При токе а цепи с индуктивностью (рис. 6-4) в ней индуктируется э. д. с. самоиндукции (3-37)
Если цепь с индуктивностью обладает ничтожно малым сопротивлением то по второму закону Кирхгофа
откуда напряжение на зажимах цепи
Рис. 6-4. Цепь с индуктивностью.
Следовательно, приложенное к цепи напряжение вызывает в ней такой ток, магнитное поле которого при своем изменении в каждый момент времени индуктирует э. д. с. самоиндукции, равную по величине и противоположную по направлению приложенному напряжению, т. е. уравновешивающую это напряжение (рис. 6-5 и 6-6).
Из уравнения (6-4) и рис. 6-5 и 6-6 следует, что ток отстает по фазе от напряжения на периода (на ) или опережает по фазе э. д. с. на периода. Это - вызывается тем, что индуктированная э. д. с. Пропорциональна скорости изменения тока по времени. При прохождении тока верез максимальное значение, когда скорость изменения его равна нулю, э. д. с, также равна нулю; при прохождении тока через у левое значение, когда скорость изменения его наибольшая, э. д. с. . По закону Ленца при положительном приращении тока ) э. д. с. направлена встречно току, и наоборот, при отрицательном приращении тока э. д. с. направлена одинаково с током.
Рис. 6-5. Графики тока, магнитного потока, напряжения и мощности цепи с индуктивностью.
Рис. 6-6. Векторная диаграммма цепи с индуктивностью.
Поэтому, например, в течение первой четверти периода (рис. 6-5) при нарастании тока э. д. с. отрицательна, а в течение второй четверти периода, при убываний тока э. д. с. положительна,
б) Индуктивное сопротивление
Из (6-3) и (6-4) следует, что
откуда напишем закон Ома для амплитудных значений:
Разделив на написанное выражение, получим закон Ома для действующих значений:
Величина отношения напряжения к току цепи
называется реактивным сопротивлением индуктивности, или, короче, индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление пропорционально величине индуктивности и частоте тока. При постоянном токе оно равно нулю.
в) Мощность
Мгновенная мощность цепи с индуктивностью
Мощность изменяется с двойной частотой (рис. 6-5), 2 раза в течение периода достигая положительного максимума и 2 раза достигая такого же по величине отрицательного максимума.
При нарастании тока, а следовательно и магнитного потока (первая и третья четверти периода, рис. 6-5) независимо от его направления, происходит накопление энергии магнитного поля от нуля до. максимального значения (§ 3-39):
которая получается от генератора; таким образом, цепь работает в режиме потребителяг что соответствует положительному значению мощности цепи.
При уменьшении тока, а следовательно и магнитного потока (вторая и четвертая четверти периода, рис. 6-5), происходит уменьшение энергии магнитного поля от максимального значения до нуля, которая возвращается цепью генератору. Таким образом, в эти части периода цепь работает в режиме генератора, что соответствует отрицательному значению мощности цепи с индуктивностью.
Активная мощность Р в цепи с индуктивностью равна нулю.
Максимальное значение мощности Q в цепи с индуктивностью принято называть реактивной мощностью.
Из (6-9) следует, что
Единица измерения реактивной мощности носит название вольт-ампер реактивный (вар).
Пример 6-1. Цепь с индуктивностью 0,02 Г включена под напряжение 127 В и частотой 50 Гц.
1. Определить индуктивное сопротивление цепи, ток и реактивную мощность.
2. Определить реактивное сопротивление индуктивности и ток в цепи при частоте 1 000 Гц.
г) Зависимость напряжения на индуктивности от магнитного потока
В некоторых случаях расчета цепей переменного тока напряжение на индуктивности удобно выразить через магнитный поток.
Если все витки катушки (контура) пронизываются одним магнитным потоком, то амплитуда потокосцепления самоиндукции
В этом случае э. д. с. самоиндукции и равное ей по величине напряжение на зажимах
Рассмотрим, наконец, третий частный случай, когда участок цепи содержит только индуктивность. Обозначим по-прежнему через U напряжение между точками а и б и будем считать ток I положительным, если он направлен от а к б (рис.6). При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникнет ЭДС самоиндукции, и поэтому мы должны применить закон Ома для участка цепи, содержащего эту ЭДС:
В нашем случае R = 0, а ЭДС самоиндукции
Если сила тока в цепи изменяется по закону
Видно, что колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания тока на p/2. Когда сила тока, возрастая, проходит через нуль, напряжение уже достигает максимума, после чего начинает уменьшаться; когда сила тока становится максимальной, напряжение проходит через нуль, и т.д. (рис.7).
Из (4) следует, что амплитуда напряжения равна
и, следовательно, величина
играет ту же роль, что сопротивление участка цепи. Поэтому называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление пропорционально частоте переменного тока, и поэтому при очень больших частотах даже малые индуктивности могут представлять значительное сопротивление для переменных токов.
Мгновенная мощность переменного тока
также, как и в случае идеальной емкости, меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. Очевидно, что средняя за период мощность равна нулю.
