Průnik a součet podprostorů lineárního prostoru. Průnik a součet podprostorů lineárního prostoru Dimenze, báze, souřadnice

Definice. Lineární prostor nad číselným polem NA nazvaný soubor R prvky, které budeme nazývat vektory a označovat ,, a tak dále, pokud:

Z těchto axiomů vyplývá, že:

Lineární skořápky

Definice.Lineární skořepina rodina vektorů je množina všech jejich možných lineárních kombinací v lineárním prostoru L.

Je snadné zkontrolovat, že lineární trup je lineární prostor uvnitř L.

Lineární skořepina také nazývaný podprostor překlenutý vektory nebo generovaný vektory rodiny Může být také definován jako průsečík všech podprostorů v L, obsahující vše Hodnost rodina vektorů se nazývá dimenze jejího lineárního rozpětí.

První charakteristická vlastnost základu: jeho lineární skořápka se shoduje se všímL.

Podprostory

Definice. Lineární podprostor nebo vektorový podprostor je neprázdná sada K lineární prostor L takové, že K sám je lineární prostor s ohledem na ty definované v L operace sčítání a násobení skalárem. Množina všech podprostorů je označena jako lat ( L ) . Aby byla podmnožina podprostorem, je to nutné a dostatečné

Poslední dva výroky jsou ekvivalentní následujícímu:

Konkrétně prostor sestávající z jednoho prvku je podprostorem jakéhokoli prostoru; každý prostor je sám o sobě podprostorem. Volají se podprostory, které se s těmito dvěma neshodují vlastní nebo netriviální.

Vlastnosti podprostorů

Ve funkcionální analýze v nekonečně-dimenzionálních prostorech je kladen zvláštní důraz na uzavřené podprostory.

Lineární závislost vektorů

Definice. Rodina vektorů se nazývá lineární nezávislý, pokud žádná netriviální lineární kombinace není rovna nule, tedy od

z toho vyplývá, že vše = 0. Jinak se nazývá lineární závislý. To znamená lineární nezávislost rodiny nulový vektor je jednoznačně reprezentován jako lineární kombinace prvků rodiny. Potom jakýkoli jiný vektor má buď jedinou reprezentaci, nebo žádnou. Vskutku, srovnání těchto dvou reprezentací

Z toho vyplývá druhá charakteristická vlastnost základu: jeho prvky jsou lineárně nezávislé. Definice těchto dvou vlastností je ekvivalentní výchozí definici báze.

všimněte si, že rodina vektorů je lineárně nezávislá právě tehdy, když tvoří základ jejího lineárního rozsahu.

Rodina je zjevně lineárně závislá, pokud existuje nula nebo dva identické vektory.

Lemma 1. Rodina vektorů je lineárně závislá právě tehdy, když alespoň jeden z vektorů je lineární kombinací ostatních.

Důkaz.

Li

Naopak, pokud , pak

Lemma 2. je lineárně závislá, pak jde o lineární kombinaci.

Důkaz.

Pokud se nerovnají, pak musí být, jinak bychom dostali netriviální závislost mezi Proto

Lineární (vektorový) Prostor je množina V libovolných prvků zvaných vektory, ve kterých jsou definovány operace sčítání vektorů a násobení vektoru číslem, tzn. nějakým dvěma vektorům \mathbf(u) a (\mathbf(v)) je přiřazen vektor \mathbf(u)+\mathbf(v), nazývaný součet vektorů \mathbf(u) a (\mathbf(v)), libovolný vektor (\mathbf(v)) a libovolné číslo \lambda z oboru reálných čísel \mathbb(R) je spojen s vektorem \lambda\mathbf(v), nazývaný součin vektoru \mathbf(v) číslem \lambda ; jsou tedy splněny následující podmínky:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(komutativnost sčítání);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(asociativnost sčítání);
3. existuje prvek \mathbf(o)\in V , nazývaný nulový vektor, takový, že \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. pro každý vektor (\mathbf(v)) existuje vektor nazvaný opačný k vektoru \mathbf(v) takový, že \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ in\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Jsou volány podmínky 1-8 axiomy lineárního prostoru. Rovnítko umístěné mezi vektory znamená, že levá a pravá strana rovnosti představují stejný prvek množiny V, takové vektory se nazývají stejné.

V definici lineárního prostoru je pro reálná čísla zavedena operace násobení vektoru číslem. Takový prostor se nazývá lineární prostor nad polem reálných čísel, nebo ve zkratce skutečný lineární prostor. Pokud v definici místo tělesa \mathbb(R) reálných čísel vezmeme těleso komplexních čísel \mathbb(C) , pak dostaneme lineární prostor nad polem komplexních čísel, nebo ve zkratce komplexní lineární prostor. Jako číselné těleso můžeme zvolit i těleso \mathbb(Q) racionálních čísel a v tomto případě získáme lineární prostor nad tělesem racionálních čísel. V následujícím textu, pokud není uvedeno jinak, budou uvažovány skutečné lineární prostory. V některých případech budeme pro stručnost hovořit o prostoru a vynecháme slovo lineární, protože všechny níže diskutované prostory jsou lineární.

Poznámky 8.1

1. Axiomy 1-4 ukazují, že lineární prostor je komutativní grupa s ohledem na operaci sčítání.

2. Axiomy 5 a 6 určují distributivitu operace násobení vektoru číslem ve vztahu k operaci sčítání vektorů (axiom 5) nebo k operaci sčítání čísel (axiom 6). Axiom 7, někdy nazývaný zákon asociativity násobení číslem, vyjadřuje souvislost mezi dvěma různými operacemi: násobením vektoru číslem a násobením čísel. Vlastnost definovaná Axiomem 8 se nazývá unitarita operace násobení vektoru číslem.

