Newton a Leibniz. Diferenciální a integrální počet

V roce 1708 vypukl Leibnizův neslavný spor s Newtonem o vědeckou prioritu objevu diferenciálního počtu. Je známo, že Leibniz a Newton pracovali na diferenciálním počtu paralelně a že v Londýně se Leibniz seznámil s některými Newtonovými nepublikovanými pracemi a dopisy, ale ke stejným výsledkům dospěl sám. Je také známo, že Newton vytvořil svou vlastní verzi matematické analýzy, „metodu fluxionů“ („fluxion“ (ang. tavení) - Newtonův termín; původně označeno tečkou nad hodnotou; termín "fluxion" znamená "derivát"), nejpozději v roce 1665, ačkoli své výsledky zveřejnil až o mnoho let později; Leibniz byl první, kdo publikoval infinitezimální počet a vyvinul symboliku, která se ukázala být tak pohodlná, že se používá dodnes.

Náš Wallis přidal do své „Algebry“, která se právě objevila, některé z dopisů, které jsem vám kdysi napsal. Zároveň žádal, abych otevřeně uvedl způsob, který jsem vám tehdy zatajil přeskupením písmen; Zkrátil jsem to tak, jak jsem jen mohl. Doufám, že jsem nenapsal nic, co by vám bylo nepříjemné, ale pokud se tak stalo, dejte mi prosím vědět, protože přátelé jsou mi milejší než matematické objevy.

Po první podrobné publikaci Newtonovy analýzy (matematický dodatek k Optice, 1704) v Leibnizově časopise Acta eruditorum„objevila se anonymní recenze s urážlivými narážkami na Newtona; recenze jasně ukázala, že autorem nového počtu byl Leibniz, ale sám Leibniz důrazně popřel, že by recenzi sestavil on, ale historici našli koncept psaný jeho rukopisem. Newton ignoroval Leibnizův článek, ale jeho studenti reagovali rozhořčeně, načež vypukla celoevropská prioritní válka.

31. ledna 1713 obdržela Královská společnost dopis od Leibnize obsahující smířlivou formulaci: souhlasil, že Newton dospěl k analýze nezávisle, „na obecných principech podobných našim“; Newton požadoval vytvoření mezinárodní komise pro objasnění vědecké priority. Královská společnost v Londýně po prozkoumání případu uznala, že Leibnizova metoda byla v podstatě totožná s Newtonovou metodou a prvenství uznal anglický matematik. 24. dubna 1713 byla tato věta vyřčena, což Leibnize naštvalo.

Leibnize podporovali bratři Bernoulliové a mnoho dalších matematiků na kontinentu; v Anglii a částečně ve Francii podporovali Newtona. Karolína Braniborská-Ansbachová se ze všech sil snažila, ale bezvýsledně, o usmíření odpůrců; napsala Leibnizovi následující:

S opravdovou lítostí vidím, že lidé takového vědeckého postavení jako vy a Newton se nemohou smířit. Světu by nekonečně prospělo, kdybyste se dali dohromady, ale skvělí muži jsou jako ženy, které se hádají kvůli milencům. Zde je můj úsudek o vašem sporu, pánové!

Ve svém dalším dopise napsala:

Divím se, je opravdu možné, že kdybyste vy nebo Newton objevili stejnou věc ve stejnou dobu, nebo jednu dříve, druhou později, pak z toho vyplývá, že byste se navzájem roztrhali na kusy! Oba jste nejlepší lidé naší doby. Dokažte nám, že svět nemá nikde prázdno; Ať Newton a Clark dokážou prázdnotu. My, hraběnka Bückeburgová, Poellnitz a já, budeme přítomni a budeme ztvárňovat v originále „Učené ženy“ od Moliera.

Do sporu mezi Leibnizem a Newtonem zasáhli různí vědci třetí třídy, z nichž někteří psali pomluvy proti Leibnizovi a jiní proti Newtonovi. Od léta 1713 byla Evropa zaplavena anonymními brožury, které hájily Leibnizovu prioritu a tvrdily, že „Newton si přivlastňuje čest, která patří jinému“; brožury také obvinily Newtona z krádeže výsledků Hooka a Flamsteeda. Newtonovi přátelé ze své strany obvinili samotného Leibnize z plagiátorství; Podle jejich verze se Leibniz během svého pobytu v Londýně (1676) v Královské společnosti seznámil s Newtonovými nepublikovanými pracemi a dopisy, načež Leibniz publikoval myšlenky tam vyslovené a vydával je za své.

