Plocha bočného povrchu valca sa rovná ploche obdĺžnika, ktorého základňa je 2π r a výška sa rovná výške valca h t.j. 2π rh.
Celková plocha valca bude: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
Považuje sa plocha bočného povrchu valca oblasť zametania jeho bočný povrch.
Preto sa plocha bočného povrchu pravého kruhového valca rovná ploche zodpovedajúceho obdĺžnika (obr.) a vypočíta sa podľa vzorca
Pred Kr. = 2πRH, (1)
Ak k ploche bočného povrchu valca pripočítame plochu jeho dvoch základní, dostaneme celkovú plochu valca
S plný = 2πRH + 2πR2 = 2πR (H + R).
Objem rovného valca
Veta. Objem rovného valca sa rovná súčinu plochy jeho základne a jeho výšky , t.j.kde Q je plocha základne a H je výška valca.
Pretože plocha základne valca je Q, potom existujú sekvencie opísaných a vpísaných mnohouholníkov s plochami Q n a Q' n také že
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \šípka doprava \infty)\) Q' n= Q.
Zostrojme postupnosť hranolov, ktorých základňami sú vyššie opísané a vpísané mnohouholníky a ktorých bočné hrany sú rovnobežné s tvoriacou čiarou daného valca a majú dĺžku H. Tieto hranoly sú pre daný valec opísané a vpísané. Ich objem sa zistí podľa vzorcov
V n= Q n H a V' n= Q' n H.
teda
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \šípka doprava \infty)\) Q' n H = QH.
Dôsledok.
Objem pravého kruhového valca sa vypočíta podľa vzorca
V = πR2H
kde R je polomer základne a H je výška valca.
Pretože základom kruhového valca je kruh s polomerom R, potom Q = π R 2, a preto
Valec je geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou. V článku budeme hovoriť o tom, ako nájsť oblasť valca a pomocou vzorca vyriešime niekoľko problémov ako príklad.
Valec má tri povrchy: horný, základný a bočný.
Horná a spodná časť valca sú kruhy a dajú sa ľahko identifikovať.
Je známe, že plocha kruhu sa rovná πr 2. Preto vzorec pre oblasť dvoch kruhov (horná a spodná časť valca) bude πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Tretí, bočný povrch valca, je zakrivená stena valca. Aby sme si tento povrch lepšie predstavili, skúsme ho transformovať, aby získal rozpoznateľný tvar. Predstavte si, že valec je obyčajný cín, ktorý nemá Horný kryt a spodok. Urobme zvislý rez na bočnej stene od vrchu po spodok plechovky (Krok 1 na obrázku) a snažme sa výslednú figúrku čo najviac otvoriť (narovnať) (Krok 2).
Po úplnom otvorení výslednej nádoby uvidíme známu postavu (krok 3), je to obdĺžnik. Plocha obdĺžnika sa dá ľahko vypočítať. Ešte predtým sa však na chvíľu vráťme k pôvodnému valcu. Vrchol pôvodného valca je kruh a vieme, že obvod vypočítame podľa vzorca: L = 2πr. Na obrázku je označený červenou farbou.
Keď je bočná stena valca úplne otvorená, vidíme, že obvod sa stáva dĺžkou výsledného obdĺžnika. Stranami tohto obdĺžnika bude obvod (L = 2πr) a výška valca (h). Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho strán - S = dĺžka x šírka = L x h = 2πr x h = 2πrh. V dôsledku toho sme dostali vzorec na výpočet plochy bočného povrchu valca.
Vzorec pre bočný povrch valca
S strana = 2πrh
Celková plocha valca
Nakoniec, ak spočítame plochu všetkých troch plôch, dostaneme vzorec pre celkovú plochu valca. Plocha povrchu valca sa rovná ploche hornej časti valca + plocha základne valca + plocha bočného povrchu valca alebo S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Niekedy sa tento výraz píše identicky so vzorcom 2πr (r + h).