3. Lineární prostor je neprázdná množina, protože nutně obsahuje nulový vektor.

4. Operace sčítání vektorů a násobení vektoru číslem se nazývají lineární operace s vektory.

5. Rozdíl mezi vektory \mathbf(u) a \mathbf(v) je součtem vektoru \mathbf(u) s opačným vektorem (-\mathbf(v)) a značí se: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Dva nenulové vektory \mathbf(u) a \mathbf(v) se nazývají kolineární (proporcionální), pokud existuje číslo \lambda takové, že \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Koncept kolinearity se vztahuje na libovolný konečný počet vektorů. Vektor nuly \mathbf(o) je považován za kolineární s jakýmkoli vektorem.

Důsledky lineárních prostorových axiomů

1. V lineárním prostoru je pouze jeden nulový vektor.

2. V lineárním prostoru pro jakýkoli vektor \mathbf(v)\in V existuje jedinečný opačný vektor (-\mathbf(v))\in V.

3. Součin libovolného prostorového vektoru a čísla nula je roven nulovému vektoru, tzn. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Součin nulového vektoru libovolným číslem je roven nulovému vektoru, tedy pro libovolné číslo \lambda.

5. Vektor opačný k danému vektoru je roven součinu tohoto vektoru o číslo (-1), tzn. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Ve vyjádřeních tvaru \mathbf(a+b+\ldots+z)(součet konečného počtu vektorů) popř \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(součin vektoru a konečného počtu faktorů) můžete závorky umístit v libovolném pořadí nebo je nespecifikovat vůbec.

Dokažme například první dvě vlastnosti. Jedinečnost nulového vektoru. Jestliže \mathbf(o) a \mathbf(o)“ jsou dva nulové vektory, pak axiomem 3 získáme dvě rovnosti: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" nebo \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), jehož levé strany jsou si rovny podle axiomu 1. V důsledku toho jsou si rovny i pravé strany, tzn. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Jedinečnost opačného vektoru. Pokud má vektor \mathbf(v)\in V dva opačné vektory (-\mathbf(v)) a (-\mathbf(v))“, pak axiomy 2, 3,4 získáme jejich rovnost:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Zbývající vlastnosti jsou prokázány obdobně.

Příklady lineárních prostorů

1. Označme \(\mathbf(o)\) - množinu obsahující jeden nulový vektor s operacemi \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) A \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Pro uvedené operace jsou splněny axiomy 1-8. Následně je množina \(\mathbf(o)\) lineární prostor nad libovolným číselným polem. Tento lineární prostor se nazývá null.

2. Označme V_1,\,V_2,\,V_3 - množiny vektorů (směrované úsečky) na přímce, na rovině, v prostoru, respektive s obvyklými operacemi sčítání vektorů a násobení vektorů číslem. Splnění axiomů 1-8 lineárního prostoru vyplývá z kurzu elementární geometrie. V důsledku toho jsou množiny V_1,\,V_2,\,V_3 reálné lineární prostory. Místo volných vektorů můžeme uvažovat odpovídající množiny poloměrových vektorů. Například množina vektorů v rovině, které mají společný počátek, tzn. vykreslený z jednoho pevného bodu roviny je skutečný lineární prostor. Množina poloměrových vektorů jednotkové délky netvoří lineární prostor, protože pro žádný z těchto vektorů součet \mathbf(v)+\mathbf(v) nepatří do uvažovaného souboru.

3. Označme \mathbb(R)^n - množinu matic-sloupců o velikostech n\times1 s operacemi sčítání matic a násobení matic číslem. Pro tuto množinu jsou splněny axiomy 1-8 lineárního prostoru. Nulový vektor v této sadě je nulový sloupec o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. V důsledku toho je množina \mathbb(R)^n skutečný lineární prostor. Podobně množina \mathbb(C)^n sloupců o velikosti n\times1 s komplexními prvky je komplexní lineární prostor. Množina sloupcových matic s nezápornými reálnými prvky naopak není lineární prostor, protože neobsahuje opačné vektory.

4. Označme \(Ax=o\) - množinu řešení homogenní soustavy Ax=o lineárních algebraických rovnic s a neznámými (kde A je reálná matice soustavy), uvažovanou jako množinu sloupců velikostí n\times1 s operacemi sčítání matic a násobení matic číslem . Všimněte si, že tyto operace jsou skutečně definovány na množině \(Ax=o\) . Z vlastnosti 1 řešení homogenní soustavy (viz oddíl 5.5) vyplývá, že součet dvou řešení homogenní soustavy a součin jejího řešení číslem jsou také roztoky homogenní soustavy, tzn. patří do množiny \(Ax=o\) . Axiomy lineárního prostoru pro sloupce jsou splněny (viz bod 3 v příkladech lineárních prostorů). Proto je množina řešení homogenního systému skutečným lineárním prostorem.

Množina \(Ax=b\) řešení nehomogenní soustavy Ax=b,~b\ne o naopak není lineárním prostorem, už jen proto, že neobsahuje nulový prvek (x=o je není řešením nehomogenního systému).

5. Označme M_(m\krát n) - množinu matic o velikosti m\krát n s operacemi sčítání matic a násobení matic číslem. Pro tuto množinu jsou splněny axiomy 1-8 lineárního prostoru. Nulový vektor je nulová matice O vhodných velikostí. Množina M_(m\krát n) je tedy lineární prostor.

6. Označme P(\mathbb(C)) - množinu polynomů jedné proměnné s komplexními koeficienty. Operace sčítání mnoha členů a násobení polynomu číslem považovaným za polynom nulového stupně jsou definovány a splňují axiomy 1-8 (zejména nulový vektor je polynom, který je shodně roven nule). Proto množina P(\mathbb(C)) je lineární prostor nad polem komplexních čísel. Množina P(\mathbb(R)) polynomů s reálnými koeficienty je také lineárním prostorem (ale samozřejmě nad oborem reálných čísel). Množina P_n(\mathbb(R)) polynomů stupně nejvýše n s reálnými koeficienty je také skutečný lineární prostor. Všimněte si, že operace sčítání mnoha členů je definována na této množině, protože stupeň součtu polynomů nepřesahuje stupně členů.