Spor mezi Leibnizem a Newtonem o vědeckou prioritu se stal známým jako „nejostudnější hádka v celé historii matematiky“. Tento spor dvou géniů stál vědu draho: anglická matematická škola brzy na celé století uschla a ta evropská ignorovala mnohé z vynikajících Newtonových myšlenek a znovu je objevila mnohem později.

Derivace a integrál Na konci 17. století vznikly v Evropě dvě velké matematické školy. Hlavou jednoho z nich byl Gottfried Wilhelm von Leibniz. Jeho studenti a spolupracovníci - L'Hopital, bratři Bernoulli, Euler - žili a pracovali na kontinentu. Druhá škola, kterou vedl Isaac Newton, se skládala z anglických a skotských vědců. Obě školy vytvořily nové výkonné algoritmy, které vedly v podstatě ke stejným výsledkům – vytvoření diferenciálního a integrálního počtu.

Původ derivace Řada problémů v diferenciálním počtu byla vyřešena ve starověku. Takové problémy najdeme u Euklida a Archiméda, ale hlavní koncept – koncept derivační funkce – vznikl až v 17. století kvůli potřebě řešit řadu problémů z fyziky, mechaniky a matematiky, především tyto dva: určení rychlosti přímočarého nerovnoměrného pohybu a sestrojení tečny k libovolné rovinné křivce. První problém: souvislost mezi rychlostí a dráhou přímočarého a nerovnoměrně se pohybujícího bodu poprvé vyřešil Newton Ke vzorci

Původ derivace Newton přišel ke konceptu derivace na základě otázek mechaniky. Své výsledky v této oblasti nastínil v pojednání „Metoda toků a nekonečné řady“. Dílo bylo napsáno v 60. letech 17. století, ale vyšlo až po Newtonově smrti. Newton se nestaral o to, aby se svým dílem včas seznámil matematickou komunitu. Fluxion byl derivát funkce - fluents. Antiderivační funkce se v budoucnu také nazývala fluenta.

Dlouho se věřilo, že pro přirozené exponenty tento vzorec, stejně jako trojúhelník, který vám umožňuje najít koeficienty, vynalezl Blaise Pascal. Historici vědy však zjistili, že vzorec znali již ve starověké Číně ve 13. století, stejně jako islámští matematici v 15. století. Isaac Newton kolem roku 1676 zobecnil vzorec pro libovolný exponent (zlomek, zápor atd.). Z binomické expanze Newton a později Euler odvodili celou teorii nekonečných řad.

Newtonův binom v literatuře V beletrii se „Newtonův binom“ objevuje v několika nezapomenutelných kontextech, kde mluvíme o něčem složitém. V příběhu A. Conana Doyla „Holmesův poslední případ“ Holmes říká o matematikovi profesoru Moriartym: „Když mu bylo jednadvacet let, napsal pojednání o Newtonově binomii, které mu přineslo evropskou slávu. Poté získal katedru matematiky na jedné z našich provinčních univerzit a se vší pravděpodobností ho čekala skvělá budoucnost. “ Později byl stejný výraz zmíněn ve filmu „Stalker“ od A. A. Tarkovského. Newtonův binom je zmíněn: v příběhu Lva Tolstého „Mládí“ v epizodě Nikolaje Irtenieva přijímacího zkoušky na univerzitu; v románu E.I. Zamjatina „My“. ve filmu „Rozvrh na pozítří“;

Původ derivátu Leibnizův přístup k matematické analýze měl některé zvláštnosti. Leibniz myslel na vyšší analýzu ne kinematicky, jako Newton, ale algebraicky. Ke svému objevu došel rozborem infinitezimálních veličin a teorie nekonečných řad. V roce 1675 Leibniz dokončil svou verzi matematické analýzy, pečlivě promyslel její symboliku a terminologii, odrážející podstatu věci. Téměř všechny jeho inovace zapustily kořeny ve vědě a pouze termín „integrální“ zavedl Jacob Bernoulli (1690), sám jej zpočátku nazýval jednoduše součtem.