Таким образом, при протекании переменного тока через идеальные емкость и индуктивность обнаруживается ряд общих закономерностей:
1. Колебания тока и напряжения происходят в различных фазах - сдвиг по фазе между этими колебаниями равен p/2.
2. Амплитуда переменного напряжения на емкости (индуктивности) пропорциональна амплитуде протекающего через этот элемент переменного тока
где X - реактивное (емкостное или индуктивное сопротивление). Важно иметь в виду, что это сопротивление связывает между собой не мгновенные значения тока и напряжения, а только их максимальные значения. Реактивное сопротивление отличается от омического (резистивного) сопротивления еще и тем, что оно зависит от частоты переменного тока.
3. На реактивном сопротивлении не рассеивается мощность (в среднем за период колебаний), это означает, что, например, через конденсатор может протекать переменный ток очень большой амплитуды, но тепловыделение на конденсаторе будет отсутствовать. Это является следствием фазового сдвига между колебаниями тока и напряжения на реактивных элементах цепи (индуктивности и емкости).
Резистивный элемент, который описывается в рассматриваемом частотном диапазоне законом Ома для мгновенных токов и напряжений
называют омическим или активным сопротивлением. На активных сопротивлениях происходит выделение мощности.
амплитуды i = I m , скорость его изменения
di/dt = O (ток перестал увеличиваться,
в следующий момент времени он
начнет уменьшаться), поэтому e L =0 t u= - £/,=0.
Значит, синусоидальные напряжения и ток
сдвинуты по фазе на 90°.
Фактором, сдвигающим ток по фазе, является
ЭДС самоиндукции.
Изменение тока катушки индуктивности происходит за счет изменения напряжения. Появление напряжения - причина возникновения тока катушки. Поэтому на индуктивности ток отстает от напряжения на угол 90° (1) (рис. 4.18).
Примем i = I m sin ωt . Тогда и = - e L = Ldi/dt = Ld (I m sin ωt ) / dt = ωLI m cos ωt = U m sin ( ωt +90°), что подтверждает положение (1) и дает выражение U m = ωLI m . Разделив его на √2, имеем U = ωLI ,
I=U/(ωL)=U/X L ; (4.7)
X L =ωL=2 πfL; X L = U/I. (4.8)
Формула (4.7) отражает закон Ома для участка цепи с индуктивностью, а (4.8) позволяет рассчитать индуктивное сопротивление.
По аналогии с емкостным сопротивлением значение индуктивного сопротивления нельзя относить к мгновенным значениям тока и напряжения.
При i = I m di/dt = 0, поэтому e L = - Ldi/dt = 0.
Значит, ЭДС самоиндукции отстает от тока по фазе на 90°
(рис. 4.19). Учитывая, что напряжение опережает ток
по фазе на угол 90°, делаем вывод, что в цепи с индуктивностью напряжение и ЭДС самоиндукции находятся в противофазе, т. е.
ЭДС самоиндукции уравновешивает действие напряжения
(2).
 |
Мгновенное значение мощности р=иi в цепи с индуктивностью непрерывно изменяется.
Подобно конденсатору, индуктивность обменивается энергией с источником так, что средняя мощность за период (активная мощность) равна нулю, а реактивная индуктивная мощность Q L , подобно реактивной емкостной мощности, равна амплитудному значению мгновенной мощности:
Q L = =UI = I 2 X L .
4.6. ЦЕПЬ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ АКТИВНОГО И ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ
Расчеты цепей переменного тока проводят не для мгновенных, а для действующих значений токов и напряжений, которые в дальнейшем будем называть ток и напряжение.
Для цепи переменного тока справедливо положение (3). При этом создаваемые током падения напряжений U R = IR и U l = IXl совместно противодействуют напряжению источника.
Если бы U R и U L совпадали по фазе, то U=U R +Ul = 140 В. Докажем, что они не совпадают по фазе, при помощи векторной диаграммы (рис. 4.21). Построение диаграммы начинаем с вектора тока, так как он одинаков для обоих участков.
 |
К нему пристраиваем вектор U R ,
совпадающий по фазе с током на активном сопротивлении (см. рис. 4.10), и вектор U L ,
опережающий ток по фазе на 90° на индуктивном сопротивлении (см. рис.4.18). Получаем, что векторы U R
и U L
сдвинуты между
собой по фазе на 90°. Складывая их, находим резуль
тирующее напряжение цепи:
U= U 2 R + U 2 L (4.9)
В цепи, имеющей, кроме индуктивного, активное сопротивление, напряжение опережает ток на угол, значение которого меньше, чем 90° (1).