Množina polynomů stupně n není lineárním prostorem, protože součet takových polynomů se může ukázat jako polynom nižšího stupně, který do uvažované množiny nepatří. Množina všech polynomů stupně ne vyššího než n s kladnými koeficienty také není lineární prostor, protože vynásobením takového polynomu záporným číslem vznikne polynom, který do této množiny nepatří.

7. Označme C(\mathbb(R)) - množinu reálných funkcí definovaných a spojitých na \mathbb(R) . Součet (f+g) funkcí f,g a součin \lambda f funkce f a reálné číslo \lambda jsou definovány rovností:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) pro všechny x\in \mathbb(R)

Tyto operace jsou skutečně definovány na C(\mathbb(R)), protože součet spojitých funkcí a součin spojité funkce a čísla jsou spojité funkce, tj. prvky C(\mathbb(R)) . Zkontrolujme splnění axiomů lineárního prostoru. Protože sčítání reálných čísel je komutativní, vyplývá z toho, že rovnost f(x)+g(x)=g(x)+f(x) pro libovolné x\in \mathbb(R) . Proto f+g=g+f, tzn. axiom 1 je splněn. Axiom 2 vyplývá podobně z asociativnosti sčítání. Nulovým vektorem je funkce o(x), shodně rovna nule, která je ovšem spojitá. Pro libovolnou funkci f platí rovnost f(x)+o(x)=f(x), tzn. Axiom 3 je pravdivý Opačným vektorem pro vektor f bude funkce (-f)(x)=-f(x) . Pak f+(-f)=o (axiom 4 je pravdivý). Axiomy 5, 6 vyplývají z distributivity operací sčítání a násobení reálných čísel a axiom 7 - z asociativnosti násobení čísel. Poslední axiom je splněn, protože násobení jedna nemění funkci: 1\cdot f(x)=f(x) pro libovolné x\in \mathbb(R), tzn. 1\cdot f=f . Uvažovaná množina C(\mathbb(R)) se zavedenými operacemi je tedy skutečný lineární prostor. Podobně je dokázáno, že C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- množiny funkcí, které mají spojité derivace první, druhé atd. řády jsou také lineární prostory.

Označme množinu trigonometrických binomů (často \omega\ne0 ) s reálnými koeficienty, tzn. mnoho funkcí formuláře f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Kde a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Součet takových binomů a součin binomu reálným číslem jsou trigonometrické binomy. Lineární prostorové axiomy pro uvažovanou množinu jsou splněny (od T_(\omega)(\mathbb(R))\podmnožina C(\mathbb(R))). Proto mnoho T_(\omega)(\mathbb(R)) s obvyklými operacemi sčítání a násobení číslem pro funkce jde o skutečný lineární prostor. Nulový prvek je binom o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, shodně rovna nule.

Soubor reálných funkcí definovaných a monotónních na \mathbb(R) není lineární prostor, protože rozdíl dvou monotónních funkcí se může ukázat jako nemonotónní funkce.

8. Označme \mathbb(R)^X - množinu reálných funkcí definovaných na množině X s operacemi:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Je to skutečný lineární prostor (důkaz je stejný jako v předchozím příkladu). V tomto případě lze množinu X zvolit libovolně. Zejména pokud X=\(1,2,\ldots,n\), pak f(X) je uspořádaná množina čísel f_1,f_2,\ldots,f_n, Kde f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Takovou množinu lze považovat za matici-sloupec o rozměrech n\times1 , tzn. hromada \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) se shoduje s množinou \mathbb(R)^n (příklady lineárních prostorů viz bod 3). Jestliže X=\mathbb(N) (připomeňme, že \mathbb(N) je množina přirozených čísel), pak dostaneme lineární prostor \mathbb(R)^(\mathbb(N))- mnoho číselných řad \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Zejména množina konvergentních číselných posloupností také tvoří lineární prostor, protože součet dvou konvergentních posloupností konverguje, a když všechny členy konvergentní posloupnosti vynásobíme číslem, získáme konvergentní posloupnost. Naproti tomu množina divergentních posloupností není lineární prostor, protože například součet divergentních posloupností může mít limitu.

9. Označme \mathbb(R)^(+) - množina kladných reálných čísel, ve kterých je součet a\oplus b a součin \lambda\ast a (zápisy v tomto příkladu se liší od obvyklých). definované rovností: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda) jinými slovy, součet prvků je chápán jako součin čísel a násobení prvku číslem je chápáno jako umocnění. Obě operace jsou skutečně definovány na množině \mathbb(R)^(+), protože součin kladných čísel je kladné číslo a jakákoli skutečná mocnina kladného čísla je kladné číslo. Zkontrolujme platnost axiomů. Rovnosti

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

ukazují, že axiomy 1 a 2 jsou splněny. Nulový vektor této množiny je jedna, protože a\oplus1=a\cdot1=a, tj. o=1. Opačný vektor pro a je vektor \frac(1)(a) , který je definován od a\ne o . Vskutku, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Zkontrolujeme splnění axiomů 5, 6,7,8:

\begin(shromážděno) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(shromážděno)

Všechny axiomy jsou splněny. V důsledku toho je uvažovaná množina skutečným lineárním prostorem.

10. Nechť V je skutečný lineární prostor. Uvažujme množinu lineárních skalárních funkcí definovaných na V, tzn. funkcí f\dvojtečka V\to \mathbb(R), převzetí skutečných hodnot a splnění podmínek:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(aditivnost);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(stejnorodost).