Původ derivátu Jak se analýza vyvíjela, ukázalo se, že Leibnizova symbolika je na rozdíl od Newtonovy vynikající pro označování vícenásobné diferenciace, parciálních derivací atd. Leibnizova škola těžila také z jeho otevřenosti a masové popularizace nových myšlenek, což Newton dělal velmi neochotně .

Leibnizovy práce na matematice jsou četné a rozmanité. V roce 1666 napsal svou první esej: „O kombinatorickém umění“. Nyní jsou kombinatorika a teorie pravděpodobnosti jedním z povinných témat matematiky ve škole roku Leibniz vynalezl vlastní návrh aritmometru, dokázal násobení, dělení a extrakci odmocnin mnohem lépe než Pascalův. Jím navržený stupňovitý válec a pohyblivý vozík tvořily základ pro všechny následující přikládací stroje. Leibniz také popsal binární číselný systém s číslicemi 0 a 1, na kterém je založena moderní výpočetní technika.

Kdo je autorem odvozeniny? Newton vytvořil svou metodu na základě předchozích objevů, které učinil v oblasti analýzy, ale v nejdůležitější otázce se obrátil na pomoc geometrie a mechaniky. Není přesně známo, kdy Newton objevil svou novou metodu. Je třeba se zamyslet nad úzkým spojením této metody s teorií gravitace. že jej vyvinul Newton v letech 1666 až 1669. Leibniz zveřejnil hlavní výsledky svého objevu v roce 1684 před Isaacem Newtonem, který k podobným výsledkům dospěl ještě dříve než Leibniz, ale nezveřejnil je. Následně na toto téma vznikl dlouhodobý spor o prioritu objevu diferenciálního počtu.

Newton, Leibniz a infinitezimální čísla

Ani tvůrci matematické analýzy neposkytli komplexní důkaz o metodách, které objevili. Newton i Leibniz si byli vědomi nedostatku logiky ve svých dílech a každý se snažil svým způsobem, když ne odstranit, tak alespoň zmírnit tento nedostatek.

Newton se tedy pokusil vyhnout použití infinitesimál tím, že šel na limit, ale neuspěl. Přesto se jeho úsilí stalo pro Cauchyho zdrojem inspirace. Ukažme si, jak chápat zlomek 0/0 získaný, když h= 0 ve výrazu

nutné k určení derivace f(x) funkce f v bodě X. Zde si dovolujeme mírný anachronismus. Sám Newton nikdy nepoužil pojem derivační funkce a ani takový zápis nepoužil, ale místo toho použil pojem „mizející veličina“. Tedy rozdíl f(x + h) - f(x) a samotné číslo h budou mizející množství: oba „zmizí“, když h se rovná nule. Nazval „poslední poměr mizejících veličin“ hodnotou výše uvedeného zlomku at h = 0. Je zřejmé, že Newton má na mysli přechod k limitě, když mluví o „posledním poměru mizejících veličin“, aby ospravedlnil nejistotu 0/0, na kterou je výše uvedený zlomek redukován při h= 0. Nikdy však této metodě nedal striktní definici. Sám Newton si byl tohoto nedostatku vědom a ve svém vysvětlení se uchýlil k fyzikálním analogiím: „Možná můžete namítnout, že neexistuje žádný poslední vztah mizejících veličin, protože předtím, než kvantity zmizí, vztah není poslední, a když množství zmizí, žádný vztah neexistuje. . Podle stejné logiky však lze popřít, že těleso, které dorazilo do určitého bodu a zastavilo se na něm, nemá poslední rychlost, protože předtím jeho rychlost nebyla poslední, a poté, co těleso dorazilo do tohoto bodu, jeho rychlost je rovna nule. Odpověď na tuto otázku je však velmi jednoduchá. Poslední rychlostí rozumíme rychlost, s jakou se těleso pohybuje v okamžiku příjezdu, nikoli dříve a ne později, tedy rychlost, s jakou těleso dorazilo do posledního bodu a s jakou se jeho pohyb zastavil. Stejně tak pod posledním poměrem bychom měli rozumět poměr veličin nikoli před tím, než zmizí, a ne poté, co zmizí, ale poměr, ve kterém zmizí.“