Vzorec pre celkový povrch valca
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r – polomer valca, h – výška valca
Príklady výpočtu povrchovej plochy valca
Aby sme pochopili vyššie uvedené vzorce, skúsme vypočítať povrch valca pomocou príkladov.
1. Polomer základne valca je 2, výška je 3. Určte plochu bočného povrchu valca.
Celková plocha povrchu sa vypočíta podľa vzorca: strana S. = 2πrh
S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3
S strana = 6,28 * 6
S strana = 37,68
Bočný povrch valca je 37,68.
2. Ako nájsť povrch valca, ak je výška 4 a polomer 6?
Celkový povrch sa vypočíta podľa vzorca: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Valec (kruhový valec) je teleso, ktoré sa skladá z dvoch kruhov, kombinovaných paralelným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov. Kruhy sa nazývajú základne valca a segmenty spájajúce príslušné body obvodov kruhov sa nazývajú generátory valca.
Základy valca sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách a generátory valca sú rovnobežné a rovnaké. Povrch valca pozostáva zo základne a bočnej plochy. Bočný povrch tvoria tvoriace čiary.
Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho generátory kolmé na roviny základne. Valec možno považovať za teleso získané otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán ako osi. Existujú aj iné typy valcov - eliptické, hyperbolické, parabolické. Za typ valca sa považuje aj hranol.
Obrázok 2 zobrazuje naklonený valec. Jeho základňami sú kruhy so stredmi O a O 1.
Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami podstavcov. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je paralelný s generátormi. Prierez valca s rovinou prechádzajúcou osou valca sa nazýva axiálny rez. Rovina prechádzajúca tvoriacou čiarou priameho valca a kolmá na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina valca.
Rovina kolmá na os valca pretína jeho bočnú plochu pozdĺž kružnice rovnajúcej sa obvodu podstavy.
Hranol vpísaný do valca je hranol, ktorého základne sú rovnaké mnohouholníky vpísané do základov valca. Jeho bočné rebrá tvoria valec. O hranole sa hovorí, že je opísaný okolo valca, ak jeho základne sú rovnaké mnohouholníky opísané okolo základov valca. Roviny jeho plôch sa dotýkajú bočného povrchu valca.
Bočný povrch valca možno vypočítať vynásobením dĺžky tvoriacej čiary obvodom sekcie valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.
Bočný povrch rovného valca možno nájsť jeho vývojom. Rozvinutím valca je obdĺžnik s výškou h a dĺžkou P, ktorá sa rovná obvodu podstavy. Preto sa plocha bočného povrchu valca rovná ploche jeho vývoja a vypočíta sa podľa vzorca:
Najmä pre pravý kruhový valec:
P = 2πR a Sb = 2πRh.
Celková plocha valca sa rovná súčtu plôch jeho bočného povrchu a jeho základov.
Pre rovný kruhový valec:
Sp = 2πRh + 2πR2 = 2πR(h + R)
Na zistenie objemu nakloneného valca existujú dva vzorce.
Objem nájdete vynásobením dĺžky tvoriacej čiary plochou prierezu valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.
Objem nakloneného valca sa rovná súčinu plochy základne a výšky (vzdialenosť medzi rovinami, v ktorých ležia základne):
V = Sh = S l sin α,
kde l je dĺžka tvoriacej priamky a α je uhol medzi tvoriacou čiarou a rovinou základne. Pre rovný valec h = l.
Vzorec na zistenie objemu kruhového valca je nasledujúci:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4) h,
kde d je priemer základne.