Lineární operace s lineárními funkcemi jsou specifikovány stejným způsobem jako v odstavci 8 příkladů lineárních prostorů. Součet f+g a součin \lambda\cdot f jsou definovány rovností:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ ve V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Splnění axiomů lineárního prostoru je potvrzeno stejným způsobem jako v odstavci 8. Množina lineárních funkcí definovaných na lineárním prostoru V je tedy lineárním prostorem. Tento prostor se nazývá konjugovaný s prostorem V a značí se V^(\ast) . Jeho prvky se nazývají covektory.

Například soubor lineárních forem n proměnných, považovaných za soubor skalárních funkcí argumentu vektoru, je lineární prostor konjugovaný s prostorem \mathbb(R)^n.

Pokud si všimnete chyby, překlepu nebo máte nějaké návrhy, napište do komentářů.

Lineární prostor nazvaný soubor L , ve kterém jsou definovány operace sčítání a násobení číslem, tzn. pro každou dvojici prvků a,bL tam je nějaký CL , který se nazývá jejich součet, a pro libovolný prvek AL a existuje libovolné číslo R bL nazývaný součin  podle A. Prvky lineárního prostoru se nazývají vektory . Operace sčítání a násobení číslem splňují následující axiomy.

Axiomy sčítání:  a, b, c  L

a+b = b+a – komutativnost

(a+b) + c = a + (b+c) – asociativnost

V prostoru existuje prvek tzv nulový vektor a je určeno 0 , což se sčítá s libovolným A z L dává stejný prvek A, těch.  0L:  a L 0 + a = a.

Pro každého A z L existuje opačný prvek , označené -A, takové, že (-a) + a = 0

( a L  (-a) L: (-a) + a = 0)

Důsledky axiomů sčítání:

1. Nulový vektor je jedinečný, tzn. pokud alespoň pro jednoho a L to je fér b + a = a, Že b = 0.

2. Pro libovolný vektor AL jedinečný je prvek opačný, tzn. b + a = 0  b = (-a)

Axiomy násobení:  ,  R  a, b  L

 (A) = ()A

(a+b) =a +b – distributivita (podle vektorů)

(+)a =a +a – distributivita (podle čísel)

1a = a

Důsledky z axiomů násobení:  A L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-A) = (-1) A
^

2.1 Příklady lineárních prostorů

1. Prostor K n sloupy výšky n. Prvky tohoto prostoru jsou sloupce obsahující n reálných čísel s operacemi komponentového sčítání a komponentového násobení číslem. Nulový vektor v takovém prostoru je sloupec skládající se z n nul.

2. Obyčejné vektory v trojrozměrném prostoru R 3 s operacemi sčítání „podle pravidla rovnoběžníku“ a násobením-rozšířením. Předpokládá se, že začátky všech vektorů jsou v počátku souřadnic, nulový vektor je vektor, který končí v počátku souřadnic

3. Polynom stupně n v jedné proměnné 1 je funkce

P n ( X ) =  n X +  n-1 X n n-1 + … +  1 X +  0 a  n  0

Mnoho polynomů stupeň ne vyšší n, s obvyklými operacemi sčítání a násobení číslem, tvoří lineární prostor. Všimněte si, že množina polynomů stupně n netvoří lineární prostor. Faktem je, že součet dvou polynomů stupně, například 3, se může ukázat jako polynom stupně 2 (například ( X 3 + 3) + (– X 3 – 2X 2 + 7) = – 2X 2 + 10 je polynom stupně 2). Operace sčítání polynomů však může stupeň snížit, ale ne zvýšit, proto je množina polynomů stupně ne vyššího než n uzavřena pod sčítáním (tj. součet dvou polynomů stupně ne vyššího než n je vždy polynom stupně ne vyšší než n) a tvoří lineární prostor.
^

2.2 Rozměr, základna, souřadnice.

Lineární kombinace vektory ( E 1 , e 2 , …e n )  se nazývá výraz  1 E 1 +  2 E 2 + … n E n = Lineární kombinace je tedy jednoduše součtem vektorů s číselnými koeficienty. Pokud jsou všechny koeficienty  i jsou rovny 0, nazývá se lineární kombinace triviální .

Nazývá se soustava 2 vektorů lineárně závislé , pokud existuje netriviální lineární kombinace těchto vektorů rovna 0 . Jinými slovy, pokud existuje n čísel  R takových, že ne všechna jsou rovna nule a lineární kombinace vektorů s koeficienty je rovna nulovému vektoru:

Jinak se volají vektory lineárně nezávislé . Jinými slovy, vektory se nazývají lineárně nezávislé , Pokud
od  1 E 1 +  2 E 2 + …+ n E n = 0 následuje  1 =  2 = …= n = 0, tj. je-li jakákoli lineární kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru triviální.

Rozklad vektor A podle vektorového systému ( E i) se nazývá reprezentace A jako lineární kombinace vektorů ( E i). Jinými slovy, rozšířit vektor A podle vektorů ( E i) znamená najít čísla  i taková, že

a = 1 E 1 +  2 E 2 + … k E k

Všimněte si, že definice nezávislosti vektorů může mít následující formu: vektory jsou nezávislé právě tehdy, když je expanze 0 podle nich samotných.

Lineární prostor se nazývá konečno-dimenzionální , jestliže existuje celé číslo n takové, že všechny nezávislé systémy vektorů v tomto prostoru obsahují nejvýše n prvků.

Dimenze konečnorozměrný lineární prostor L je maximální možný počet lineárně nezávislých vektorů (označených dim L nebo tlumené L ). Jinými slovy se nazývá lineární prostor n-rozměrný , Pokud:

1. v prostoru existuje nezávislý systém skládající se z n vektorů;

2. každý systém sestávající z n +1 vektorů je lineárně závislý.

Základ lineární prostor L n Nazývá se jakýkoli nezávislý systém vektorů, jehož počet prvků je roven rozměru prostoru.

