Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ.
Цель задания - выяснить, как изменится траектория тела, если учитывать сопротивление воздуха. Также необходимо ответить на вопрос, будет ли дальность полёта по-прежнему достигать максимального значения при угле бросания в 45°, если учитывать сопротивление воздуха.
В разделе "Аналитическое исследование" изложена теория. Этот раздел можно пропустить, но он должен быть, в основном, понятным для вас, потому что бо
льшую часть из этого вы проходили в школе.
В разделе "Численное исследование" содержится описание алгоритма, который необходимо реализовать на компьютере. Алгоритм простой и краткий, поэтому все должны справиться.
Аналитическое исследование
Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. В начальный момент времени тело массой m находится в начале координат. Вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз и имеет координаты (0, -g ).- вектор начальной скорости. Разложим этот вектор по базису:
. Здесь , где
- модуль вектора скорости, - угол бросания.Запишем второй закон Ньютона: .
Ускорение в каждый момент времени есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени: .
Следовательно, 2-й закон Ньютона можно переписать в следующем виде:
, где - это равнодействующая всех сил, действующая на тело.
Так как на тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то 
.
Мы будем рассматривать три случая:
1) Сила сопротивления воздуха равна 0:
.
2) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна скорости: 
.
3) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна квадрату скорости: 
.
Вначале рассмотрим 1-й случай.
В этом случае 
, или .
Из следует, что 
(равноускоренное движение).
Так как (r
- радиус-вектор), то 
.
Отсюда 
.
Эта формула есть не что иное, как знакомая вам формула закона движения тела при равноускоренном движении.
Так как , то 
.
Учитывая, что и
, получаем из последнего векторного равенства скалярные равенства:
Проанализируем полученные формулы.
Найдём время полёта
тела. Приравняв y
к нулю, получим
Из этой формулы следует, что максимальная дальность полёта достигается при .
Теперь найдём уравнение трактории тела
. Для этого выразим t
через x
И подставим полученное выражение для t
в равенство для y
.
Полученная функция y
(x
) -- квадратичная функция, её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Про движение тела, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), рассказывается в этом видеоролике.
Теперь рассмотрим второй случай: .
Второй закон приобретает вид 
,
отсюда 
.
Запишем это равенство в скалярном виде:
Мы получили два линейных дифференциальных уравнения
.
Первое уравнение имеет решение
В чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для v x
и в начальное условие 
.
Здесь e = 2,718281828459... -- число Эйлера .
Второе уравнение имеет решение
Так как 
,
, то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.
В следующем видеоролике говорится, что парашютист сначала движется ускоренно, а потом начинает двигаться равномерно (даже до раскрытия парашюта).
Найдём выражения для x и y .
Так как x (0) = 0, y (0) = 0, то
Нам осталось рассмотреть случай 3, когда
.Второй закон Ньютона имеет вид
, или
.В скалярном виде это уравнение имеет вид:
Это система нелинейных дифференциальных уравнений . Данную систему не удаётся решить в явном виде, поэтому необходимо применять численное моделирование.
Численное исследование
В предыдущем разделе мы увидели, что в первых двух случаях закон движения тела можно получить в явном виде. Однако в третьем случае необходимо решать задачу численно. При помощи численных методов мы получим лишь приближённое решение, но нас вполне устроит и небольшая точность. (Число π или квадратный корень из 2, кстати, нельзя записать абсолютно точно, поэтому при расчётах берут какое-то конечное число цифр, и этого вполне хватает.)Будем рассматривать второй случай, когда сила сопротивления воздуха определяется формулой. Отметим, что при k
= 0 получаем первый случай.
Скорость тела 
подчиняется следующим уравнениям:
В левых частях этих уравнений записаны компоненты ускорения 
.
Напомним, что ускорение есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени.
В правых частях уравнений записаны компоненты скорости. Таким образом, данные уравнения показывают, как скорость изменения скорости связана со скоростью.
Попробуем найти решения этих уравнений при помощи численных методов. Для этого введём на временной оси сетку
: выберем число
и будем рассматривать моменты времени вида :
.
Наша задача -- приближённо вычислить значения
в узлах сетки.
Заменим в уравнениях ускорение (мгновенную скорость
изменения скорости) на среднюю скорость
изменения скорости, рассматривая движение тела на промежутке времени :
Теперь подставим полученные аппроксимации в наши уравнения.
