Lineārās telpas apakštelpu krustpunkts un summa. Lineārās telpas apakštelpu krustpunkts un summa Izmērs, bāze, koordinātas

Definīcija. Lineārā telpa virs numura lauka UZ sauc par komplektu R elementi, kurus sauksim par vektoriem un apzīmēsim , un tā tālāk, ja:

No šīm aksiomām izriet, ka:

Lineāri apvalki

Definīcija.Lineārs apvalks vektoru saime ir visu iespējamo to lineāro kombināciju kopums lineārajā telpā L.

Ir viegli pārbaudīt, vai lineārais korpuss ir lineāra telpa L.

Lineārs apvalks saukta arī par apakštelpu, ko aptver vektori vai ģenerē saimes vektori. To var definēt arī kā visu apakštelpu krustpunktu L, kas satur visu Rangs vektoru saimi sauc par tās lineārā laiduma dimensiju.

Pirmā bāzes raksturīgā īpašība: tā lineārais apvalks sakrīt ar visuL.

Apakštelpas

Definīcija. Lineāra apakštelpa vai vektoru apakštelpa ir komplekts, kas nav tukšs K lineārā telpa L tāds, ka K pati par sevi ir lineāra telpa attiecībā pret tām, kas definētas L saskaitīšanas un reizināšanas ar skalāru darbības. Visu apakštelpu kopa tiek apzīmēta kā Lat ( L ) . Lai apakškopa būtu apakštelpa, tas ir nepieciešams un pietiekami

Pēdējie divi apgalvojumi ir līdzvērtīgi šādiem:

Jo īpaši telpa, kas sastāv no viena elementa, ir jebkuras telpas apakštelpa; jebkura telpa pati par sevi ir apakštelpa. Apakštelpas, kas nesakrīt ar šīm divām, sauc pašu vai nav triviāls.

Apakštelpu īpašības

Funkcionālajā analīzē bezgalīgas dimensijas telpās īpašs uzsvars tiek likts uz slēgtās apakštelpas.

Vektoru lineārā atkarība

Definīcija. Vektoru saimi sauc par lineāru neatkarīgs, ja neviena netriviāla lineāra kombinācija nav vienāda ar nulli, tas ir, no

no tā izriet, ka viss = 0. Citādi to sauc par lineāru atkarīgi. Ģimenes lineārā neatkarība to nozīmē nulles vektors ir unikāli attēlots kā ģimenes elementu lineāra kombinācija. Tad jebkuram citam vektoram ir vai nu viens attēlojums, vai nav neviena. Patiešām, salīdzinot abus attēlojumus

Tas nozīmē pamata otro raksturīgo īpašību: tā elementi ir lineāri neatkarīgi.Šo divu īpašību definīcija ir līdzvērtīga bāzes sākotnējai definīcijai.

ievērojiet, tas vektoru saime ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja tā veido tās lineārā laiduma pamatu.

Ģimene acīmredzami ir lineāri atkarīga, ja ir nulle vai divi identiski vektori.

Lemma 1. Vektoru saime ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no vektoriem ir citu vektoru lineāra kombinācija.

Pierādījums.

Ja

Un otrādi, ja , tad

Lemma 2. ir lineāri atkarīga, tad tā ir lineāra kombinācija.

Pierādījums.

Ja tie nav vienādi, tad tiem jābūt, pretējā gadījumā mēs iegūtu netriviālu atkarību starp Tāpēc

Lineārs (vektors) Telpa ir patvaļīgu elementu kopa V, ko sauc par vektoriem, kurā ir noteiktas vektoru saskaitīšanas un vektora reizināšanas ar skaitli operācijas, t.i. jebkuriem diviem vektoriem \mathbf(u) un (\mathbf(v)) tiek piešķirts vektors \mathbf(u)+\mathbf(v), ko sauc par vektoru \mathbf(u) un (\mathbf(v)) summu, jebkurš vektors (\mathbf(v)) un jebkurš skaitlis \lambda no reālo skaitļu lauka \mathbb(R) ir saistīts ar vektoru. \lambda\mathbf(v), ko sauc par vektora \mathbf(v) reizinājumu ar skaitli \lambda ; tātad ir izpildīti šādi nosacījumi:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(saskaitīšanas komutativitāte);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(pievienošanas asociativitāte);
3. V ir tāds elements \mathbf(o)\, ko sauc par nulles vektoru, \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. katram vektoram (\mathbf(v)) ir vektors, kas ir pretējs vektoram \mathbf(v) tā, ka \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ in\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Tiek izsaukti nosacījumi 1-8 lineārās telpas aksiomas. Vienādības zīme, kas novietota starp vektoriem, nozīmē, ka vienādības kreisā un labā puse apzīmē vienu un to pašu kopas V elementu; šādus vektorus sauc par vienādiem.

Lineārās telpas definīcijā reāliem skaitļiem tiek ieviesta vektora reizināšanas ar skaitli. Tādu telpu sauc lineārā telpa virs reālo skaitļu lauka vai īsumā, reāla lineārā telpa. Ja definīcijā reālo skaitļu lauka \mathbb(R) vietā ņemam komplekso skaitļu lauku \mathbb(C) , tad iegūstam lineārā telpa virs komplekso skaitļu lauka vai īsumā, sarežģīta lineārā telpa. Kā skaitļa lauku varam izvēlēties arī racionālo skaitļu lauku \mathbb(Q), un šajā gadījumā iegūstam lineāru telpu virs racionālo skaitļu lauka. Tālāk, ja nav norādīts citādi, tiks aplūkotas reālas lineāras telpas. Dažos gadījumos īsuma labad mēs runāsim par telpu, izlaižot vārdu lineārs, jo visas tālāk aplūkotās telpas ir lineāras.

Piezīmes 8.1

1. Aksiomas 1-4 parāda, ka lineārā telpa ir komutatīva grupa attiecībā uz saskaitīšanas darbību.

2. 5. un 6. aksioma nosaka vektora reizināšanas ar skaitli darbības distributivitāti attiecībā pret vektoru saskaitīšanas operāciju (5. aksioma) vai skaitļu saskaitīšanas darbību (6. aksioma). 7. aksioma, ko dažkārt sauc par reizināšanas ar skaitli asociativitātes likumu, izsaka saikni starp divām dažādām operācijām: vektora reizināšanu ar skaitli un skaitļu reizināšanu. 8. aksiomas definēto īpašību sauc par vektora reizināšanas ar skaitli operācijas vienību.