Věta 1. Jakýkoli nezávislý systém vektorů může být doplněn na bázi. Tedy pokud systém  L k je nezávislý a obsahuje méně vektorů než rozměr prostoru (n  L k, že kombinovaná množina vektorů ( E 1 ,E 2 ,…E n, F 1 ,F 2 ,…F k-n) je nezávislý, obsahuje k vektorů a tvoří tedy bázi L k. ▄ V každém lineárním prostoru je tedy mnoho (ve skutečnosti nekonečně mnoho) základen.

Nazývá se vektorový systém plný , jestli nějaký AL lze rozšířit do vektorů systému (je možné, že rozšíření není jedinečné).

Naopak, expanze jakéhokoli vektoru v nezávislém systému je vždy jedinečná (ale ne vždy existuje). Tito.

Věta 2 Rozklad libovolného vektoru na lineární prostorovou bázi Vždy existuje a je jedinečný. To znamená, že základem je nezávislý a úplný systém. Koeficienty  i rozšíření vektoru podle základu ( E i) jsou nazývány souřadnice vektory v základu ( E i }.▄

Všechny souřadnice nulového vektoru jsou rovny 0 na libovolné bázi.

2.3 Příklady

1. Prostor R 3 – trojrozměrný prostor vektorů známý ze školního kurzu – „orientované segmenty“ s obvyklými operacemi sčítání „podle pravidla rovnoběžníku“ a násobení číslem. Standardní základ vytvořit tři vzájemně kolmé vektory směřující podél tří souřadnicových os; jsou označeny písmeny i , j A k.

2. Prostor K n sloupce výšky n mají rozměr n. Standardní základ v prostoru sloupců tvoří vektory - jedná se o sloupce, ve kterých i-tá pozice obsahuje jedničky a zbývající prvky jsou nuly:

Ve skutečnosti je snadné vidět, že každý sloupec je rozložen na systém vektorů jedinečným způsobem, a to: , tj. expanzní koeficienty pro jakýkoli sloupec jsou jednoduše rovny odpovídajícím prvkům tohoto sloupce.

3. Prostor polynomů stupně ne vyššího než n má rozměr n+1. Standardní základ v tomto prostoru:

(). Ve skutečnosti z definice polynomu stupně n je zřejmé, že každý polynom stupně ne vyššího než n je jednoznačně reprezentován jako lineární kombinace vektorů a koeficienty lineární kombinace jsou jednoduše koeficienty polynomu (pokud stupeň polynomu k je menší než n, pak posledních n-k koeficientů je rovno 0 ).
^

2.4 Izomorfismus lineárních prostorů

Nechť je základ L n . Pak všichni AL n korespondence jedna ku jedné množině n čísel – vektorové souřadnice A v základu. Proto všichni AL n jeden může mapovat vektor z prostoru sloupců K n – sloupec, který je tvořen ze souřadnic vektoru A. S takto definovanou korespondencí se základem je standardní základ od K n . 4

Je snadné zkontrolovat, že sumace vektorů v L n vede k sečtení odpovídajících souřadnic v základu; znamená součet vektorů v L n odpovídá naší korespondenci součtu odpovídajících sloupců v K n ; Podobné pravidlo platí pro násobení číslem.

Nazývá se korespondence jedna ku jedné mezi prvky dvou prostorů se zachováním operací zavedených v těchto prostorech izomorfismus . Izomorfismus je stejně jako rovnost tranzitivní (přechodná) vlastnost: je-li prostor L n izomorfní K n a prostor K n izomorfní k nějakému prostoru M n , pak L n izomorfní M n .

Věta 3. Každý lineární prostor dimenze n je izomorfní K n, proto jsou v důsledku tranzitivity všechny lineární prostory dimenze n navzájem izomorfní. ▄

Izomorfní objekty jsou z hlediska matematiky v podstatě pouze různými „inkarnacemi“ (realizacemi) jednoho objektu a jakákoli skutečnost prokázaná pro určitý prostor platí i pro jakýkoli jiný prostor izomorfní k prvnímu.

2.5 Podprostory

Podprostor prostor L nazývaná podmnožina M L , uzavřené pod operacemi sčítání a násobení číslem, tzn. x, y

M 

Očividně, 0 M , Pokud M – podprostor L , tj. nulový vektor patří do libovolného podprostoru 5.

Každý podprostor lineárního prostoru je sám lineárním prostorem. Hromada ( 0 ) je podprostor (všechny axiomy lineárního prostoru jsou splněny, pokud se prostor skládá z jediného prvku – nulového vektoru) 6 .

Každý lineární prostor obsahuje dva triviální podprostory: samotný prostor a nulový podprostor ( 0 ); jsou volány další podprostory netriviální .

Průnik dvou podprostorů je podprostor. Sjednocení dvou podprostorů není, obecně řečeno, podprostor, například sjednocení dvou čar procházejících počátkem neobsahuje součet vektorů náležejících k různým přímkám (takový součet leží mezi čarami) 7 .

Nechat, n L k . Pak množina všech lineárních kombinací těchto vektorů, tzn. množina všech vektorů formuláře

A =  1 F 1 +  2 F 2 + … n F n

Tvoří n-rozměrný podprostor G {F 1 , F 2 ,…F n ), který se nazývá lineární skořápka vektory ( F 1 , F 2 ,…F n).

Věta 4. Základ jakéhokoli podprostoru lze doplnit k základu celého prostoru. Tito. nechat M n L k podprostor, dimenze n – báze v M n . Pak dovnitř L k existuje taková množina vektorů  L k , že systém vektorů ( F 1 ,F 2 …F n , g 1 , g 2 , …g k-n) 8 je lineárně nezávislý a obsahuje k prvků, proto tvoří základ. ▄
^

2.6 Příklady podprostorů.

1. B R 3 každá rovina procházející počátkem souřadnic tvoří dvourozměrný podprostor a každá přímka procházející počátkem souřadnic tvoří jednorozměrný podprostor (roviny a čáry neobsahující 0 , nemohou být podprostory) a další podprostory v R 3 Ne.