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
Názov vedy „geometria“ sa prekladá ako „meranie zeme“. Vznikol vďaka úsiliu úplne prvých starovekých správcov pôdy. A stalo sa to takto: počas záplav posvätného Nílu prúdy vody niekedy zmyli hranice pozemkov farmárov a nové hranice sa nemuseli zhodovať so starými. Dane platili roľníci do pokladnice faraóna v pomere k veľkosti pridelenej pôdy. Špeciálni ľudia boli zapojení do merania plôch ornej pôdy v rámci nových hraníc po úniku. V dôsledku ich aktivít vznikla nová veda, ktorá sa rozvíjala v starovekom Grécku. Tam dostal svoje meno a prakticky získal moderný vzhľad. Následne sa tento pojem stal medzinárodným názvom pre vedu o plochých a trojrozmerných postavách.
Planimetrie je odvetvie geometrie zaoberajúce sa štúdiom rovinných útvarov. Ďalším vedným odborom je stereometria, ktorá skúma vlastnosti priestorových (objemových) útvarov. Medzi takéto figúrky patrí ten, ktorý je opísaný v tomto článku - valec.
Existuje veľa príkladov prítomnosti valcových predmetov v každodennom živote. Takmer všetky rotujúce časti - hriadele, puzdrá, čapy, nápravy atď. - majú valcový (oveľa menej často - kužeľový) tvar. Valec je tiež široko používaný v stavebníctve: veže, nosné stĺpy, ozdobné stĺpy. A tiež riad, niektoré druhy obalov, rúry rôznych priemerov. A nakoniec - slávne klobúky, ktoré sa už dlho stali symbolom mužskej elegancie. Zoznam pokračuje ďalej a ďalej.
Definícia valca ako geometrického útvaru
Valec (kruhový valec) sa zvyčajne nazýva postava pozostávajúca z dvoch kruhov, ktoré sa v prípade potreby kombinujú pomocou paralelného prekladu. Tieto kruhy sú základňami valca. Ale čiary (priame segmenty) spájajúce zodpovedajúce body sa nazývajú „generátory“.
Je dôležité, aby základne valca boli vždy rovnaké (ak nie je splnená táto podmienka, potom máme zrezaný kužeľ, niečo iné, ale nie valec) a boli v rovnobežných rovinách. Segmenty spájajúce zodpovedajúce body na kruhoch sú rovnobežné a rovnaké.
Súbor nekonečného počtu tvarovacích prvkov nie je nič iné ako bočný povrch valca - jeden z prvkov daného geometrického útvaru. Jeho ďalšou dôležitou súčasťou sú vyššie diskutované kruhy. Nazývajú sa základne.
Typy valcov
Najjednoduchší a najbežnejší typ valca je kruhový. Tvoria ho dva pravidelné kruhy slúžiace ako základne. Ale namiesto nich môžu byť iné postavy.
Základy valcov môžu tvoriť (okrem kruhov) elipsy a iné uzavreté obrazce. Valec však nemusí mať nevyhnutne uzavretý tvar. Základom valca môže byť napríklad parabola, hyperbola alebo iná otvorená funkcia. Takýto valec bude otvorený alebo nasadený.
Podľa uhla sklonu valcov tvoriacich základňu môžu byť rovné alebo šikmé. Pre rovný valec sú tvoriace čiary striktne kolmé na rovinu základne. Ak je tento uhol odlišný od 90°, valec je naklonený.
Čo je povrch revolúcie
Priamy kruhový valec je bezpochyby najbežnejšou rotačnou plochou používanou v strojárstve. Niekedy sa z technických dôvodov používajú kužeľové, guľové a niektoré iné typy povrchov, ale 99% všetkých rotačných hriadeľov, osí atď. sú vyrobené vo forme valcov. Aby sme lepšie pochopili, čo je rotačná plocha, môžeme zvážiť, ako je vytvorený samotný valec.
Povedzme, že existuje určitá priamka a, umiestnený vertikálne. ABCD je obdĺžnik, ktorého jedna strana (segment AB) leží na priamke a. Ak otočíme obdĺžnik okolo priamky, ako je znázornené na obrázku, objem, ktorý pri otáčaní zaberie, bude naše rotačné teleso - pravý kruhový valec s výškou H = AB = DC a polomerom R = AD = BC.