Полученные формулы позволяют нам вычислить значения функций в следующем узле сетки, если известны значения этих функций в предыдущем узле сетки.
При помощи описанного метода мы можем получить таблицу приближённых значений компонент скорости.
Как найти закон движения тела, т.е. таблицу приближённых значений координат x
(t
), y
(t
)? Аналогично!
Имеем
Значение vx[j] равняется значению функции , для других массивов аналогично.
Теперь остаётся написать цикл, внутри которого мы будем вычислять vx через уже вычисленное значение vx[j], и с остальными массивами то же самое. Цикл будет по j
от 1 до N
.
Не забудьте инициализировать начальные значения vx, vy, x, y по формулам , x
0 = 0, y
0 = 0.
В Паскале и Си для вычисления синуса и косинуса имеются функции sin(x) , cos(x) . Обратите внимание, что эти функции принимают аргумент в радианах.
Вам необходимо построить график движения тела при k
= 0 и k
> 0 и сравнить полученные графики. Графики можно построить в Excel.
Отметим, что расчётные формулы настолько просты, что для вычислений можно использовать один только Excel и даже не использовать язык программирования.
Однако в дальнейшем вам нужно будет решить задачу в CATS, в которой нужно вычислить время и дальность полёта тела, где без языка программирования не обойтись.
Обратите внимание, что вы можете протестировать вашу программу и проверить ваши графики, сравнив результаты вычислений при k = 0 с точными формулами, приведёнными в разделе "Аналитическое исследование".
Поэкспериментируйте со своей программой. Убедитесь в том, что при отсутствии сопротивления воздуха (k
= 0) максимальная дальность полёта при фиксированной начальной скорости достигается при угле в 45°.
А с учётом сопротивления воздуха? При каком угле достигается максимальная дальность полёта?
На рисунке представлены траектории тела при v 0 = 10 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с 2 , m = 1 кг, k = 0 и 1, полученные при помощи численного моделирования при Δt = 0,01.
Вы можете ознакомиться с замечательной работой 10-классников из г. Троицка, представленной на конференции "Старт в науку" в 2011 г. Работа посвящена моделированию движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту (с учетом сопротивления воздуха). Применяется как численное моделирование, так и натурный эксперимент.
Таким образом, данное творческое задание позволяет познакомиться с методами математического и численного моделирования, которые активно используются на практике, но мало изучаются в школе. К примеру, данные методы использовались при реализации атомного и космического проектов в СССР в середине XX века.
При движении любого предмета по поверхности или в воздухе возникают силы, препятствующие этому. Их называют силами сопротивления или трения. В этой статье мы расскажем, как найти силу сопротивления, и рассмотрим факторы, влияющие на нее.
Для определения силы сопротивления необходимо воспользоваться третьим законом Ньютона. Эта величина численно равна силе, которую нужно приложить, чтобы заставить равномерно двигаться предмет по ровной горизонтальной поверхности. Это можно сделать при помощи динамометра. Сила сопротивления вычисляется по формуле F=μ*m*g. Согласно этой формуле, искомая величина прямо пропорциональна массе тела. Стоит учесть, что для правильного подсчета необходимо выбрать μ – коэффициент, зависящий от материала, из которого изготовлена опора. Принимают во внимание и материал предмета. Этот коэффициент выбирается по таблице. Для расчета используется постоянная g, которая равна 9,8 м/с2. Как рассчитать сопротивление, если тело движется не прямолинейно, а по наклонной плоскости? Для этого в первоначальную формулу нужно ввести cos угла. Именно от угла наклона зависит трение и сопротивление поверхности тел к движению. Формула для определения трения по наклонной плоскости будет иметь такой вид: F=μ*m*g*cos(α). Если тело движется на высоте, то на него действует сила трения воздуха, которая зависит от скорости движения предмета. Искомую величину можно рассчитать по формуле F=v*α. Где v – скорость движения предмета, а α – коэффициент сопротивления среды. Эта формула подходит исключительно для тел, которые передвигаются с небольшой скоростью. Для определения силы сопротивления реактивных самолетов и других высокоскоростных агрегатов применяют другую – F=v2*β. Для расчета силы трения высокоскоростных тел используют квадрат скорости и коэффициент β, который рассчитывается для каждого предмета отдельно. При движении предмета в газе или жидкости при расчете силы трения необходимо учитывать плотность среды, а также массу и объем тела. Сопротивление движению существенно снижает скорость поездов и автомобилей. Причем на движущие предметы действует два вида сил – постоянные и временные. Общая сила трения представлена суммой двух величин. Для снижения сопротивления и повышения скорости машины конструкторы и инженеры изобретают разнообразные материалы со скользящей поверхностью, от которой воздух отталкивается. Именно поэтому передняя часть скоростных поездов имеет обтекаемую форму. Рыбы очень быстро движутся в воде благодаря обтекаемому телу, покрытому слизью, которая снижает трение. Не всегда сила сопротивления отрицательно сказывается на движении машин. Чтобы вытащить автомобиль из грязи, необходимо под колеса насыпать песок или щебень. Благодаря увеличению трения авто отлично справляется с болотистой почвой и грязью.Сопротивление движения в воздухе используется во время прыжков с парашютом. В результате возникающего трения между куполом и воздухом скорость движения парашютиста снижается, что позволяет без ущерба для жизни заниматься парашютным спортом.