2. V prostoru sloupců K 3 sloupce formuláře , tzn. sloupce, jejichž třetí souřadnice je 0, tvoří podprostor, který je zjevně izomorfní s prostorem K 2 sloupy, výška 2.

3. Ve vesmíru P n polynomy, stupně nejvýše n, polynomy, stupně nejvýše 2, tvar trojrozměrný podprostor (mají tři koeficienty).

4. V trojrozměrném prostoru P 2 polynomy stupně ne vyššího než 2, polynomy, které zaniknou v daném bodě x 0, tvoří dvourozměrný podprostor (dokažte to!).

5. Úkol. Ve vesmíru K 4 hromada M sestává ze sloupců, jejichž souřadnice splňují podmínku: 1 2 2 + 3 =0 (*). Dokázat to M trojrozměrný podprostor K 4 .

Řešení. Pojďme to dokázat M podprostor. Opravdu, nech A M , b M , což znamená a 1 2a 2 + a 3 =0, b 1 2b 2 + b 3 =0. Ale podle pravidla sčítání vektorů ( A + b) i= a i+b i. Z toho vyplývá, že pokud pro vektory A A b podmínka (*) je splněna, pak pro A + b tato podmínka je splněna. Je také jasné, že kdyby pro sloup A je splněna podmínka (*), pak je splněna i pro sloupec A. A nakonec nulový vektor množiny M patří. Je tedy dokázáno, že M podprostor. Dokažme, že je trojrozměrný. Všimněte si, že jakýkoli vektor a M kvůli podmínce (*) má souřadnice (**). Nechat m 1 = , m 2 = , a h 4 = . Ukažme, že systém vektorů ( m 1 ,m 2 ,h 4 ) tvoří základ v M . Udělejme lineární kombinaci 1 m 1 + 2 m 2 +h 4 = s libovolnými koeficienty. Pochopitelně jakýkoli vektor A z M (viz (**)) se rozloží podle množiny ( m 1 ,m 2 , h 4 ); k tomu stačí zvolit souřadnice vektoru 1 = a 1, 2 = a 2, 4 = a 4 jako expanzní koeficienty Zejména jedinou lineární kombinaci vektorů m 1 ,m 2 , h 4 , rovný nulovému vektoru, je kombinací s nulovými koeficienty: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. Z jednoznačnosti rozšíření nulového vektoru vyplývá, že ( m 1 ,m 2 , h 4 ) nezávislý systém vektorů. A z toho, že všichni A M se rozšiřuje podle systému ( m 1 ,m 2 , h 4 ), z toho vyplývá, že tento systém je kompletní. Úplný a nezávislý systém tvoří základ v podprostoru M . Protože tento základ obsahuje tři vektory, pak M trojrozměrný podprostor.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Nechat L A M- dva podprostory prostoru R.

Množství L+M se nazývá množina vektorů x+y, Kde X∈L A y∈M. Je zřejmé, že jakákoli lineární kombinace vektorů z L+M patří L+M, tedy L+M je podprostor prostoru R(může se shodovat s prostorem R).

Křížením L∩M podprostory L A M je množina vektorů, které současně patří do podprostorů L A M(může se skládat pouze z nulového vektoru).

Věta 6.1. Součet dimenzí libovolných podprostorů L A M konečnorozměrný lineární prostor R roven rozměru součtu těchto podprostorů a rozměru průniku těchto podprostorů:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Důkaz. Označme F=L+M A G=L∩M. Nechat G g-dimenzionální podprostor. Zvolme v něm základ. Protože G⊂L A G⊂M, tedy základ G lze přidat k základu L a na základnu M. Nechť základ podprostoru L a nechat základ podprostoru M. Ukažme, že vektory

patří do podprostoru G=L∩M. Na druhé straně vektor proti může být reprezentován lineární kombinací základních vektorů podprostoru G:

Vzhledem k lineární nezávislosti báze podprostoru L my máme:

lineárně nezávislé. Ale jakýkoli vektor z z F(podle definice součtu podprostorů) může být reprezentován součtem x+y, Kde x∈L, y∈M. Ve své řadě X reprezentované lineární kombinací vektorů a y- lineární kombinace vektorů. V důsledku toho vektory (6.10) generují podprostor F. Zjistili jsme, že vektory (6.10) tvoří základ F=L+M.

Studium podprostorových základen L A M a podprostorový základ F=L+M(6.10), máme: matná L=g+l, matná M=g+m, matná (L+M)=g+l+m. Proto:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

2.Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineárního operátoru.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Zavolá se vektor X ≠ 0 vlastní vektor lineární operátor s maticí A, pokud existuje číslo l takové, že AX = lX.

V tomto případě se volá číslo l vlastní hodnota operátor (matice A) odpovídající vektoru x.

Jinými slovy, vlastní vektor je vektor, který se působením lineárního operátoru transformuje na vektor kolineární, tzn. stačí vynásobit nějakým číslem. Naproti tomu nevhodné vektory jsou složitější na transformaci.

Zapišme si definici vlastního vektoru ve formě soustavy rovnic:

Přesuňme všechny termíny na levou stranu:

Druhý systém lze zapsat v maticové formě takto:

(A - lE)X = O

Výsledná soustava má vždy nulové řešení X = O. Nazývají se takové soustavy, ve kterých jsou všechny volné členy rovny nule homogenní. Pokud je matice takového systému čtvercová a její determinant není roven nule, pak pomocí Cramerových vzorců dostaneme vždy jedinečné řešení – nulu. Lze dokázat, že systém má nenulová řešení právě tehdy, když je determinant této matice roven nule, tzn.

|A - lE| = = 0

Tato rovnice s neznámou se nazývá charakteristická rovnice(charakteristický polynom) matice A (lineární operátor).