3. Lineārā telpa ir netukša kopa, jo tajā obligāti ir nulles vektors.

4. Darbības ar vektoru saskaitīšanu un vektora reizināšanu ar skaitli sauc par lineārām darbībām ar vektoriem.

5. Atšķirība starp vektoriem \mathbf(u) un \mathbf(v) ir vektora \mathbf(u) summa ar pretējo vektoru (-\mathbf(v)) un tiek apzīmēta: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Divus vektorus, kas nav nulles \mathbf(u) un \mathbf(v), sauc par kolineāriem (proporcionāliem), ja ir tāds skaitlis \lambda, ka \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Kolinearitātes jēdziens attiecas uz jebkuru ierobežotu skaitu vektoru. Nulles vektors \mathbf(o) tiek uzskatīts par kolineāru ar jebkuru vektoru.

Lineārās telpas aksiomu sekas

1. Lineārajā telpā ir tikai viens nulles vektors.

2. Lineārajā telpā jebkuram vektoram \mathbf(v)\in V ir unikāls pretējs vektors (-\mathbf(v))\in V.

3. Patvaļīga telpas vektora un skaitļa nulles reizinājums ir vienāds ar nulles vektoru, t.i. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Nulles vektora reizinājums ar jebkuru skaitli ir vienāds ar nulles vektoru, tas ir, jebkuram skaitlim \lambda.

5. Dotajam vektoram pretējs vektors ir vienāds ar šī vektora reizinājumu ar skaitli (-1), t.i. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Formas izteiksmēs \mathbf(a+b+\ldots+z)(galīga skaita vektoru summa) vai \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(vektora un ierobežota faktoru skaita reizinājums) varat ievietot iekavas jebkurā secībā vai nenorādīt tās vispār.

Pierādīsim, piemēram, pirmās divas īpašības. Nulles vektora unikalitāte. Ja \mathbf(o) un \mathbf(o)" ir divi nulles vektori, tad ar 3. aksiomu mēs iegūstam divas vienādības: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" vai \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), kuras kreisās malas ir vienādas saskaņā ar aksiomu 1. Līdz ar to arī labās malas ir vienādas, t.i. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Pretēja vektora unikalitāte. Ja vektoram \mathbf(v)\in V ir divi pretēji vektori (-\mathbf(v)) un (-\mathbf(v))", tad ar aksiomām 2, 3,4 iegūstam to vienādību:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\apakšskava(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \apakšskava( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Pārējās īpašības tiek pierādītas līdzīgā veidā.

Lineāro telpu piemēri

1. Apzīmēsim \(\mathbf(o)\) - kopu, kas satur vienu nulles vektoru, ar operācijām \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) Un \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Norādītajām operācijām ir izpildītas aksiomas 1-8. Līdz ar to kopa \(\mathbf(o)\) ir lineāra telpa virs jebkura skaitļa lauka. Šo lineāro telpu sauc par nulli.

2. Apzīmēsim V_1,\,V_2,\,V_3 - vektoru kopas (virzītos segmentus) attiecīgi uz taisnes, plaknē, telpā ar parastajām vektoru saskaitīšanas un vektoru reizināšanas ar skaitli darbībām. Lineārās telpas aksiomu 1-8 izpilde izriet no elementārās ģeometrijas kursa. Līdz ar to kopas V_1,\,V_2,\,V_3 ir reālas lineāras telpas. Brīvo vektoru vietā varam uzskatīt atbilstošās rādiusu vektoru kopas. Piemēram, vektoru kopa plaknē, kam ir kopīga izcelsme, t.i. uzzīmēta no viena fiksēta plaknes punkta, ir reāla lineāra telpa. Vienības garuma rādiusa vektoru kopa neveido lineāru telpu, jo jebkuram no šiem vektoriem summa \mathbf(v)+\mathbf(v) neietilpst apskatāmajā komplektā.

3. Apzīmēsim \mathbb(R)^n - n\times1 izmēru matricu-kolonnu kopu ar matricu saskaitīšanas un matricu reizināšanas ar skaitli darbībām. Šai kopai ir izpildītas lineārās telpas aksiomas 1-8. Nulles vektors šajā kopā ir nulles kolonna o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Līdz ar to kopa \mathbb(R)^n ir reāla lineāra telpa. Līdzīgi \mathbb(C)^n kolonnu kopa ar lielumu n\times1 ar sarežģītiem elementiem ir sarežģīta lineāra telpa. Kolonnu matricu kopa ar nenegatīviem reāliem elementiem, gluži pretēji, nav lineāra telpa, jo tajā nav pretēju vektoru.

4. Apzīmēsim \(Ax=o\) - lineāro algebrisko vienādojumu ar un nezināmajiem (kur A ir sistēmas reālā matrica) atrisinājumu kopu homogēnai sistēmai Ax=o, kas tiek uzskatīta par kolonnu kopu izmēri n\times1 ar matricu saskaitīšanas un matricu reizināšanas ar skaitli operācijām. Ņemiet vērā, ka šīs darbības patiešām ir definētas kopā \(Ax=o\) . No viendabīgas sistēmas risinājumu īpašības 1 (sk. 5.5. nodaļu) izriet, ka viendabīgas sistēmas divu atrisinājumu summa un tās atrisinājuma reizinājums ar skaitli arī ir viendabīgas sistēmas risinājumi, t.i. pieder kopai \(Ax=o\) . Lineārās telpas aksiomas kolonnām ir izpildītas (sk. 3. punktu lineāro telpu piemēros). Tāpēc viendabīgas sistēmas risinājumu kopa ir reāla lineāra telpa.

Nehomogēnās sistēmas Ax=b,~b\ne o atrisinājumu kopa \(Ax=b\), gluži otrādi, nav lineāra telpa kaut vai tāpēc, ka tajā nav nulles elementa (x=o ir nav risinājums neviendabīgai sistēmai).

5. Apzīmēsim M_(m\times n) - matricu kopu ar izmēru m\reizes n ar matricu saskaitīšanas un matricu reizināšanas ar skaitli operācijām. Šai kopai ir izpildītas lineārās telpas aksiomas 1-8. Nulles vektors ir atbilstoša izmēra nulles matrica O. Tāpēc kopa M_(m\times n) ir lineāra telpa.

6. Apzīmēsim P(\mathbb(C)) - viena mainīgā polinomu kopu ar kompleksiem koeficientiem. Darbības ar daudzu terminu saskaitīšanu un polinoma reizināšanu ar skaitli, ko uzskata par nulles pakāpes polinomu, ir definētas un atbilst aksiomām 1-8 (jo īpaši nulles vektors ir polinoms, kas ir identiski vienāds ar nulli). Tāpēc kopa P(\mathbb(C)) ir lineāra telpa virs komplekso skaitļu lauka. Arī polinomu kopa P(\mathbb(R)) ar reāliem koeficientiem ir lineāra telpa (bet, protams, virs reālo skaitļu lauka). Ne vairāk kā n pakāpes polinomu kopa P_n(\mathbb(R)) ar reāliem koeficientiem arī ir reāla lineārā telpa. Ņemiet vērā, ka šajā kopā ir definēta daudzu terminu saskaitīšanas darbība, jo polinomu summas pakāpe nepārsniedz terminu pakāpes.