Дорожная эксплуатационная мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивлений, весьма велика (см. рис.). Например, для поддержания равномерного движения (190 км/ч ) четырех дверного седана, массой 1670 кг , площадью миделя 2,05 м 2 , С х = 0,45 требуется около 120 кВт мощности, причем 75 % мощности затрачивается на аэродинамическое сопротивление. Мощности, затрачиваемые на преодоление аэродинамического и дорожного (качения) сопротивления приблизительно равны на скорости 90 км/ч, и в сумме составляют 20 – 25 кВт .
Примечание к рисунку : сплошная линия – аэродинамическое сопротивление; пунктирная линия – сопротивление качению.
Сила сопротивления воздуха Р w обусловлена трением в прилегающих к поверхности автомобиля слоях воздуха, сжатием воздуха движущейся машиной, разрежением за машиной и вихреобразованием в окружающих автомобиль слоях воздуха. На величину аэродинамического сопротивления автомобиля влияет ряд и других факторов, главным из которых является его форма. В качестве упрощенного примера влияния формы автомобиля на его аэродинамическое сопротивление проиллюстрировано на схеме, приведенной ниже.
Направление движения автомобиля
Значительная часть всей силы сопротивления воздуха составляет лобовое сопротивление, которое зависит от лобовой площади (наибольшей площади поперечного сечения автомобиля).
Для определения силы сопротивления воздуха используют зависимость:
Р w = 0,5·с х ·ρ·F·v n ,
где с х – коэффициент, характеризующий форму тела и аэродинамическое качество машины (коэффициент аэродинамического сопротивления );
F - лобовая площадь автомобиля (площадь проекции на плоскость, перпендикулярную продольной оси), м 2 ;
v - скорость движения машины, м/с ;
n - показатель степени (для реальных скоростей движения автомобилей принимается равным 2).
ρ - плотность воздуха:
, кг/м 3 ,
где ρ 0 = 1,189 кг/м 3 , р 0 = 0,1 МПа , Т 0 = 293К – плотность, давление и температура воздуха при нормальных условиях;
ρ , р , Т – плотность, давление и температура воздуха при расчетных условиях.
При расчетах лобовую площадь F легковых автомобилей со стандартным кузовом определяют по приближенной формуле:
F = 0,8В г Н г ,
где В г - габаритная ширина автомобиля, м ;
Н г - габаритная высота автомобиля, м .
Для автобусов и грузовых автомобилей с кузовом в виде фургона или с тентом:
F = 0,9В Г Н Г .
Для условий работы автомобиля плотность воздуха изменяется мало (ρ = 1,24…1,26 кг/м 3 ). Заменив произведение (0,5·с х ·ρ ) , через к w , получим:
Р w = к w ·F·v 2 ,
где к w – коэффициент обтекаемости ; по определению он представляет собой удельную силу в Н , необходимую для движения со скоростью 1 м/с в воздушной среде тела данной формы с лобовой площадью 1 м 2:
, Н·с 2 /м 4 .
Произведение (к w ·F )называют фактором сопротивления воздушной среды или фактором обтекаемости , характеризующим размеры и форму автомобиля в отношении свойств обтекаемости (его аэродинамические качества).