IN v tomto prípade, v dôsledku otáčania obrázku - obdĺžnika - sa získa valec. Otáčaním trojuholníka môžete získať kužeľ, otáčaním polkruhu - guľu atď.
Povrch valca
Na výpočet plochy obyčajného pravého kruhového valca je potrebné vypočítať plochy základne a bočných plôch.
Najprv sa pozrime na to, ako sa vypočíta plocha bočného povrchu. Je to súčin obvodu valca a výšky valca. Obvod sa zase rovná dvojnásobku súčinu univerzálneho čísla P podľa polomeru kruhu.
Je známe, že plocha kruhu sa rovná produktu P na štvorcový polomer. Takže pridaním vzorcov pre plochu bočného povrchu s dvojitým výrazom pre plochu základne (sú dve) a vykonaním jednoduchých algebraických transformácií získame konečný výraz na určenie plochy povrchu. valca.
Určenie objemu postavy
Objem valca sa určuje podľa štandardnej schémy: plocha základne sa vynásobí výškou.
Výsledný vzorec teda vyzerá takto: požadovaná hodnota je definovaná ako súčin výšky tela univerzálnym číslom P a druhou mocninou polomeru základne.
Výsledný vzorec, treba povedať, je použiteľný na riešenie najneočakávanejších problémov. Rovnakým spôsobom ako objem valca sa určuje napríklad objem elektrického vedenia. To môže byť potrebné na výpočet hmotnosti drôtov.
Jediný rozdiel vo vzorci je v tom, že namiesto polomeru jedného valca je priemer prameňa vodiča rozdelený na polovicu a počet prameňov vodiča sa objavuje vo výraze N. Tiež namiesto výšky sa používa dĺžka drôtu. Týmto spôsobom sa objem „valca“ vypočíta nielen jedným, ale aj počtom drôtov v opletení.
Takéto výpočty sa v praxi často vyžadujú. Koniec koncov, významná časť nádob na vodu je vyrobená vo forme potrubia. A často je potrebné vypočítať objem valca aj v domácnosti.
Ako však už bolo spomenuté, tvar valca môže byť odlišný. A v niektorých prípadoch je potrebné vypočítať, aký je objem nakloneného valca.
Rozdiel je v tom, že povrchová plocha základne sa nenásobí dĺžkou tvoriacej čiary, ako v prípade priameho valca, ale vzdialenosťou medzi rovinami - kolmým segmentom vytvoreným medzi nimi.
Ako je zrejmé z obrázku, takýto segment sa rovná súčinu dĺžky tvoriacej priamky a sínusu uhla sklonu tvoriacej priamky k rovine.
Ako postaviť vývoj valca
V niektorých prípadoch je potrebné vyrezať valec. Na obrázku nižšie sú uvedené pravidlá, podľa ktorých je polotovar skonštruovaný na výrobu valca s danou výškou a priemerom.
Upozorňujeme, že kresba je zobrazená bez švov.
Rozdiely medzi skoseným valcom
Predstavme si istý rovný valec, ohraničený na jednej strane rovinou kolmou na generátory. Ale rovina ohraničujúca valec na druhej strane nie je kolmá na generátory a nie je rovnobežná s prvou rovinou.
Na obrázku je znázornený skosený valec. Lietadlo A v určitom uhle, odlišnom od 90° ku generátorom, pretína obrazec.
Tento geometrický tvar sa v praxi častejšie vyskytuje vo forme potrubných spojov (kolená). Existujú však aj budovy postavené vo forme skoseného valca.
Geometrické charakteristiky skoseného valca
Naklonenie jednej z rovín skoseného valca mierne mení postup výpočtu plochy povrchu takejto postavy a jej objemu.
Pri štúdiu stereometrie je jednou z hlavných tém „Valec“. Oblasť bočného povrchu sa považuje, ak nie za hlavnú, potom za dôležitý vzorec pri riešení geometrických problémov. Dôležité je však zapamätať si definície, ktoré vám pomôžu orientovať sa v príkladoch a pri dokazovaní rôznych teorémov.