N pakāpes polinomu kopa nav lineāra telpa, jo šādu polinomu summa var izrādīties zemākas pakāpes polinoms, kas nepieder aplūkojamai kopai. Visu to polinomu kopa, kuru pakāpe nav augstāka par n ar pozitīviem koeficientiem, arī nav lineāra telpa, jo, reizinot šādu polinomu ar negatīvu skaitli, tiks iegūts polinoms, kas nepieder šai kopai.

7. Apzīmēsim C(\mathbb(R)) - uz \mathbb(R) definētu un nepārtrauktu reālo funkciju kopu. Funkciju f,g summu (f+g) un funkcijas f reizinājumu \lambda f un reālo skaitli \lambda nosaka vienādības:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) visiem x\in \mathbb(R)

Šīs darbības patiešām ir definētas C(\mathbb(R)), jo nepārtraukto funkciju summa un nepārtrauktas funkcijas reizinājums ar skaitli ir nepārtrauktas funkcijas, t.i. C(\mathbb(R)) elementi. Pārbaudīsim lineārās telpas aksiomu izpildi. Tā kā reālo skaitļu saskaitīšana ir komutatīva, no tā izriet, ka vienādība f(x)+g(x)=g(x)+f(x) jebkuram x\in \mathbb(R) . Tāpēc f+g=g+f, t.i. 1. aksioma ir apmierināta. 2. aksioma izriet līdzīgi no saskaitīšanas asociativitātes. Nulles vektors ir funkcija o(x), identiski vienāda ar nulli, kas, protams, ir nepārtraukta. Jebkurai funkcijai f spēkā ir vienādība f(x)+o(x)=f(x), t.i. Patiesa ir aksioma 3. Pretējs vektors vektoram f būs funkcija (-f)(x)=-f(x) . Tad f+(-f)=o (4. aksioma ir patiesa). 5., 6. aksiomas izriet no reālu skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas operāciju distributivitātes, bet 7. aksioma - no skaitļu reizināšanas asociativitātes. Pēdējā aksioma ir izpildīta, jo reizināšana ar vienu nemaina funkciju: 1\cdot f(x)=f(x) jebkuram x\in \mathbb(R), t.i. 1\cdot f=f . Tādējādi aplūkotā kopa C(\mathbb(R)) ar ieviestajām operācijām ir reāla lineāra telpa. Līdzīgi tiek pierādīts, ka C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- funkciju kopas, kurām ir nepārtraukti pirmās, otrās utt. atvasinājumi. pasūtījumi, attiecīgi, arī ir lineāras telpas.

Apzīmēsim trigonometrisko binomiālu kopu (bieži \omega\ne0 ) ar reāliem koeficientiem, t.i. daudzas formas funkcijas f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Kur a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Šādu binomiālu summa un binoma reizinājums ar reālu skaitli ir trigonometriski binomi. Lineārās telpas aksiomas aplūkotajai kopai ir izpildītas (jo T_(\omega)(\mathbb(R))\apakškopa C(\mathbb(R))). Tāpēc daudzi T_(\omega)(\mathbb(R)) ar parastajām funkciju saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli operācijām, tā ir reāla lineāra telpa. Nulles elements ir binomiāls o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, identiski vienāds ar nulli.

Reālo funkciju kopa, kas definēta un monotona uz \mathbb(R), nav lineāra telpa, jo divu monotonu funkciju atšķirība var izrādīties nemonotona funkcija.

8. Apzīmēsim \mathbb(R)^X - uz kopas X definēto reālo funkciju kopu ar operācijām:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Tā ir īsta lineāra telpa (pierādījums ir tāds pats kā iepriekšējā piemērā). Šajā gadījumā kopu X var izvēlēties patvaļīgi. Jo īpaši, ja X=\(1,2,\lpunkti,n\), tad f(X) ir sakārtota skaitļu kopa f_1,f_2,\ldots,f_n, Kur f_i=f(i),~i=1,\ldots,nŠādu kopu var uzskatīt par dimensiju matricu-kolonnu n\times1 , t.i. ķekars \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) sakrīt ar kopu \mathbb(R)^n (sk. 3. punktā lineāro atstarpju piemērus). Ja X=\mathbb(N) (atgādinām, ka \mathbb(N) ir naturālu skaitļu kopa), tad iegūstam lineāru telpu \mathbb(R)^(\mathbb(N))- daudzas ciparu secības \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Jo īpaši konverģentu skaitļu secību kopa veido arī lineāru telpu, jo divu konverģentu secību summa saplūst, un, ja visi konverģentās secības vārdi tiek reizināti ar skaitli, mēs iegūstam konverģentu secību. Turpretim atšķirīgo secību kopa nav lineāra telpa, jo, piemēram, atšķirīgo secību summai var būt ierobežojums.

9. Apzīmēsim \mathbb(R)^(+) - pozitīvo reālo skaitļu kopu, kurā ir summa a\oplus b un reizinājums \lambda\ast a (apzīmējumi šajā piemērā atšķiras no parastajiem) ko nosaka vienādības: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), citiem vārdiem sakot, elementu summa tiek saprasta kā skaitļu reizinājums, un elementa reizināšana ar skaitli tiek saprasta kā palielināšana līdz pakāpei. Abas darbības patiešām ir definētas kopā \mathbb(R)^(+), jo pozitīvo skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis un jebkura pozitīva skaitļa reālā jauda ir pozitīvs skaitlis. Pārbaudīsim aksiomu derīgumu. Vienlīdzības

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

parāda, ka 1. un 2. aksioma ir izpildīta. Šīs kopas nulles vektors ir viens, kopš a\oplus1=a\cdot1=a, t.i. o=1. Pretējs vektors a ir vektors \frac(1)(a), kas ir definēts kopš a\ne o . Patiešām, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Pārbaudīsim 5., 6., 7., 8. aksiomu izpildi:

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(savākts)

Visas aksiomas ir apmierinātas. Līdz ar to apskatāmā kopa ir reāla lineāra telpa.

10. Lai V ir reāla lineāra telpa. Apskatīsim lineāro skalāro funkciju kopu, kas definēta uz V, t.i. funkcijas f\kolons V\uz \mathbb(R), ņemot reālās vērtības un izpildot nosacījumus:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \visiem u,v\in V(pievienotība);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(viendabīgums).