Средние значения коэффициентов с х , k w и лобовых площадей F для различных типов автомобилей приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
Параметры, характеризующие аэродинамические качества автомобилей :
Известные значения аэродинамических коэффициентов c x и k w и площади габаритного поперечного (миделевого) сечения F для некоторых серийно выпускаемых автомобилей (по данным заводов-изготовителей) приведены в табл. 2.1.-а .
Таблица 2.1-а.
Аэродинамические коэффициенты и лобовая площадь автомобилей:
| № | Автомобиль | с х | к w | F |
| ВАЗ-2121 | 0,56 | 0,35 | 1,8 | |
| ВАЗ-2110 | 0,334 | 0,208 | 2,04 | |
| М-2141 | 0,38 | 0,24 | 1,89 | |
| ГАЗ-2410 | 0,34 | 0,3 | 2,28 | |
| ГАЗ-3105 | 0,32 | 0,22 | 2,1 | |
| ГАЗ-3110 | 0,56 | 0,348 | 2,28 | |
| ГАЗ-3111 | 0,453 | 0,282 | 2,3 | |
| «Ока» | 0,409 | 0,255 | 1,69 | |
| УАЗ-3160 (jeep) | 0,527 | 0,328 | 3,31 | |
| ГАЗ-3302 бортовой | 0,59 | 0,37 | 3,6 | |
| ГАЗ-3302 фургон | 0,54 | 0,34 | 5,0 | |
| ЗИЛ-130 бортовой | 0,87 | 0,54 | 5,05 | |
| КамАЗ-5320 бортовой | 0,728 | 0,453 | 6,0 | |
| КамАЗ-5320 тентовый | 0,68 | 0,43 | 7,6 | |
| МАЗ-500А тентовый | 0,72 | 0,45 | 8,5 | |
| МАЗ-5336 тентовый | 0,79 | 0,52 | 8,3 | |
| ЗИЛ-4331 тентовый | 0,66 | 0,41 | 7,5 | |
| ЗИЛ-5301 | 0,642 | 0,34 | 5,8 | |
| Урал-4320 (military) | 0,836 | 0,52 | 5,6 | |
| КрАЗ (military) | 0,551 | 0,343 | 8,5 | |
| ЛиАЗ bus (city) | 0,816 | 0,508 | 7,3 | |
| ПАЗ-3205 bus (city) | 0,70 | 0,436 | 6,8 | |
| Ikarus bus (city) | 0,794 | 0,494 | 7,5 | |
| Mercedes-Е | 0,322 | 0,2 | 2,28 | |
| Mercedes-А (kombi) | 0,332 | 0,206 | 2,31 | |
| Mercedes -ML (jeep) | 0,438 | 0,27 | 2,77 | |
| Audi A-2 | 0,313 | 0,195 | 2,21 | |
| Audi A-3 | 0,329 | 0,205 | 2,12 | |
| Audi S 3 | 0,336 | 0,209 | 2,12 | |
| Audi A-4 | 0,319 | 0,199 | 2,1 | |
| BMW 525i | 0,289 | 0,18 | 2,1 | |
| BMW- 3 | 0,293 | 0,182 | 2,19 | |
| Citroen X sara | 0,332 | 0,207 | 2,02 | |
| DAF 95 trailer | 0,626 | 0,39 | 8,5 | |
| Ferrari 360 | 0,364 | 0,227 | 1,99 | |
| Ferrari 550 | 0,313 | 0,195 | 2,11 | |
| Fiat Punto 60 | 0,341 | 0,21 | 2,09 | |
| Ford Escort | 0,362 | 0,225 | 2,11 | |
| Ford Mondeo | 0,352 | 0,219 | 2,66 | |
| Honda Civic | 0,355 | 0,221 | 2,16 | |
| Jaguar S | 0,385 | 0,24 | 2,24 | |
| Jaguar XK | 0,418 | 0,26 | 2,01 | |
| Jeep Cherokes | 0,475 | 0,296 | 2,48 | |
| McLaren F1 Sport | 0,319 | 0,198 | 1,80 | |
| Mazda 626 | 0,322 | 0,20 | 2,08 | |
| Mitsubishi Colt | 0,337 | 0,21 | 2,02 | |
| Mitsubishi Space Star | 0,341 | 0,212 | 2,28 | |
| Nissan Almera | 0,38 | 0,236 | 1,99 | |
| Nissan Maxima | 0,351 | 0,218 | 2,18 | |
| Opel Astra | 0,34 | 0,21 | 2,06 | |
| Peugeot 206 | 0,339 | 0,21 | 2,01 | |
| Peugeot 307 | 0,326 | 0,203 | 2,22 | |
| Peugeot 607 | 0,311 | 0,19 | 2,28 | |
| Porsche 911 | 0,332 | 0,206 | 1,95 | |
| Renault Clio | 0,349 | 0,217 | 1,98 | |
| Renault Laguna | 0,318 | 0,198 | 2,14 | |
| Skoda Felicia | 0,339 | 0,21 | 2,1 | |
| Subaru Impreza | 0,371 | 0,23 | 2,12 | |
| Suzuki Alto | 0,384 | 0,239 | 1,8 | |
| Toyota Corolla | 0,327 | 0,20 | 2,08 | |
| Toyota Avensis | 0,327 | 0,203 | 2,08 | |