Infinitezimální veličiny hrály v Leibnizově matematické analýze znatelně velkou roli. Objevily se například v samotné definici křivky, kterou Leibniz použil. Pro Newtona byla křivka tvořena pohybujícím se bodem: „Předpokládám, že matematické veličiny se neskládají z velmi malých částí, ale že jsou popsány spojitým pohybem. Křivky se tedy popisují a nevytvářejí uspořádáním částí, ale kontinuálním pohybem bodů.“ Leibniz věřil, že křivky se skládají z přímých segmentů nekonečně malé délky: „Abychom našli tečnu, musíme nakreslit přímku spojující dva body křivky umístěné v nekonečně malé vzdálenosti nebo prodlouženou stranu mnohoúhelníku s nekonečným počtem úhlů, což je pro nás ekvivalent křivky." - napsal Leibniz v roce 1684.

Pojem křivky je ještě jasněji popsán v knize „Analýza nekonečně malého“ od markýze L'Hopitala (1696). Druhý postulát knihy zní: „Budeme předpokládat, že zakřivenou čáru lze považovat za složenou z nekonečného počtu nekonečně malých čar, nebo podobně, mnohoúhelník s nekonečným počtem stran, z nichž každá má nekonečně malou délku, a zakřivení čáry je určeno úhly mezi těmito stranami "

„Analýza infinitesimálů“ od markýze L'Hopital, první kniha o analýze infinitesimálů od Leibnize.

Leibniz vysvětlil použití infinitesimál jako jeho předchůdci: „Hodnoty jsou voleny tak velké nebo tak malé, že chyba je menší než daná, takže rozdíly oproti Archimédově metodě spočívají pouze v metodě zápisu, ale naše metoda je více v souladu s duchem vynálezu. Leibniz uhodil hřebíček na hlavičku: v té době se vědci více zajímali o objevy než o důkazy.

EDMUND HALLEY, NEVĚŘÍCÍ

Berkeleyho kniha The Analyst měla podtitul: "Pojednání adresované nevěřícímu matematikovi." Tímto „nevěřícím matematikem“ byl nejspíš astronom Edmund Halley, který byl vždy proslulý svými ateistickými názory a jaksi donutil pacienta odmítnout návštěvu biskupa Berkeleyho, čímž ho přesvědčoval o křehkosti křesťanských doktrín. Berkeley chtěl ve své knize ukázat, že uvažování infinitezimální analýzy je stejně křehké jako náboženské dogma. Druhý podtitul knihy je; ...kde se zjišťuje, zda předmět, zásady a závěry jsou zřetelněji poznatelné a evidentně odvoditelné než náboženské svátosti a články víry. Dodal: „Vyndej si prkno ze svého oka a můžeš vyjmout třísku z oka svého bratra.

Berkeley ve své knize také poskytuje řadu otázek k zamyšlení. Uveďme některé z nich: „Otázka 62. Can’t incomprehensible mysteries Ó větší právo být připuštěn v božské víře než v lidské vědě? Otázka 63: Zkoumali někdy ti matematici, kteří se vehementně staví proti nepochopitelným záhadám, kriticky své vlastní principy?

Z knihy Chaos a struktura autor Losev Alexej Fedorovič

Z knihy Pravda v limitu [Infinitezimální analýza] od Duran Antonio

Z autorovy knihy

Z autorovy knihy

Z autorovy knihy

Kapitola 1. Co je infinitezimální analýza a proč je potřeba Infinitezimální analýza je oblastí matematiky, která má velký význam pro vědu a techniku. Abychom pochopili, v čem tato složitá a jemná disciplína spočívá, měli bychom pravděpodobně začít příběhem

Z autorovy knihy

Kapitola 3. Newton, poslední z čarodějů Den 13. července 1936 se stal zlomovým bodem ve studiu biografie Isaaca Newtona a jeho odkazu. Tento a následující den bylo v aukci Sotheby's prodáno 332 lotů: rukopisy, dopisy a další dokumenty, které patřily Newtonovi. Zmatený