Lineārās darbības ar lineārām funkcijām ir norādītas tāpat kā lineāro telpu piemēru 8. punktā. Summu f+g un reizinājumu \lambda\cdot f nosaka vienādības:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Lineārās telpas aksiomu izpilde tiek apstiprināta tāpat kā 8. punktā. Tāpēc lineārās telpas V lineāro funkciju kopa ir lineāra telpa. Šo telpu sauc par konjugātu ar telpu V un apzīmē ar V^(\ast) . Tās elementus sauc par kovektoriem.

Piemēram, n mainīgo lineāro formu kopa, kas tiek uzskatīta par vektora argumenta skalāro funkciju kopu, ir lineārās telpas konjugāts ar telpu \mathbb(R)^n.

Ja pamanāt kļūdu, drukas kļūdu vai ir kādi ieteikumi, rakstiet komentāros.

Lineārā telpa sauc par komplektu L , kurā definētas saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli darbības, t.i. katram elementu pārim a, bL ir daži cL , ko sauc par to summu, un jebkuram elementam aL un eksistē jebkurš skaitlis R bL ko sauc par  reizinājumu a. Lineārās telpas elementus sauc vektori . Saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli operācijas atbilst šādām aksiomām.

Papildinājuma aksiomas:  a, b, c  L

a+b = b+a – komutativitāte

(a+b) + c = a + (b+c) – asociativitāte

Kosmosā ir elements, ko sauc nulles vektors un ir norādīts 0 , kas summējas ar jebkuru a no L dod to pašu elementu a, tie.  0L:  a L 0 + a = a.

Ikvienam a no L pastāv pretējs elements , apzīmēts -a, tāds, ka (-a) + a = 0

( a L  (-a) L: (-a) + a = 0)

Secinājumi no saskaitīšanas aksiomām:

1. Nulles vektors ir unikāls, t.i. ja vismaz vienam a L tas ir godīgi b + a = a, Tas b = 0.

2. Jebkuram vektoram aL pretējais elements ir unikāls, t.i. b + a = 0  b = (-a)

Reizināšanas aksiomas:  ,  R  a, b  L

 (a) = ()a

(a+b) =a+b – izplatība (pēc vektoriem)

(+)a =a+a – izplatība (pēc skaitļiem)

1a = a

Secinājumi no reizināšanas aksiomām:  a L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-a) = (-1) a
^

2.1. Lineāro telpu piemēri

1. Kosmoss K n kolonnas ar augstumu n. Šīs telpas elementi ir kolonnas, kas satur n reālus skaitļus ar komponentu saskaitīšanas un komponentveida reizināšanas ar skaitli darbībām. Nulles vektors šādā telpā ir kolonna, kas sastāv no n nullēm.

2. Parastie vektori trīsdimensiju telpā R 3 ar saskaitīšanas operācijām “pēc paralelograma likuma” un reizināšanu-paplašināšanu. Tiek pieņemts, ka visu vektoru sākumi atrodas koordinātu sākumā, nulles vektors ir vektors, kas beidzas koordinātu sākumā

3. N pakāpes polinoms vienā mainīgajā 1 ir funkcija

P n ( x ) =  n x +  n-1 x n n-1 + … +  1 x +  0 un  n  0

Daudzi polinomi grāds nav augstāks n ar parastajām saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli operācijām veido lineāru telpu. Ņemiet vērā, ka n pakāpes polinomu kopa neveido lineāru telpu. Fakts ir tāds, ka divu pakāpes polinomu summa, piemēram, 3, var izrādīties 2. pakāpes polinoms (piemēram, ( x 3 + 3) + (– x 3 – 2x 2 + 7) = – 2x 2 + 10 ir 2. pakāpes polinoms). Taču polinomu saskaitīšanas operācija pakāpi var pazemināt, bet ne palielināt, tāpēc polinomu kopa, kuras pakāpe nav augstāka par n, tiek slēgta saskaitīšanai (t.i., divu polinomu, kuru pakāpe nav augstāka par n, summa vienmēr ir a polinoms, kura pakāpe nav augstāka par n) un veido lineāru telpu.
^

2.2. Izmērs, pamats, koordinātas.

Lineāra kombinācija vektori ( e 1 , e 2 , …e n )  sauc par izteiksmi  1 e 1 +  2 e 2 + … n e n = Tātad lineāra kombinācija ir vienkārši vektoru summa ar skaitliskiem koeficientiem. Ja visi koeficienti  i ir vienādi ar 0, tiek izsaukta lineāra kombinācija triviāls .

Tiek saukta 2 vektoru sistēma lineāri atkarīgi , ja ir šo vektoru netriviāla lineāra kombinācija, kas vienāda ar 0 . Citiem vārdiem sakot, ja ir n skaitļi  R tādi, ka ne visi ir vienādi ar nulli, un lineārā vektoru kombinācija ar koeficientiem ir vienāda ar nulles vektoru:

Pretējā gadījumā vektorus sauc lineāri neatkarīgs . Citiem vārdiem sakot, vektorus sauc lineāri neatkarīgs , Ja
no  1 e 1 +  2 e 2 + …+ n e n = 0 seko  1 =  2 = …= n = 0, t.i. ja jebkura šo vektoru lineāra kombinācija, kas vienāda ar nulles vektoru, ir triviāla.

Sadalīšanās vektors a saskaņā ar vektoru sistēmu ( e i) sauc par reprezentāciju a kā lineāra vektoru kombinācija ( e i). Citiem vārdiem sakot, izklājies vektors a pēc vektoriem ( e i) nozīmē atrast skaitļus  i tādus, ka

a = 1 e 1 +  2 e 2 + … k e k

Ņemiet vērā, ka vektoru neatkarības definīciju var dot šādā formā: vektori ir neatkarīgi tad un tikai tad, ja izplešanās 0 tikai viņiem.

Lineāro telpu sauc ierobežotas dimensijas , ja ir tāds vesels skaitlis n, ka visas neatkarīgās vektoru sistēmas šajā telpā satur ne vairāk kā n elementus.

Izmērs ierobežotu dimensiju lineārā telpa L ir maksimālais iespējamais lineāri neatkarīgo vektoru skaits (apzīmē ar dim L vai blāvs L ). Citiem vārdiem sakot, tiek saukta lineāra telpa n-dimensiju , Ja:

1. telpā pastāv neatkarīga sistēma, kas sastāv no n vektoriem;

2. jebkura sistēma, kas sastāv no n +1 vektoriem, ir lineāri atkarīga.

Pamats lineārā telpa L n Tiek izsaukta jebkura neatkarīga vektoru sistēma, kuras elementu skaits ir vienāds ar telpas izmēru.