| VW Lupo | 0,316 | 0,197 | 2,02 | |
| VW Beetl | 0,387 | 0,24 | 2,2 | |
| VW Bora | 0,328 | 0,204 | 2,14 | |
| Volvo S 40 | 0,348 | 0,217 | 2,06 | |
| Volvo S 60 | 0,321 | 0,20 | 2,19 | |
| Volvo S 80 | 0,325 | 0,203 | 2,26 | |
| Volvo B12 bus (tourist) | 0,493 | 0,307 | 8,2 | |
| MAN FRH422 bus (city) | 0,511 | 0,318 | 8,0 | |
| Mercedes 0404(inter city) | 0,50 | 0,311 | 10,0 |
Примечание: c x , Н·с 2 /м·кг; к w , Н·с 2 /м 4 – аэродинамические коэффициенты;
F , м 2 – лобовая площадь автомобиля.
Для автомобилей, имеющих высокие скорости движения, сила Р w имеет доминирующее значение. Сопротивление воздушной среды определяется относительной скоростью автомобиля и воздуха, поэтому при её определении следует учитывать влияние ветра.
Точка приложения результирующей силы сопротивления воздуха Р w (центр парусности) лежит в поперечной (лобовой) плоскости симметрии автомобиля. Высота расположения этого центра над опорной поверхностью дороги h w оказывает значительное влияние на устойчивость автомобиля при движении его с высокими скоростями.
Увеличение Р w может привести к тому, что продольный опрокидывающий момент Р w ·h w настолько разгрузит передние колеса машины, что последняя потеряет управляемость вследствие плохого контакта управляемых колес с дорогой. Боковой ветер может вызвать занос автомобиля, который будет тем более вероятен, чем выше расположен центр парусности.
Попадающий в пространство между нижней части автомобиля и дорогой воздух создает дополнительное сопротивление движению за счет эффекта интенсивного образования вихрей. Для снижения этого сопротивления желательно передней части автомобиля придавать конфигурацию, которая препятствовала бы попадание встречного воздуха под его нижнюю часть.
По сравнению с одиночным автомобилем коэффициент сопротивления воздуха автопоезда с обычным прицепом выше на 20…30%, а с седельным прицепом – примерно на 10%. Антенна, зеркало внешнего вида, багажник над крышей, дополнительные фары и другие выступающие детали или открытые окна увеличивают сопротивление воздуха.
При скорости движения автомобиля до 40 км/ч сила Р w меньше силы сопротивления качению Р f на асфальтированной дороге. При скоростях свыше 100 км/ч сила сопротивления воздуха представляет собой основную составляющую тягового баланса автомобиля.
Грузовые автомобили имеют плохо обтекаемые формы с резкими углами и большим числом выступающих частей. Чтобы снизить Р w , на грузовиках устанавливают над кабиной обтекатели и другие приспособления.
Подъемная аэродинамическая сила . Появление подъемной аэродинамической силы обусловлено перепадом давлений воздуха на автомобиль снизу и сверху (по аналогии подъемной силы крыла самолета). Преобладание давления воздуха снизу над давлением сверху объясняется тем, что скорость воздушного потока, обтекающего автомобиль снизу, гораздо меньше, чем сверху. Значение подъемной аэродинамической силы не превышает 1,5% от веса самого автомобиля. Например, для легкового автомобиля ГАЗ-3102 «Волга» подъемная аэродинамическая сила при скорости движения 100 км/ч составляет около 1,3% от собственного веса автомобиля.