Из уравнения (4.9) U=√I 2 R 2 + √I 2 X 2 L = I√R 2 + √X 2 L = IZ,
где Z – полное сопротивление цепи:
Z = R 2 + X 2 L ; (4.10)
I=U/Z. (4.11)
Формула (4.11) отражает закон Ома, а (4.10) позволяет вычислять полное сопротивление цепи. Разделив стороны треугольника напряжений (выраженные в единицах напряжения) (рис. 4.21) на ток, получаем треугольник сопротивлений (рис. 4.22), из которого
R= Z cos φ; X L = Z sin φ . (4.12)
Активная мощность рассматриваемой цепи P = I 2 R, реактивная
Ql = I 2 X l . Полная мощность цепи S = I 2 Z.
Умножив стороны треугольника напряжений (выраженные в единицах напряжения) на ток, получаем треугольник мощностей (рис. 4.23), из которого
S = UI, S = P 2 + Q 2 L ; (4.13)
P = S cosφ = UI cosφ ; (4.14)
Q = S sin φ == UI sin φ. (4.15)
За единицу активной мощности принят ватт (Вт), реактивной - вольт-ампер реактивный (вар), полной - вольт-ампер (В А).
Из формул (4.12), (4.15) можно определить cosφ или sinφ , азатем угол φ, который является углом сдвига фаз между током и напряжением. Этот угол можно также найти из рис.4.21, 4.22, 4.23. Во всех треугольниках он одинаковый, так как треугольники подобные.
Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода.
Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L , то есть такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.
Пусть к цепи с индуктивностью L
приложено синусоидальное напряжение 
. Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i
. Этот ток создает магнитный поток Ф
, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции
где w – число витков катушки.
Условное положительное направление ЭДС e L выбирают из условия, что её действительное направление в любой момент времени противоположно направлению u L ().
По второму закону Кирхгофа имеем , а с учетом того, что , получаем
Чтобы получить это уравнение на основании , условное положительное направление e L следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.
или 
Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи:
Так как амплитуда тока
то окончательное выражение для тока имеет вид
.
Видно, что в цепи с индуктивностью ток также изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол π/ 2.
В формуле знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление
.
Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. С учетом этой формулы получаем
Для действующих значений напряжения и тока
Так как согласно ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то, используя , имеем
.
Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и ЭДС самоиндукции.
В соответствии с принимая во внимание, что , комплексное напряжения , а в соответствии с и комплексный ток
.
На векторной диаграмме вектор напряжения, имеющий начальную фазу, равную нулю, отложен по мнимой оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , - в положительном направлении вещественной оси. Угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи с индуктивностью .
Если модули напряжения и тока связаны соотношением , то их комплексные значения связаны соотношением
В цепи с индуктивностью L угол и формула принимает вид
,
то есть мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.
Первую четверть периода ток совпадает по направлению с ЭДС самоиндукции e L индуктивной катушки, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания. Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода ток опять совпадает по направлению с e L и запасенная в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания (мощность отрицательна).
Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью Q L , равной амплитуде мгновенного значения мощности, то есть
Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных (вар), киловольт-амперах реактивных (квар) и т.д.
Напряжение на элементе с индуктивностью 
, поэтому реактивная мощность можно также определить по формулам
,
где - индуктивная проводимость.
>> Катушка индуктивности в цепи переменного тока
§ 34 КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Индуктивность в цепи влияет на силу переменного тока . Это можно доказать с помощью простого опыта.
Соберем цепь из катупхки с большой индуктивностью и электрической лампы накаливания (рис. 4.16). С помощью переключателя можно подк.тючить эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть равны. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы переменного тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.
Объясняется это различие явлением самоиндукции . В § 15 главы 2 рассказывалось о том, что при подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при этом вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению.
Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигнуть тех значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении.
Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.
Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (рис. 4.17). Для этого предварительно найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.
Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна быть равна нулю. Иначе сила тока, согласно закону Ома , была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля i , порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля k , создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.
Из равенства i = - k следует, что удельная работа вихревого поля (т. е. ЭДС самоиндукции е і) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля. Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжению на концах катушки, можно записать:
е і = -и.
При изменении силы тока по гармоническому закону
ЭДС самоиндукции равна:
e і = - L i " = - L l m cos t. (4.32)
Так как u = -е і , то напряжение на концах катушки оказывается равным
Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на , или, что то же самое, колебания си.яы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на (рис. 4.18).
Амплитуда силы тока в катушке равна:
и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим:
Величину X L , равную произведению циклической частоты на индуктивность , называют индуктивным сопротивлением.
Согласно формуле (4.35) действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения и индуктивным сопротивлением соотношением, подобным закону Ома для цепи постоянного тока.
Индуктивное сопротивление зависит от частоты . Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X L = 0).
Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ЭДС самоиндукции и тем меньше амплитуда силы тока.
Катушка индуктивности оказывает сопротивление переменному току. Это сопротивление, называемое индуктивным, равно произведению циклической частоты на индуктивность. Колебания силы тока в цепи с индуктивностью отстают по фазе от колебаний напряжения на .
1. Как связаны между собой действующие значения силы тока и напряжения на катушке индуктивности, активным сопротивлением которой можно пренебречь!
2. Почему ЭДС самоиндукции и напряжение на катушке имеют противоположные знаки!