Koncept valca
Najprv je potrebné zvážiť niekoľko definícií. Až po ich preštudovaní môžeme začať uvažovať o otázke vzorca pre oblasť bočného povrchu valca. Na základe tohto záznamu je možné vypočítať ďalšie výrazy.
- Valcová plocha je rovina opísaná tvoriacou čiarou, ktorá sa pohybuje a zostáva rovnobežná daný smer, posúvajúc sa po existujúcej krivke.
- Existuje aj druhá definícia: valcová plocha je tvorená sústavou rovnobežných čiar pretínajúcich danú krivku.
- Tvoriaca čiara sa bežne nazýva výška valca. Keď sa pohybuje okolo osi prechádzajúcej stredom základne, získa sa naznačené geometrické teleso.
- Osou rozumieme priamku prechádzajúcu oboma základňami obrazca.
- Valec je stereometrické teleso ohraničené pretínajúcou sa bočnou plochou a dvoma rovnobežnými rovinami.
Existujú odrody tohto objemového čísla:
- Kruhom rozumieme valec, ktorého vedením je kruh. Jeho hlavnými komponentmi sú polomer základne a tvoriaca čiara. Ten sa rovná výške postavy.
- Je tam rovný valec. Svoj názov dostal vďaka kolmosti formujúcej sa figúry k základniam.
- Tretím typom je skosený valec. V učebniciach preň nájdete iný názov: „kruhový valec so skosenou základňou“. Tento údaj je určený polomerom základne, minimálnym a maximálna výška.
- Rovnostranným valcom sa rozumie teleso, ktoré má rovnakú výšku a priemer v kruhovej rovine.
Legenda
Tradične sa hlavné „komponenty“ valca nazývajú takto:
- Polomer základne je R (nahrádza tiež podobnú hodnotu stereometrického obrazca).
- Generátor - L.
- Výška - H.
- Plocha základne je základňa S (inými slovami, je potrebné nájsť zadaný parameter kruhu).
- Výšky skoseného valca sú h 1 , h 2 (minimum a maximum).
- Bočná plocha je na strane S (ak ju rozložíte, získate akýsi obdĺžnik).
- Objem stereometrického útvaru je V.
- Celková plocha - S.
"Súčasti" stereometrického obrazca
Pri štúdiu valca hrá dôležitú úlohu bočná plocha. Je to spôsobené tým, že tento vzorec zahrnuté v niekoľkých ďalších, zložitejších. Preto je potrebné sa dobre orientovať v teórii.
Hlavné zložky obrázku sú:
- Bočný povrch. Ako je známe, získava sa v dôsledku pohybu tvoriacej čiary pozdĺž danej krivky.
- Kompletný povrch zahŕňa existujúce základne a bočnú rovinu.
- Prierez valca je spravidla obdĺžnik umiestnený rovnobežne s osou obrázku. Inak sa tomu hovorí rovina. Ukazuje sa, že dĺžka a šírka sú tiež súčasťami iných postáv. Takže, konvenčne, dĺžky sekcie sú generátory. Šírka - rovnobežné akordy stereometrickej figúry.
- Osovým rezom rozumieme umiestnenie roviny cez stred telesa.
- A na záver posledná definícia. Tangenta je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru valca a umiestnená v pravom uhle k axiálnemu rezu. V tomto prípade musí byť splnená jedna podmienka. Špecifikovaná tvoriaca čiara musí byť zahrnutá v rovine osového rezu.
Základné vzorce pre prácu s valcom
Na zodpovedanie otázky, ako nájsť povrch valca, je potrebné študovať hlavné „komponenty“ stereometrického obrazca a vzorce na ich nájdenie.
Tieto vzorce sa líšia v tom, že prvé výrazy sú uvedené pre skosený valec a potom pre rovný.