Спортивным автомобилям, движущимся с большими скоростями, придают такую форму, при которой подъемная сила направлена вниз, которая прижимает автомобиль к дороге. Иногда с этой же целью такие автомобили оснащают специальными аэродинамическими плоскостями.
3.5. Законы сохранения и изменения энергии
3.5.1. Закон изменения полной механической энергии
Изменение полной механической энергии системы тел происходит при совершении работы силами, действующими как между телами системы, так и со стороны внешних тел.
Изменение механической энергии ∆E системы тел определяется законом изменения полной механической энергии :
∆E = E 2 − E 1 = A внеш + A тр(сопр) ,
где E 1 - полная механическая энергия начального состояния системы; E 2 - полная механическая энергия конечного состояния системы; A внеш - работа, совершаемая над телами системы внешними силами; A тр(сопр) - работа, совершаемая силами трения (сопротивления), действующими внутри системы.
Пример 30. На некоторой высоте покоящееся тело имеет потенциальную энергию, равную 56 Дж. К моменту падения на Землю тело имеет кинетическую энергию, равную 44 Дж. Определить работу сил сопротивления воздуха.
Решение. На рисунке показаны два положения тела: на некоторой высоте (первое) и к моменту падения на Землю (второе). Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на поверхности Земли.
Полная механическая энергия тела относительно поверхности Земли определяется суммой потенциальной и кинетической энергии:
- на некоторой высоте
E 1 = W p 1 + W k 1 ;
- к моменту падения на Землю
E 2 = W p 2 + W k 2 ,
где W p 1 = 56 Дж - потенциальная энергия тела на некоторой высоте; W k 1 = 0 - кинетическая энергия покоящегося на некоторой высоте тела; W p 2 = 0 Дж - потенциальная энергия тела к моменту падения на Землю; W k 2 = 44 Дж - кинетическая энергия тела к моменту падения на Землю.
Работу сил сопротивления воздуха найдем из закона изменения полной механической энергии тела:
где E 1 = W p 1 - полная механическая энергия тела на некоторой высоте; E 2 = W k 2 - полная механическая энергия тела к моменту падения на Землю; A внеш = 0 - работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A сопр - работа сил сопротивления воздуха.
Искомая работа сил сопротивления воздуха, таким образом, определяется выражением
A сопр = W k 2 − W p 1 .
Произведем вычисление:
A сопр = 44 − 56 = −12 Дж.
Работа сил сопротивления воздуха является отрицательной величиной.
Пример 31. Две пружины с коэффициентами жесткости 1,0 кН/м и 2,0 кН/м соединены параллельно. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть систему пружин на 20 см?
Решение. На рисунке показаны две пружины с разными коэффициентами жесткости, соединенные параллельно.
Внешняя сила F → , растягивающая пружины, зависит от величины деформации составной пружины, поэтому расчет работы указанной силы по формуле для вычисления работы постоянной силы неправомерен.
Для расчета работы воспользуемся законом изменения полной механической энергии системы:
E 2 − E 1 = A внеш + A сопр,
где E 1 - полная механическая энергия составной пружины в недеформированном состоянии; E 2 - полная механическая энергия деформированной пружины; A внеш - работа внешней силы (искомая величина); A сопр = 0 - работа сил сопротивления.
Полная механическая энергия составной пружины представляет собой потенциальную энергию ее деформации:
- для недеформированной пружины
E 1 = W p 1 = 0,
- для растянутой пружины
E 2 = W p 2 = k общ (Δ l) 2 2 ,
где k общ - общий коэффицент жесткости составной пружины; ∆l - величина растяжения пружины.
Общий коэффициент жесткости двух пружин, соединенных параллельно, есть сумма
k общ = k 1 + k 2 ,
где k 1 - коэффициент жесткости первой пружины; k 2 - коэффициент жесткости второй пружины.
Работу внешней силы найдем из закона изменения полной механической энергии тела:
A внеш = E 2 − E 1 ,
подставив в данное выражение формулы, определяющие E 1 и E 2 , а также выражение для общего коэффициента жесткости составной пружины:
A внеш = k общ (Δ l) 2 2 − 0 = (k 1 + k 2) (Δ l) 2 2 .