Lze prokázat, že charakteristický polynom lineárního operátoru nezávisí na volbě báze.

Najdeme například vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru definovaného maticí A = .

K tomu vytvoříme charakteristickou rovnici |A - lE| = = (1 -l) 2 – 36 = 1 – 2l+l 2 - 36 =l 2 – 2l- 35; D = 4 + 140 = 144; vlastní čísla 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Abychom našli vlastní vektory, řešíme dvě soustavy rovnic

(A + 5E) X = O

(A-7E)X = O

Pro první z nich má formu expandovaná matice

,

odkud x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X(1) = (-(2/3)s; s).

Pro druhý z nich má tvar rozšířená matice

,

kde x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tzn. X(2) = ((2/3)si; s1).

Vlastními vektory tohoto lineárního operátoru jsou tedy všechny vektory tvaru (-(2/3)с; с) s vlastní hodnotou (-5) a všechny vektory tvaru ((2/3)с 1 ; с 1) s vlastní hodnota 7.

Lze prokázat, že matice operátoru A v bázi skládající se z jeho vlastních vektorů je diagonální a má tvar:

,

kde l i jsou vlastní čísla této matice.

Platí to i obráceně: je-li matice A v nějaké bázi diagonální, pak všechny vektory této báze budou vlastními vektory této matice.

Lze také dokázat, že pokud má lineární operátor n párově odlišných vlastních čísel, pak jsou příslušné vlastní vektory lineárně nezávislé a matice tohoto operátoru v odpovídající bázi má diagonální tvar.

Ilustrujme si to na předchozím příkladu. Vezměme libovolné nenulové hodnoty c a c 1, ale takové, že vektory X (1) a X (2) jsou lineárně nezávislé, tzn. by tvořil základ. Nechť například c = c 1 = 3, pak X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3). Ověřme lineární nezávislost těchto vektorů:

12 ≠ 0. V tomto novém základu bude mít matice A tvar A * = .

Abychom to ověřili, použijeme vzorec A * = C -1 AC. Nejprve najdeme C -1.

C-1 = ;

VSTUPENKA NA ZKOUŠKU č. 11

1. Přechod na novou základnu v lineárním prostoru. Přechodová matice.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Přechod na nový základ

V prostoru R jsou dvě báze: stará e l , e 2 ,...e n a nová e l * , e 2 * ,...e n * . Jakýkoli nový základní vektor může být reprezentován jako lineární kombinace starých základních vektorů:

Přechod ze starého základu na nový lze upřesnit přechodová matice

Všimněte si, že násobící koeficienty nových bázových vektorů nad starou bází tvoří sloupce, nikoli řádky této matice.

Matice A je nesingulární, protože jinak by její sloupce (a tedy i základní vektory) byly lineárně závislé. Proto má inverzní matici A -1.

Nechť vektor X má souřadnice (x l, x 2,... x n) vůči staré bázi a souřadnice (x l *, x 2 *,... x n *) vůči nové bázi, tzn. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

Dosadíme do této rovnice hodnoty e l * , e 2 * ,...e n * z předchozí soustavy:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 – x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů e l, e 2,...e n se všechny koeficienty pro ně v poslední rovnici musí rovnat nule. Odtud:

nebo v matricové formě

Vynásobíme obě strany A -1, dostaneme:

Nechť jsou například základem e l , e 2 , e 3 vektory a 1 = (1, 1, 0) a 2 = (1, -1, 1) a 3 = (-3, 5, -6 a b = (4; -4; 5). Ukažte, že vektory a l, a 2 a 3 také tvoří bázi a vyjadřují v této bázi vektor b.

Ukažme, že vektory a l, a 2 a 3 jsou lineárně nezávislé. Abychom to udělali, ujistěte se, že pořadí matice složené z nich je rovné třem:

Všimněte si, že původní matice není nic jiného než přechodová matice A. Ve skutečnosti spojení mezi bázemi el, e 2, e 3 a a l, a 2 a 3 může být vyjádřeno systémem:

Vypočítejme A -1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Tedy v bázi a l, a 2, a 3 vektor b = (0,5; 2; -0,5).

2 Délka vektoru a úhel mezi vektory v euklidovském prostoru.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Nechť a být podprostory lineárního prostoru.

Křížením podprostorů a nazývá se množina vektorů, z nichž každý patří a zároveň, tzn. průsečík podprostorů je definován jako obyčejný průnik dvou množin.

Algebraický součet podprostorů a nazývá se množina vektorů tvaru , kde . Označuje se algebraický součet (zkráceně jen součet) podprostorů

Reprezentace vektoru ve tvaru , kde , se nazývá vektorový rozklad žádné podprostory A .

Poznámky 8.8

1. Průsečíkem podprostorů je podprostor. Proto pojmy dimenze, základ atp. platí pro křižovatky.

2. Součet podprostorů je podprostor. Proto pojmy dimenze, základ atp. platí pro částky.

Je totiž nutné ukázat uzavřenost lineárních operací v množině. Nechť dva vektory patří k součtu, tzn. každý z nich je rozložen na podprostory:

Pojďme najít součet: . Od , a , pak . V důsledku toho je sada uzavřena s ohledem na operaci sčítání. Pojďme najít práci: . Od , a , pak . V důsledku toho je množina uzavřena s ohledem na operaci násobení číslem. Jedná se tedy o lineární podprostor.

3. Operace průniku je definována na množině všech podprostorů lineárního prostoru. Je komutativní a asociativní. Průsečík libovolné rodiny podprostorů V je lineární podprostor a závorky ve výrazu - mohou být umístěny libovolně nebo vůbec.