Príklady s rozloženým riešením
Je potrebné zistiť plochu bočného povrchu valca. Je daná uhlopriečka rezu AC = 8 cm (a je osová). Pri kontakte s generatrix sa ukáže< ACD = 30°
Riešenie. Keďže hodnoty uhlopriečky a uhla sú známe, potom v tomto prípade:
- CD = AC*cos 30°.
Komentár. Trojuholník ACD, in konkrétny príklad, obdĺžnikový. To znamená, že kvocient CD a AC = kosínus existujúceho uhla. Význam goniometrických funkcií nájdete v špeciálnej tabuľke.
Podobne môžete nájsť hodnotu AD:
- AD = AC*sin 30°
Teraz musíte vypočítať požadovaný výsledok pomocou nasledujúcej formulácie: plocha bočného povrchu valca sa rovná dvojnásobku výsledku vynásobenia „pi“, polomeru čísla a jeho výšky. Mal by sa použiť iný vzorec: plocha základne valca. Rovná sa výsledku vynásobenia „pí“ druhou mocninou polomeru. A nakoniec posledný vzorec: celková plocha povrchu. Rovná sa súčtu predchádzajúcich dvoch oblastí.
Valce sú dané. Ich objem = 128*p cm³. Ktorý valec má najmenší celkový povrch?
Riešenie. Najprv musíte použiť vzorce na zistenie objemu postavy a jej výšky.
Keďže celkový povrch valca je známy z teórie, je potrebné použiť jeho vzorec.
Ak vezmeme do úvahy výsledný vzorec ako funkciu plochy valca, minimálny „ukazovateľ“ sa dosiahne v extrémnom bode. Ak chcete získať poslednú hodnotu, musíte použiť diferenciáciu.
Vzorce je možné zobraziť v špeciálnej tabuľke na hľadanie derivátov. Následne sa nájdený výsledok vyrovná nule a nájde sa riešenie rovnice.
Odpoveď: S min sa dosiahne pri h = 1/32 cm, R = 64 cm.
Je uvedený stereometrický obrazec - valec a rez. Ten sa vykonáva tak, že je umiestnený rovnobežne s osou stereometrického telesa. Valec má tieto parametre: VK = 17 cm, v = 15 cm, R = 5 cm Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi rezom a osou.
Keďže prierezom valca sa rozumie VSKM, t.j. obdĺžnik, jeho strana BM = h. Je potrebné zvážiť VMC. Trojuholník je pravouhlý trojuholník. Na základe tohto tvrdenia môžeme odvodiť správny predpoklad, že MK = BC.
VK² = VM² + MK²
MK² = VK² - VM²
MK² = 17² - 15²
Z toho môžeme usúdiť, že MK = BC = 8 cm.
Ďalším krokom je nakreslenie rezu základňou obrázku. Je potrebné zvážiť výslednú rovinu.
AD je priemer stereometrického útvaru. Je paralelná s časťou uvedenou vo vyhlásení o probléme.
BC je priamka umiestnená v rovine existujúceho obdĺžnika.
ABCD - lichobežník. V tomto konkrétnom prípade sa považuje za rovnoramenný, pretože je okolo neho opísaný kruh.
Ak nájdete výšku výsledného lichobežníka, môžete získať odpoveď uvedenú na začiatku úlohy. A to: zistenie vzdialenosti medzi osou a nakresleným rezom.
Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnoty AD a OS.
Odpoveď: úsek je umiestnený 3 cm od osi.
Úlohy na upevnenie materiálu
Daný valec. V následnom riešení sa použije plocha bočného povrchu. Ďalšie parametre sú známe. Základná plocha je Q, axiálna prierezová plocha je M. Je potrebné nájsť S. Inými slovami, celková plocha valca.
Daný valec. Oblasť bočného povrchu sa musí nájsť v jednom z krokov riešenia problému. Je známe, že výška = 4 cm, polomer = 2 cm Je potrebné nájsť celkovú plochu stereometrického obrázku.