Выполним расчет:
A внеш = (1,0 + 2,0) ⋅ 10 3 ⋅ (20 ⋅ 10 − 2) 2 2 = 60 Дж.
Пример 32. Пуля массой 10,0 г, летящая со скоростью 800 м/с, попадает в стену. Модуль силы сопротивления движению пули в стене постоянен и составляет 8,00 кН. Определить, на какое расстояние пуля углубится в стену.
Решение. На рисунке показаны два положения пули: при ее подлете к стене (первое) и к моменту остановки (застревания) пули в стене (второе).
Полная механическая энергия пули является кинетической энергией ее движения:
- при подлете пули к стене
E 1 = W k 1 = m v 1 2 2 ;
- к моменту остановки (застревания) пули в стене
E 2 = W k 2 = m v 2 2 2 ,
где W k 1 - кинетическая энергия пули при подлете к стене; W k 2 - кинетическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; m - масса пули; v 1 - модуль скорости пули при подлете к стене; v 2 = 0 - величина скорости пули к моменту остановки (застревания) в стене.
Расстояние, на которое пуля углубится в стену, найдем из закона изменения полной механической энергии пули:
E 2 − E 1 = A внеш + A сопр,
где E 1 = m v 1 2 2 - полная механическая энергия пули при подлете к стене; E 2 = 0 - полная механическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; A внеш = 0 - работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A сопр - работа сил сопротивления.
Работа сил сопротивления определяется произведением:
A сопр = F сопр l cos α ,
где F сопр - модуль силы сопротивления движению пули; l - расстояние, на которое углубится пуля в стену; α = 180° - угол между направлениями силы сопротивления и направлением движения пули.
Таким образом, закон изменения полной механической энергии пули в явном виде выглядит следующим образом:
− m v 1 2 2 = F сопр l cos 180 ° .
Искомое расстояние определяется отношением
l = − m v 1 2 2 F сопр cos 180 ° = m v 1 2 2 F сопр
l = 10,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 800 2 2 ⋅ 8,00 ⋅ 10 3 = 0,40 м = 400 мм.
Каждый велосипедист, мотоциклист, шофер, машинист, летчик или капитан корабля знает, что у его машины есть предельная скорость; превысить которую не удается никакими усилиями. Можно сколько угодно нажимать на педаль газа, но «выжать» из машины лишний километр в час невозможно. Вся развиваемая скорость идет на преодоление сил сопротивления движению .
Преодоление различного трения
Например, автомобиль имеет двигатель мощностью в пятьдесят лошадиных сил. Когда водитель нажимает газ до отказа, коленчатый вал двигателя начинает делать три тысячи шестьсот оборотов в минуту. Поршни как сумасшедшие мечутся вверх и вниз, подскакивают клапаны, вертятся шестеренки, а автомобиль движется хотя и очень быстро, но совершенно равномерно, и вся сила тяги двигателя уходит на преодоление сил сопротивления движению, в частности преодоление различного трения . Вот, например, как распределяется сила тяги двигателя между его «противниками» - разными видами при скорости автомобиля сто километров в час:- на преодоление трения в подшипниках и между шестеренками расходуется около шестнадцати процентов силы тяги мотора,
- на преодоление трения качения колес по дороге - примерно двадцать четыре процента,
- на преодоление сопротивления воздуха расходуется шестьдесят процентов силы тяги автомобиля.
Сопротивление воздуха
При рассмотрении сил сопротивления движению, таких как:- трение скольжения с увеличением скорости немного уменьшается,
- трение качения изменяется очень незначительно,
- сопротивление воздуха , совершенно незаметное при медленном движении, становится грозной тормозящей силой, когда скорость возрастает.