1. teorēma. Jebkuru neatkarīgu vektoru sistēmu var papildināt ar bāzi. Tas ir, ja sistēma  L k ir neatkarīgs un satur mazāk vektoru nekā telpas dimensija (n  L k, ka kombinētā vektoru kopa ( e 1 ,e 2 ,…e n, f 1 ,f 2 ,…f k-n) ir neatkarīgs, satur k vektorus un tāpēc veido pamatu L k. ▄ Tādējādi jebkurā lineārajā telpā ir daudz (patiesībā bezgalīgi daudz) bāzu.

Vektoru sistēmu sauc pilns , ja kāds aL var izvērst sistēmas vektoros (iespējams, ka paplašināšana nav unikāla).

Gluži pretēji, jebkura vektora izplešanās neatkarīgā sistēmā vienmēr ir unikāla (bet ne vienmēr pastāv). Tie.

2. teorēma Jebkura vektora sadalīšana lineārās telpas bāzē Vienmēr pastāv un ir unikāls. Tas ir, pamats ir neatkarīga un pilnīga sistēma. Vektora izplešanās koeficienti  i pēc bāzes ( e i) tiek saukti koordinātas vektori bāzē ( e i }.▄

Visas nulles vektora koordinātas ir vienādas ar 0 jebkurā bāzē.

2.3. Piemēri

1. Kosmoss R 3 – no skolas kursa zināma trīsdimensiju vektoru telpa - “virzītie segmenti” ar parastajām saskaitīšanas “pēc paralelograma likuma” un reizināšanas ar skaitli operācijām. Standarta pamats veido trīs savstarpēji perpendikulārus vektorus, kas vērsti pa trim koordinātu asīm; tie ir apzīmēti ar burtiem i , j Un k.

2. Kosmoss K n n augstuma kolonnām ir n izmērs. Standarta pamats kolonnu telpā tie veido vektorus - tās ir kolonnas, kurās i-tajā pozīcijā ir vieninieki, bet pārējie elementi ir nulles:

Patiešām, ir viegli redzēt, ka jebkura kolonna ir sadalīta vektoru sistēmā unikālā veidā, proti: , t.i., jebkuras kolonnas izplešanās koeficienti ir vienkārši vienādi ar atbilstošajiem šīs kolonnas elementiem.

3. Polinomu telpas, kuras pakāpe nav augstāka par n, izmērs ir n+1. Standarta pamats šajā telpā:

(). Faktiski no n pakāpes polinoma definīcijas ir acīmredzams, ka jebkurš polinoms, kura pakāpe nav augstāka par n, ir unikāli attēlots kā lineāra vektoru kombinācija, un lineārās kombinācijas koeficienti ir vienkārši polinoma koeficienti (ja polinoma k pakāpe ir mazāka par n, tad pēdējie n-k koeficienti ir vienādi ar 0 ).
^

2.4. Lineāro telpu izomorfisms

Lai pamats ir iekšā L n . Tad visi aL n viens pret vienu atbilstība n skaitļu kopai – vektoru koordinātas a pamatnē. Tāpēc visi aL n var viens pret vienu kartēt vektoru no kolonnu telpas K n – kolonna, kuru veido no vektora koordinātām a. Ar šādu definētu atbilstību bāzei standarta bāze no K n . 4

Ir viegli pārbaudīt, vai vektoru summēšana ir L n noved pie atbilstošo koordinātu summēšanas bāzē; nozīmē vektoru summu iekšā L n atbilst mūsu sarakstei atbilstošo kolonnu summai K n ; Līdzīgs noteikums attiecas uz reizināšanu ar skaitli.

Tiek saukta divu telpu elementu savstarpēja atbilstība, saglabājot šajās telpās ieviestās darbības izomorfisms . Izomorfisms, tāpat kā vienlīdzība, ir pārejošs (transitīvs) īpašums: ja telpa L n izomorfs K n , un telpa K n izomorfs kādai telpai M n , tad L n izomorfs M n .

3. teorēma. Katra lineārā telpa ar dimensiju n ir izomorfa K n, tāpēc tranzitivitātes dēļ visas n dimensijas lineārās telpas ir viena otrai izomorfas. ▄

Izomorfie objekti no matemātikas viedokļa būtībā ir tikai viena objekta dažādi “iemiesojumi” (realizācijas), un jebkurš fakts, kas pierādīts noteiktai telpai, ir patiess arī jebkurai citai telpai, kas ir izomorfa pirmajai.

2.5 Apakštelpas

Apakštelpa telpa L sauc par apakškopu M L , slēgts saskaņā ar saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli darbībām, t.i. x,y

M 

Acīmredzot 0 M , Ja M – apakštelpa L , t.i., nulles vektors pieder jebkurai apakštelpai 5.

Katra lineārās telpas apakštelpa pati par sevi ir lineāra telpa. ķekars ( 0 ) ir apakštelpa (visas lineārās telpas aksiomas ir izpildītas, ja telpa sastāv no viena elementa – nulles vektora) 6 .

Katrā lineārajā telpā ir divi triviāls apakštelpas: pati telpa un nulles apakštelpa ( 0 ); tiek izsauktas citas apakštelpas netriviāls .

Divu apakštelpu krustpunkts ir apakštelpa. Divu apakštelpu savienība, vispārīgi runājot, nav apakštelpa, piemēram, divu līniju savienojumā, kas iet caur izcelsmi, nav vektoru summas, kas pieder dažādām līnijām (šāda summa atrodas starp rindām) 7 .

Ļaujiet , n L k . Tad visu šo vektoru lineāro kombināciju kopa, t.i. visu formas vektoru kopa

a =  1 f 1 +  2 f 2 + … n f n

Veido n-dimensiju apakštelpu G {f 1 , f 2 ,…f n ), ko sauc lineārais apvalks vektori ( f 1 , f 2 ,…f n).

4. teorēma. Jebkuras apakštelpas pamatu var papildināt ar visas telpas pamatu. Tie. ļaut M n L k apakštelpa, izmēri n – bāze in M n . Tad iekšā L k ir tāda vektoru kopa  L k , ka vektoru sistēma ( f 1 ,f 2 …f n , g 1 , g 2 , …g k-n) 8 ir lineāri neatkarīgs un satur k elementus, tāpēc tas veido pamatu. ▄
^

2.6. Apakštelpu piemēri.

1. B R 3 katra plakne, kas iet caur koordinātu sākumu, veido divdimensiju apakštelpu, un katra līnija, kas iet caur koordinātu sākumvietu, veido viendimensijas apakštelpu (plaknes un līnijas, kas nesatur 0 , nevar būt apakštelpas) un citas apakštelpas R 3 Nē.