4. Minimální lineární podprostor obsahující podmnožinu konečnorozměrného lineárního prostoru je průsečík všech podprostorů obsahujících, tzn. . Jestliže , pak se zadaný průsečík shoduje s nulovým podprostorem, protože je obsažen v kterémkoli z podprostorů. Jestliže je lineární podprostor, pak se naznačený průnik shoduje s , protože je obsažen v každém z protínajících se podprostorů (a je jedním z nich: ).

Minimální vlastnost lineárního pláště: lineární skořápka jakákoli podmnožina konečnorozměrný lineární prostor je minimální lineární podprostor obsahující , tj. .

Vskutku, označme . Je třeba dokázat rovnost dvou množin: . Protože (viz odstavec 6 komentářů 8.7), pak. Pojďme dokázat zařazení. Libovolný prvek má tvar , kde . Dovolit být jakýkoli podprostor obsahující . Obsahuje všechny vektory a jakoukoli jejich lineární kombinaci (viz odstavec 7 Poznámky 8.7), zejména vektor . Proto vektor patří do libovolného podprostoru obsahujícího . To znamená, že patří do průsečíku takových podprostorů. Tím pádem, . Rovnost vyplývá ze dvou inkluzí.

5. Operace sčítání podprostoru je definována na množině všech podprostorů lineárního prostoru. Je komutativní a asociativní. Proto v součtech konečného počtu podprostorů mohou být závorky umístěny libovolně nebo vůbec.

6. Sjednocení podprostorů můžeme definovat jako množinu vektorů, z nichž každý patří do prostoru nebo prostoru (nebo obou podprostorů). Sjednocení podprostorů však v obecném případě není podprostorem (bude podprostorem pouze za dodatečné podmínky nebo ).

7. Součet podprostorů se shoduje s lineárním rozsahem jejich sjednocení. Inkluze skutečně vyplývá z definice. Jakýkoli prvek množiny má tvar , tzn. je lineární kombinace dvou vektorů z množiny. Dokažme opačnou inkluzi. Jakýkoli prvek má tvar , Kde . Rozdělme tento součet na dva, přičemž k prvnímu součtu přiřadíme všechny členy, které mají . Zbývající termíny budou tvořit druhý součet:

První součet je nějaký vektor, druhý součet je nějaký vektor. Proto, . Znamená, . Výsledné dvě inkluze naznačují rovnost uvažovaných množin.

Věta 8.4 o dimenzi součtu podprostorů. Li A podprostory konečného lineárního prostoru , pak se rozměr součtu podprostorů rovná součtu jejich rozměrů bez rozměru jejich průniku (Grassmannův vzorec ):

Ve skutečnosti nechť je základem křižovatky. Doplňme jej uspořádanou množinou vektorů až po bázi podprostoru a uspořádanou množinou vektorů až po bázi podprostoru. Takové přidání umožňuje věta 8.2. Z výše uvedených tří množin vektorů vytvoříme uspořádanou množinu vektory. Ukažme, že tyto vektory jsou generátory prostoru. Jakýkoli vektor tohoto prostoru je skutečně reprezentován jako lineární kombinace vektorů z uspořádané množiny

Proto, . Dokažme, že generátory jsou lineárně nezávislé, a proto jsou základem prostoru. Udělejme skutečně lineární kombinaci těchto vektorů a přirovnejme ji k nulovému vektoru:

Označme první dva součty - toto je nějaký vektor z , poslední součet označíme - toto je nějaký vektor z . Rovnost (8.14): znamená, že do prostoru patří i vektor. Znamená, . Rozšířením tohoto vektoru na základnu zjistíme . Vezmeme-li v úvahu expanzi tohoto vektoru v (8.14), dostáváme

Poslední rovnost lze považovat za expanzi nulového vektoru z hlediska báze podprostoru. Všechny koeficienty tohoto rozšíření jsou nulové: a . Dosazením do (8.14) dostaneme. To je možné pouze v triviálním případě a , protože systém vektorů je lineárně nezávislý (to je základ podprostoru). Rovnost (8.14) je tedy splněna pouze v triviálním případě, kdy jsou všechny koeficienty zároveň rovny nule. Proto množina vektorů lineárně nezávislý, tzn. je základem prostoru. Vypočítejme rozměr součtu podprostorů:

Q.E.D.

Příklad 8.6. V prostoru poloměrových vektorů se společným počátkem v bodě jsou dány následující podprostory: a - tři sady poloměrových vektorů náležejících přímkám protínajícím se v bodě resp. a jsou to dvě sady vektorů poloměrů patřících k protínajícím se rovinám, resp.; přímka, patří do roviny, přímka patří do roviny, roviny a protínají se v přímce (obr. 8.2). Najděte součty a průsečíky všech dvou z pěti uvedených podprostorů.

Řešení. Pojďme najít součet. Sečtením dvou vektorů náležejících k a respektive, získáme vektor náležející k rovině. Naopak libovolný vektor (viz obr. 8.2) náležející do formy lze znázornit konstrukcí projekcí a vektorů na přímky resp. To znamená, že libovolný poloměrový vektor roviny lze rozšířit do podprostorů a , tzn. . Podobně zjistíme, že , a je množina poloměrových vektorů náležejících k rovině procházející přímkami a .

Pojďme najít součet. Jakýkoli vektor prostoru lze rozšířit na podprostory a . Ve skutečnosti přes konec vektoru poloměru vedeme přímku rovnoběžnou s přímkou ​​(viz obr. 8.2), tzn. sestrojíme průmět vektoru do roviny. Poté vektor odložíme tak, aby . Proto, . Od té doby. Podobně to získáme. Zbývající částky se najdou jednoduše: . Všimněte si, že.

Pomocí věty 8.4 zkontrolujme například rovnost v dimenzi. Dosazením a do Grassmannova vzorce získáme podle očekávání od .

Průsečíky podprostorů najdeme z Obr. 8.2 jako průsečík geometrických tvarů:

kde je vektor nulového poloměru.

Jen součet prostoru. Kritéria pro přímý součet.