Z autorovy knihy

Newton a analýza infinitesimál Isaac Newton je jedním z nejslavnějších a nejuznávanějších vědců všech dob. Ačkoli je to často přehlíženo, vděčí za tuto slávu především svému talentu pro matematiku. Právě díky nim mezi nimi znatelně vyčníval

Z autorovy knihy

Newton a jeho přátelé Portrét Newtona by byl neúplný, kdybychom se nezmínili o jeho vztazích s přáteli a blízkými Možná důvodem, proč měl Newton těžké vycházet s lidmi, byla jeho obtížná povaha. Pravda, v posledních letech, co žil v Londýně, si užíval slávy

Z autorovy knihy

Kapitola 4: Leibniz, Jack of All Trades Newton po sobě zanechal mnoho upravených rukopisů. Leibniz v tom za ním nejen nezaostával, ale i předčil: jeho korespondence byla mnohem objemnější. Leibnizovy rukopisy čelily záviděníhodnějšímu osudu než papíry

Z autorovy knihy

Leibniz a analýza infinitezimálů „Téměř všichni ostatní významní matematici,“ napsal ve 20. století Joseph Hoffmann, prominentní badatel Leibnizovy biografie, „se zajímali o matematiku již v mládí a vyvinuli radikálně nové myšlenky. Toto období v Leibnizově životě však nebylo

Z autorovy knihy

Fatio útočí, Leibniz protiútoky Fatio nemohl tolerovat takovou poznámku. Připravil odpověď a publikoval ji v Londýně v roce 1699. Píše se v ní: „Ctihodný pan Leibniz se možná diví, od koho se naučil kalkul, který používal. v

Z autorovy knihy

Leibniz padá do nelaskavých rukou Královské společnosti Když Leibniz obdržel Keilův dopis, napsal odpověď, v níž připustil, že kalkul byl společně objeven: „Není důvod, proč byste se měli hlásit a vyvracet mou [Keilovu] metodu obnovy.

Z autorovy knihy

Kapitola 6. Zkrocení infinitesimál Nekonečna velká a malá Analýza infinitesimál byla naplněna infinitesimálami a infinitesimálami od samého okamžiku svého vzniku, během prvních tří čtvrtin 17. století, kdy ji provedli Newton a Leibniz,

Z autorovy knihy

Nekonečna, velká a malá Analýza infinitesimál byla naplněna infinitesimálami a infinitesimálami od samého okamžiku svého vzniku, během prvních tří čtvrtin 17. století, kdy ji provedli Newton a Leibniz, stejně jako později v

Z autorovy knihy

Euler a analýza infinitesimál Pokud jsou Newton a Leibniz považováni za tvůrce diferenciálního a integrálního počtu, pak Eulera lze nazvat tvůrcem matematické analýzy - oboru matematiky, který zahrnuje oba tyto oddíly. V tomto smyslu jeho knihy „Úvod do

Z autorovy knihy

Aplikace. Euler a infinitesimály Abychom ukázali, jak se používají nekonečně velké a malé veličiny, uvedeme příklad rozšíření funkce ez na mocninnou řadu. Tento příklad demonstroval Euler ve své knize Introduction to Infinitesimal Analysis. První definuje Euler

Derivační a integrální

Na konci 17. století vznikly v Evropě dvě velké matematické školy. Hlavou jednoho z nich byl Gottfried Wilhelm von Leibniz. Jeho studenti a spolupracovníci - L'Hopital, bratři Bernoulli, Euler - žili a pracovali na kontinentu. Druhá škola, kterou vedl Isaac Newton, se skládala z anglických a skotských vědců. Obě školy vytvořily nové výkonné algoritmy, které vedly v podstatě ke stejným výsledkům – vytvoření diferenciálního a integrálního počtu.

Původ derivátu

Řada problémů v diferenciálním počtu byla vyřešena ve starověku. Takové problémy najdeme u Euklida a Archiméda, ale hlavní koncept – koncept derivační funkce – vznikl až v 17. století kvůli potřebě řešit řadu problémů z fyziky, mechaniky a matematiky, především tyto dva: určení rychlosti přímočarého nerovnoměrného pohybu a sestrojení tečny k libovolné rovinné křivce.