2. Kolonnas telpā K 3 veidlapas kolonnas , t.i. kolonnas, kuru trešā koordināte ir 0, veido apakštelpu, kas ir acīmredzami izomorfa telpai K 2 kolonnas, augstums 2.

3. Kosmosā P n polinomi, grādi ne augstāki par n, polinomi, grādi ne augstāki par 2, forma trīsdimensiju apakštelpa (tiem ir trīs koeficienti).

4. Trīsdimensiju telpā P 2 polinomi, kuru pakāpe nav augstāka par 2, polinomi, kas izzūd noteiktā punktā x 0, veido divdimensiju apakštelpu (pierādiet!).

5. Uzdevums. Kosmosā K 4 ķekars M sastāv no kolonnām, kuru koordinātas atbilst nosacījumam: 1 2 2 + 3 =0 (*). Pierādiet to M trīsdimensiju apakštelpa K 4 .

Risinājums. Pierādīsim to M apakštelpa. Patiešām, ļaujiet A M , b M , kas nozīmē a 1 2a 2 + a 3 =0, b 1 2b 2 + b 3 =0. Bet saskaņā ar vektoru pievienošanas likumu ( A + b) i= a i+ b i. No tā izriet, ka, ja vektoriem A Un b nosacījums (*) ir izpildīts, tad par A + bšis nosacījums ir izpildīts. Ir arī skaidrs, ka, ja par kolonnu A nosacījums (*) ir izpildīts, tad tas ir izpildīts arī kolonnai A. Un visbeidzot kopas nulles vektors M pieder. Tādējādi ir pierādīts, ka M apakštelpa. Pierādīsim, ka tas ir trīsdimensiju. Ņemiet vērā, ka jebkurš vektors a M nosacījuma dēļ (*) ir koordinātes (**). Ļaujiet m 1 = , m 2 = , a h 4 = . Parādīsim, ka vektoru sistēma ( m 1 ,m 2 ,h 4 ) veido pamatu M . Izveidosim lineāru kombināciju 1 m 1 + 2 m 2 +h 4 = ar patvaļīgiem koeficientiem. Acīmredzot jebkurš vektors A no M (sk. (**)) tiek sadalīts atbilstoši kopai ( m 1 ,m 2 , h 4 ); lai to izdarītu, kā izplešanās koeficientus izvēlēties vektora koordinātas 1 = a 1, 2 = a 2, 4 = a 4. Jo īpaši vienīgā lineārā vektoru kombinācija m 1 ,m 2 , h 4 , kas vienāds ar nulles vektoru, ir kombinācija ar nulles koeficientiem: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. No nulles vektora izvērsuma unikalitātes izriet, ka ( m 1 ,m 2 , h 4 ) neatkarīga vektoru sistēma. Un no tā, ka visi A M tiek paplašināts atbilstoši sistēmai ( m 1 ,m 2 , h 4 ), no tā izriet, ka šī sistēma ir pabeigta. Pilnīga un neatkarīga sistēma veido pamatu apakštelpā M . Tā kā šī bāze satur trīs vektorus, tad M trīsdimensiju apakštelpa.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Ļaujiet L Un M- divas telpas apakštelpas R.

Summa L+M sauc par vektoru kopu x+y, Kur x∈L Un y∈M. Acīmredzot jebkura lineāra vektoru kombinācija no L+M pieder L+M, tātad L+M ir telpas apakštelpa R(var sakrist ar atstarpi R).

Ar krustojumu L∩M apakštelpas L Un M ir vektoru kopa, kas vienlaikus pieder apakštelpām L Un M(var sastāvēt tikai no nulles vektora).

Teorēma 6.1. Patvaļīgu apakštelpu izmēru summa L Un M ierobežotu dimensiju lineārā telpa R vienāds ar šo apakštelpu summas izmēru un šo apakštelpu krustpunkta izmēru:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Pierādījums. Apzīmēsim F=L+M Un G=L∩M. Ļaujiet G g-dimensiju apakštelpa. Izvēlēsimies tajā pamatu. Jo G⊂L Un G⊂M, tāpēc pamats G var pievienot bāzei L un uz bāzi M. Ļaujiet apakštelpas pamatam L un ļaujiet apakštelpas pamatam M. Parādīsim, ka vektori

pieder apakštelpai G=L∩M. No otras puses, vektors v var attēlot ar apakštelpas bāzes vektoru lineāru kombināciju G:

Sakarā ar apakštelpas pamata lineāro neatkarību L mums ir:

lineāri neatkarīgs. Bet jebkurš vektors z no F(pēc apakštelpu summas definīcijas) var attēlot ar summu x+y, Kur x∈L, y∈M. Savukārt x ko attēlo lineāra vektoru kombinācija a y- vektoru lineāra kombinācija. Līdz ar to vektori (6.10) ģenerē apakštelpu F. Mēs atklājām, ka vektori (6.10) veido pamatu F=L+M.

Apakštelpas bāzu izpēte L Un M un apakštelpas bāze F=L+M(6.10), mums ir: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Tātad:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

2. Lineārā operatora īpašvektori un īpašvērtības.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Tiek izsaukts vektors X ≠ 0 īpašvektors lineārais operators ar matricu A, ja ir tāds skaitlis l, ka AX = lX.

Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs l īpašvērtība operatoram (matrica A), kas atbilst vektoram x.

Citiem vārdiem sakot, īpašvektors ir vektors, kas lineāra operatora iedarbībā pārvēršas par kolineāru vektoru, t.i. vienkārši reiziniet ar kādu skaitli. Turpretim nepareizus vektorus ir sarežģītāk pārveidot.

Pierakstīsim īpašvektora definīciju vienādojumu sistēmas veidā:

Pārvietosim visus terminus uz kreiso pusi:

Pēdējo sistēmu var uzrakstīt matricas formā šādi:

(A - lE)X = O

Iegūtajai sistēmai vienmēr ir nulles risinājums X = O. Tādas sistēmas, kurās visi brīvie termini ir vienādi ar nulli, sauc viendabīgs. Ja šādas sistēmas matrica ir kvadrāta un tās determinants nav vienāds ar nulli, tad, izmantojot Krāmera formulas, mēs vienmēr iegūsim unikālu risinājumu – nulli. Var pierādīt, ka sistēmai ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, tad un tikai tad, ja šīs matricas determinants ir vienāds ar nulli, t.i.

|A - lE| = = 0

Šo vienādojumu ar nezināmo sauc raksturīgais vienādojums(raksturīgs polinoms) matrica A (lineārais operators).

Var pierādīt, ka lineāra operatora raksturīgais polinoms nav atkarīgs no bāzes izvēles.

