мы дошли до пункта, когда новичку начинают преподавать собственно джого, игру капоэйры. Излагаемая далее методика несколько отличается от используемых в течение последних пятидесяти лет (с тех пор как Бимба

Возможных перемещений принцип

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ВО) автора БСЭ

Взаимности перемещений принцип

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ВЗ) автора БСЭ

Как обеспечить анонимность перемещений в Интернете при противодействии черному PR

Из книги Противодействие черному PR в Интернете автора Кузин Александр Владимирович

Как обеспечить анонимность перемещений в Интернете при противодействии черному PR Поскольку противник, совершивший на вас нападение в Интернете, может представлять угрозу вашей жизни и здоровью, считаем необходимым подробно остановиться на вопросах обеспечения

Из книги AutoCAD 2009 для студента. Самоучитель автора Соколова Татьяна Юрьевна

Анимация перемещений при обходе и облете

Из книги AutoCAD 2008 для студента: популярный самоучитель автора Соколова Татьяна Юрьевна

Анимация перемещений при обходе и облете Анимация перемещений обеспечивает предварительный просмотр любого перемещения, включая обход и облет чертежа. Перед созданием анимации перемещения по траектории необходимо создать образец предварительного просмотра. Команда

Анимация перемещений при обходе и облете

Из книги AutoCAD 2009. Учебный курс автора Соколова Татьяна Юрьевна

Анимация перемещений при обходе и облете

Из книги AutoCAD 2009. Начали! автора Соколова Татьяна Юрьевна

ГОЛУБЯТНЯ: Диалектика как отражение сезонных перемещений

Из книги Журнал «Компьютерра» № 20 от 29 мая 2007 года автора Журнал «Компьютерра»

ГОЛУБЯТНЯ: Диалектика как отражение сезонных перемещений Автор: Сергей Голубицкий«Я почти ничего не понял. А главное – не понял, при чем тут компьютеры. Думаю, если бы этой статьи не было – мир бы не много потерял». Юзер «Рамзес» на форуме «Компьютерры» в адрес

«От возможных друзей, от возможных обид…»

Из книги Невидимая птица автора Червинская Лидия Давыдовна

«От возможных друзей, от возможных обид…» От возможных друзей, от возможных обид, От возможного, все-таки, полупризнанья, От возможного счастья так сердце болит… – До свиданья. Проезжали игрушечный мост над рекой, И откуда, откуда он взялся такой В этом городе

10.6 Планирование перемещений

Из книги Управление персоналом: учебное пособие автора

10.6 Планирование перемещений Удовлетворение многих потребностей и исполнение ожиданий связано непосредственно с содержанием труда, поскольку труд занимает важнейшее место в жизни человека, и человеку отнюдь не все равно, чему он посвящает большую часть жизни.

Планирование перемещений

Из книги Управление персоналом для менеджеров: учебное пособие автора Спивак Владимир Александрович

Планирование перемещений Удовлетворение многих потребностей и исполнение ожиданий связано непосредственно с содержанием труда, поскольку человеку отнюдь не все равно, чему он посвящает большую часть жизни. Удовлетворение потребностей зачастую сопряжено с занятием

Принцип 4. Медикаменты можно принимать только в том случае, если риск отказа от них превышает риск от возможных побочных эффектов

Из книги 10 шагов на пути к управлению своей эмоциональной жизнью. Преодоление тревоги, страха и депрессии благодаря исцелению личности человека автора Вуд Ева А.

Принцип 4. Медикаменты можно принимать только в том случае, если риск отказа от них превышает риск от возможных побочных эффектов Другими словами, вам необходимо взвесить соотношение между риском и выгодой. Каждое лекарство может оказаться для вас не только полезным и

Элементы аналитической механики

В своих попытках познать окружающий мир человеческой природе свойственно стремление свести систему знаний в данной области к наименьшему числу исходных положений. Это прежде всего относится к научным областям. В механике такое стремление привело к созданию фундаментальных принципов, из которых вытекают основные дифференциальные уравнения движения для различных механических систем. Настоящий раздел учебника призван познакомить читателя с частью этих принципов.

Начнем изучение элементов аналитической механики с рассмотрения вопроса о классификации связях, встречающихся не только в статике, но и в динамике.

Классификация связей

Связь – любого вида ограничения, накладываемые на положения и скорости точек механической системы .

Связи классифицируют:

· По изменению во времени:

- нестационарныесвязи , т.е. меняющиеся со временем . Движущаяся в пространстве опора – пример нестационарной связи.

- стационарныесвязи , т.е. не меняющиеся со временем. К стационарным связям относятся все связи, рассмотренные в разделе «Статика».