Сопротивлением воздуха заинтересовались артиллеристы
Сопротивлением воздуха прежде всего заинтересовались артиллеристы . Они старались понять, почему пушечные снаряды не так далеко летят, как им хотелось бы. Расчеты показали, что, если бы на Земле не было воздуха, снаряд семидесятишестимиллиметровой пушки пролетел бы не менее двадцати трех с половиной километров , а в действительности он падает всего лишь в семи километрах от пушки . Из-за сопротивления воздуха теряется шестнадцать с половиной километров дальности . Обидно, но ничего не поделаешь! Артиллеристы улучшали пушки и снаряды, руководствуясь главным образом догадкой и смекалкой. Что происходит со снарядом в воздухе, сначала было неизвестно. Хотелось бы посмотреть на летящий снаряд и увидеть, как он рассекает воздух, но снаряд летит очень быстро, глаз не может уловить его движения, а воздух и подавно невидим. Желание казалось несбыточным, но выручила фотография. При свете электрической искры удалось заснять летящую пулю. Искра сверкнула и на мгновение осветила пулю, пролетавшую перед объективом фотоаппарата. Ее блеска оказалось достаточно, чтобы получить моментальный снимок не только пули, но и воздуха, рассекаемого ею. На фотографии были видны темные полосы, расходящиеся от пули в стороны. Благодаря фотоснимкам стало ясно, что происходит, когда снаряд летит в воздухе. При медленном движении предмета частицы воздуха спокойно расступаются перед ним и почти не мешают ему, но при быстром - картина меняется, частицы воздуха уже не успевают разлетаться в стороны. Снаряд летит и, как поршень насоса, гонит впереди себя воздух и уплотняет его. Чем выше скорость, тем сильнее сжатие и уплотнение. Для того чтобы снаряд двигался быстрее, лучше пробивал уплотненный воздух, его головную часть делают заостренной.Полоса завихренного воздуха
На фотоснимке летящей пули было видно, что-у нее позади возникает полоса завихренного воздуха . На образование вихрей тоже тратится часть энергии пули или снаряда. Поэтому у снарядов и пуль стали делать донную часть скошенной, это уменьшило силу сопротивления движению в воздухе. Благодаря скошенному дну дальность полета снаряда семидесятишестимиллиметровой пушки достигла одиннадцати - двенадцати километров .Трение частиц воздуха
При полете в воздухе на скорости движения сказывается также трение частиц воздуха о стенки летящего предмета. Это трение невелико, но оно все же существует и нагревает поверхность. Поэтому приходится красить самолеты глянцевитой краской и покрывать их особым авиационным лаком. Таким образом, силы сопротивления движению в воздухе всем движущимся предметам возникают вследствие трех различных явлений:- уплотнения воздуха впереди,
- образования завихрений позади,
- небольшого трения воздуха о боковую поверхность предмета.
Сопротивление движению со стороны воды
Предметы, движущиеся в воде - рыбы, подводные лодки, самоходные мины - торпеды и проч., - встречают большое сопротивление движению со стороны воды . С увеличением скорости силы сопротивления воды растут еще быстрее, чем в воздухе. Поэтому и значение обтекаемой формы возрастает. Достаточно взглянуть на форму тела щуки. Она должна гоняться за мелкими рыбешками, поэтому для нее важно, чтобы вода оказывала минимальное сопротивление ее движению.
Форму рыбы придают самоходным торпедам, которые должны быстро поражать неприятельские суда, не давая им возможности уклониться от удара. Когда моторная лодка мчится по водной глади или торпедные катера идут в атаку, видно, как острый нос корабля или лодки режет волны, обращая их в белоснежную пену, а за кормой кипит бурун и остается полоса вспененной воды.
Сопротивление воды напоминает сопротивление воздуха - вправо и влево от корабля бегут волны, а позади образуются завихрения - пенистые буруны; сказывается также и трение между водой и погруженной частью корабля. Разница между движением в воздухе и движением в воде состоит только в том, что вода - жидкость несжимаемая и перед кораблем не возникает уплотненной «подушки», которую приходится пробивать. Зато плотность воды почти в тысячу раз больше плотности воздуха
.
Вязкость воды тоже значительна. Вода не так-то уж охотно и легко расступается перед кораблем, поэтому сопротивление движению, которое она оказывает предметам, весьма велико. Попробуйте, например, нырнув под воду, похлопать там в ладоши. Это не удастся - вода не позволит. Скорости морских кораблей значительно уступают скоростям воздушных кораблей. Наиболее быстроходные из морских судов - торпедные катера развивают скорость в пятьдесят узлов, а глиссеры, скользящие по поверхности воды, - до ста двадцати узлов. (Узел - морская мера скорости; один узел составляет 1852 метра в час.)