Piemēram, atradīsim lineārā operatora īpašvērtības un īpašvektorus, ko nosaka matrica A = .

Lai to izdarītu, izveidosim raksturīgo vienādojumu |A - lE| = = (1 -l) 2 - 36 = 1 - 2l+l 2 - 36 =l 2 - 2l- 35; D = 4 + 140 = 144; īpašvērtībasl 1 = (2-12)/2 = -5;l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Lai atrastu īpašvektorus, mēs atrisinām divas vienādojumu sistēmas

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Pirmajam no tiem izvērsta matrica iegūst formu

,

no kurienes x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = -(2/3)s, t.i. X (1) = (-(2/3) s; s).

Otrajam no tiem izvērstā matrica iegūst formu

,

no kur x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, t.i. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Tādējādi šī lineārā operatora īpašvektori ir visi formas (-(2/3)с; с) vektori ar īpašvērtību (-5) un visi formas ((2/3)с 1 ; с 1) vektori ar īpašvērtība 7 .

Var pierādīt, ka operatora A matrica bāzē, kas sastāv no tā īpašvektoriem, ir diagonāla un tai ir forma:

,

kur l i ir šīs matricas īpašvērtības.

Ir arī otrādi: ja matrica A kādā bāzē ir diagonāla, tad visi šīs bāzes vektori būs šīs matricas īpašvektori.

Var arī pierādīt, ka, ja lineāram operatoram ir n pāros atšķirīgas īpašvērtības, tad attiecīgie īpašvektori ir lineāri neatkarīgi, un šī operatora matricai attiecīgajā bāzē ir diagonāla forma.

Ilustrēsim to ar iepriekšējo piemēru. Ņemsim patvaļīgas vērtības, kas nav nulles vērtības c un c 1, bet tādas, lai vektori X (1) un X (2) būtu lineāri neatkarīgi, t.i. veidotu pamatu. Piemēram, pieņemsim, ka c = c 1 = 3, tad X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3). Pārbaudīsim šo vektoru lineāro neatkarību:

12 ≠ 0. Šajā jaunajā bāzē matrica A būs A * = .

Lai to pārbaudītu, izmantosim formulu A * = C -1 AC. Vispirms atradīsim C -1.

C -1 = ;

EKSĀMENU BIĻETE Nr.11

1. Pāreja uz jaunu bāzi lineārajā telpā. Pārejas matrica.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Pāreja uz jaunu pamatu

Telpā R ir divas bāzes: vecā e l , e 2 ,...e n un jaunā e l * , e 2 * ,...e n * . Jebkuru jaunu bāzes vektoru var attēlot kā veco bāzes vektoru lineāru kombināciju:

Var norādīt pāreju no vecās bāzes uz jauno pārejas matrica

Ņemiet vērā, ka jauno bāzes vektoru reizināšanas koeficienti salīdzinājumā ar veco bāzi veido šīs matricas kolonnas, nevis rindas.

Matrica A nav vienskaitlī, jo pretējā gadījumā tās kolonnas (un līdz ar to bāzes vektori) izrādītos lineāri atkarīgas. Tāpēc tai ir apgrieztā matrica A -1.

Lai vektoram X ir koordinātes (x l, x 2,... x n) attiecībā pret veco bāzi un koordinātes (x l *, x 2 *,... x n *) attiecībā pret jauno bāzi, t.i. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

Aizvietosim šajā vienādojumā vērtības e l * , e 2 * ,...e n * no iepriekšējās sistēmas:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 – x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

Sakarā ar vektoru e l, e 2,...e n lineāro neatkarību, visiem koeficientiem tiem pēdējā vienādojumā jābūt vienādiem ar nulli. No šejienes:

vai matricas formā

Reiziniet abas puses ar A -1, iegūstam:

Piemēram, pieņemsim, ka bāzei e l , e 2 , e 3 ir vektori a 1 = (1, 1, 0) un 2 = (1, -1, 1) un 3 = (-3, 5, -6 ) un b = (4; -4; 5). Parādiet, ka vektori a l, a 2 un 3 arī veido bāzi un izsaka vektoru b šajā bāzē.

Parādīsim, ka vektori a l, a 2 un 3 ir lineāri neatkarīgi. Lai to izdarītu, mēs pārliecināmies, ka no tiem sastāvošās matricas rangs ir vienāds ar trīs:

Ņemiet vērā, ka sākotnējā matrica nav nekas vairāk kā pārejas matrica A. Faktiski savienojumu starp bāzēm el, e 2, e 3 un a l, a 2 un 3 var izteikt ar sistēmu:

Aprēķināsim A -1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Tas ir, bāzē a l, a 2, a 3 vektors b = (0,5; 2; -0,5).

2 Vektora garums un leņķis starp vektoriem Eiklīda telpā.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Ļaut un būt lineāras telpas apakštelpas.

Šķērsojot apakštelpas un tiek saukta par vektoru kopumu, no kuriem katrs pieder un tajā pašā laikā, t.i. apakštelpu krustpunktu definē kā parastu divu kopu krustpunktu.

Apakštelpu algebriskā summa un to sauc par formas vektoru kopu , kur . Tiek apzīmēta apakštelpu algebriskā summa (īsi sakot, tikai summa).

Tiek izsaukta vektora attēlošana formā , kur vektoru dekompozīcija nav apakštelpu Un .

Piezīmes 8.8

1. Apakštelpu krustpunkts ir apakštelpa. Tāpēc dimensijas, bāzes u.c. attiecas uz krustojumiem.

2. Apakštelpu summa ir apakštelpa. Tāpēc dimensijas, bāzes u.c. attiecas uz summām.

Patiešām, komplektā ir jāparāda lineāro darbību noslēgtība. Lai summai pieder divi vektori, t.i. katrs no tiem ir sadalīts apakštelpās:

Atradīsim summu: . Kopš , un , tad . Līdz ar to komplekts ir slēgts attiecībā uz pievienošanas darbību. Atradīsim darbu: . Kopš , a , tad . Līdz ar to kopa ir slēgta attiecībā uz reizināšanas ar skaitli darbību. Tādējādi ir lineāra apakštelpa.

3. Krustpunkta darbība ir definēta uz visu lineārās telpas apakštelpu kopas. Tā ir komutatīva un asociatīva. Jebkuras apakštelpu saimes krustpunkts V ir lineāra apakštelpa, un iekavas izteiksmē - var novietot patvaļīgi vai nemaz.