· По типу накладываемых кинематических ограничений:

- геометрическиесвязи накладывают ограничения на положения точек системы ;

- кинематические , или дифференциальныесвязи накладывают ограничения на скорости точек системы . По возможности сведения одного типа связи к другой:

- интегрируемая , или голономная (простая) связь , если кинематическую (дифференциальную) связь можно представить как геометрическую . В таких связях зависимости между скоростями удается свести к зависимости между координатами. Катящейся без проскальзывания цилиндр – пример интегрируемой дифференциальной связи: скорость оси цилиндра связана с его угловой скоростью по известной формуле , или , а после интегрирования приводится к геометрической связи между смещением оси и углом поворота цилиндра в виде .

- неинтегрируемая , или неголономнаясвязь – если кинематическую (дифференциальную) связь нельзя представить как геометрическую . Пример – качение шара без проскальзывания при его непрямолинейном движении.

· По возможности «освобождения» от связи:

- удерживающиесвязи , при которых налагаемые ими ограничения сохраняются всегда, например, маятник, подвешенный на жестком стержне;

- неудерживающие связи - ограничения могут нарушаться при определенном типе движения системы , например, маятник, подвешенный на сминаемой нити.

Введем несколько определений.

· Возможное (или виртуальное ) перемещение (обозначается ) является элементарным (бесконечно малым) и таково, что не нарушает наложенные на систему связи .

Пример: точка, находясь на поверхности, в качестве возможных имеет множество элементарных перемещений в любом направлении вдоль опорной поверхности, не отрываясь от нее. Движение точки, приводящее к ее отрыву от поверхности, нарушает связь и, в соответствии с определением, не является возможным перемещением.

Для стационарных систем обычное действительное (реальное) элементарное перемещение входит во множество возможных перемещений.

· Число степеней свободы механической системы – это число независимых между собой ее возможных перемещений .

Так, при перемещение точки на плоскости любое ее возможное перемещение выражается через две свои ортогональные (а значит и независимые) составляющие.

У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы .

Таким образом, точка на плоскости имеет две степени свободы. Свободная материальная точка – три степени свободы. У свободного тела – шесть (добавляются повороты по углам Эйлера) и т.д.

· Возможная работа – это элементарная работа силы на возможном перемещении .

Принцип возможных перемещений

Если система находится в равновесии, то для любой ее точки выполняется равенство , где - равнодействующие действующих на точку активных сил и сил реакций. Тогда и сумма работ этих сил при любом перемещении также равна нулю . Просуммировав для всех точек, получим: . Второе слагаемое для идеальных связей равно нулю, откуда формулируется принцип возможных перемещений :

(3.82)

В условиях равновесия механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы равна нулю .

Ценность принципа возможных перемещений заключается в формулировке условий равновесия механической системы (3.81), в которых не фигурируют неизвестные реакции связей.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Какое перемещение точки называется возможным?

2. Что называется возможной работой силы?

3. Сформулируйте и запишите принцип возможных перемещений.

Принцип Даламбера

Перепишем уравнение динамики к -й точки механической системы (3.27), перенеся левую часть в правую. Введем в рассмотрение величину

Силы в уравнении (3.83) образуют уравновешенную систему сил.

Распространяя этот вывод ко всем точкам механической системы, придем к формулировке принципаДаламбера , названного в честь французского математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717–1783 г.г.), рис.3.13:

Рис.3.13

Если ко всем силам, действующим в данной механической системе, добавить все силы инерции, полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики .

Фактически это означает, что от динамической системы путем добавления сил инерции (сил Даламбера) переходят к псевдостатической (почти статической) системе.

Используя принцип Даламбера, можно получить оценку главного вектора сил инерции и главного момента сил инерции относительно центра в виде:

Динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси, закрепленной в подшипниках АиВ(рис. 3.14). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси Ахуz;преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными. Пусть на тело действуют заданные силы . Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси Ахуz через ( и т.д.), а их главные моменты относительно тех же осей - через ( и т.д.); при этом, так как ω =const, то = 0.

Рис.3.14

Для определения динамических реакций Х А, У А, Z А , Х B , Y B подшипников, т.е. реакций, возникающих при вращении тела, присоединим ко всем действующим на тело заданным силам и реакциям связей силы инерции всех частиц тела, приведя их к центру А. Тогда силы инерции будут представлены одной силой, равной и приложенной в точке А, и парой сил с моментом, равным . Проекции этого момента на оси к и у будут: , ; здесь опять , так как ω =const.

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (3.86) в проекциях на оси Ахуz и полагая АВ=b, получим

(3.87)

Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как .

Главный вектор сил инерции , где т - масса тела (3.85). При ω =const центр масс С имеет только нормальное ускорение , где - расстояние точки С от оси вращения. Следовательно, направление вектора совпадаете с направлением ОС. Вычисляя проекции на координатные оси и учитывая, что ,где - координаты центра масс, найдем:

Чтобы определить и , рассмотрим какую-нибудь частицу тела с массой m k , отстоящую от оси на расстоянии h k . Для нее при ω =const сила инерции тоже имеет только центробежную составляющую , проекции которой, как и вектора R", равны.