• První problém: souvislost mezi rychlostí a dráhou přímočarého a nerovnoměrně se pohybujícího bodu poprvé vyřešil Newton

• Dorazil k formuli

Původ derivátu

• Newton došel ke konceptu derivace na základě otázek mechaniky. Své výsledky v této oblasti nastínil v pojednání „Metoda toků a nekonečné řady“. Dílo bylo napsáno v 60. letech 17. století, ale vyšlo až po Newtonově smrti. Newton se nestaral o to, aby se svým dílem včas seznámil matematickou komunitu.

• Fluxion byl derivát funkce - fluents.

• Antiderivační funkce se v budoucnu také nazývala fluenta.

Binomická věta

• Newtonův binom je vzorec pro rozklad celočíselné nezáporné mocniny součtu dvou proměnných na jednotlivé členy, mající tvar

• Po dlouhou dobu se věřilo, že pro přirozené exponenty tento vzorec, stejně jako trojúhelník, který vám umožňuje najít koeficienty, vynalezl Blaise Pascal. Historici vědy však zjistili, že vzorec znali již ve starověké Číně ve 13. století, stejně jako islámští matematici v 15. století.

• Isaac Newton kolem roku 1676 zobecnil vzorec pro libovolný exponent (zlomek, zápor atd.). Z binomické expanze Newton a později Euler odvodili celou teorii nekonečných řad.

• V beletrii se Newtonův binom objevuje v několika nezapomenutelných kontextech, kde se diskutuje o něčem složitém.

• V příběhu „Holmesův poslední případ“ od A. Conana Doyla Holmes říká o matematikovi profesoru Moriartym:

• „Když mu bylo jednadvacet, napsal pojednání o Newtonově binomii, které mu vyneslo evropskou slávu. Poté získal katedru matematiky na jedné z našich provinčních univerzit a se vší pravděpodobností ho čekala skvělá budoucnost.“

• Slavný citát z „Mistr a Margarita“ od M. A. Bulgakova: „Přemýšlejte, Newtonův binom!

• Později byl stejný výraz zmíněn ve filmu „Stalker“ od A. A. Tarkovského.

• Newtonův binom je zmíněn:

• v příběhu Lva Tolstého „Mládí“ v epizodě Nikolaje Irtenieva, který složil přijímací zkoušky na univerzitu;

• v románu E.I. Zamjatina „My“.

• ve filmu „Rozvrh na pozítří“;

Původ derivátu

• Leibnizův přístup k matematické analýze měl určité zvláštnosti. Leibniz myslel na vyšší analýzu ne kinematicky, jako Newton, ale algebraicky. Ke svému objevu došel rozborem infinitezimálních veličin a teorie nekonečných řad.

• V roce 1675 Leibniz dokončil svou verzi matematické analýzy, pečlivě promyslel její symboliku a terminologii, odrážející podstatu věci. Téměř všechny jeho inovace zapustily kořeny ve vědě a pouze termín „integrální“ zavedl Jacob Bernoulli (1690), sám jej zpočátku nazýval jednoduše součtem.

Původ derivátu

• Jak se analýza vyvíjela, ukázalo se, že Leibnizova symbolika se na rozdíl od Newtonovy výborně hodí k označení vícenásobné diferenciace, parciálních derivací atd. Leibnizově škole prospěla i jeho otevřenost a masová popularizace nových myšlenek, což Newton dělal krajně neochotně.

Kdo je autorem odvozeniny?

• Newton vytvořil svou metodu na základě předchozích objevů, které učinil v oblasti analýzy, ale v nejdůležitější otázce se obrátil na pomoc geometrie a mechaniky. Není přesně známo, kdy Newton objevil svou novou metodu. Je třeba se zamyslet nad úzkým spojením této metody s teorií gravitace. že jej vyvinul Newton v letech 1666 až 1669.

• Leibniz zveřejnil hlavní výsledky svého objevu v roce 1684 před Isaacem Newtonem, který k podobným výsledkům dospěl ještě dříve než Leibniz, ale nezveřejnil je.

• Následně na toto téma vznikl dlouhodobý spor o prioritu objevu diferenciálního počtu.