4. Minimālā lineārā apakštelpa kas satur ierobežotas dimensijas lineārās telpas apakškopu, ir visu apakštelpu krustpunkts, kas satur, t.i. . Ja , tad norādītais krustojums sakrīt ar nulles apakštelpu, jo tas atrodas jebkurā no apakštelpām. Ja ir lineāra apakštelpa, tad norādītais krustpunkts sakrīt ar, jo tas atrodas katrā no krustojošajām apakštelpām (un ir viena no tām: ).

Lineārā apvalka minimālā īpašība: lineārais apvalks jebkura apakškopa ierobežotu dimensiju lineārā telpa ir minimālā lineārā apakštelpa, kas satur , t.i. .

Patiešām, apzīmēsim . Ir jāpierāda divu kopu vienādība: . Tā kā (skat. 8.7. komentāra 6. punktu), tad. Pierādīsim iekļaušanu. Patvaļīgam elementam ir forma , kur . Ļaut būt jebkurai apakštelpai, kas satur . Tajā ir visi vektori un jebkura to lineārā kombinācija (sk. 8.7. piezīmes 7. punktu), jo īpaši vektors . Tāpēc vektors pieder jebkurai apakštelpai, kas satur . Tas nozīmē, ka tas pieder pie šādu apakštelpu krustpunkta. Tādējādi,. No abiem ieslēgumiem izriet vienlīdzība.

5. Apakštelpas pievienošanas darbība ir definēta uz visu lineārās telpas apakštelpu kopas. Tā ir komutatīva un asociatīva. Tāpēc ierobežota skaita apakštelpu summās iekavas var ievietot patvaļīgi vai nemaz.

6. Mēs varam definēt apakštelpu savienību kā vektoru kopu, no kurām katra pieder telpai vai telpai (vai abām apakštelpām). Tomēr apakštelpu savienība vispārīgā gadījumā nav apakštelpa (tā būs apakštelpa tikai ar papildu nosacījumu vai ).

7. Apakštelpu summa sakrīt ar to savienojuma lineāro laidumu. Patiešām, iekļaušana izriet no definīcijas. Jebkuram kopas elementam ir forma , t.i. ir lineāra divu vektoru kombinācija no kopas. Pierādīsim pretējo iekļaušanu. Jebkuram elementam ir forma , Kur. Sadalīsim šo summu divās daļās, pirmajai summai piešķirot visus nosacījumus, kuriem ir . Atlikušie noteikumi veidos otro summu:

Pirmā summa ir kāds vektors, otrā summa ir kāds vektors. Līdz ar to,. Nozīmē,. Iegūtie divi ieslēgumi norāda uz aplūkojamo kopu vienlīdzību.

8.4. teorēma par apakštelpu summas dimensiju. Ja Un ierobežotas dimensijas lineārās telpas apakštelpas , tad apakštelpu summas izmērs ir vienāds ar to izmēru summu bez to krustpunkta dimensijas (Grasmana formula ):

Faktiski ļaujiet būt krustojuma pamatā. Papildināsim to ar sakārtotu vektoru kopu līdz apakštelpas pamatam un sakārtotu vektoru kopu līdz apakštelpas pamatam. Šāds papildinājums ir iespējams ar teorēmu 8.2. No iepriekšminētajām trīs vektoru kopām mēs izveidojam sakārtotu kopu vektori. Parādīsim, ka šie vektori ir telpas ģeneratori. Patiešām, jebkurš šīs telpas vektors tiek attēlots kā lineāra vektoru kombinācija no sakārtotas kopas

Līdz ar to,. Pierādīsim, ka ģeneratori ir lineāri neatkarīgi un tāpēc ir telpas pamats. Patiešām, izveidosim šo vektoru lineāru kombināciju un pielīdzināsim to nulles vektoram:

Apzīmēsim pirmās divas summas - tas ir kāds vektors no , pēdējā summa, ko apzīmējam - tas ir kāds vektors no . Vienādība (8.14): nozīmē, ka vektors arī pieder telpai. Nozīmē,. Paplašinot šo vektoru virs bāzes, mēs atklājam . Ņemot vērā šī vektora izplešanos (8.14), iegūstam

Pēdējo vienādību var uzskatīt par nulles vektora izplešanos apakštelpas bāzes izteiksmē. Visi šī izplešanās koeficienti ir nulle: un . Aizvietojot ar (8.14), mēs iegūstam. Tas ir iespējams tikai triviālā gadījumā un , jo vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga (tas ir apakštelpas pamats). Tādējādi vienādība (8.14) ir izpildīta tikai triviālā gadījumā, kad visi koeficienti vienlaikus ir vienādi ar nulli. Tāpēc vektoru kopa lineāri neatkarīgs, t.i. ir telpas pamats. Aprēķināsim apakštelpu summas izmēru:

Q.E.D.

Piemērs 8.6. Rādiusu vektoru telpā ar kopīgu sākumu punktā ir dotas šādas apakštelpas: un - trīs rādiusu vektoru kopas, kas pieder pie taisnēm, kas krustojas punktā un attiecīgi; un ir divas rādiusu vektoru kopas, kas pieder attiecīgi krustojošām plaknēm un; taisne, pieder plaknei, taisne pieder plaknei, plakne un krustojas taisnē (8.2. att.). Atrodiet katras divas no piecām norādītajām apakštelpām summas un krustpunktus.

Risinājums. Atradīsim summu. Saskaitot divus vektorus, kas pieder un, attiecīgi, iegūstam plaknei piederošu vektoru. Gluži pretēji, jebkuru vektoru (sk. 8.2. att.), kas pieder pie, var attēlot formā, konstruējot projekcijas un vektorus attiecīgi uz taisnēm un. Tas nozīmē, ka jebkuru plaknes rādiusa vektoru var izvērst apakštelpās un , t.i. . Līdzīgi mēs atklājam, ka , A ir rādiusa vektoru kopa, kas pieder plaknei, kas iet caur līnijām un .

Atradīsim summu. Jebkuru telpas vektoru var izvērst apakštelpās un . Faktiski caur rādiusa vektora galu novelkam taisni paralēli taisnei (sk. 8.2. att.), t.i. konstruējam vektora projekciju plaknē. Tad mēs atlikam vektoru tā, lai . Līdz ar to,. Kopš tā laika. Līdzīgi mēs iegūstam to. Atlikušās summas atrodamas vienkārši: . Ievērojiet, ka.

Izmantojot teorēmu 8.4, pārbaudīsim, piemēram, dimensiju vienādību. Aizvietojot Grassmann formulu, mēs iegūstam, kā varētu sagaidīt, jo .

Apakštelpu krustpunktus mēs atrodam attēlā. 8.2, kā ģeometrisko formu krustpunkts:

kur ir nulles rādiusa vektors.

Tikai vietas summa. Tiešās summas kritēriji.